নবম শ্রেণি গনিত: বহুপদী সংখ্যামালা: কষে দেখি – 7.3
১. ভাগশেষ উপপাদ্য প্রয়োগ করে $x^{3}-3x^{2}+2x+5$-কে (i) $x-2$ (ii) $x+2$ (iii) $2x-1$ (iv) $2x+1$ দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে কত ভাগশেষ পাবো হিসাব করে লিখি।
সহজ ব্যাখ্যা: ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী, $P(x)$ কে $(x-a)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে $P(a)$।
ধরি, $P(x) = x^{3}-3x^{2}+2x+5$
(i) $x-2$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ:
$x-2=0$ → $x=2$। ভাগশেষ $= P(2)$।
$P(2) = (2)^3 – 3(2)^2 + 2(2) + 5 = 8 – 3(4) + 4 + 5 = 8 – 12 + 4 + 5 = 5$
উত্তর: ভাগশেষ 5।
(ii) $x+2$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ:
$x+2=0$ → $x=-2$। ভাগশেষ $= P(-2)$।
$P(-2) = (-2)^3 – 3(-2)^2 + 2(-2) + 5 = -8 – 3(4) – 4 + 5 = -8 – 12 – 4 + 5 = -19$
উত্তর: ভাগশেষ $-19$।
(iii) $2x-1$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ:
$2x-1=0$ → $x=1/2$। ভাগশেষ $= P(1/2)$।
$P(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^3 – 3(\frac{1}{2})^2 + 2(\frac{1}{2}) + 5 = \frac{1}{8} – 3(\frac{1}{4}) + 1 + 5 = \frac{1}{8} – \frac{6}{8} + \frac{48}{8} = \frac{1 – 6 + 48}{8} = \frac{43}{8}$
উত্তর: ভাগশেষ $\frac{43}{8}$।
(iv) $2x+1$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ:
$2x+1=0$ → $x=-1/2$। ভাগশেষ $= P(-1/2)$।
$P(-\frac{1}{2}) = (-\frac{1}{2})^3 – 3(-\frac{1}{2})^2 + 2(-\frac{1}{2}) + 5 = -\frac{1}{8} – 3(\frac{1}{4}) – 1 + 5 = -\frac{1}{8} – \frac{6}{8} + \frac{32}{8} = \frac{-1 – 6 + 32}{8} = \frac{25}{8}$
উত্তর: ভাগশেষ $\frac{25}{8}$।
২. ভাগশেষ উপপাদ্য প্রয়োগ করে $(x-1)$ দ্বারা নীচের বহুপদী সংখ্যামালাকে ভাগ করলে কী কী ভাগশেষ পাবো হিসাব করে লিখি।
সহজ ব্যাখ্যা: $(x-1)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে $P(1)$।
(i) $P(x)=x^{3}-6x^{2}+13x+60$
ভাগশেষ $= P(1) = (1)^3 – 6(1)^2 + 13(1) + 60 = 1 – 6 + 13 + 60 = 68$
উত্তর: ভাগশেষ 68।
(ii) $P(x)=x^{3}-3x^{2}+4x+50$
ভাগশেষ $= P(1) = (1)^3 – 3(1)^2 + 4(1) + 50 = 1 – 3 + 4 + 50 = 52$
উত্তর: ভাগশেষ 52।
(iii) $P(x)=4x^{3}+4x^{2}-x-1$
ভাগশেষ $= P(1) = 4(1)^3 + 4(1)^2 – 1 – 1 = 4 + 4 – 1 – 1 = 6$
উত্তর: ভাগশেষ 6।
(iv) $P(x)=11x^{3}-12x^{2}-x+7$
ভাগশেষ $= P(1) = 11(1)^3 – 12(1)^2 – 1 + 7 = 11 – 12 – 1 + 7 = 5$
উত্তর: ভাগশেষ 5।
৩. ভাগশেষ উপপাদ্য প্রয়োগ করে ভাগশেষ লিখি যখন,
(i) $(x-3)$ দ্বারা $(x^{3}-6x^{2}+9x-8)$ বহুপদী সংখ্যামালাকে ভাগ করা হয়।
$x-3=0$ → $x=3$। ভাগশেষ $= P(3)$।
$P(3) = (3)^3 – 6(3)^2 + 9(3) – 8 = 27 – 6(9) + 27 – 8 = 27 – 54 + 27 – 8 = -8$
উত্তর: ভাগশেষ $-8$।
(ii) $(x-a)$ দ্বারা $(x^{3}-ax^{2}+2x-a)$ বহুপদী সংখ্যামালাকে ভাগ করা হয়।
$x-a=0$ → $x=a$। ভাগশেষ $= P(a)$।
$P(a) = (a)^3 – a(a)^2 + 2(a) – a = a^3 – a^3 + 2a – a = a$
উত্তর: ভাগশেষ $a$।
৪. ভাগশেষ উপপাদ্য প্রয়োগ করে $p(x)=4x^{3}+4x^{2}-x-1$ বহুপদী সংখ্যামালা $(2x+1)$-এর গুণিতক কিনা হিসাব করি।
সহজ ব্যাখ্যা: গুণিতক হওয়ার শর্ত হলো ভাগশেষ শূন্য হতে হবে। এখানে $P(x)$ কে $(2x+1)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ শূন্য কিনা যাচাই করা হয়েছে।
$2x+1=0$ → $x=-1/2$। ভাগশেষ $= P(-1/2)$।
$P(-\frac{1}{2}) = 4(-\frac{1}{2})^3 + 4(-\frac{1}{2})^2 – (-\frac{1}{2}) – 1$
$= 4(-\frac{1}{8}) + 4(\frac{1}{4}) + \frac{1}{2} – 1$
$= -\frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2} – 1 = 0$
যেহেতু ভাগশেষ শূন্য, $P(x)$ বহুপদী সংখ্যামালা $(2x+1)$-এর গুণিতক।
উত্তর: হ্যাঁ, গুণিতক।
৫. $(x-4)$ দ্বারা $(ax^{3}+3x^{2}-3)$ এবং $(2x^{3}-5x+a)$ বহুপদী সংখ্যামালাদ্বয়কে ভাগ করলে যদি একই ভাগশেষ থাকে তবে $a$-এর মান কী হবে হিসাব করে লিখি।
সহজ ব্যাখ্যা: ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী, $P(4) = Q(4)$ শর্ত ব্যবহার করে $a$-এর মান নির্ণয় করা হয়েছে।
ধরি, $P(x) = ax^{3}+3x^{2}-3$ এবং $Q(x) = 2x^{3}-5x+a$।
$x-4=0$ → $x=4$। শর্তানুসারে: $P(4) = Q(4)$।
$$a(4)^3 + 3(4)^2 – 3 = 2(4)^3 – 5(4) + a$$
$$64a + 3(16) – 3 = 2(64) – 20 + a$$
$$64a + 48 – 3 = 128 – 20 + a$$
$$64a + 45 = 108 + a$$
$$64a – a = 108 – 45$$
$$63a = 63$$
$$a = 1$$
উত্তর: $a$-এর মান 1 হবে।
৬. $x^{3}+2x^{2}-px-7$ এবং $x^{3}+px^{2}-12x+6$ এই দুটি বহুপদী সংখ্যামালাকে যথাক্রমে $(x+1)$ ও $(x-2)$ দ্বারা ভাগ করলে যদি $R_{1}$ ও $R_{2}$ ভাগশেষ পাওয়া যায় এবং যদি $2R_{1}+R_{2}=6$ হয়, তবে $p$-এর মান কত হিসাব করি।
সহজ ব্যাখ্যা: প্রথমে ভাগশেষ উপপাদ্য ব্যবহার করে $R_1$ ও $R_2$ নির্ণয় করে $2R_{1}+R_{2}=6$ শর্তে বসিয়ে $p$-এর মান নির্ণয় করা হয়েছে।
ধরি, $P(x) = x^{3}+2x^{2}-px-7$ এবং $Q(x) = x^{3}+px^{2}-12x+6$।
$R_1$ নির্ণয় ($x+1=0$ → $x=-1$):
$R_{1} = P(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 – p(-1) – 7 = -1 + 2 + p – 7 = p – 6$
$R_2$ নির্ণয় ($x-2=0$ → $x=2$):
$R_{2} = Q(2) = (2)^3 + p(2)^2 – 12(2) + 6 = 8 + 4p – 24 + 6 = 4p – 10$
শর্তানুসারে ($2R_{1}+R_{2}=6$):
$$2(p – 6) + (4p – 10) = 6$$
$$2p – 12 + 4p – 10 = 6$$
$$6p – 22 = 6$$
$$6p = 28$$
$$p = \frac{28}{6} = \frac{14}{3}$$
উত্তর: $p$-এর মান $\frac{14}{3}$ হবে।
৭. $x^{4}-2x^{3}+3x^{2}-ax+b$ বহুপদী সংখ্যামালাকে $(x-1)$ এবং $(x+1)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ যথাক্রমে 5 এবং 19 হয়। ওই বহুপদী সংখ্যামালাকে $x+2$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে হিসাব করি।
সহজ ব্যাখ্যা: ভাগশেষ উপপাদ্য ব্যবহার করে $a$ ও $b$-এর দুটি সমীকরণ গঠন করে তাদের মান বের করা হয়েছে। এরপর $x+2$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ নির্ণয় করা হয়েছে।
ধরি, $P(x) = x^{4}-2x^{3}+3x^{2}-ax+b$।
১ম শর্ত ($x-1$ দ্বারা ভাগ): ভাগশেষ $= P(1) = 5$
$P(1) = 1^4 – 2(1)^3 + 3(1)^2 – a(1) + b = 5$
$1 – 2 + 3 – a + b = 5$
$2 – a + b = 5$ → $b – a = 3$ (সমীকরণ ১)
২য় শর্ত ($x+1$ দ্বারা ভাগ): ভাগশেষ $= P(-1) = 19$
$P(-1) = (-1)^4 – 2(-1)^3 + 3(-1)^2 – a(-1) + b = 19$
$1 – 2(-1) + 3(1) + a + b = 19$
$1 + 2 + 3 + a + b = 19$
$6 + a + b = 19$ → $a + b = 13$ (সমীকরণ ২)
সমীকরণ (১) ও (২) যোগ করে পাই:
$(b – a) + (b + a) = 3 + 13$ → $2b = 16$ → $b = 8$
$b=8$ মানটি (১)-এ বসিয়ে পাই: $8 – a = 3$ → $a = 5$
$x+2$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ: ভাগশেষ $= P(-2)$।
$P(x) = x^{4}-2x^{3}+3x^{2}-5x+8$ (যেহেতু $a=5, b=8$)
$$P(-2) = (-2)^4 – 2(-2)^3 + 3(-2)^2 – 5(-2) + 8$$
$$= 16 – 2(-8) + 3(4) + 10 + 8$$
$$= 16 + 16 + 12 + 10 + 8 = 62$$
উত্তর: $x+2$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 62 হবে।
৮. যদি $f(x)=\frac{a(x-b)}{a-b}+\frac{b(x-a)}{b-a}$ হয়, তাহলে দেখাই যে, $f(a)+f(b)=f(a+b)$
সহজ ব্যাখ্যা: প্রথমে $f(a)$ এবং $f(b)$ এর মান বের করে তাদের যোগফল $f(a+b)$ এর মানের সমান কিনা, তা যাচাই করা হয়েছে।
দেওয়া আছে: $f(x)=\frac{a(x-b)}{a-b}+\frac{b(x-a)}{b-a}$
$f(a)$ নির্ণয়:
$f(a) = \frac{a(a-b)}{a-b}+\frac{b(a-a)}{b-a} = a + \frac{b(0)}{b-a} = a$
$f(b)$ নির্ণয়:
$f(b) = \frac{a(b-b)}{a-b}+\frac{b(b-a)}{b-a} = \frac{a(0)}{a-b} + b = b$
$f(a)+f(b)$ এর মান: $a + b$
$f(a+b)$ নির্ণয়:
$f(a+b) = \frac{a((a+b)-b)}{a-b}+\frac{b((a+b)-a)}{b-a}$
$= \frac{a(a)}{a-b} + \frac{b(b)}{b-a}$
$= \frac{a^2}{a-b} – \frac{b^2}{a-b}$ (যেহেতু $b-a = -(a-b)$)
$= \frac{a^2 – b^2}{a-b} = \frac{(a-b)(a+b)}{a-b} = a+b$
যেহেতু $f(a)+f(b) = a+b$ এবং $f(a+b) = a+b$, অতএব $f(a)+f(b)=f(a+b)$।
উত্তর: প্রমাণিত।
৯. $f(x)=ax+b$ এবং $f(0)=3, f(2)=5$ হলে, $a$ ও $b$-এর মান নির্ণয় করি।
সহজ ব্যাখ্যা: প্রদত্ত শর্তগুলি ব্যবহার করে $a$ ও $b$-এর দুটি সমীকরণ গঠন করা হয়েছে।
দেওয়া আছে: $f(x)=ax+b$।
$f(0)=3$ থেকে পাই:
$f(0) = a(0) + b = 3$ → $b = 3$
$f(2)=5$ থেকে পাই:
$f(2) = a(2) + b = 5$ → $2a + b = 5$
$b=3$ মানটি দ্বিতীয় সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$2a + 3 = 5$ → $2a = 2$ → $a = 1$
উত্তর: $a=1$ এবং $b=3$।
১০. $f(x)=ax^{2}+bx+c$ এবং $f(0)=2, f(1)=1$ ও $f(4)=6$ হলে, $a, b$ ও $c$ এর মান নির্ণয় করি।
সহজ ব্যাখ্যা: প্রদত্ত শর্তগুলি ব্যবহার করে $a, b, c$-এর তিনটি সমীকরণ গঠন করে তাদের মান নির্ণয় করা হয়েছে।
দেওয়া আছে: $f(x)=ax^{2}+bx+c$।
$f(0)=2$ থেকে পাই:
$f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = 2$ → $c = 2$
$f(1)=1$ থেকে পাই:
$f(1) = a(1)^2 + b(1) + c = 1$ → $a + b + c = 1$ (সমীকরণ ১)
$f(4)=6$ থেকে পাই:
$f(4) = a(4)^2 + b(4) + c = 6$ → $16a + 4b + c = 6$ (সমীকরণ ২)
$c=2$ মানটি সমীকরণ (১) ও (২)-এ বসিয়ে পাই:
(১) $a + b + 2 = 1$ → $a + b = -1$ (সমীকরণ ৩)
(২) $16a + 4b + 2 = 6$ → $16a + 4b = 4$ → $4a + b = 1$ (সমীকরণ ৪)
সমীকরণ (৪) থেকে (৩) বিয়োগ করে পাই:
$(4a + b) – (a + b) = 1 – (-1)$ → $3a = 2$ → $a = \frac{2}{3}$
$a=\frac{2}{3}$ মানটি সমীকরণ (৩)-এ বসিয়ে পাই:
$\frac{2}{3} + b = -1$ → $b = -1 – \frac{2}{3} = -\frac{5}{3}$
উত্তর: $a=\frac{2}{3}, b=-\frac{5}{3}$ এবং $c=2$।
১১. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন: (M.C.Q.)
(i) নীচের কোনটি একচলবিশিষ্ট বহুপদী সংখ্যামালা
সহজ ব্যাখ্যা: বহুপদী হওয়ার জন্য চলের ঘাত অখণ্ড সংখ্যা হতে হবে। শুধুমাত্র (d) তে চলের ঘাত $x^2, x^5, \dots$ আছে। অন্যগুলিতে চলের ঘাত ঋণাত্মক বা ভগ্নাংশ আছে।
উত্তর: (d) $x^{10}+y^{5}+8$ (এখানে এটি দ্বিচল বিশিষ্ট হলেও একমাত্র বিকল্প হিসেবে এটিই সঠিক বহুপদী, যদিও $x$ এর ঘাত 10 আছে)। তবে, যদি একচলবিশিষ্ট চাওয়া হয়, বিকল্প ভুল। ধরে নিচ্ছি প্রশ্নে শুধু বহুপদী চাওয়া হয়েছে।
(ii) নীচের কোনটি বহুপদী সংখ্যামালা
সহজ ব্যাখ্যা: বহুপদী হওয়ার জন্য চলের ঘাত অখণ্ড সংখ্যা হতে হবে।
**(a), (b), (d)** তে চলরাশির ঘাত ঋণাত্মক বা ভগ্নাংশ হবে।
**(c)** তে $x^2 + \frac{2x^2}{x} + 6 = x^2 + 2x + 6$ যা বহুপদী।
উত্তর: (c) $\frac{x^{2}+\frac{2x^{2}}{\sqrt{x^{2}}}}{\sqrt{x^{2}}}+6$ (সম্ভবত প্রশ্নে টাইপিং ত্রুটি আছে, সঠিক হলে (c) হবে)।
(iii) নীচের কোনটি রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালা
সহজ ব্যাখ্যা: রৈখিক বহুপদী মানে মাত্রা 1।
**(d)** তে $x^2$ আছে (দ্বিঘাত)। **(a)** তে $x^2$ আছে (দ্বিঘাত)। **(b)** তে $x^3$ আছে (ত্রিঘাত)। **(c)** তে $x^1$ আছে (রৈখিক)।
উত্তর: (c) $x^{3}+2x+6$ (সম্ভবত প্রশ্নে টাইপিং ত্রুটি আছে, ধরে নিচ্ছি (c) তে $x+1$ আছে)। সঠিক বিকল্প (b)।
সঠিক বিকল্প হবে: (b) $x+1$ (মাত্রা 1)
(iv) নীচের কোনটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা
সহজ ব্যাখ্যা: দ্বিঘাত বহুপদী মানে মাত্রা 2।
**(d)** তে $x^2$ আছে। **(a)** তে $\sqrt{x}$ আছে (বহুপদী নয়)। **(b)** তে মাত্রা 0। **(c)** তে $x^3$ আছে (ত্রিঘাত)।
উত্তর: (d) $x^{2}+5x+6$।
(v) $\sqrt{3}$ বহুপদী সংখ্যামালার মাত্রা
সহজ ব্যাখ্যা: $\sqrt{3} = \sqrt{3}x^0$। ধ্রুবক বহুপদীর মাত্রা 0।
উত্তর: (d) 0।
১২. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন:
(i) $p(x)=2x-3$ বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য কত লিখি।
$2x-3=0$ → $x = \frac{3}{2}$
উত্তর: শূন্য $\frac{3}{2}$।
(iii) $p(x)=x+4$ হলে, $p(x)+p(-x)$-এর মান কত লিখি।
$p(x) = x+4$
$p(-x) = (-x) + 4 = 4 – x$
$p(x)+p(-x) = (x+4) + (4-x) = 8$
উত্তর: মান 8।
(iv) $x^{3}+4x^{2}+4x-3$ বহুপদী সংখ্যামালাকে $(x-1)$ দ্বারা ভাগ করলে, ভাগশেষ কত হবে লিখি।
$x-1=0$ → $x=1$। ভাগশেষ $= P(1)$।
$P(1) = 1^3 + 4(1)^2 + 4(1) – 3 = 1 + 4 + 4 – 3 = 6$
উত্তর: ভাগশেষ 6।
(v) $(3x-1)^{7}=a_{7}x^{7}+a_{6}x^{6}+a_{5}x^{5}+……………+a_{0}$ হলে, $a_{7}+a_{6}+a_{5}+……..+a_{0}$ এর মান কত লিখি।
সহজ ব্যাখ্যা: $a_{7}+a_{6}+a_{5}+……..+a_{0}$ হলো বহুপদীটির সহগগুলির সমষ্টি। সহগগুলির সমষ্টি নির্ণয়ের জন্য $x=1$ বসাতে হয়।
$P(x) = (3x-1)^7$
$a_{7}+a_{6}+a_{5}+……..+a_{0} = P(1)$
$P(1) = (3(1) – 1)^7 = (2)^7 = 128$
উত্তর: মান 128।
শেয়ার