নবম শ্রেণী গণিত: উৎপাদকে বিশ্লেষণ কষে দেখি 8.2
1. $\frac{x^{4}}{16}-\frac{y^{4}}{81}$ সমাধান:
$A^2 – B^2$ সূত্র ব্যবহার করে দুইবার উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা হয়েছে।
উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$\frac{x^{4}}{16}-\frac{y^{4}}{81}$
$= \left(\frac{x^2}{4}\right)^2 – \left(\frac{y^2}{9}\right)^2$
$= \left(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}\right) \left(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}\right)$
$= \left(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}\right) \left(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}\right) \left(\frac{x}{2}-\frac{y}{3}\right)$
উত্তর: $\left(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}\right) \left(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}\right) \left(\frac{x}{2}-\frac{y}{3}\right)$।
2. $m^{2}+\frac{1}{m^{2}}+2-2m-\frac{2}{m}$ সমাধান:
প্রথম তিনটি পদকে পূর্ণবর্গ আকারে এবং শেষ দুটি পদ থেকে $-2$ কমন নিয়ে সমাধান করা হয়েছে।
উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$m^{2}+\frac{1}{m^{2}}+2-2m-\frac{2}{m}$
$= \left(m^{2} + 2 \cdot m \cdot \frac{1}{m} + \frac{1}{m^{2}}\right) – 2\left(m + \frac{1}{m}\right)$
$= \left(m+\frac{1}{m}\right)^2 – 2\left(m+\frac{1}{m}\right)$
$= \left(m+\frac{1}{m}\right)\left(m+\frac{1}{m}-2\right)$
উত্তর: $\left(m+\frac{1}{m}\right)\left(m+\frac{1}{m}-2\right)$।
3. $9p^{2}-24pq+16q^{2}+3ap-4aq$ সমাধান:
প্রথম তিনটি পদকে পূর্ণবর্গ $(3p-4q)^2$ আকারে প্রকাশ করে সাধারণ উৎপাদক $(3p-4q)$ বের করা হয়েছে।
উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$9p^{2}-24pq+16q^{2}+3ap-4aq$
$= (3p)^2 – 2(3p)(4q) + (4q)^2 + a(3p-4q)$
$= (3p-4q)^2 + a(3p-4q)$
$= (3p-4q)(3p-4q+a)$
উত্তর: $(3p-4q)(3p-4q+a)$।
4. $4x^{4}+81$ সমাধান:
$2AB$ যোগ ও বিয়োগ করে $\mathbf{A^2-B^2}$ রূপে প্রকাশ করে সমাধান করা হয়েছে।
উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$4x^{4}+81$
$= (2x^2)^2 + 9^2 + 2(2x^2)(9) – 2(2x^2)(9)$
$= (2x^2+9)^2 – 36x^2$
$= (2x^2+9)^2 – (6x)^2$
$= (2x^2+9 – 6x)(2x^2+9 + 6x)$
$= (2x^2 – 6x + 9)(2x^2 + 6x + 9)$
উত্তর: $(2x^2 – 6x + 9)(2x^2 + 6x + 9)$।
5. $x^{4}-7x^{2}+1$ সমাধান:
$-7x^2$-কে $-9x^2+2x^2$ রূপে প্রকাশ করে $\mathbf{A^2-B^2}$ সূত্রে সমাধান করা হয়েছে।
উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$x^{4}-7x^{2}+1$
$= x^{4}+2x^{2}+1 – 9x^{2}$
$= (x^2+1)^2 – (3x)^2$
$= (x^2+1-3x)(x^2+1+3x)$
$= (x^2 – 3x + 1)(x^2 + 3x + 1)$
উত্তর: $(x^2 – 3x + 1)(x^2 + 3x + 1)$।
6. $p^{4}-11p^{2}q^{2}+q^{4}$ সমাধান:
$-11p^2q^2$-কে $-2p^2q^2 – 9p^2q^2$ রূপে প্রকাশ করে $\mathbf{A^2-B^2}$ সূত্রে সমাধান করা হয়েছে।
উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$p^{4}-11p^{2}q^{2}+q^{4}$
$= (p^4-2p^2q^2+q^4) – 9p^{2}q^{2}$
$= (p^2-q^2)^2 – (3pq)^2$
$= (p^2-q^2-3pq)(p^2-q^2+3pq)$
উত্তর: $(p^2-q^2-3pq)(p^2-q^2+3pq)$।
7. $a^{2}+b^{2}-c^{2}-2ab$ সমাধান:
প্রথম তিনটি পদ থেকে $(\mathbf{a-b})^2$ গঠন করে $\mathbf{A^2-B^2}$ সূত্রে সমাধান করা হয়েছে।
উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$a^{2}+b^{2}-c^{2}-2ab$
$= (a^2-2ab+b^2) – c^2$
$= (a-b)^2 – c^2$
$= (a-b-c)(a-b+c)$
উত্তর: $(a-b-c)(a-b+c)$।
8. $3a(3a+2c)-4b(b+c)$ সমাধান:
গুণ করে দুটি অংশে ভাগ করে সাধারণ উৎপাদক $(3a-2b)$ বের করা হয়েছে।
উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$3a(3a+2c)-4b(b+c)$
$= 9a^2+6ac – 4b^2-4bc$
$= (9a^2-4b^2) + (6ac-4bc)$
$= (3a-2b)(3a+2b) + 2c(3a-2b)$
$= (3a-2b)(3a+2b+2c)$
উত্তর: $(3a-2b)(3a+2b+2c)$।
9. $a^{2}-6ab+12bc-4c^{2}$ সমাধান:
$(a^2-4c^2)$ অংশে $\mathbf{A^2-B^2}$ সূত্র এবং বাকি অংশ থেকে $-6b$ কমন নিয়ে সমাধান করা হয়েছে।
উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$a^{2}-6ab+12bc-4c^{2}$
$= (a^{2}-4c^{2}) – 6ab+12bc$
$= (a-2c)(a+2c) – 6b(a-2c)$
$= (a-2c)(a+2c-6b)$
উত্তর: $(a-2c)(a+2c-6b)$।
10. $3a^{2}+4ab+b^{2}-2ac-c^{2}$ সমাধান:
এই রাশিটিকে দুটি উৎপাদকের গুণফল রূপে প্রকাশ করে সমাধান করা হয়েছে।
উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$3a^{2}+4ab+b^{2}-2ac-c^{2}$
$= 3a^2+3ab-3ac+ab+b^2-bc+ac+bc-c^2$
$= 3a(a+b-c) + b(a+b-c) + c(a+b-c)$
$= (3a+b+c)(a+b-c)$
উত্তর: $(3a+b+c)(a+b-c)$।
11. $x^{2}-y^{2}-6ax+2ay+8a^{2}$ সমাধান:
$8a^2$-কে $9a^2-a^2$ রূপে প্রকাশ করে দুটি পূর্ণবর্গ $(\mathbf{x-3a})^2$ ও $(\mathbf{y-a})^2$ তৈরি করে $\mathbf{A^2-B^2}$ সূত্রে সমাধান করা হয়েছে।
উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$x^{2}-y^{2}-6ax+2ay+8a^{2}$
$= (x^{2}-6ax+9a^{2}) – (y^{2}-2ay+a^{2})$
$= (x-3a)^2 – (y-a)^2$
$= (x-3a – (y-a)) (x-3a + (y-a))$
$= (x-3a-y+a) (x-3a+y-a)$
$= (x-y-2a) (x+y-4a)$
উত্তর: $(x-y-2a)(x+y-4a)$।
12. $a^{2}-9b^{2}+4c^{2}-25d^{2}-4ac+30bd$ সমাধান:
পদগুলিকে সাজিয়ে দুটি পূর্ণবর্গ $(\mathbf{a-2c})^2$ এবং $(\mathbf{3b-5d})^2$ তৈরি করে $\mathbf{A^2-B^2}$ সূত্রে সমাধান করা হয়েছে।
উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$a^{2}-9b^{2}+4c^{2}-25d^{2}-4ac+30bd$
$= (a^{2}-4ac+4c^{2}) – (9b^{2}-30bd+25d^{2})$
$= (a-2c)^2 – (3b-5d)^2$
$= (a-2c – (3b-5d)) (a-2c + (3b-5d))$
$= (a-2c-3b+5d) (a-2c+3b-5d)$
উত্তর: $(a-2c-3b+5d)(a-2c+3b-5d)$।
13. $3a^{2}-b^{2}-c^{2}+2ab-2bc+2ca$ সমাধান:
এই রাশিটিকে দুটি উৎপাদকের গুণফল রূপে প্রকাশ করে সমাধান করা হয়েছে।
উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$3a^{2}-b^{2}-c^{2}+2ab-2bc+2ca$
$= 3a^2+2ab+2ac-b^2-2bc-c^2$
$= 3a(a+b-c) + b(a+b-c) + c(a+b-c)$
$= (a+b+c)(3a-b-c)$
উত্তর: $(a+b+c)(3a-b-c)$।
14. $x^{2}-2x-22499$ সমাধান:
$-22499$-কে $+1-22500$ রূপে প্রকাশ করে $\mathbf{A^2-B^2}$ সূত্রে সমাধান করা হয়েছে।
উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$x^{2}-2x-22499$
$= x^{2}-2x+1 – 22500$
$= (x-1)^2 – 150^2$
$= (x-1-150)(x-1+150)$
$= (x-151)(x+149)$
উত্তর: $(x-151)(x+149)$।
15. $(x^{2}-y^{2})(a^{2}-b^{2})+4abxy$ সমাধান:
রাশিটিকে দুটি পূর্ণবর্গ $(\mathbf{ax+by})^2$ এবং $(\mathbf{ay-bx})^2$ এর বিয়োগফল রূপে প্রকাশ করে $\mathbf{A^2-B^2}$ সূত্রে সমাধান করা হয়েছে।
উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$(x^{2}-y^{2})(a^{2}-b^{2})+4abxy$
$= a^2x^2-b^2x^2-a^2y^2+b^2y^2+4abxy$
$= (a^2x^2+2abxy+b^2y^2) – (a^2y^2-2abxy+b^2x^2)$
$= (ax+by)^2 – (ay-bx)^2$
$= ((ax+by) – (ay-bx)) ((ax+by) + (ay-bx))$
$= (ax+by-ay+bx) (ax+by+ay-bx)$
উত্তর: $(ax+by-ay+bx)(ax+by+ay-bx)$।
শেয়ার