নবম শ্রেণী গণিত- কষে দেখি 1.1 WBBSE

প্রশ্ন ১: মূলদ সংখ্যা কাকে বলে লিখি। ৪টি মূলদ সংখ্যা লিখি।

সমাধান:

মূলদ সংখ্যা (Rational Number):

যে সকল সংখ্যাকে $\mathbf{\frac{p}{q}}$ আকারে প্রকাশ করা যায়, যেখানে $\mathbf{p}$ ও $\mathbf{q}$ হলো পূর্ণ সংখ্যা (Integers) এবং $\mathbf{q \neq 0}$ (অর্থাৎ, $\mathbf{q}$ শূন্য নয়), তাদের মূলদ সংখ্যা বলা হয়।

উদাহরণ: $4$টি মূলদ সংখ্যা হলো:

• $\mathbf{3}$ (কারণ $3 = \frac{3}{1}$)
• $\mathbf{-\frac{2}{5}}$ (কারণ $-2$ ও $5$ পূর্ণ সংখ্যা এবং $5 \neq 0$)
• $\mathbf{0.5}$ (কারণ $0.5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$)
• $\mathbf{0}$ (কারণ $0 = \frac{0}{1}$)

✅ মূলদ সংখ্যা কাকে বলে এবং ৪টি মূলদ সংখ্যা লেখা হলো।

প্রশ্ন ২: $0$ কি একটি মূলদ সংখ্যা? $0$-কে $\frac{p}{q}$ [যেখানে $p$ ও $q$ পূর্ণ সংখ্যা এবং $q \ne 0$ এবং $p$ ও $q$-এর মধ্যে $1$ ছাড়া কোনো সাধারণ উৎপাদক না থাকে] আকারে প্রকাশ করি।

সমাধান:

ধাপ ১: $0$ কি মূলদ সংখ্যা?

হ্যাঁ, $\mathbf{0}$ একটি মূলদ সংখ্যা।

যুক্তি: কারণ মূলদ সংখ্যার সংজ্ঞা অনুসারে, $0$-কে $\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায়, যেখানে $p$ ও $q$ পূর্ণ সংখ্যা এবং $q \ne 0$।

ধাপ ২: $0$-কে $\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ

$0$-কে $\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায় যেখানে $p$ ও $q$ পূর্ণ সংখ্যা এবং $q \ne 0$। এমন কয়েকটি রূপ হলো:

$$\mathbf{0 = \frac{0}{1} = \frac{0}{2} = \frac{0}{-5} = \frac{0}{7}} \text{ ইত্যাদি।}$$

প্রশ্ন অনুযায়ী, $\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করতে হবে যেখানে $p$ ও $q$-এর মধ্যে $1$ ছাড়া কোনো সাধারণ উৎপাদক থাকবে না।

এখানে $p=0$ এবং $q=1, 2, 3…$ যেকোনো পূর্ণ সংখ্যা হতে পারে। $0$-এর একমাত্র উৎপাদক হলো $0$ এবং অন্য যেকোনো পূর্ণ সংখ্যার (যেমন $1, 2, 3$) উৎপাদক হলো $1, 2, 3$ ইত্যাদি। তাই $0$ এবং $1$ (অথবা $0$ এবং $2$)-এর মধ্যে $1$ ছাড়া কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই।

✅ $0$ একটি মূলদ সংখ্যা। $0$-কে $\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করলে তা হলো: $\mathbf{\frac{0}{1}}$ (অথবা $\mathbf{\frac{0}{n}}$, যেখানে $\mathbf{n}$ যেকোনো পূর্ণ সংখ্যা)।

প্রশ্ন ৩: নীচের মূলদ সংখ্যাগুলি সংখ্যারেখায় স্থাপন করি। (i) $7$, (ii) $-4$, (iii) $\frac{3}{5}$, (iv) $\frac{9}{2}$, (v) $\frac{-13}{4}$

*(বি:দ্র: প্রশ্নে (v) থেকে (vii) তে $\frac{9}{2}$, $\frac{11}{5}$, $\frac{-13}{4}$ দেওয়া আছে। যেহেতু $\frac{11}{5}$ ও $\frac{13}{4}$ এর আগে কোনো ব্র‍্যাকেট বা নম্বর নেই, তাই $7$ এবং $-4$ সহ মোট ৫টি সংখ্যা এখানে স্থাপন করা হলো।)*

সমাধান:

সংখ্যাগুলিকে দশমিক বা মিশ্র ভগ্নাংশে প্রকাশ করে সংখ্যারেখায় স্থাপন করা সহজ।

$$\frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4.5$$

$$\frac{3}{5} = 0.6$$

$$\frac{-13}{4} = -3\frac{1}{4} = -3.25$$

ধাপ ১: সংখ্যারেখা অঙ্কন

একটি সরলরেখা টেনে তার মাঝে $0$ এবং সমান দূরত্বে ধনাত্মক ও ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যাগুলি বসানো হলো।

ধাপ ২: সংখ্যাগুলি স্থাপন

1. $\mathbf{7}$ (ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা): এটি $0$-এর ডান দিকে $7$ একক দূরত্বে অবস্থিত।
2. $\mathbf{-4}$ (ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা): এটি $0$-এর বাম দিকে $4$ একক দূরত্বে অবস্থিত।
3. $\mathbf{\frac{3}{5} = 0.6}$: এটি $0$ ও $1$-এর মধ্যে অবস্থিত। $0$ থেকে $1$ একক দূরত্বকে $5$টি সমান ভাগে ভাগ করলে, $\frac{3}{5}$ হলো তৃতীয় ভাগটি।
4. $\mathbf{\frac{9}{2} = 4.5}$: এটি $4$ ও $5$-এর ঠিক মাঝখানে অবস্থিত।
5. $\mathbf{\frac{-13}{4} = -3.25}$: এটি $-3$ ও $-4$-এর মধ্যে অবস্থিত। $-3$ থেকে $-4$ একক দূরত্বকে $4$টি সমান ভাগে ভাগ করলে, $-3.25$ হলো প্রথম ভাগটি।

✅ উপরে বর্ণিত নিয়মে সংখ্যাগুলি সংখ্যারেখায় স্থাপন করা হলো।

প্রশ্ন ৪: নীচের প্রতিটি ক্ষেত্রে মূলদ সংখ্যা দুটির মধ্যে একটি মূলদ সংখ্যা লিখি ও সংখ্যারেখায় বসাই।

(i) $4$ ও $5$     (ii) $1$ ও $2$     (iii) $\frac{1}{4}$ ও $\frac{1}{2}$     (iv) $-1$ ও $\frac{1}{2}$     (v) $\frac{1}{4}$ ও $\frac{1}{3}$     (vi) $-2$ ও $-1$

সমাধান:

আমরা জানি, দুটি মূলদ সংখ্যা $a$ ও $b$-এর মধ্যে একটি মূলদ সংখ্যা হলো $\mathbf{\frac{a+b}{2}}$।

(i) $4$ ও $5$

মূলদ সংখ্যা: $\frac{4+5}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$

সংখ্যারেখায় স্থাপন: $4.5$ সংখ্যাটি $4$ ও $5$-এর ঠিক মাঝখানে অবস্থিত।

(ii) $1$ ও $2$

মূলদ সংখ্যা: $\frac{1+2}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$

সংখ্যারেখায় স্থাপন: $1.5$ সংখ্যাটি $1$ ও $2$-এর ঠিক মাঝখানে অবস্থিত।

(iii) $\frac{1}{4}$ ও $\frac{1}{2}$

মূলদ সংখ্যা: $\frac{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}}{2} = \frac{\frac{1+2}{4}}{2} = \frac{\frac{3}{4}}{2} = \frac{3}{8}$

সংখ্যারেখায় স্থাপন: $\frac{3}{8} = 0.375$. এটি $0.25$ ($\frac{1}{4}$) ও $0.5$ ($\frac{1}{2}$)-এর মধ্যে অবস্থিত।

(iv) $-1$ ও $\frac{1}{2}$

মূলদ সংখ্যা: $\frac{-1 + \frac{1}{2}}{2} = \frac{\frac{-2+1}{2}}{2} = \frac{\frac{-1}{2}}{2} = -\frac{1}{4}$

সংখ্যারেখায় স্থাপন: $-\frac{1}{4} = -0.25$. এটি $-1$ ও $0$-এর মধ্যে, এবং $0$-এর একটু কাছে অবস্থিত।

(v) $\frac{1}{4}$ ও $\frac{1}{3}$

মূলদ সংখ্যা: $\frac{\frac{1}{4} + \frac{1}{3}}{2} = \frac{\frac{3+4}{12}}{2} = \frac{\frac{7}{12}}{2} = \frac{7}{24}$

সংখ্যারেখায় স্থাপন: $\frac{7}{24} \approx 0.2917$. এটি $\frac{1}{4} = 0.25$ ও $\frac{1}{3} \approx 0.333$-এর মধ্যে অবস্থিত।

(vi) $-2$ ও $-1$

মূলদ সংখ্যা: $\frac{-2 + (-1)}{2} = \frac{-3}{2} = -1.5$

সংখ্যারেখায় স্থাপন: $-1.5$ সংখ্যাটি $-2$ ও $-1$-এর ঠিক মাঝখানে অবস্থিত।

✅ প্রতিটি ক্ষেত্রে একটি করে মূলদ সংখ্যা নির্ণয় করা হলো।

প্রশ্ন ৫: $4$ ও $5$-এর মধ্যে ৩টি মূলদ সংখ্যা লিখি ও সংখ্যারেখায় বসাই।

সমাধান:

এই প্রশ্নটি **প্রশ্ন ৪ (i)**-এর মতোই, তবে এখানে তিনটি মূলদ সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে।

ধরি, ${a = 4}$ এবং ${b = 5}$। আমাদের $\mathbf{3}$টি মূলদ সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, তাই $\mathbf{n = 3}$।

ধাপ ১: $d$ নির্ণয়

মূলদ সংখ্যাগুলির সাধারণ অন্তর ${d}$ নির্ণয়ের সূত্র: $$d = \frac{b-a}{n+1} = \frac{5-4}{3+1} = \frac{1}{4}$$

ধাপ ২: মূলদ সংখ্যাগুলি নির্ণয়

মূলদ সংখ্যাগুলি হলো $a+d$, $a+2d$, এবং $a+3d$:

1. প্রথম মূলদ সংখ্যা: $4+\frac{1}{4} = \frac{16+1}{4} = \mathbf{\frac{17}{4} = 4.25}$
2. দ্বিতীয় মূলদ সংখ্যা: $4+2\left(\frac{1}{4}\right) = 4+\frac{1}{2} = \frac{8+1}{2} = \mathbf{\frac{9}{2} = 4.5}$
3. তৃতীয় মূলদ সংখ্যা: $4+3\left(\frac{1}{4}\right) = 4+\frac{3}{4} = \frac{16+3}{4} = \mathbf{\frac{19}{4} = 4.75}$

✅ নির্ণেয় মূলদ সংখ্যা তিনটি হলো: $\mathbf{\frac{17}{4}, \frac{9}{2}, \frac{19}{4}}$। এগুলি $\mathbf{4}$ ও $\mathbf{5}$-এর মধ্যে সমান দূরত্বে অবস্থিত।

প্রশ্ন ৬: $1$ ও $2$-এর মধ্যে $6$টি মূলদ সংখ্যা লিখি ও সংখ্যারেখায় বসাই।

সমাধান:

ধরি, ${a = 1}$ এবং ${b = 2}$। আমাদের $\mathbf{6}$টি মূলদ সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, তাই $\mathbf{n = 6}$।

ধাপ ১: $d$ নির্ণয়

$$d = \frac{b-a}{n+1} = \frac{2-1}{6+1} = \frac{1}{7}$$

ধাপ ২: মূলদ সংখ্যাগুলি নির্ণয়

মূলদ সংখ্যাগুলি হলো $a+d$, $a+2d$, $a+3d$, $a+4d$, $a+5d$, এবং $a+6d$:

1. $1+\frac{1}{7} = \mathbf{\frac{8}{7}}$
2. $1+2\left(\frac{1}{7}\right) = 1+\frac{2}{7} = \mathbf{\frac{9}{7}}$
3. $1+3\left(\frac{1}{7}\right) = 1+\frac{3}{7} = \mathbf{\frac{10}{7}}$
4. $1+4\left(\frac{1}{7}\right) = 1+\frac{4}{7} = \mathbf{\frac{11}{7}}$
5. $1+5\left(\frac{1}{7}\right) = 1+\frac{5}{7} = \mathbf{\frac{12}{7}}$
6. $1+6\left(\frac{1}{7}\right) = 1+\frac{6}{7} = \mathbf{\frac{13}{7}}$

✅ নির্ণেয় মূলদ সংখ্যা ৬টি হলো: $\mathbf{\frac{8}{7}, \frac{9}{7}, \frac{10}{7}, \frac{11}{7}, \frac{12}{7}, \frac{13}{7}}$।

সংখ্যারেখায় স্থাপনের জন্য, $1$ ও $2$-এর মধ্যবর্তী স্থানকে $7$টি সমান ভাগে ভাগ করে প্রথম ৬টি ভাগ বিন্দুকে চিহ্নিত করতে হবে।

প্রশ্ন ৭: $\frac{1}{5}$ ও $\frac{1}{4}$-এর মধ্যে ৩টি মূলদ সংখ্যা লিখি।

সমাধান:

ধরি, ${a = \frac{1}{5}}$ এবং ${b = \frac{1}{4}}$। আমাদের $\mathbf{3}$টি মূলদ সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, তাই $\mathbf{n = 3}$।

ধাপ ১: $d$ নির্ণয়

$$d = \frac{b-a}{n+1} = \frac{\frac{1}{4}-\frac{1}{5}}{3+1} = \frac{\frac{5-4}{20}}{4} = \frac{\frac{1}{20}}{4} = \frac{1}{20 \times 4} = \frac{1}{80}$$

ধাপ ২: মূলদ সংখ্যাগুলি নির্ণয়

মূলদ সংখ্যাগুলি হলো $a+d$, $a+2d$, এবং $a+3d$:

1. $a+d = \frac{1}{5} + \frac{1}{80} = \frac{16+1}{80} = \mathbf{\frac{17}{80}}$
2. $a+2d = \frac{1}{5} + 2\left(\frac{1}{80}\right) = \frac{1}{5} + \frac{2}{80} = \frac{16+2}{80} = \mathbf{\frac{18}{80}}$
3. $a+3d = \frac{1}{5} + 3\left(\frac{1}{80}\right) = \frac{1}{5} + \frac{3}{80} = \frac{16+3}{80} = \mathbf{\frac{19}{80}}$

✅ নির্ণেয় মূলদ সংখ্যা তিনটি হলো: $\mathbf{\frac{17}{80}, \frac{18}{80}, \frac{19}{80}}$।

প্রশ্ন ৮: বক্তব্যটি সত্য হলে (T) ও মিথ্যা হলে (F) পাশে বসাই।

(i) দুটি পূর্ণসংখ্যার যোগ, বিয়োগ ও গুণ করে পূর্ণসংখ্যা পাই।

সমাধান: **(T)** (সত্য)

যুক্তি: পূর্ণ সংখ্যাগুলি যোগ, বিয়োগ ও গুণের ক্ষেত্রে আবদ্ধ (Closed)। যেমন: $3+(-2) = 1$ (পূর্ণ সংখ্যা), $3-5 = -2$ (পূর্ণ সংখ্যা), $3 \times (-2) = -6$ (পূর্ণ সংখ্যা)।

(ii) দুটি পূর্ণসংখ্যা ভাগ করে সর্বদা পূর্ণসংখ্যা পাই।

সমাধান: **(F)** (মিথ্যা)

যুক্তি: পূর্ণ সংখ্যাগুলি ভাগের ক্ষেত্রে আবদ্ধ নয়। যেমন: $3 \div 2 = \frac{3}{2}$ যা পূর্ণ সংখ্যা নয় (এটি একটি মূলদ সংখ্যা)।

✅ (i) (T), (ii) (F)

প্রশ্ন ৯: দুটি মূলদ সংখ্যার যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ (ভাজক শূন্য নয়) করলে কী সংখ্যা পাবো লিখি।

সমাধান:

মূলদ সংখ্যাগুলি যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগের (ভাজক শূন্য নয়) ক্ষেত্রে আবদ্ধ (Closed)।

ধাপ ১: যোগ

দুটি মূলদ সংখ্যার যোগফল **সর্বদাই একটি মূলদ সংখ্যা** হয়।

উদাহরণ: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6}$ (মূলদ সংখ্যা)

ধাপ ২: বিয়োগ

দুটি মূলদ সংখ্যার বিয়োগফল **সর্বদাই একটি মূলদ সংখ্যা** হয়।

উদাহরণ: $\frac{3}{4} – \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ (মূলদ সংখ্যা)

ধাপ ৩: গুণ

দুটি মূলদ সংখ্যার গুণফল **সর্বদাই একটি মূলদ সংখ্যা** হয়।

উদাহরণ: $\frac{2}{5} \times \frac{3}{7} = \frac{6}{35}$ (মূলদ সংখ্যা)

ধাপ ৪: ভাগ (ভাজক শূন্য নয়)

দুটি মূলদ সংখ্যার ভাগফল **সর্বদাই একটি মূলদ সংখ্যা** হয়, যদি ভাজক শূন্য না হয়।

উদাহরণ: $\frac{1}{3} \div \frac{2}{5} = \frac{1}{3} \times \frac{5}{2} = \frac{5}{6}$ (মূলদ সংখ্যা)

✅ দুটি মূলদ সংখ্যার যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ (ভাজক শূন্য নয়) করলে **সর্বদাই মূলদ সংখ্যা** পাওয়া যায়।