নবম শ্রেণীর গণিত: ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কষে দেখি -15.2

সমাধান:

(i) প্রথম চিত্র (সমবাহু ত্রিভুজ):

চিত্র অনুযায়ী, ত্রিভুজটির তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান এবং প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য ($a$) = $10$ সেমি.।

আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$

= $\frac{\sqrt{3}}{4} \times (10)^2$ বর্গ সেমি.

= $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 100$ বর্গ সেমি.

= $25\sqrt{3}$ বর্গ সেমি.

(ii) দ্বিতীয় চিত্র (সমকোণী ত্রিভুজ):

চিত্র অনুযায়ী, বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $3$ সেমি., $4$ সেমি. এবং $5$ সেমি.।

যেহেতু $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$, তাই এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ভূমি $3$ সেমি. এবং উচ্চতা $4$ সেমি. (অথবা বিপরীত)।

ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}$

= $\frac{1}{2} \times 3 \times 4$ বর্গ সেমি.

= $6$ বর্গ সেমি.

(iii) তৃতীয় চিত্র (সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ):

চিত্র অনুযায়ী, ত্রিভুজটির সমান দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য $10$ সেমি. এবং অসমান বাহু বা ভূমির দৈর্ঘ্য $8$ সেমি.।

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র = $\frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \sqrt{(\text{সমান বাহু})^2 – (\frac{\text{ভূমি}}{2})^2}$

এখানে, ভূমি ($b$) = $8$ সেমি. এবং সমান বাহু ($a$) = $10$ সেমি.।

ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times 8 \times \sqrt{(10)^2 – (\frac{8}{2})^2}$ বর্গ সেমি.

= $4 \times \sqrt{100 – (4)^2}$ বর্গ সেমি.

= $4 \times \sqrt{100 – 16}$ বর্গ সেমি.

= $4 \times \sqrt{84}$ বর্গ সেমি.

= $4 \times \sqrt{4 \times 21}$ বর্গ সেমি.

= $4 \times 2\sqrt{21}$ বর্গ সেমি.

= $8\sqrt{21}$ বর্গ সেমি.

উত্তর: ত্রিভুজগুলির ক্ষেত্রফল যথাক্রমে $25\sqrt{3}$ বর্গ সেমি., $6$ বর্গ সেমি. এবং $8\sqrt{21}$ বর্গ সেমি.।

সমাধান:

ধরি, সমবাহু ত্রিভুজটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = $a$ সেমি.।

আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = $3a$।

প্রশ্নানুসারে,

$3a = 48$

বা, $a = \frac{48}{3}$

বা, $a = 16$

সুতরাং, ত্রিভুজটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য $16$ সেমি.।

এখন, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$

= $\frac{\sqrt{3}}{4} \times (16)^2$ বর্গ সেমি.

= $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 256$ বর্গ সেমি.

= $64\sqrt{3}$ বর্গ সেমি.

উত্তর: সমবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $64\sqrt{3}$ বর্গ সেমি.।

সমাধান:

ধরি, ABC সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = $a$ সেমি.।

প্রদত্ত আছে, ত্রিভুজটির উচ্চতা = $5\sqrt{3}$ সেমি.।

আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা = $\frac{\sqrt{3}}{2}a$।

শর্তানুসারে,

$\frac{\sqrt{3}}{2}a = 5\sqrt{3}$

বা, $a = 5\sqrt{3} \times \frac{2}{\sqrt{3}}$

বা, $a = 5 \times 2$

বা, $a = 10$

সুতরাং, ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য $10$ সেমি.।

পরিসীমা নির্ণয়:

পরিসীমা = $3a = 3 \times 10$ সেমি. = $30$ সেমি.।

ক্ষেত্রফল নির্ণয়:

ক্ষেত্রফল = $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$

= $\frac{\sqrt{3}}{4} \times (10)^2$ বর্গ সেমি.

= $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 100$ বর্গ সেমি.

= $25\sqrt{3}$ বর্গ সেমি.

উত্তর: ত্রিভুজটির পরিসীমা 30 সেমি. এবং ক্ষেত্রফল $25\sqrt{3}$ বর্গ সেমি.।

সমাধান:

প্রদত্ত $\Delta ABC$ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ($a$) = $10$ সেমি.।

ভূমির দৈর্ঘ্য ($b$) = $4$ সেমি.।

আমরা জানি, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \sqrt{(\text{সমান বাহু})^2 – (\frac{\text{ভূমি}}{2})^2}$

মান বসিয়ে পাই,

ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times 4 \times \sqrt{(10)^2 – (\frac{4}{2})^2}$ বর্গ সেমি.

= $2 \times \sqrt{100 – (2)^2}$ বর্গ সেমি.

= $2 \times \sqrt{100 – 4}$ বর্গ সেমি.

= $2 \times \sqrt{96}$ বর্গ সেমি.

= $2 \times \sqrt{16 \times 6}$ বর্গ সেমি.

= $2 \times 4\sqrt{6}$ বর্গ সেমি.

= $8\sqrt{6}$ বর্গ সেমি.

উত্তর: $\Delta ABC$-এর ক্ষেত্রফল $8\sqrt{6}$ বর্গ সেমি.।

সমাধান:

প্রদত্ত,

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির ভূমির দৈর্ঘ্য ($b$) = $12$ সেমি.।

সমান বাহুর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য ($a$) = $10$ সেমি.।

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times b \times \sqrt{a^2 – (\frac{b}{2})^2}$

= $\frac{1}{2} \times 12 \times \sqrt{(10)^2 – (\frac{12}{2})^2}$ বর্গ সেমি.

= $6 \times \sqrt{100 – (6)^2}$ বর্গ সেমি.

= $6 \times \sqrt{100 – 36}$ বর্গ সেমি.

= $6 \times \sqrt{64}$ বর্গ সেমি.

= $6 \times 8$ বর্গ সেমি.

= $48$ বর্গ সেমি.

উত্তর: ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 48 বর্গ সেমি.।

সমাধান:

ধরি, ত্রিভুজটির ভূমির দৈর্ঘ্য = $x$ সেমি.।

প্রশ্নানুসারে, সমান বাহুর দৈর্ঘ্য = $\frac{5}{6}x$ সেমি.।

ত্রিভুজটির পরিসীমা = $x + \frac{5}{6}x + \frac{5}{6}x$ সেমি.।

শর্তানুসারে,

$x + \frac{5x}{6} + \frac{5x}{6} = 544$

বা, $x + \frac{10x}{6} = 544$

বা, $x + \frac{5x}{3} = 544$

বা, $\frac{3x + 5x}{3} = 544$

বা, $\frac{8x}{3} = 544$

বা, $x = \frac{544 \times 3}{8}$

বা, $x = 68 \times 3$

বা, $x = 204$

সুতরাং, ভূমির দৈর্ঘ্য ($b$) = $204$ সেমি.।

সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ($a$) = $\frac{5}{6} \times 204 = 5 \times 34 = 170$ সেমি.।

এখন, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times b \times \sqrt{a^2 – (\frac{b}{2})^2}$

= $\frac{1}{2} \times 204 \times \sqrt{(170)^2 – (\frac{204}{2})^2}$ বর্গ সেমি.

= $102 \times \sqrt{(170)^2 – (102)^2}$ বর্গ সেমি.

= $102 \times \sqrt{(170 + 102)(170 – 102)}$ বর্গ সেমি. [ $a^2 – b^2$ সূত্র প্রয়োগ করে ]

= $102 \times \sqrt{272 \times 68}$ বর্গ সেমি.

= $102 \times \sqrt{(4 \times 68) \times 68}$ বর্গ সেমি.

= $102 \times 2 \times 68$ বর্গ সেমি.

= $204 \times 68$ বর্গ সেমি.

= $13872$ বর্গ সেমি.

উত্তর: ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 13872 বর্গ সেমি.।

সমাধান:

ধরি, সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির সমান বাহুদ্বয়ের প্রতিটির দৈর্ঘ্য = $a$ সেমি.।

যেহেতু ত্রিভুজটি সমকোণী, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী অতিভুজের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$ সেমি.।

প্রশ্নানুসারে,

$a\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$

বা, $a = 12$

অর্থাৎ, সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য $12$ সেমি.।

সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}$

এখানে ভূমি ও উচ্চতা উভয়ই সমান বাহু ($a$)।

সুতরাং, ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times a \times a$

= $\frac{1}{2} \times 12 \times 12$ বর্গ সেমি.

= $6 \times 12$ বর্গ সেমি.

= $72$ বর্গ সেমি.

উত্তর: ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 72 বর্গ সেমি.।

সমাধান:

সামান্তরিকটির কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $6$ সেমি. এবং $8$ সেমি.।

কর্ণদ্বয় পরস্পরকে $90^\circ$ কোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

আমরা জানি, কোনো সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে লম্বভাবে ছেদ করলে এবং সমদ্বিখণ্ডিত করলে, সেটি একটি রম্বস হয়।

কর্ণদ্বয় পরস্পরকে ছেদ করায় চারটি সমকোণী ত্রিভুজ উৎপন্ন হয়।

প্রতিটি ত্রিভুজের লম্ব ও ভূমি হলো কর্ণদ্বয়ের অর্ধেকের সমান।

১ম কর্ণের অর্ধেক = $\frac{6}{2} = 3$ সেমি.।

২য় কর্ণের অর্ধেক = $\frac{8}{2} = 4$ সেমি.।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ (যা সামান্তরিকের বাহু) হবে:

বাহু = $\sqrt{3^2 + 4^2}$ সেমি.

= $\sqrt{9 + 16}$ সেমি.

= $\sqrt{25}$ সেমি.

= $5$ সেমি.।

বৈশিষ্ট্য: যেহেতু সামান্তরিকটির বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য সমান এবং কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে কিন্তু কর্ণদ্বয় অসমান, তাই এটি একটি রম্বস (Rhombus)।

উত্তর: সামান্তরিকটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সেমি. এবং এটি একটি রম্বস।

সমাধান:

ধরি, ত্রিভুজাকৃতি পার্কের বাহুগুলির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $2x$ মিটার, $3x$ মিটার এবং $4x$ মিটার।

প্রশ্নানুসারে, পরিসীমা = $216$ মিটার।

$\therefore 2x + 3x + 4x = 216$

বা, $9x = 216$

বা, $x = \frac{216}{9} = 24$

সুতরাং, বাহুগুলির দৈর্ঘ্য:

• $a = 2 \times 24 = 48$ মিটার
• $b = 3 \times 24 = 72$ মিটার
• $c = 4 \times 24 = 96$ মিটার

(i) ক্ষেত্রফল নির্ণয়:

অর্ধপরিসীমা ($s$) = $\frac{216}{2} = 108$ মিটার।

আমরা জানি, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

= $\sqrt{108(108-48)(108-72)(108-96)}$ বর্গ মিটার

= $\sqrt{108 \times 60 \times 36 \times 12}$ বর্গ মিটার

= $\sqrt{(36 \times 3) \times (12 \times 5) \times 36 \times 12}$ বর্গ মিটার

= $\sqrt{36^2 \times 12^2 \times 3 \times 5}$ বর্গ মিটার

= $36 \times 12 \sqrt{15}$ বর্গ মিটার

= $432\sqrt{15}$ বর্গ মিটার।

(ii) বৃহত্তম বাহুর বিপরীত বিন্দু থেকে দূরত্ব (উচ্চতা) নির্ণয়:

এখানে বৃহত্তম বাহু = $96$ মিটার।

ধরি, নির্ণেয় দূরত্ব বা উচ্চতা = $h$ মিটার।

আমরা জানি, ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}$

$\therefore \frac{1}{2} \times 96 \times h = 432\sqrt{15}$

বা, $48h = 432\sqrt{15}$

বা, $h = \frac{432\sqrt{15}}{48}$

বা, $h = 9\sqrt{15}$

উত্তর: (i) পার্কটির ক্ষেত্রফল $432\sqrt{15}$ বর্গ মিটার। (ii) সোজাসুজি হাঁটতে হবে $9\sqrt{15}$ মিটার।

সমাধান:

ত্রিভুজাকৃতি মাঠের বাহুগুলি হলো $a = 26$ মি., $b = 28$ মি., এবং $c = 30$ মি.।

অর্ধপরিসীমা ($s$) = $\frac{26 + 28 + 30}{2} = \frac{84}{2} = 42$ মিটার।

(i) ঘাস লাগানোর খরচ:

মাঠের ক্ষেত্রফল = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

= $\sqrt{42(42-26)(42-28)(42-30)}$ বর্গ মিটার

= $\sqrt{42 \times 16 \times 14 \times 12}$ বর্গ মিটার

= $\sqrt{(14 \times 3) \times 16 \times 14 \times (4 \times 3)}$ বর্গ মিটার

= $\sqrt{14^2 \times 3^2 \times 16 \times 4}$ বর্গ মিটার

= $14 \times 3 \times 4 \times 2$ বর্গ মিটার

= $336$ বর্গ মিটার।

প্রতি বর্গ মিটারে খরচ $5$ টাকা।

মোট খরচ = $336 \times 5$ টাকা = $1680$ টাকা।

(ii) বেড়া দেওয়ার খরচ:

মাঠের পরিসীমা = $84$ মিটার।

গেট তৈরির জন্য $5$ মিটার বাদ দিলে, বেড়া দিতে হবে = $84 – 5 = 79$ মিটার।

প্রতি মিটারে খরচ $18$ টাকা।

মোট খরচ = $79 \times 18$ টাকা = $1422$ টাকা।

উত্তর: (i) ঘাস লাগাতে খরচ হবে 1680 টাকা। (ii) বেড়া দিতে খরচ হবে 1422 টাকা।

সমাধান:

ধরি, সমবাহু ত্রিভুজ $\Delta PQR$-এর প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = $a$ সেমি.।

অন্তস্থ বিন্দু থেকে বাহুগুলির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $h_1 = 10$ সেমি., $h_2 = 12$ সেমি. এবং $h_3 = 8$ সেমি.।

আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের অভ্যন্তরস্থ কোনো বিন্দু থেকে বাহুগুলির উপর অঙ্কিত লম্বগুলির দৈর্ঘ্যের সমষ্টি ত্রিভুজটির উচ্চতার সমান।

অথবা, ত্রিভুজটিকে তিনটি ছোট ত্রিভুজে ভাগ করলে তাদের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি মূল ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সমান হবে।

শর্তানুসারে,

$\frac{1}{2} \times a \times 10 + \frac{1}{2} \times a \times 12 + \frac{1}{2} \times a \times 8 = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$

বা, $\frac{1}{2} a (10 + 12 + 8) = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$

বা, $\frac{1}{2} a \times 30 = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$

বা, $15a = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$

বা, $a = \frac{15 \times 4}{\sqrt{3}}$ [উভয় পক্ষকে $a$ দ্বারা ভাগ করে]

বা, $a = \frac{60}{\sqrt{3}} = 20\sqrt{3}$

সুতরাং, ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য $20\sqrt{3}$ সেমি.।

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$

= $\frac{\sqrt{3}}{4} \times (20\sqrt{3})^2$ বর্গ সেমি.

= $\frac{\sqrt{3}}{4} \times (400 \times 3)$ বর্গ সেমি.

= $\sqrt{3} \times 100 \times 3$ বর্গ সেমি.

= $300\sqrt{3}$ বর্গ সেমি.

উত্তর: $\Delta PQR$-এর ক্ষেত্রফল $300\sqrt{3}$ বর্গ সেমি.।

সমাধান:

ধরি, $ABC$ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার সমান বাহুদ্বয় $AB = AC = 20$ সেমি. এবং অন্তর্ভুক্ত কোণ $\angle BAC = 45^\circ$।

$C$ বিন্দু থেকে $AB$ বাহুর উপর $CD$ লম্ব অঙ্কন করা হলো।

এখন সমকোণী ত্রিভুজ $ADC$ থেকে পাই,

$\sin 45^\circ = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{CD}{AC}$

বা, $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{CD}{20}$

বা, $CD = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2}$ সেমি.।

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}$

এখানে ভূমি $AB = 20$ সেমি. এবং উচ্চতা $CD = 10\sqrt{2}$ সেমি.।

সুতরাং, ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times 20 \times 10\sqrt{2}$ বর্গ সেমি.

= $100\sqrt{2}$ বর্গ সেমি.

= $100 \times 1.414$ বর্গ সেমি. (প্রায়)

= $141.4$ বর্গ সেমি. (প্রায়)।

উত্তর: ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $100\sqrt{2}$ বর্গ সেমি. বা প্রায় 141.4 বর্গ সেমি.।

সমাধান:

একইভাবে, ধরি $ABC$ ত্রিভুজের $AB = AC = 20$ সেমি. এবং $\angle BAC = 30^\circ$।

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র = $\frac{1}{2} \times \text{বাহু} \times \text{বাহু} \times \sin(\text{অন্তর্ভুক্ত কোণ})$

সুতরাং, ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin 30^\circ$

= $\frac{1}{2} \times 20 \times 20 \times \frac{1}{2}$ বর্গ সেমি.

= $\frac{400}{4}$ বর্গ সেমি.

= $100$ বর্গ সেমি.।

উত্তর: ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 100 বর্গ সেমি.।

সমাধান:

ধরি, সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য = $a$ সেমি.।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, অতিভুজের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$ সেমি.।

ত্রিভুজটির পরিসীমা = $a + a + a\sqrt{2} = 2a + a\sqrt{2} = a(2 + \sqrt{2})$ সেমি.।

প্রশ্নানুসারে,

$a(2 + \sqrt{2}) = (\sqrt{2} + 1)$

বা, $a \cdot \sqrt{2}(\sqrt{2} + 1) = (\sqrt{2} + 1)$ [যেহেতু $2 = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$]

বা, $a\sqrt{2} = 1$

বা, $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$

অতিভুজের দৈর্ঘ্য:

অতিভুজ = $a\sqrt{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \sqrt{2} = 1$ সেমি.।

ক্ষেত্রফল:

ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}$

= $\frac{1}{2} \times a \times a$

= $\frac{1}{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}}$ বর্গ সেমি.

= $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}$ বর্গ সেমি.

= $\frac{1}{4}$ বর্গ সেমি. = $0.25$ বর্গ সেমি.।

উত্তর: অতিভুজের দৈর্ঘ্য 1 সেমি. এবং ক্ষেত্রফল 0.25 বর্গ সেমি.।

সমাধান:

মারিয়ার গতিবেগ = $18$ কিমি./ঘন্টা।

= $18 \times \frac{1000}{60}$ মিটার/মিনিট

= $300$ মিটার/মিনিট।

মারিয়া $10$ মিনিটে মাঠটি প্রদক্ষিণ করে।

সুতরাং, মাঠের পরিসীমা = গতিবেগ $\times$ সময়

= $300 \times 10$ মিটার

= $3000$ মিটার।

মাঠটি সমবাহু ত্রিভুজাকার, তাই প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য ($a$) = $\frac{3000}{3} = 1000$ মিটার।

কৌণিক বিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত দূরত্ব হলো ত্রিভুজটির উচ্চতা ($h$)।

আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা ($h$) = $\frac{\sqrt{3}}{2}a$

= $\frac{\sqrt{3}}{2} \times 1000$ মিটার

= $500\sqrt{3}$ মিটার

= $500 \times 1.732$ মিটার

= $866$ মিটার।

এখন, $866$ মিটার পথ যেতে মারিয়ার সময় লাগবে = $\frac{\text{দূরত্ব}}{\text{গতিবেগ}}$

= $\frac{866}{300}$ মিনিট

= $2.886…$ মিনিট

= $2$ মিনিট + $(0.886 \times 60)$ সেকেন্ড (প্রায়)

= $2$ মিনিট $53.2$ সেকেন্ড (প্রায়)।

উত্তর: মারিয়ার প্রায় 2 মিনিট 53 সেকেন্ড সময় লাগবে।

সমাধান:

ধরি, সমবাহু ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য = $a$ মিটার।

সুতরাং, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ বর্গমিটার।

বাহুর দৈর্ঘ্য $1$ মিটার বৃদ্ধি করলে নতুন দৈর্ঘ্য হয় = $(a+1)$ মিটার।

নতুন ক্ষেত্রফল = $\frac{\sqrt{3}}{4}(a+1)^2$ বর্গমিটার।

প্রশ্নানুসারে, ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির পরিমাণ $\sqrt{3}$ বর্গমিটার।

শর্তানুসারে,

$\frac{\sqrt{3}}{4}(a+1)^2 – \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \sqrt{3}$

উভয়পক্ষকে $\frac{\sqrt{3}}{4}$ দিয়ে ভাগ করে পাই,

$(a+1)^2 – a^2 = 4$

বা, $(a^2 + 2a + 1) – a^2 = 4$

বা, $2a + 1 = 4$

বা, $2a = 3$

বা, $a = \frac{3}{2} = 1.5$

উত্তর: সমবাহু ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য 1.5 মিটার।

সমাধান:

ধরি, বর্গক্ষেত্রটির বাহুর দৈর্ঘ্য = $x$ সেমি.।

আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = $x\sqrt{2}$।

প্রশ্নানুসারে, $x\sqrt{2} = 60$

বা, $x = \frac{60}{\sqrt{2}} = \frac{60\sqrt{2}}{2} = 30\sqrt{2}$ সেমি.।

বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = $x^2 = (30\sqrt{2})^2 = 900 \times 2 = 1800$ বর্গ সেমি.।

ধরি, সমবাহু ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য = $a$ সেমি.।

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ বর্গ সেমি.।

শর্তানুসারে,

$\frac{\text{ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল}}{\text{বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

বা, $\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}a^2}{1800} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

বা, $\frac{\sqrt{3}a^2}{7200} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

বা, $\frac{a^2}{7200} = \frac{1}{2}$

বা, $2a^2 = 7200$

বা, $a^2 = 3600$

বা, $a = \sqrt{3600} = 60$

সমবাহু ত্রিভুজটির পরিসীমা = $3a = 3 \times 60 = 180$ সেমি.।

উত্তর: সমবাহু ত্রিভুজটির পরিসীমা 180 সেমি.।

সমাধান:

ধরি, সমকোণী ত্রিভুজটির লম্ব = $a$ সেমি. এবং ভূমি = $b$ সেমি.।

প্রদত্ত আছে, অতিভুজ = $13$ সেমি. এবং পরিসীমা = $30$ সেমি.।

পরিসীমা সূত্রানুযায়ী,

$a + b + 13 = 30$

বা, $a + b = 30 – 13$

বা, $a + b = 17$ … (i)

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,

$a^2 + b^2 = (13)^2$

বা, $a^2 + b^2 = 169$ … (ii)

আমরা জানি, $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$

মান বসিয়ে পাই,

$(17)^2 = 169 + 2ab$

বা, $289 = 169 + 2ab$

বা, $2ab = 289 – 169$

বা, $2ab = 120$

বা, $ab = 60$

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{লম্ব} = \frac{1}{2}ab$

= $\frac{1}{2} \times 60 = 30$ বর্গ সেমি.।

উত্তর: ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 30 বর্গ সেমি.।

সমাধান:

সমকোণী ত্রিভুজটির লম্ব ও ভূমি হলো $12$ সেমি. এবং $5$ সেমি.।

অতিভুজের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ সেমি.।

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times 12 \times 5 = 30$ বর্গ সেমি.।

ধরি, সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের উপর লম্বের দৈর্ঘ্য = $h$ সেমি.।

এই লম্বটিকে উচ্চতা এবং অতিভুজকে ভূমি ধরলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হবে = $\frac{1}{2} \times 13 \times h$।

শর্তানুসারে,

$\frac{1}{2} \times 13 \times h = 30$

বা, $13h = 60$

বা, $h = \frac{60}{13}$

বা, $h \approx 4.6153…$

3 দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্নমান নিলে পাই $4.615$ সেমি.।

উত্তর: লম্বের দৈর্ঘ্য প্রায় 4.615 সেমি.।

সমাধান:

প্রদত্ত বাহুগুলো $3, 4, 5$ সেমি., যা একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে (কারণ $3^2 + 4^2 = 5^2$)।

সর্ববৃহৎ বর্গক্ষেত্রটির একটি শীর্ষবিন্দু অতিভুজের উপর অবস্থিত, এর অর্থ হলো বর্গক্ষেত্রটি ত্রিভুজটির সমকোণ সংলগ্ন কোণটিকে শেয়ার করে।

ধরি, বর্গক্ষেত্রটির বাহুর দৈর্ঘ্য = $x$ সেমি.।

ত্রিভুজটির লম্ব ($a$) = $3$ সেমি. এবং ভূমি ($b$) = $4$ সেমি.।

বর্গক্ষেত্রটি আঁকার ফলে মূল ত্রিভুজটি একটি বর্গক্ষেত্র এবং দুটি ছোট সদৃশ সমকোণী ত্রিভুজে বিভক্ত হয়। সদৃশতার ধর্ম ব্যবহার করে আমরা পাই:

$\frac{x}{a} + \frac{x}{b} = 1$

মান বসিয়ে পাই,

$\frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 1$

বা, $x(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) = 1$

বা, $x(\frac{4+3}{12}) = 1$

বা, $x(\frac{7}{12}) = 1$

বা, $x = \frac{12}{7}$

উত্তর: বর্গাকারক্ষেত্রটির বাহুর দৈর্ঘ্য $\frac{12}{7}$ সেমি. বা $1\frac{5}{7}$ সেমি.।

সমাধান:

আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা = $\frac{\sqrt{3}}{2} \times \text{বাহু}$

এখানে বাহুর দৈর্ঘ্য = $4$ সেমি.।

সুতরাং, উচ্চতা = $\frac{\sqrt{3}}{2} \times 4$ সেমি.

= $2\sqrt{3}$ সেমি.।

উত্তর: (d) $2\sqrt{3}$ সেমি.

সমাধান:

সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য = $a$ একক।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, অতিভুজ = $\sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$ একক।

আমরা জানি, পরিসীমা = তিনটি বাহুর সমষ্টি

= $a + a + a\sqrt{2}$

= $2a + a\sqrt{2}$

= $(2 + \sqrt{2})a$ একক।

উত্তর: (b) $(2+\sqrt{2})a$ একক

সমাধান:

ধরি, সমবাহু ত্রিভুজটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = $x$ একক।

তাহলে,

• ক্ষেত্রফল ($a$) = $\frac{\sqrt{3}}{4}x^2$
• পরিসীমা ($s$) = $3x$
• উচ্চতা ($h$) = $\frac{\sqrt{3}}{2}x$

এখন, প্রদত্ত রাশি = $\frac{2a}{sh}$

= $\frac{2 \times \frac{\sqrt{3}}{4}x^2}{(3x) \times (\frac{\sqrt{3}}{2}x)}$

= $\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}x^2}{\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2}$

= $\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{2}{3\sqrt{3}}$

= $\frac{1}{3}$

উত্তর: (c) $\frac{1}{3}$

সমাধান:

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \sqrt{(\text{সমান বাহু})^2 – (\frac{\text{ভূমি}}{2})^2}$

এখানে সমান বাহু = $5$ সেমি. এবং ভূমি = $6$ সেমি.।

ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times 6 \times \sqrt{5^2 – (\frac{6}{2})^2}$ বর্গ সেমি.

= $3 \times \sqrt{25 – 3^2}$ বর্গ সেমি.

= $3 \times \sqrt{25 – 9}$ বর্গ সেমি.

= $3 \times \sqrt{16}$ বর্গ সেমি.

= $3 \times 4$ বর্গ সেমি.

= $12$ বর্গ সেমি.।

উত্তর: (b) 12 বর্গ সেমি.

সমাধান:

যেহেতু $\Delta ABD$ এবং $\Delta BDC$ একই শীর্ষবিন্দু $B$ এবং একই সরলরেখা $AC$-এর উপর অবস্থিত, তাই তাদের উচ্চতা সমান।

সমউচ্চতা বিশিষ্ট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত তাদের ভূমির অনুপাতের সমান হয়।

সুতরাং, $\frac{\text{Area of } \Delta ABD}{\text{Area of } \Delta BDC} = \frac{AD}{DC} = \frac{3}{2}$।

ধরি, $\Delta ABD$-এর ক্ষেত্রফল = $3x$ এবং $\Delta BDC$-এর ক্ষেত্রফল = $2x$।

মোট ক্ষেত্রফল ($\Delta ABC$) = $3x + 2x = 5x$।

প্রশ্নানুসারে, $5x = 40$

বা, $x = 8$।

$\Delta BDC$-এর ক্ষেত্রফল = $2x = 2 \times 8 = 16$ বর্গ সেমি.।

উত্তর: (a) 16 বর্গ সেমি.

সমাধান:

ধরি, ত্রিভুজের বাহুগুলো $a, b, c$ এবং অর্ধপরিসীমা $S$।

প্রদত্ত আছে:

• $S – a = 8$
• $S – b = 7$
• $S – c = 5$

তিনটি সমীকরণ যোগ করে পাই,

$(S – a) + (S – b) + (S – c) = 8 + 7 + 5$

বা, $3S – (a + b + c) = 20$

আমরা জানি, ত্রিভুজের পরিসীমা $2S = a + b + c$।

সুতরাং, $3S – 2S = 20$

বা, $S = 20$ সেমি.।

হেরনের সূত্র অনুযায়ী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)}$

= $\sqrt{20 \times 8 \times 7 \times 5}$ বর্গ সেমি.

= $\sqrt{(4 \times 5) \times (4 \times 2) \times 7 \times 5}$ বর্গ সেমি.

= $\sqrt{4^2 \times 5^2 \times 14}$ বর্গ সেমি.

= $4 \times 5 \times \sqrt{14}$ বর্গ সেমি.

= $20\sqrt{14}$ বর্গ সেমি.।

উত্তর: (c) $20\sqrt{14}$ বর্গ সেমি.

সমাধান:

ধরি, সমবাহু ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য = $a$ একক।

আমরা জানি,

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ বর্গ একক।

সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা = $\frac{\sqrt{3}}{2}a$ একক।

প্রশ্নানুসারে, ক্ষেত্রফল ও উচ্চতার সাংখ্যমান সমান।

সুতরাং,

$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{\sqrt{3}}{2}a$

বা, $\frac{a}{4} = \frac{1}{2}$ [উভয়পক্ষ থেকে $\sqrt{3}a$ ভাগ করে, যেহেতু $a \neq 0$]

বা, $2a = 4$

বা, $a = 2$

উত্তর: ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 2 একক।

সমাধান:

ধরি, ত্রিভুজের বাহুগুলো $a, b, c$ এবং অর্ধপরিসীমা $s$।

ত্রিভুজটির প্রাথমিক ক্ষেত্রফল ($\Delta$) = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ বর্গ একক।

প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ করলে নতুন বাহুগুলো হবে $2a, 2b, 2c$।

নতুন অর্ধপরিসীমা ($S$) = $\frac{2a+2b+2c}{2} = \frac{2(a+b+c)}{2} = 2s$।

নতুন ক্ষেত্রফল ($\Delta’$) = $\sqrt{S(S-2a)(S-2b)(S-2c)}$

= $\sqrt{2s(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)}$

= $\sqrt{2s \cdot 2(s-a) \cdot 2(s-b) \cdot 2(s-c)}$

= $\sqrt{16 \cdot s(s-a)(s-b)(s-c)}$

= $4 \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

= $4\Delta$

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পেল = $4\Delta – \Delta = 3\Delta$।

শতকরা বৃদ্ধি = $\frac{\text{বৃদ্ধি}}{\text{প্রাথমিক ক্ষেত্রফল}} \times 100\%$

= $\frac{3\Delta}{\Delta} \times 100\%$

= $300\%$

উত্তর: ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 300% বৃদ্ধি পাবে।

সমাধান:

ধরি, প্রাথমিক ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\Delta$ বর্গ একক।

যেহেতু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল তার বাহুর বর্গের সমানুপাতিক (dimensionally length squared), তাই বাহুর দৈর্ঘ্য $k$ গুণ হলে ক্ষেত্রফল $k^2$ গুণ হয়।

এখানে বাহুর দৈর্ঘ্য $3$ গুণ করা হয়েছে।

সুতরাং, নতুন ক্ষেত্রফল = $3^2 \times \Delta = 9\Delta$ বর্গ একক।

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = $9\Delta – \Delta = 8\Delta$।

শতকরা বৃদ্ধি = $\frac{8\Delta}{\Delta} \times 100\%$

= $800\%$

উত্তর: ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 800% বৃদ্ধি পাবে।

সমাধান:

সমকোণী ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহুটিই হলো অতিভুজ।

এখানে প্রদত্ত বাহুগুলোর মধ্যে $(x+2)$ সেমি. হলো বৃহত্তম।

সুতরাং, অতিভুজ = $(x+2)$ সেমি., লম্ব ও ভূমি হলো $(x-2)$ সেমি. ও $x$ সেমি.।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,

$(x-2)^2 + x^2 = (x+2)^2$

বা, $x^2 – 4x + 4 + x^2 = x^2 + 4x + 4$

বা, $2x^2 – 4x + 4 = x^2 + 4x + 4$

বা, $2x^2 – x^2 – 4x – 4x + 4 – 4 = 0$

বা, $x^2 – 8x = 0$

বা, $x(x – 8) = 0$

হয় $x = 0$ অথবা $x = 8$।

কিন্তু বাহুর দৈর্ঘ্য শূন্য হতে পারে না, তাই $x \neq 0$।

সুতরাং, $x = 8$।

অতিভুজের দৈর্ঘ্য = $(x+2)$ সেমি. = $(8+2)$ সেমি. = $10$ সেমি.।

উত্তর: ত্রিভুজটির অতিভুজের দৈর্ঘ্য 10 সেমি.।

সমাধান:

ধরি, সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য = $a$ একক।

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ($A_1$) = $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ বর্গ একক।

ত্রিভুজটির উচ্চতা ($h$) = $\frac{\sqrt{3}}{2}a$ একক।

উচ্চতার উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য হবে $h$।

সুতরাং, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ($A_2$) = $h^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2}a)^2 = \frac{3}{4}a^2$ বর্গ একক।

এখন, ত্রিভুজ ও বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অনুপাত,

$A_1 : A_2 = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 : \frac{3}{4}a^2$

= $\frac{\sqrt{3}}{4} : \frac{3}{4}$ [উভয়পক্ষ থেকে $a^2$ বাদ দিয়ে]

= $\sqrt{3} : 3$ [উভয়পক্ষকে $4$ দিয়ে গুণ করে]

= $\sqrt{3} : (\sqrt{3} \times \sqrt{3})$

= $1 : \sqrt{3}$

উত্তর: ত্রিভুজ ও বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অনুপাত $1 : \sqrt{3}$।