নবম শ্রেণী অংক সহ সমীকরণ কষে দেখি- 5.2

1. (a) $2x + 3y = 7$ এবং $3x + 2y = 8$

সমাধান (a):

সহজ ব্যাখ্যা: সহগগুলির অনুপাত যাচাই করে সমীকরণ দুটির লেখচিত্র পরস্পরছেদী হবে কিনা, তা দেখা হয়েছে।

সমীকরণ দুটি হলো: (১) $2x + 3y = 7$ এবং (২) $3x + 2y = 8$
$a_1=2, b_1=3, c_1=7$
$a_2=3, b_2=2, c_2=8$

সহগগুলির অনুপাত যাচাই করি:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{3}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{2}$

যেহেতু $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ (কারণ $\frac{2}{3} \neq \frac{3}{2}$), লেখচিত্র দুটি পরস্পরছেদী হবে।

উত্তর: সহসমীকরণটির নির্দিষ্ট সমাধান পাওয়া যায়।

1. (b) $4x – y = 11$ এবং $-8x + 2y = -22$

সমাধান (b):

সমীকরণ দুটি হলো: (১) $4x – 1y – 11 = 0$ এবং (২) $-8x + 2y + 22 = 0$
$a_1=4, b_1=-1, c_1=-11$
$a_2=-8, b_2=2, c_2=22$

সহগগুলির অনুপাত যাচাই করি:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{-8} = -\frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-11}{22} = -\frac{1}{2}$

যেহেতু $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$, লেখচিত্র দুটি সমাপতিত হবে।

উত্তর: সহসমীকরণটির অসংখ্য সমাধান পাওয়া যায়।

1. (c) $7x + 3y = 42$ এবং $21x + 9y = 42$

সমাধান (c):

সমীকরণ দুটি হলো: (১) $7x + 3y – 42 = 0$ এবং (২) $21x + 9y – 42 = 0$
$a_1=7, b_1=3, c_1=-42$
$a_2=21, b_2=9, c_2=-42$

সহগগুলির অনুপাত যাচাই করি:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{7}{21} = \frac{1}{3}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-42}{-42} = 1$

যেহেতু $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$, লেখচিত্র দুটি সমান্তরাল হবে।

উত্তর: সহসমীকরণটির কোনো সমাধান পাওয়া যায় না।

1. (d) $5x + y = 13$ এবং $5x + 5y = 12$

সমাধান (d):

সমীকরণ দুটি হলো: (১) $5x + 1y = 13$ এবং (২) $5x + 5y = 12$
$a_1=5, b_1=1, c_1=13$
$a_2=5, b_2=5, c_2=12$

সহগগুলির অনুপাত যাচাই করি:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{5}{5} = 1$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{5}$

যেহেতু $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ (কারণ $1 \neq \frac{1}{5}$), লেখচিত্র দুটি পরস্পরছেদী হবে।

উত্তর: সহসমীকরণটির নির্দিষ্ট সমাধান পাওয়া যায়।

2. (a) $x + 5y = 7$ এবং $x + 5y = 20$

সমাধান (a):

সমীকরণ (১): $1x + 5y – 7 = 0$
সমীকরণ (২): $1x + 5y – 20 = 0$

সহগগুলির অনুপাত যাচাই করি:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{1} = 1$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{5}{5} = 1$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-7}{-20} = \frac{7}{20}$

যেহেতু $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ (কারণ $1 \neq \frac{7}{20}$), সমীকরণ দুটি **অসামঞ্জস্যপূর্ণ** (Inconsistent)।

উত্তর: সম্পর্ক: $\mathbf{\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}}$। সমাধানযোগ্য নয়। লেখচিত্র: সমান্তরাল।

2. (b) $2x + 8y = 8$ এবং $2y – 3x = -5$

সমাধান (b):

সমীকরণ (১): $2x + 8y – 8 = 0$
সমীকরণ (২): $-3x + 2y + 5 = 0$

সহগগুলির অনুপাত যাচাই করি:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{8}{2} = 4$

যেহেতু $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$, সমীকরণ দুটি **সামঞ্জস্যপূর্ণ** (Consistent)।

উত্তর: সম্পর্ক: $\mathbf{\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}}$। সমাধানযোগ্য। লেখচিত্র: পরস্পরছেদী।

2. (c) $5x + 8y = 14$ এবং $15x + 24y = 42$

সমাধান (c):

সমীকরণ (১): $5x + 8y – 14 = 0$
সমীকরণ (২): $15x + 24y – 42 = 0$

সহগগুলির অনুপাত যাচাই করি:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-14}{-42} = \frac{1}{3}$

যেহেতু $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$, সমীকরণ দুটি **নির্ভরশীল সামঞ্জস্যপূর্ণ** (Dependent Consistent)।

উত্তর: সম্পর্ক: $\mathbf{\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}}$। সমাধানযোগ্য (অসংখ্য সমাধান)। লেখচিত্র: সমাপতিত।

2. (d) $3x + 2y = 6$ এবং $12x + 8y = 24$

সমাধান (d):

সমীকরণ (১): $3x + 2y – 6 = 0$
সমীকরণ (২): $12x + 8y – 24 = 0$

সহগগুলির অনুপাত যাচাই করি:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-6}{-24} = \frac{1}{4}$

যেহেতু $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$, সমীকরণ দুটি **নির্ভরশীল সামঞ্জস্যপূর্ণ**।

উত্তর: সম্পর্ক: $\mathbf{\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}}$। সমাধানযোগ্য (অসংখ্য সমাধান)। লেখচিত্র: সমাপতিত।

3. (a) $5x + 3y = 11$ এবং $2x – 7y = 12$

সমাধান (a):

সমীকরণ (১): $5x + 3y = 11$
সমীকরণ (২): $2x – 7y = 12$

সহগগুলির অনুপাত যাচাই করি:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{5}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{-7} = -\frac{3}{7}$

যেহেতু $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$, লেখচিত্রগুলি **পরস্পরছেদী** হবে।

উত্তর: পরস্পরছেদী।

3. (b) $6x – 8y = 2$ এবং $3x – 4y = 1$

সমাধান (b):

সমীকরণ (১): $6x – 8y – 2 = 0$
সমীকরণ (২): $3x – 4y – 1 = 0$

সহগগুলির অনুপাত যাচাই করি:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{6}{3} = 2$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-8}{-4} = 2$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-2}{-1} = 2$

যেহেতু $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$, লেখচিত্রগুলি **সমাপতিত** হবে।

উত্তর: সমাপতিত।

3. (c) $8x – 7y = 56$ এবং $8x – 7y = -56$

সমাধান (c):

সমীকরণ (১): $8x – 7y – 56 = 0$
সমীকরণ (২): $8x – 7y + 56 = 0$

সহগগুলির অনুপাত যাচাই করি:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{8}{8} = 1$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-7}{-7} = 1$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-56}{56} = -1$

যেহেতু $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$, লেখচিত্রগুলি **সমান্তরাল** হবে।

উত্তর: সমান্তরাল।

3. (d) $4x – 3y = 6$ এবং $4y – 5x = -7$

সমাধান (d):

সমীকরণ (১): $4x – 3y = 6$
সমীকরণ (২): $-5x + 4y = -7$

সহগগুলির অনুপাত যাচাই করি:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{-5} = -\frac{4}{5}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{4} = -\frac{3}{4}$

যেহেতু $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$, লেখচিত্রগুলি **পরস্পরছেদী** হবে।

উত্তর: পরস্পরছেদী।

4. (a) $4x + 3y = 20$ এবং $8x + 6y = 40$

সমাধান (a):

সহজ ব্যাখ্যা: অনুপাত যাচাই করে দেখা হয়েছে যে সমীকরণ দুটি সমাপতিত, তাই অসংখ্য সমাধান পাওয়া যাবে। সমাধানগুলি লেখচিত্রের মাধ্যমে নির্ণয় করা সম্ভব নয়, তাই তিনটি সমাধান দেখানো হয়েছে।

সমীকরণ (১): $4x + 3y = 20$
সমীকরণ (২): $8x + 6y = 40$

সহগগুলির অনুপাত: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$, $\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$, $\frac{c_1}{c_2} = \frac{20}{40} = \frac{1}{2}$

যেহেতু $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$, সমীকরণ দুটি সমাপতিত এবং **অসংখ্য সমাধানযোগ্য**।

সমাধানের জন্য, সমীকরণ (১) ব্যবহার করি: $3y = 20 – 4x$ বা $y = \frac{20 – 4x}{3}$

* $x = 2$ হলে, $y = \frac{20 – 8}{3} = 4$
* $x = 5$ হলে, $y = \frac{20 – 20}{3} = 0$
* $x = -1$ হলে, $y = \frac{20 + 4}{3} = 8$

উত্তর: সমাপতিত, অসংখ্য সমাধানযোগ্য। তিনটি সমাধান হলো: $(2, 4), (5, 0)$ এবং $(-1, 8)$।

4. (b) $4x + 3y = 20$ এবং $12x + 9y = 20$

সমাধান (b):

সহজ ব্যাখ্যা: অনুপাত যাচাই করে দেখা হয়েছে যে সমীকরণ দুটি সমান্তরাল, তাই কোনো সমাধান পাওয়া যাবে না।

সমীকরণ (১): $4x + 3y = 20$
সমীকরণ (২): $12x + 9y = 20$

সহগগুলির অনুপাত: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$, $\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$, $\frac{c_1}{c_2} = \frac{20}{20} = 1$

যেহেতু $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$, সমীকরণ দুটি সমান্তরাল এবং **কোনো সমাধানযোগ্য নয়** (অসামঞ্জস্যপূর্ণ)।

অসামঞ্জস্যপূর্ণ হওয়ায়, লেখচিত্র এঁকে সমাধান করা সম্ভব নয়।

উত্তর: সমান্তরাল, কোনো সমাধানযোগ্য নয়। তিনটি সমাধান লেখা সম্ভব নয়।

4. (c) $4x + 3y = 20$ এবং $\frac{3x}{4} + \frac{y}{8} = 1$

সমাধান (c):

সহজ ব্যাখ্যা: দ্বিতীয় সমীকরণটিকে পূর্ণসংখ্যায় এনে অনুপাত যাচাই করে দেখা হয়েছে যে সমীকরণ দুটি পরস্পরছেদী, তাই একটি নির্দিষ্ট সমাধান পাওয়া যাবে। সমাধানটি অপনয়ন পদ্ধতিতে করা হলো।

সমীকরণ (১): $4x + 3y = 20$
সমীকরণ (২): $\frac{3x}{4} + \frac{y}{8} = 1$

সমীকরণ (২)-কে 8 দ্বারা গুণ করে পাই:
$6x + y = 8$ (সমীকরণ ৩)

সহগগুলির অনুপাত যাচাই করি: $\frac{a_1}{a_3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$, $\frac{b_1}{b_3} = \frac{3}{1} = 3$

যেহেতু $\frac{a_1}{a_3} \neq \frac{b_1}{b_3}$, সমীকরণ দুটি **পরস্পরছেদী** এবং **সমাধানযোগ্য**।

**সমাধান (অপনয়ন পদ্ধতি):**
সমীকরণ (৩) থেকে পাই: $y = 8 – 6x$
এই মান (১)-এ বসিয়ে পাই:
$4x + 3(8 – 6x) = 20$
বা, $4x + 24 – 18x = 20$
বা, $-14x = 20 – 24$
বা, $-14x = -4$
বা, $x = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$

$x$-এর মান (৩)-এ বসিয়ে পাই:
$y = 8 – 6(\frac{2}{7}) = 8 – \frac{12}{7} = \frac{56 – 12}{7} = \frac{44}{7}$

উত্তর: পরস্পরছেদী, সমাধানযোগ্য। সমাধান হলো: $\mathbf{(\frac{2}{7}, \frac{44}{7})}$।

4. (d) $p – q = 3$ এবং $\frac{p}{3} + \frac{q}{2} = 6$

সমাধান (d):

সহজ ব্যাখ্যা: দ্বিতীয় সমীকরণটিকে পূর্ণসংখ্যায় এনে অনুপাত যাচাই করে দেখা হয়েছে যে সমীকরণ দুটি পরস্পরছেদী, তাই একটি নির্দিষ্ট সমাধান পাওয়া যাবে। সমাধানটি অপনয়ন পদ্ধতিতে করা হলো।

সমীকরণ (১): $p – q = 3$
সমীকরণ (২): $\frac{p}{3} + \frac{q}{2} = 6$

সমীকরণ (২)-কে 6 দ্বারা গুণ করে পাই:
$2p + 3q = 36$ (সমীকরণ ৩)

সহগগুলির অনুপাত যাচাই করি: $\frac{a_1}{a_3} = \frac{1}{2}$, $\frac{b_1}{b_3} = \frac{-1}{3}$

যেহেতু $\frac{a_1}{a_3} \neq \frac{b_1}{b_3}$, সমীকরণ দুটি **পরস্পরছেদী** এবং **সমাধানযোগ্য**।

**সমাধান (অপনয়ন পদ্ধতি):**
সমীকরণ (১)-কে 3 দ্বারা গুণ করে পাই:
$3p – 3q = 9$ (সমীকরণ ৪)

সমীকরণ (৩) ও (৪) যোগ করে পাই:
$(2p + 3q) + (3p – 3q) = 36 + 9$
বা, $5p = 45$
বা, $p = 9$

$p=9$ মানটি সমীকরণ (১)-এ বসিয়ে পাই:
$9 – q = 3$
বা, $q = 9 – 3$
বা, $q = 6$

উত্তর: পরস্পরছেদী, সমাধানযোগ্য। সমাধান হলো: $\mathbf{(p=9, q=6)}$।

4. (e) $p – q = 3$ এবং $p – q = 5$

সমাধান (e):

সহজ ব্যাখ্যা: অনুপাত যাচাই করে দেখা হয়েছে যে সমীকরণ দুটি সমান্তরাল, তাই কোনো সমাধান পাওয়া যাবে না।

সমীকরণ (১): $1p – 1q = 3$
সমীকরণ (২): $1p – 1q = 5$

সহগগুলির অনুপাত: $\frac{a_1}{a_2} = 1$, $\frac{b_1}{b_2} = 1$, $\frac{c_1}{c_2} = \frac{3}{5}$

যেহেতু $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$, সমীকরণ দুটি সমান্তরাল এবং **কোনো সমাধানযোগ্য নয়**।

উত্তর: সমান্তরাল, কোনো সমাধানযোগ্য নয়। তিনটি সমাধান লেখা সম্ভব নয়।

4. (f) $8p – 9q = 8$ এবং $8p – 8q = 5$

সমাধান (f):

সহজ ব্যাখ্যা: অনুপাত যাচাই করে দেখা হয়েছে যে সমীকরণ দুটি পরস্পরছেদী, তাই একটি নির্দিষ্ট সমাধান পাওয়া যাবে। সমাধানটি অপনয়ন পদ্ধতিতে করা হলো।

সমীকরণ (১): $8p – 9q = 8$
সমীকরণ (২): $8p – 8q = 5$

সহগগুলির অনুপাত: $\frac{a_1}{a_2} = 1$, $\frac{b_1}{b_2} = \frac{-9}{-8} = \frac{9}{8}$

যেহেতু $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$, সমীকরণ দুটি **পরস্পরছেদী** এবং **সমাধানযোগ্য**।

**সমাধান (অপনয়ন পদ্ধতি):**
সমীকরণ (১) থেকে (২) বিয়োগ করে পাই:
$(8p – 9q) – (8p – 8q) = 8 – 5$
বা, $-q = 3$
বা, $q = -3$

$q=-3$ মানটি সমীকরণ (২)-এ বসিয়ে পাই:
$8p – 8(-3) = 5$
বা, $8p + 24 = 5$
বা, $8p = 5 – 24$
বা, $p = -\frac{19}{8}$

উত্তর: পরস্পরছেদী, সমাধানযোগ্য। সমাধান হলো: $\mathbf{(p=-\frac{19}{8}, q=-3)}$।

5. (a) পরস্পর সমান্তরাল হবে।

সমাধান (a):

সহজ ব্যাখ্যা: সমান্তরাল হওয়ার শর্ত: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$। প্রথম সমীকরণ $x+y=5$ থেকে $a_1=1, b_1=1, c_1=5$ পাই। দ্বিতীয় সমীকরণে $a_2=1, b_2=1$ এবং $c_2 \neq 5$ ধরলে হবে।

একটি সমীকরণ: $x + y = 5$
দ্বিতীয় সমীকরণটি হতে পারে, $x + y = 7$ (যেখানে $\frac{1}{1} = \frac{1}{1} \neq \frac{5}{7}$)।

উত্তর: $x + y = 7$

5. (b) পরস্পরছেদী হবে।

সমাধান (b):

সহজ ব্যাখ্যা: পরস্পরছেদী হওয়ার শর্ত: $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$। দ্বিতীয় সমীকরণে $a_2$ বা $b_2$ এর মান ভিন্ন ধরলে হবে।

একটি সমীকরণ: $x + y = 5$
দ্বিতীয় সমীকরণটি হতে পারে, $2x + y = 10$ (যেখানে $\frac{1}{2} \neq \frac{1}{1}$)।

উত্তর: $2x + y = 10$

5. (c) পরস্পর সমাপতিত হবে।

সমাধান (c):

সহজ ব্যাখ্যা: সমাপতিত হওয়ার শর্ত: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$। প্রথম সমীকরণকে যেকোনো সংখ্যা (যেমন 2) দিয়ে গুণ করলেই হবে।

একটি সমীকরণ: $x + y = 5$
দ্বিতীয় সমীকরণটি হতে পারে, $2(x + y) = 2(5)$
বা, $2x + 2y = 10$ (যেখানে $\frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{5}{10}$)।

উত্তর: $2x + 2y = 10$