নবম শ্রেণী গণিত: অধ্যায়- 5 সহ সমীকরণ কষে দেখি 5.1

1. (a) সহসমীকরণ গঠন করি এবং লেখচিত্র অঙ্কন করি।

সমাধান (a):

সহজ ব্যাখ্যা: দিদির ও বাবার বয়স যথাক্রমে $x$ ও $y$ ধরে দুটি শর্ত থেকে সহসমীকরণ গঠন করা হলো।

ধরি, দিদির বর্তমান বয়স $= x$ বছর এবং বাবার বর্তমান বয়স $= y$ বছর।

**১ম শর্তানুসারে (বর্তমান বয়সের সমষ্টি):**

$x + y = 55$ (সমীকরণ ১)

**২য় শর্তানুসারে (16 বছর পরের বয়স):**

16 বছর পরে দিদির বয়স হবে $(x + 16)$ বছর।

16 বছর পরে বাবার বয়স হবে $(y + 16)$ বছর।

প্রশ্নমতে, বাবার বয়স দিদির বয়সের দ্বিগুণ হবে:

$y + 16 = 2(x + 16)$

বা, $y + 16 = 2x + 32$

বা, $2x – y = 16 – 32$

$2x – y = -16$ (সমীকরণ ২)

**সহসমীকরণ দুটি হলো:**
(১) $x + y = 55$
(২) $2x – y = -16$

**লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য বিন্দু নির্ণয় (অঙ্কন সম্ভব নয়, তাই শুধু স্থানাঙ্ক দেওয়া হলো):**

* **সমীকরণ (১) $x + y = 55$ বা $y = 55 – x$:**

* **সমীকরণ (২) $2x – y = -16$ বা $y = 2x + 16$:**

উত্তর: সহসমীকরণ দুটি হল $x + y = 55$ এবং $2x – y = -16$।

1. (b) লেখচিত্রের সাহায্যে দেখি সহসমীকরণ দুটির সাধারণ সমাধান পাওয়া যায় কিনা।

সমাধান (b):

সহজ ব্যাখ্যা: সমীকরণ দুটির সহগগুলির অনুপাত যাচাই করে দেখা হয়েছে যে তারা পরস্পরছেদী হবে, তাই সমাধান পাওয়া যাবে।

সমীকরণ (১): $1x + 1y – 55 = 0$ ($a_1=1, b_1=1, c_1=-55$)

সমীকরণ (২): $2x – 1y + 16 = 0$ ($a_2=2, b_2=-1, c_2=16$)

সহগগুলির অনুপাত যাচাই করি: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}$ এবং $\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{-1} = -1$

যেহেতু $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$, সমীকরণ দুটির লেখচিত্র পরস্পরকে ছেদ করবে এবং তাদের একটি **নির্দিষ্ট সাধারণ সমাধান** পাওয়া যাবে।

উত্তর: হ্যাঁ, সহসমীকরণ দুটির সাধারণ সমাধান পাওয়া যায়।

1. (c) লেখচিত্র থেকে আমার দিদি ও আমার বাবার বর্তমান বয়স লিখি।

সমাধান (c):

সহজ ব্যাখ্যা: প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে সমীকরণ দুটির সমাধান করে ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (বয়স) নির্ণয় করা হলো।

(১) $x + y = 55$

(২) $2x – y = -16$

সমীকরণ (১) ও (২) যোগ করে পাই:

$(x + y) + (2x – y) = 55 + (-16)$

বা, $3x = 39$

বা, $x = \frac{39}{3} = 13$

$x=13$ মানটি সমীকরণ (১)-এ বসিয়ে পাই:

$13 + y = 55$

বা, $y = 55 – 13 = 42$

লেখচিত্রের ছেদবিন্দু হবে $(13, 42)$।

উত্তর: দিদির বর্তমান বয়স 13 বছর এবং বাবার বর্তমান বয়স 42 বছর।

2. (a) সহসমীকরণ গঠন করি এবং লেখচিত্র অঙ্কন করি।

সমাধান (a):

সহজ ব্যাখ্যা: 1টি পেন ও 1টি পেনসিলের দাম যথাক্রমে $x$ ও $y$ ধরে দুটি শর্ত থেকে সহসমীকরণ গঠন করা হলো। (এখানে 1 ডজন = 12টি পেনসিল)।

ধরি, 1টি পেনের দাম $= x$ টাকা এবং 1টি পেনসিলের দাম $= y$ টাকা।

**১ম শর্তানুসারে (মিতার কেনা দাম):**

3টি পেন ও 4টি পেনসিলের দাম 42 টাকা:

$3x + 4y = 42$ (সমীকরণ ১)

**২য় শর্তানুসারে (আমার কেনা দাম):**

8টি পেন ও 12টি পেনসিলের দাম 126 টাকা:

$8x + 12y = 126$ (সমীকরণ ২)

**সহসমীকরণ দুটি হলো:**
(১) $3x + 4y = 42$
(২) $8x + 12y = 126$

**লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য বিন্দু নির্ণয় (অঙ্কন সম্ভব নয়):**

* **সমীকরণ (১) $3x + 4y = 42$ বা $y = \frac{42 – 3x}{4}$:**

* **সমীকরণ (২) $8x + 12y = 126$ বা $y = \frac{126 – 8x}{12}$:**

উত্তর: সহসমীকরণ দুটি হল $3x + 4y = 42$ এবং $8x + 12y = 126$।

2. (b) লেখচিত্রের সাহায্যে আরও দেখি যে সমীকরণ দুটির সাধারণ সমাধান পাওয়া যায় কিনা।

সমাধান (b):

সহজ ব্যাখ্যা: সমীকরণ দুটির সহগগুলির অনুপাত যাচাই করে দেখা হয়েছে যে তারা সমান্তরাল হবে, তাই সমাধান পাওয়া যাবে না।

সমীকরণ (১): $3x + 4y = 42$

সমীকরণ (২): $8x + 12y = 126$

সহগগুলির অনুপাত যাচাই করি:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{8}$

$\frac{b_1}{b_2} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

$\frac{c_1}{c_2} = \frac{42}{126} = \frac{1}{3}$

যেহেতু $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ (কারণ $\frac{3}{8} \neq \frac{1}{3}$), সমীকরণ দুটির লেখচিত্র পরস্পরকে ছেদ করবে এবং তাদের একটি **নির্দিষ্ট সাধারণ সমাধান** পাওয়া যাবে।

*(দ্রষ্টব্য: যদি $8x+12y=126$ এর বদলে $9x+12y=126$ হতো তবে $\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}$, যা $\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{3}$ এর সমান হতো। কিন্তু প্রদত্ত প্রশ্ন অনুযায়ী সমাধান পাওয়া যাবে।)*

উত্তর: হ্যাঁ, সমীকরণ দুটির সাধারণ সমাধান পাওয়া যায়।

2. (c) 1টি পেন ও 1টি পেনসিলের আলাদা আলাদা দাম কী হবে লেখচিত্র থেকে পাই কিনা লিখি।

সমাধান (c):

সহজ ব্যাখ্যা: অপনয়ন পদ্ধতিতে সমীকরণের সমাধান করে 1টি পেন ও 1টি পেনসিলের দাম নির্ণয় করা হলো।

(১) $3x + 4y = 42$
(২) $8x + 12y = 126$

সমীকরণ (১)-কে 3 দ্বারা গুণ করে পাই:

(৩) $9x + 12y = 126$

সমীকরণ (৩) থেকে সমীকরণ (২) বিয়োগ করে পাই:

$(9x + 12y) – (8x + 12y) = 126 – 126$

বা, $x = 0$

$x=0$ মানটি সমীকরণ (১)-এ বসিয়ে পাই:

$3(0) + 4y = 42$

বা, $4y = 42$

বা, $y = \frac{42}{4} = 10.5$

লেখচিত্রের ছেদবিন্দু হবে $(0, 10.5)$।

উত্তর: হ্যাঁ, লেখচিত্র থেকে 1টি পেনের দাম 0 টাকা এবং 1টি পেনসিলের দাম 10.50 টাকা পাওয়া যায়।

3. (a) সহসমীকরণ গঠন করি ও লেখচিত্র আঁকি।

সমাধান (a):

সহজ ব্যাখ্যা: 1টি আর্ট পেপার ও 1টি স্কেচপেনের দাম যথাক্রমে $x$ ও $y$ ধরে দুটি শর্ত থেকে সহসমীকরণ গঠন করা হলো।

ধরি, 1টি আর্ট পেপারের দাম $= x$ টাকা এবং 1টি স্কেচপেনের দাম $= y$ টাকা।

**১ম শর্তানুসারে (আমার কেনা দাম):**

3টি আর্ট পেপার ও 1টি স্কেচপেনের দাম 16 টাকা:

$3x + y = 16$ (সমীকরণ ১)

**২য় শর্তানুসারে (দোলার কেনা দাম):**

4টি আর্ট পেপার ও 10টি স্কেচপেনের দাম 28 টাকা:

$4x + 10y = 28$ (সমীকরণ ২)

**সহসমীকরণ দুটি হলো:**
(১) $3x + y = 16$
(২) $4x + 10y = 28$

**লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য বিন্দু নির্ণয় (অঙ্কন সম্ভব নয়):**

* **সমীকরণ (১) $3x + y = 16$ বা $y = 16 – 3x$:**

* **সমীকরণ (২) $4x + 10y = 28$ বা $y = \frac{28 – 4x}{10}$:**

উত্তর: সহসমীকরণ দুটি হল $3x + y = 16$ এবং $4x + 10y = 28$।

3. (b) লেখচিত্র থেকে সমীকরণদুটির সাধারণ সমাধান পাওয়া যায় কিনা দেখি।

সমাধান (b):

সহজ ব্যাখ্যা: সমীকরণ দুটির সহগগুলির অনুপাত যাচাই করে দেখা হয়েছে যে তারা পরস্পরছেদী হবে, তাই সমাধান পাওয়া যাবে।

সমীকরণ (১): $3x + 1y = 16$ ($a_1=3, b_1=1$)

সমীকরণ (২): $4x + 10y = 28$ ($a_2=4, b_2=10$)

সহগগুলির অনুপাত যাচাই করি: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{4}$ এবং $\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{10}$

যেহেতু $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$, সমীকরণ দুটির লেখচিত্র পরস্পরকে ছেদ করবে এবং তাদের একটি **নির্দিষ্ট সাধারণ সমাধান** পাওয়া যাবে।

উত্তর: হ্যাঁ, সমীকরণদুটির সাধারণ সমাধান পাওয়া যায়।

3. (c) 1টি আর্ট পেপার ও 1টি স্কেচ পেনের দাম পাই কিনা লিখি।

সমাধান (c):

সহজ ব্যাখ্যা: অপনয়ন পদ্ধতিতে সমীকরণের সমাধান করে 1টি আর্ট পেপার ও 1টি স্কেচপেনের দাম নির্ণয় করা হলো।

(১) $3x + y = 16$

(২) $4x + 10y = 28$

সমীকরণ (১)-কে 10 দ্বারা গুণ করে পাই:

(৩) $30x + 10y = 160$

সমীকরণ (৩) থেকে সমীকরণ (২) বিয়োগ করে পাই:

$(30x + 10y) – (4x + 10y) = 160 – 28$

বা, $26x = 132$

বা, $x = \frac{132}{26} = \frac{66}{13} \approx 5.08$

$x$-এর মানটি সমীকরণ (১)-এ বসিয়ে পাই:

$3(\frac{66}{13}) + y = 16$

বা, $y = 16 – \frac{198}{13}$

বা, $y = \frac{208 – 198}{13} = \frac{10}{13} \approx 0.77$

উত্তর: হ্যাঁ, লেখচিত্র থেকে 1টি আর্ট পেপারের দাম $\mathbf{\frac{66}{13}}$ টাকা এবং 1টি স্কেচ পেনের দাম $\mathbf{\frac{10}{13}}$ টাকা পাওয়া যায়।