নবম শ্রেণি গনিত: বৃত্তের পরিধি কষে দেখি – 16
অধ্যায় ১৬: বৃত্তের পরিধি (কষে দেখি – 16)
1. নীচের ছবিগুলির পরিসীমা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
চিত্র (i):
ছবিটিতে দেখা যাচ্ছে একটি সমতলিক ক্ষেত্র যার বামদিকে একটি ত্রিভুজাকার অংশ, মাঝখানে একটি আয়তাকার অংশ এবং ডানদিকে একটি অর্ধবৃত্তাকার অংশ রয়েছে।
প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী:
- নিচের বাহুর মোট দৈর্ঘ্য = $8$ মিটার।
- উপরের সমান্তরাল বাহুর দৈর্ঘ্য = $5$ মিটার।
- উচ্চতা (আয়তাকার অংশের প্রস্থ এবং অর্ধবৃত্তের ব্যাস) = $4$ মিটার।
ধাপ ১: ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য নির্ণয়
ত্রিভুজের ভূমি = (নিচের মোট দৈর্ঘ্য – উপরের দৈর্ঘ্য) = $8 – 5$ মিটার = $3$ মিটার।
ত্রিভুজের লম্ব = $4$ মিটার।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, অতিভুজ = $\sqrt{3^2 + 4^2}$ মিটার = $\sqrt{9 + 16}$ মিটার = $\sqrt{25}$ মিটার = $5$ মিটার।
ধাপ ২: অর্ধবৃত্তাকার অংশের পরিসীমা নির্ণয়
অর্ধবৃত্তের ব্যাস = $4$ মিটার, সুতরাং ব্যাসার্ধ ($r$) = $2$ মিটার।
অর্ধবৃত্তের বক্ররেখার দৈর্ঘ্য (পরিধি) = $\pi r = \frac{22}{7} \times 2$ মিটার = $\frac{44}{7}$ মিটার $\approx 6.286$ মিটার।
ধাপ ৩: মোট পরিসীমা নির্ণয়
পরিসীমা = উপরের বাহু + নিচের বাহু + ত্রিভুজের অতিভুজ + অর্ধবৃত্তের বক্ররেখা
= $5 + 8 + 5 + 6.286$ মিটার
= $24.286$ মিটার (প্রায়)।
উত্তর (i): চিত্রটির পরিসীমা প্রায় 24.29 মিটার।
চিত্র (ii):
ছবিতে একটি বর্গাকার ক্ষেত্র দেখা যাচ্ছে যার একটি পাশ থেকে একটি অর্ধবৃত্ত কেটে নেওয়া হয়েছে।
- বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = $14$ সেমি.।
- অর্ধবৃত্তের ব্যাস = $14$ সেমি., সুতরাং ব্যাসার্ধ ($r$) = $7$ সেমি.।
পরিসীমা হবে তিনটি সোজা বাহু এবং একটি অর্ধবৃত্তাকার চাপের সমষ্টি।
অর্ধবৃত্তাকার চাপের দৈর্ঘ্য = $\pi r = \frac{22}{7} \times 7$ সেমি. = $22$ সেমি.।
তিনটি সোজা বাহুর মোট দৈর্ঘ্য = $14 \times 3$ সেমি. = $42$ সেমি.।
মোট পরিসীমা = $42 + 22$ সেমি. = $64$ সেমি.।
উত্তর (ii): চিত্রটির পরিসীমা 64 সেমি.।
2. 35 মিটার দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তাকার তারের রিং তৈরি করতে কত লম্বা তার নেব হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
বৃত্তাকার রিং তৈরি করতে যে তারটি লাগবে, তার দৈর্ঘ্য হবে ওই বৃত্তের পরিধির সমান।
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ ($r$) = $35$ মিটার।
আমরা জানি, বৃত্তের পরিধি = $2\pi r$
= $2 \times \frac{22}{7} \times 35$ মিটার
= $2 \times 22 \times 5$ মিটার
= $220$ মিটার।
উত্তর: 220 মিটার লম্বা তার নিতে হবে।
3. একটি ট্রেনের চাকার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 0.35 মিটার। 1 মিনিটে চাকাটি 450 বার ঘুরলে ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় কত কিমি. হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
চাকার ব্যাসার্ধ ($r$) = $0.35$ মিটার।
চাকাটির পরিধি = $2\pi r$
= $2 \times \frac{22}{7} \times 0.35$ মিটার
= $2 \times 22 \times 0.05$ মিটার
= $2.2$ মিটার।
অর্থাৎ, চাকাটি একবার ঘুরলে $2.2$ মিটার পথ অতিক্রম করে।
1 মিনিটে চাকাটি ঘোরে $450$ বার।
সুতরাং, 1 মিনিটে অতিক্রান্ত দূরত্ব = $450 \times 2.2$ মিটার = $990$ মিটার।
এখন, 1 ঘণ্টা = $60$ মিনিট।
60 মিনিটে (1 ঘণ্টায়) অতিক্রান্ত দূরত্ব = $990 \times 60$ মিটার
= $59400$ মিটার।
আমরা জানি, $1000$ মিটার = $1$ কিমি.।
সুতরাং, গতিবেগ = $\frac{59400}{1000}$ কিমি./ঘণ্টা = $59.4$ কিমি./ঘণ্টা।
উত্তর: ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় 59.4 কিমি.।
4. আমোদপুর গ্রামের একটি বৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 280 মিটার। চৈতালি প্রতি ঘণ্টায় 5.5 কিমি. বেগে হেঁটে মাঠটি পরিক্রমা করতে চায়। হিসাব করে দেখি মাঠটি একবার প্রদক্ষিণ করতে চৈতালির কত সময় লাগবে?
সমাধান:
বৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধ ($r$) = $280$ মিটার।
মাঠের পরিধি (একবার প্রদক্ষিণ করার দূরত্ব) = $2\pi r$
= $2 \times \frac{22}{7} \times 280$ মিটার
= $2 \times 22 \times 40$ মিটার
= $1760$ মিটার।
চৈতালির গতিবেগ = $5.5$ কিমি./ঘণ্টা।
= $5.5 \times 1000$ মিটার/ঘণ্টা
= $5500$ মিটার/ঘণ্টা।
এখন, $5500$ মিটার যেতে সময় লাগে $1$ ঘণ্টা বা $60$ মিনিট।
$1$ মিটার যেতে সময় লাগে $\frac{60}{5500}$ মিনিট।
$1760$ মিটার যেতে সময় লাগে = $\frac{60}{5500} \times 1760$ মিনিট
= $\frac{6}{550} \times 1760$ মিনিট
= $\frac{6 \times 176}{550}$ মিনিট
= $\frac{1056}{55}$ মিনিট
= $19.2$ মিনিট।
$19.2$ মিনিট = $19$ মিনিট + $0.2 \times 60$ সেকেন্ড = $19$ মিনিট $12$ সেকেন্ড।
উত্তর: মাঠটি একবার প্রদক্ষিণ করতে চৈতালির 19 মিনিট 12 সেকেন্ড সময় লাগবে।
5. তথাগত একটি তামার তার আয়তাকারে বেঁকিয়েছে যার দৈর্ঘ্য 18 সেমি. এবং প্রস্থ 15 সেমি.। আমি এই তামার তারটি বেঁকিয়ে বৃত্ত তৈরি করলাম। হিসাব করে এই বৃত্তাকার তামার তারটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য লিখি।
সমাধান:
আয়তাকার তামার তারটির দৈর্ঘ্য = $18$ সেমি. এবং প্রস্থ = $15$ সেমি.।
তারটির মোট দৈর্ঘ্য হবে আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার সমান।
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = $2 \times (\text{দৈর্ঘ্য} + \text{প্রস্থ})$
= $2 \times (18 + 15)$ সেমি.
= $2 \times 33$ সেমি.
= $66$ সেমি.।
এই একই তার দিয়ে বৃত্ত তৈরি করা হলো, তাই বৃত্তের পরিধি হবে $66$ সেমি.।
ধরি, বৃত্তাকার তারটির ব্যাসার্ধ = $r$ সেমি.।
শর্তানুসারে,
$2\pi r = 66$
বা, $2 \times \frac{22}{7} \times r = 66$
বা, $\frac{44}{7} \times r = 66$
বা, $r = \frac{66 \times 7}{44}$
বা, $r = \frac{3 \times 7}{2}$ [22 দিয়ে কাটাকাটি করে]
বা, $r = \frac{21}{2} = 10.5$
উত্তর: বৃত্তাকার তামার তারটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 10.5 সেমি.।
6. একটি অর্ধবৃত্তাকার মাঠের পরিসীমা 108 মিটার হলে, মাঠের ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, অর্ধবৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধ = $r$ মিটার।
আমরা জানি, অর্ধবৃত্তের পরিসীমা = $(\pi r + 2r)$ একক।
প্রশ্নানুসারে,
$\pi r + 2r = 108$
বা, $r(\pi + 2) = 108$
বা, $r(\frac{22}{7} + 2) = 108$
বা, $r(\frac{22 + 14}{7}) = 108$
বা, $r(\frac{36}{7}) = 108$
বা, $r = \frac{108 \times 7}{36}$
বা, $r = 3 \times 7$
বা, $r = 21$
সুতরাং, মাঠের ব্যাসার্ধ $21$ মিটার।
মাঠের ব্যাস = $2r = 2 \times 21$ মিটার = $42$ মিটার।
উত্তর: মাঠের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 42 মিটার।
7. একটি চাকার পরিধি ও ব্যাসের দৈর্ঘ্যের অন্তর 75 সেমি. হলে, ওই চাকার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, চাকার ব্যাসার্ধ = $r$ সেমি.।
চাকার পরিধি = $2\pi r$ সেমি. এবং ব্যাস = $2r$ সেমি.।
প্রশ্নানুসারে,
$2\pi r – 2r = 75$
বা, $2r(\pi – 1) = 75$
বা, $2r(\frac{22}{7} – 1) = 75$
বা, $2r(\frac{22 – 7}{7}) = 75$
বা, $2r(\frac{15}{7}) = 75$
বা, $2r = \frac{75 \times 7}{15}$
বা, $2r = 5 \times 7$
বা, $2r = 35$
সুতরাং, ব্যাস ($2r$) = $35$ সেমি.।
অতএব, ব্যাসার্ধ ($r$) = $\frac{35}{2}$ সেমি. = $17.5$ সেমি.।
উত্তর: চাকার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 17.5 সেমি.।
8. 28 মিটার দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তাকার ট্র্যাকে পূজা ও জাকির একই জায়গা থেকে একই সময়ে প্রতিযোগিতা শুরু করে। পূজা যখন 4 পাক ঘুরে প্রতিযোগিতা শেষ করে জাকির তখন এক পাক পিছনে থাকে। প্রতিযোগিতাটি কত মিটারের ছিল এবং পূজা জাকিরকে কত মিটারে পরাজিত করেছে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
বৃত্তাকার ট্র্যাকের ব্যাস = $28$ মিটার।
সুতরাং, ব্যাসার্ধ ($r$) = $\frac{28}{2}$ মিটার = $14$ মিটার।
ট্র্যাকটির পরিধি (এক পাকের দৈর্ঘ্য) = $2\pi r$
= $2 \times \frac{22}{7} \times 14$ মিটার
= $2 \times 22 \times 2$ মিটার
= $88$ মিটার।
১ম অংশ:
পূজা 4 পাক ঘুরে প্রতিযোগিতা শেষ করে।
সুতরাং, মোট প্রতিযোগিতার দৈর্ঘ্য = $4 \times$ পরিধি
= $4 \times 88$ মিটার
= $352$ মিটার।
২য় অংশ:
পূজা যখন শেষ করে, জাকির তখন এক পাক পিছনে থাকে।
অর্থাৎ, পূজা জাকিরকে এক পাকের দূরত্বে পরাজিত করেছে।
সুতরাং, জাকিরকে পরাজিত করেছে = $1 \times 88$ মিটার = $88$ মিটারে।
উত্তর: প্রতিযোগিতাটি 352 মিটারের ছিল এবং পূজা জাকিরকে 88 মিটারে পরাজিত করেছে।
9. আমাদের পাড়ার একটি পাতকুয়োর পরিধি 440 সেমি.। এই পাতকুয়োর চারধারে সমান চওড়া একটি পাথরের পাড় আছে। যদি বেধসমেত পাতকুয়োর পরিধি 616 সেমি. হয়, তবে পাথরের পাড় কত চওড়া হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, পাতকুয়োর ভিতরের ব্যাসার্ধ = $r$ সেমি. এবং পাড়সহ বাইরের ব্যাসার্ধ = $R$ সেমি.।
১ম শর্তানুসারে, পাতকুয়োর পরিধি = $440$ সেমি.।
$\therefore 2\pi r = 440$
বা, $2 \times \frac{22}{7} \times r = 440$
বা, $\frac{44}{7} r = 440$
বা, $r = \frac{440 \times 7}{44} = 70$ সেমি.।
২য় শর্তানুসারে, পাড়সহ পাতকুয়োর পরিধি = $616$ সেমি.।
$\therefore 2\pi R = 616$
বা, $2 \times \frac{22}{7} \times R = 616$
বা, $\frac{44}{7} R = 616$
বা, $R = \frac{616 \times 7}{44}$
বা, $R = 14 \times 7 = 98$ সেমি.।
পাথরের পাড়ের চওড়া (বেধ) = $R – r$
= $98 – 70$ সেমি.
= $28$ সেমি.।
উত্তর: পাথরের পাড়টি 28 সেমি. চওড়া।
10. গ্রামের নিয়ামতচাচা একটি মোটরের চাকার সঙ্গে বেল্ট দিয়ে একটি মেশিনের চাকা যুক্ত করেছেন। মোটরের চাকার ব্যাসের দৈর্ঘ্য 14 সেমি. এবং মেশিনের চাকার ব্যাসের দৈর্ঘ্য 94.5 সেমি.। মোটরের চাকা যদি প্রতি সেকেন্ডে 27 বার ঘোরে, তবে মেশিনের চাকা ঘণ্টায় কতবার ঘুরবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
মোটরের চাকার ব্যাস = $14$ সেমি., সুতরাং পরিধি = $\pi \times 14$ সেমি.।
মেশিনের চাকার ব্যাস = $94.5$ সেমি., সুতরাং পরিধি = $\pi \times 94.5$ সেমি.।
বেল্ট দিয়ে যুক্ত থাকায় দুটি চাকার অতিক্রান্ত রৈখিক দূরত্ব সমান হবে।
মোটরের চাকা ১ সেকেন্ডে ঘোরে $27$ বার।
১ সেকেন্ডে মোটরের চাকা দ্বারা অতিক্রান্ত দূরত্ব = $27 \times (\pi \times 14)$ সেমি.।
ধরি, মেশিনের চাকা ১ সেকেন্ডে $n$ বার ঘোরে।
১ সেকেন্ডে মেশিনের চাকা দ্বারা অতিক্রান্ত দূরত্ব = $n \times (\pi \times 94.5)$ সেমি.।
শর্তানুসারে,
$n \times \pi \times 94.5 = 27 \times \pi \times 14$
বা, $n \times 94.5 = 27 \times 14$
বা, $n = \frac{27 \times 14}{94.5}$
বা, $n = \frac{378}{94.5}$
বা, $n = 4$
অর্থাৎ, মেশিনের চাকা প্রতি সেকেন্ডে $4$ বার ঘোরে।
আমরা জানি, ১ ঘণ্টা = $3600$ সেকেন্ড।
সুতরাং, ১ ঘণ্টায় মেশিনের চাকা ঘুরবে = $4 \times 3600$ বার
= $14400$ বার।
উত্তর: মেশিনের চাকা ঘণ্টায় 14400 বার ঘুরবে।
11. আমাদের ক্লাব ঘরের ঘড়িটির ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 8.4 সেমি. ও 14 সেমি.। একদিনে প্রতিটি কাঁটা কতটা দূরত্ব অতিক্রম করবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ঘণ্টার কাঁটার ক্ষেত্রে:
দৈর্ঘ্য (ব্যাসার্ধ) $r_1 = 8.4$ সেমি.।
ঘণ্টার কাঁটা ১২ ঘণ্টায় ১ বার সম্পূর্ণ ঘোরে।
সুতরাং, ১ দিনে (২৪ ঘণ্টায়) এটি ঘোরে = $\frac{24}{12} = 2$ বার।
১ বার ঘুরলে অতিক্রান্ত পথ (পরিধি) = $2\pi r_1$
২ বার ঘুরলে অতিক্রান্ত পথ = $2 \times 2 \times \frac{22}{7} \times 8.4$ সেমি.
= $4 \times 22 \times 1.2$ সেমি.
= $105.6$ সেমি.।
মিনিটের কাঁটার ক্ষেত্রে:
দৈর্ঘ্য (ব্যাসার্ধ) $r_2 = 14$ সেমি.।
মিনিটের কাঁটা ১ ঘণ্টায় ১ বার সম্পূর্ণ ঘোরে।
সুতরাং, ১ দিনে (২৪ ঘণ্টায়) এটি ঘোরে = $24$ বার।
১ বার ঘুরলে অতিক্রান্ত পথ = $2\pi r_2$
২৪ বার ঘুরলে অতিক্রান্ত পথ = $24 \times 2 \times \frac{22}{7} \times 14$ সেমি.
= $48 \times 22 \times 2$ সেমি.
= $48 \times 44$ সেমি.
= $2112$ সেমি.।
উত্তর: ঘণ্টার কাঁটা 105.6 সেমি. এবং মিনিটের কাঁটা 2112 সেমি. দূরত্ব অতিক্রম করবে।
12. আমি ও বন্ধু মিহির দুটি বৃত্ত এঁকেছি যাদের ব্যাসের দৈর্ঘ্যের অনুপাত [বর্গক্ষেত্র] : [বর্গক্ষেত্র]। হিসাব করে দেখছি আমাদের বৃত্তের পরিধির অনুপাত হয় [বর্গক্ষেত্র] : [বর্গক্ষেত্র]।
সমাধান:
(প্রশ্নে নির্দিষ্ট সংখ্যা দেওয়া না থাকায় সাধারণ সম্পর্কের প্রমাণ দেওয়া হলো)
ধরি, দুটি বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $d_1$ একক এবং $d_2$ একক।
বৃত্ত দুটির পরিধি হবে যথাক্রমে $\pi d_1$ একক এবং $\pi d_2$ একক।
এখন, বৃত্ত দুটির পরিধির অনুপাত নির্ণয় করি:
পরিধির অনুপাত = $\pi d_1 : \pi d_2$
= $d_1 : d_2$ (উভয় পদ থেকে $\pi$ বাদ দিয়ে)
= ব্যাসের দৈর্ঘ্যের অনুপাত।
সিদ্ধান্ত: বৃত্তের পরিধির অনুপাত তাদের ব্যাসের দৈর্ঘ্যের অনুপাতের সমান হবে।
13. রহিমের একটি বৃত্তাকার মাঠের পুরোটা একবার দৌড়াতে যে সময় লাগে, ব্যাস বরাবর একপ্রান্ত থেকে আর একপ্রান্তে যেতে তার থেকে 40 সেকেন্ড কম সময় লাগে। রহিমের গতিবেগ 90 মিটার প্রতি মিনিট হলে, মাঠের ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
[attachment_0](attachment)
সমাধান:
ধরি, বৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধ = $r$ মিটার।
সুতরাং, মাঠের পরিধি = $2\pi r$ মিটার এবং ব্যাস = $2r$ মিটার।
রহিমের গতিবেগ = $90$ মিটার/মিনিট।
আমরা জানি, $1$ মিনিট = $60$ সেকেন্ড।
সুতরাং, রহিমের গতিবেগ = $\frac{90}{60}$ মিটার/সেকেন্ড = $1.5$ মিটার/সেকেন্ড।
মাঠের পরিধি বরাবর যেতে সময় লাগে = $\frac{2\pi r}{1.5}$ সেকেন্ড।
ব্যাস বরাবর যেতে সময় লাগে = $\frac{2r}{1.5}$ সেকেন্ড।
শর্তানুসারে,
$\frac{2\pi r}{1.5} – \frac{2r}{1.5} = 40$
বা, $\frac{2r}{1.5}(\pi – 1) = 40$
বা, $\frac{2r}{1.5}(\frac{22}{7} – 1) = 40$
বা, $\frac{2r}{1.5}(\frac{15}{7}) = 40$
বা, $2r \times \frac{10}{7} = 40$ [ $15 \div 1.5 = 10$ ]
বা, $2r = \frac{40 \times 7}{10}$
বা, $2r = 28$
সুতরাং, মাঠের ব্যাস ($2r$) = $28$ মিটার।
উত্তর: মাঠের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 28 মিটার।
14. দুটি বৃত্তের পরিধির অনুপাত 2:3 এবং তাদের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অন্তর 2 সেমি.। বৃত্ত দুটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে $r_1$ সেমি. এবং $r_2$ সেমি. (যেখানে $r_2 > r_1$)।
প্রশ্নানুসারে, পরিধির অনুপাত = $2 : 3$
$\therefore 2\pi r_1 : 2\pi r_2 = 2 : 3$
বা, $r_1 : r_2 = 2 : 3$
ধরি, $r_1 = 2x$ এবং $r_2 = 3x$ (যেখানে $x$ একটি সাধারণ উৎপাদক)।
ব্যাসার্ধের অন্তর দেওয়া আছে $2$ সেমি.।
সুতরাং,
$3x – 2x = 2$
বা, $x = 2$
এখন ব্যাসার্ধগুলোর মান:
১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ ($r_1$) = $2 \times 2 = 4$ সেমি.।
২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ ($r_2$) = $3 \times 2 = 6$ সেমি.।
বৃত্ত দুটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য:
১ম বৃত্তের ব্যাস = $2r_1 = 2 \times 4 = 8$ সেমি.।
২য় বৃত্তের ব্যাস = $2r_2 = 2 \times 6 = 12$ সেমি.।
উত্তর: বৃত্ত দুটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 8 সেমি. এবং 12 সেমি.।
15. 196 বর্গ সেমি. ক্ষেত্রফলের একটি বর্গাকার পিতলের পাত থেকে চারটি সর্ববৃহৎ বৃত্তাকার পাত কেটে নেওয়া হলো। প্রতিটি বৃত্তাকার পাতের পরিধি হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
বর্গাকার পিতলের পাতের ক্ষেত্রফল = $196$ বর্গ সেমি.।
সুতরাং, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{196}$ সেমি. = $14$ সেমি.।
বর্গাকার পাত থেকে চারটি সর্ববৃহৎ বৃত্তাকার পাত কেটে নিতে হলে, সেগুলিকে পাশাপাশি ২ টি এবং নিচে ২ টি করে সাজাতে হবে।
এর ফলে, প্রতিটি বৃত্তের ব্যাস হবে বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্যের অর্ধেক।
প্রতিটি বৃত্তের ব্যাস = $\frac{14}{2}$ সেমি. = $7$ সেমি.।
প্রতিটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ($r$) = $\frac{7}{2}$ সেমি. = $3.5$ সেমি.।
প্রতিটি বৃত্তাকার পাতের পরিধি = $2\pi r$
= $2 \times \frac{22}{7} \times 3.5$ সেমি.
= $44 \times 0.5$ সেমি.
= $22$ সেমি.।
উত্তর: প্রতিটি বৃত্তাকার পাতের পরিধি 22 সেমি.।
16. একটি বৃত্তাকার মাঠের বৃত্ত বরাবর একপ্রান্ত থেকে অপরপ্রান্তে যেতে নাসিফার যে সময় লাগে, মাঠের ব্যাস বরাবর অতিক্রম করতে তার থেকে 45 সেকেন্ড সময় কম লাগে। নাসিফার গতিবেগ মিনিটে 40 মিটার হলে, মাঠটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, বৃত্তাকার মাঠের ব্যাস = $d$ মিটার।
সুতরাং, মাঠের পরিধি (একপ্রান্ত থেকে অপরপ্রান্তে বৃত্তচাপ বরাবর দূরত্ব) = পরিধির অর্ধেক = $\frac{\pi d}{2}$ মিটার।
(নোট: এখানে ‘বৃত্ত বরাবর একপ্রান্ত থেকে অপরপ্রান্তে’ বলতে অর্ধ-পরিধি বোঝানো হয়েছে, কারণ ব্যাস বরাবর যাওয়ার তুলনা করা হয়েছে)।
নাসিফার গতিবেগ = $40$ মিটার/মিনিট।
সময়ের পার্থক্য = $45$ সেকেন্ড = $\frac{45}{60}$ মিনিট = $\frac{3}{4}$ মিনিট।
শর্তানুসারে,
$\frac{\text{অর্ধ-পরিধি}}{\text{গতিবেগ}} – \frac{\text{ব্যাস}}{\text{গতিবেগ}} = \text{সময়ের পার্থক্য}$
বা, $\frac{\frac{\pi d}{2}}{40} – \frac{d}{40} = \frac{3}{4}$
বা, $\frac{\pi d}{80} – \frac{d}{40} = \frac{3}{4}$
উভয়পক্ষকে $80$ দিয়ে গুণ করে পাই,
$\pi d – 2d = \frac{3}{4} \times 80$
বা, $d(\pi – 2) = 60$
বা, $d(\frac{22}{7} – 2) = 60$
বা, $d(\frac{22 – 14}{7}) = 60$
বা, $d(\frac{8}{7}) = 60$
বা, $d = \frac{60 \times 7}{8}$
বা, $d = \frac{15 \times 7}{2}$
বা, $d = \frac{105}{2} = 52.5$
উত্তর: মাঠটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 52.5 মিটার।
17. মহিম সাইকেলে চেপে 7 মিটার 5 ডেসিমি. চওড়া একটি বৃত্তাকার পথের বাইরের ও ভিতরের ধার বরাবর সম্পূর্ণ একবার ঘুরতে যথাক্রমে 46 সেকেন্ড ও 44 সেকেন্ড নেয়। ভিতরের ধার বরাবর বৃত্তটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করি।
সমাধান:
বৃত্তাকার পথটি $7$ মিটার $5$ ডেসিমি. চওড়া।
আমরা জানি, $10$ ডেসিমি. = $1$ মিটার।
সুতরাং, পথের চওড়া = $7.5$ মিটার।
ধরি, বৃত্তাকার পথের ভিতরের ব্যাসার্ধ = $r$ মিটার।
তাহলে, বাইরের ব্যাসার্ধ ($R$) = $(r + 7.5)$ মিটার।
মহিমের গতিবেগ ধরি $v$ মিটার/সেকেন্ড।
বাইরের ধার বরাবর অতিক্রান্ত দূরত্ব (পরিধি) = $2\pi R$
ভিতরের ধার বরাবর অতিক্রান্ত দূরত্ব (পরিধি) = $2\pi r$
বাইরের ধার ঘুরতে সময় লাগে $46$ সেকেন্ড।
$\therefore 2\pi R = 46v$ … (i)
ভিতরের ধার ঘুরতে সময় লাগে $44$ সেকেন্ড।
$\therefore 2\pi r = 44v$ … (ii)
(i) কে (ii) দিয়ে ভাগ করে পাই,
$\frac{2\pi R}{2\pi r} = \frac{46v}{44v}$
বা, $\frac{R}{r} = \frac{46}{44}$
বা, $\frac{r + 7.5}{r} = \frac{23}{22}$
বা, $23r = 22(r + 7.5)$
বা, $23r = 22r + 165$
বা, $23r – 22r = 165$
বা, $r = 165$
ভিতরের ব্যাসার্ধ $165$ মিটার।
সুতরাং, ভিতরের ধার বরাবর বৃত্তটির ব্যাস = $2r = 2 \times 165$ মিটার = $330$ মিটার।
উত্তর: ভিতরের ধার বরাবর বৃত্তটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 330 মিটার।
18. একজন সাইকেল আরোহীর একটি বৃত্তাকার পথে বাইরের ও ভিতরের ধার বরাবর সম্পূর্ণ একবার ঘুরতে সময়ের অনুপাত 20:19; যদি পথটি 5 মিটার চওড়া হয়, তবে ভিতরের বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য লিখি।
সমাধান:
ধরি, বৃত্তাকার পথের ভিতরের ব্যাসার্ধ = $r$ মিটার।
পথটি $5$ মিটার চওড়া।
সুতরাং, বাইরের ব্যাসার্ধ ($R$) = $(r + 5)$ মিটার।
সাইকেল আরোহীর গতিবেগ স্থির থাকলে, অতিক্রান্ত দূরত্বের অনুপাত সময়ের অনুপাতের সমান হবে।
বাইরের পরিধি : ভিতরের পরিধি = $20 : 19$
শর্তানুসারে,
$\frac{2\pi R}{2\pi r} = \frac{20}{19}$
বা, $\frac{R}{r} = \frac{20}{19}$
বা, $\frac{r + 5}{r} = \frac{20}{19}$
বা, $20r = 19(r + 5)$
বা, $20r = 19r + 95$
বা, $20r – 19r = 95$
বা, $r = 95$
ভিতরের ব্যাসার্ধ $95$ মিটার।
সুতরাং, ভিতরের বৃত্তের ব্যাস = $2r = 2 \times 95$ মিটার = $190$ মিটার।
উত্তর: ভিতরের বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 190 মিটার।
১৯. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)
(i) একটি ঘড়ির ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার গতিবেগের অনুপাত
সমাধান:
একটি ঘড়িতে মিনিটের কাঁটা $1$ ঘণ্টায় একবার সম্পূর্ণ বৃত্তাকার পথ পরিক্রম করে।
কিন্তু ঘণ্টার কাঁটা $12$ ঘণ্টায় একবার সম্পূর্ণ বৃত্তাকার পথ পরিক্রম করে।
অর্থাৎ, $12$ ঘণ্টায় ঘণ্টার কাঁটা ঘোরে $1$ বার এবং মিনিটের কাঁটা ঘোরে $12$ বার।
সুতরাং, ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার গতিবেগের অনুপাত = $1 : 12$।
উত্তর: (a) 1:12
(ii) একটি বৃত্তাকার পার্ক সম্পূর্ণ একবার পরিক্রমা করতে সোমার $\frac{\pi x}{100}$ মিনিট সময় লাগে। পার্কটি সোজাসুজি ব্যাস বরাবর অতিক্রম করতে সোমার সময় লাগবে
সমাধান:
ধরি, বৃত্তাকার পার্কের ব্যাস = $d$ একক।
সুতরাং, পার্কের পরিধি = $\pi d$ একক।
সোমা $\pi d$ একক দূরত্ব অতিক্রম করে $\frac{\pi x}{100}$ মিনিটে।
$\therefore 1$ একক দূরত্ব অতিক্রম করে $\frac{\pi x}{100 \times \pi d} = \frac{x}{100d}$ মিনিটে।
$\therefore d$ একক (ব্যাস) দূরত্ব অতিক্রম করবে = $\frac{x}{100d} \times d$ মিনিটে
= $\frac{x}{100}$ মিনিটে।
উত্তর: (a) $\frac{x}{100}$ মিনিট
(iii) একটি বৃত্ত একটি বর্গক্ষেত্রে অন্তর্লিখিত। বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য 10 সেমি. হলে বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য
সমাধান:
যখন একটি বৃত্ত কোনো বর্গক্ষেত্রে অন্তর্লিখিত (ভিতরে আঁকা) হয়, তখন বৃত্তের ব্যাস বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্যের সমান হয়।
[attachment_0](attachment)
এখানে বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = $10$ সেমি.।
সুতরাং, বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য = $10$ সেমি.।
উত্তর: (a) 10 সেমি.
(iv) একটি বৃত্ত একটি বর্গক্ষেত্রে পরিলিখিত। বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সেমি. হলে, বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য
সমাধান:
যখন একটি বৃত্ত কোনো বর্গক্ষেত্রে পরিলিখিত (বাইরে আঁকা) হয়, তখন বৃত্তের ব্যাস বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্যের সমান হয়।
বর্গক্ষেত্রের বাহু ($a$) = $5$ সেমি.।
বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = $\sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$
= $5\sqrt{2}$ সেমি.।
সুতরাং, বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য = $5\sqrt{2}$ সেমি.।
উত্তর: (a) $5\sqrt{2}$ সেমি.
(v) একটি বৃত্তাকার বলয় 5 সেমি. চওড়া। বৃত্তের বহির্ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ও অন্তর্ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অন্তর
সমাধান:
ধরি, বৃত্তাকার বলয়ের বহির্ব্যাসার্ধ = $R$ সেমি. এবং অন্তর্ব্যাসার্ধ = $r$ সেমি.।
বলয়টি কতটা চওড়া তা বহির্ব্যাসার্ধ ও অন্তর্ব্যাসার্ধের বিয়োগফলের সমান।
প্রশ্নানুসারে, বলয়টি $5$ সেমি. চওড়া।
সুতরাং, $R – r = 5$ সেমি.।
উত্তর: (a) 5 সেমি.
২০. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন
(i) একটি অর্ধবৃত্তের পরিসীমা 36 সেমি. হলে, অর্ধবৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
ধরি, অর্ধবৃত্তের ব্যাসার্ধ = $r$ সেমি.।
আমরা জানি, অর্ধবৃত্তের পরিসীমা = $\pi r + 2r = r(\pi + 2)$।
প্রশ্নানুসারে,
$r(\frac{22}{7} + 2) = 36$
বা, $r(\frac{22 + 14}{7}) = 36$
বা, $r(\frac{36}{7}) = 36$
বা, $r = 7$
সুতরাং, অর্ধবৃত্তের ব্যাসার্ধ $7$ সেমি.।
ব্যাসের দৈর্ঘ্য = $2r = 2 \times 7$ সেমি. = $14$ সেমি.।
উত্তর: অর্ধবৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 14 সেমি.।
(ii) একটি ঘড়ির মিনিটের কাঁটার দৈর্ঘ্য 7 সেমি.। $90^{\circ}$ কোণ ঘুরতে মিনিটের কাঁটা কত দৈর্ঘ্য ঘুরবে?
সমাধান:
মিনিটের কাঁটার দৈর্ঘ্য অর্থাৎ বৃত্তের ব্যাসার্ধ ($r$) = $7$ সেমি.।
ঘূর্ণন কোণ ($\theta$) = $90^{\circ}$।
অতিক্রান্ত বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য ($s$) = $\frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2\pi r$
= $\frac{90}{360} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 7$ সেমি.
= $\frac{1}{4} \times 2 \times 22$ সেমি.
= $\frac{44}{4}$ সেমি.
= $11$ সেমি.।
উত্তর: মিনিটের কাঁটা 11 সেমি. দৈর্ঘ্য ঘুরবে।
(iii) কোনো বর্গক্ষেত্রের অন্তবৃত্ত ও পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত কত?
সমাধান:
ধরি, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = $a$ একক।
১. অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রে:
অন্তবৃত্তের ব্যাস = বর্গক্ষেত্রের বাহু = $a$।
সুতরাং, অন্তবৃত্তের ব্যাসার্ধ ($r$) = $\frac{a}{2}$ একক।
২. পরিবৃত্তের ক্ষেত্রে:
পরিবৃত্তের ব্যাস = বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = $a\sqrt{2}$।
সুতরাং, পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ ($R$) = $\frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$ একক।
অনুপাত $r : R = \frac{a}{2} : \frac{a}{\sqrt{2}}$
= $\frac{1}{2} : \frac{1}{\sqrt{2}}$
= $1 : \sqrt{2}$ [উভয়পক্ষকে $\sqrt{2}$ দ্বারা গুণ করে সরলীকরণ করে]
উত্তর: অন্তবৃত্ত ও পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত $1 : \sqrt{2}$।
(iv) একটি ঘড়ির মিনিটের কাঁটার দৈর্ঘ্য 7 সেমি.। 15 মিনিটে কাঁটাটি কত দৈর্ঘ্য ঘুরবে?
সমাধান:
মিনিটের কাঁটার দৈর্ঘ্য ($r$) = $7$ সেমি.।
আমরা জানি, মিনিটের কাঁটা $60$ মিনিটে সম্পূর্ণ একবার ঘোরে (অর্থাৎ $360^{\circ}$)।
সুতরাং, $15$ মিনিটে ঘোরে বৃত্তের $\frac{15}{60} = \frac{1}{4}$ অংশ।
অতিক্রান্ত দৈর্ঘ্য = পরিধি $\times \frac{1}{4}$
= $2\pi r \times \frac{1}{4}$
= $2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times \frac{1}{4}$ সেমি.
= $44 \times \frac{1}{4}$ সেমি.
= $11$ সেমি.।
উত্তর: কাঁটাটি 11 সেমি. দৈর্ঘ্য ঘুরবে।
(v) একটি বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য এবং একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য সমান হলে, তাদের পরিসীমার অনুপাত কত?
সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাস = $d$ একক এবং বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = $a$ একক।
প্রশ্নানুসারে, $d = a$।
বৃত্তের পরিসীমা (পরিধি) = $\pi d$।
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = $4a = 4d$ (যেহেতু $a=d$)।
তাদের পরিসীমার অনুপাত = $\pi d : 4d$
= $\pi : 4$
= $\frac{22}{7} : 4$
= $22 : 28$ [উভয়পক্ষকে $7$ দ্বারা গুণ করে]
= $11 : 14$
উত্তর: তাদের পরিসীমার অনুপাত $11 : 14$।
শেয়ার