নবম শ্রেণী গণিত: কষে দেখি – 2 সূচক

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি = $(\sqrt[5]{8})^{\frac{5}{2}} \times (16)^{-\frac{3}{2}}$

আমরা জানি, $\sqrt[5]{8} = 8^{\frac{1}{5}}$ এবং $8 = 2^3, 16 = 2^4$

$= (8^{\frac{1}{5}})^{\frac{5}{2}} \times (2^4)^{-\frac{3}{2}}$
$= 8^{\frac{1}{5} \times \frac{5}{2}} \times 2^{4 \times (-\frac{3}{2})}$ [ঘাতের গুণের নিয়ম অনুযায়ী]
$= 8^{\frac{1}{2}} \times 2^{-6}$
$= (2^3)^{\frac{1}{2}} \times 2^{-6}$
$= 2^{\frac{3}{2}} \times 2^{-6}$

নিধান একই হলে গুণের সময় ঘাত যোগ হয়:
$= 2^{\frac{3}{2} – 6}$
$= 2^{\frac{3 – 12}{2}}$
$= 2^{-\frac{9}{2}}$

উত্তর: নির্ণেয় মান $2^{-\frac{9}{2}}$

সমাধান:

আমরা জানি, $125 = 5^3$ এবং $16 = 2^4$

রাশিটি হলো:
$= \{(5^3)^{-2} \times (2^4)^{-\frac{3}{2}}\}^{-\frac{1}{6}}$
$= \{5^{3 \times (-2)} \times 2^{4 \times (-\frac{3}{2})}\}^{-\frac{1}{6}}$
$= \{5^{-6} \times 2^{-6}\}^{-\frac{1}{6}}$
$= \{(5 \times 2)^{-6}\}^{-\frac{1}{6}}$ [সূচকের নিয়ম $a^m \times b^m = (ab)^m$ প্রয়োগ করে]
$= \{10^{-6}\}^{-\frac{1}{6}}$
$= 10^{(-6) \times (-\frac{1}{6})}$
$= 10^{1}$
$= 10$

উত্তর: নির্ণেয় মান 10

সমাধান:

মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই:
$4 = 2^2$ এবং $9 = 3^2$

প্রদত্ত রাশি:
$= (2^2)^{\frac{1}{3}} \times 2^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{1}{2}} \div (3^2)^{\frac{1}{4}}$
$= 2^{\frac{2}{3}} \times 2^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{1}{2}} \div 3^{\frac{2}{4}}$
$= 2^{\frac{2}{3}} \times 2^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{1}{2}} \div 3^{\frac{1}{2}}$
$= (2^{\frac{2}{3}} \times 2^{\frac{1}{3}}) \times (3^{\frac{1}{2}} \div 3^{\frac{1}{2}})$

সূচকের নিয়ম অনুযায়ী:
$= 2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \times 3^{\frac{1}{2} – \frac{1}{2}}$
$= 2^{\frac{3}{3}} \times 3^{0}$
$= 2^1 \times 1$ [যেহেতু $a^0 = 1$]
$= 2$

উত্তর: নির্ণেয় মান 2

সমাধান:

প্রথম অংশ:
$(8a^3 \div 27x^{-3})^{\frac{2}{3}}$
$= (\frac{8a^3}{27x^{-3}})^{\frac{2}{3}}$
$= (\frac{8a^3 x^3}{27})^{\frac{2}{3}}$ [যেহেতু $\frac{1}{x^{-n}} = x^n$]
$= ((\frac{2ax}{3})^3)^{\frac{2}{3}}$
$= (\frac{2ax}{3})^{3 \times \frac{2}{3}}$
$= (\frac{2ax}{3})^2$

দ্বিতীয় অংশ:
$(64a^3 \div 27x^{-3})^{-\frac{2}{3}}$
$= (\frac{64a^3}{27x^{-3}})^{-\frac{2}{3}}$
$= (\frac{64a^3 x^3}{27})^{-\frac{2}{3}}$
$= ((\frac{4ax}{3})^3)^{-\frac{2}{3}}$
$= (\frac{4ax}{3})^{3 \times (-\frac{2}{3})}$
$= (\frac{4ax}{3})^{-2} = (\frac{3}{4ax})^2$

এখন দুটি অংশ গুণ করে পাই:
$= (\frac{2ax}{3})^2 \times (\frac{3}{4ax})^2$
$= \frac{4a^2x^2}{9} \times \frac{9}{16a^2x^2}$
$= \frac{4}{16}$
$= \frac{1}{4}$

উত্তর: নির্ণেয় সরলতম মান $\frac{1}{4}$

সমাধান:

আমরা জানি, ঘাতের ঘাত থাকলে তা গুণ হয় [$(a^m)^n = a^{mn}$]।

প্রদত্ত রাশি:
$= x^{(-5) \times \frac{2}{3} \times (-\frac{3}{10})}$
$= x^{\frac{5 \times 2 \times 3}{3 \times 10}}$ [মাইনাসে মাইনাসে প্লাস]
$= x^{\frac{30}{30}}$
$= x^1$
$= x$

উত্তর: নির্ণেয় সরলতম মান $x$

সমাধান:

সূচকের নিয়ম অনুযায়ী সমস্ত ঘাতগুলি গুণ হবে।
ঘাতগুলির গুণফল = $(-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1)$

চারটি $(-1)$ গুণ করলে পাই:
$= 1$

সুতরাং, রাশিটি দাঁড়ায়:
$= 2^1$
$= 2$

উত্তর: নির্ণেয় সরলতম মান 2

সমাধান:

আমরা জানি, $\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$

প্রদত্ত রাশি:
$= (a^{-2})^{\frac{1}{3}} \cdot b \times (b^{-2})^{\frac{1}{3}} \cdot c \times (c^{-2})^{\frac{1}{3}} \cdot a$
$= a^{-\frac{2}{3}} \cdot b^1 \times b^{-\frac{2}{3}} \cdot c^1 \times c^{-\frac{2}{3}} \cdot a^1$

সমজাতীয় নিধানের ঘাতগুলি যোগ করে পাই:
$= a^{1 – \frac{2}{3}} \times b^{1 – \frac{2}{3}} \times c^{1 – \frac{2}{3}}$
$= a^{\frac{1}{3}} \times b^{\frac{1}{3}} \times c^{\frac{1}{3}}$
$= (abc)^{\frac{1}{3}}$
$= \sqrt[3]{abc}$

উত্তর: নির্ণেয় সরলতম মান $\sqrt[3]{abc}$

সমাধান:

বন্ধনী বা ব্র্যাকেটের ভিতরের অংশ সরল করি:
লব (Numerator):
$4^{m+\frac{1}{4}} \times \sqrt{2 \cdot 2^m}$
$= (2^2)^{m+\frac{1}{4}} \times \sqrt{2^{1+m}}$
$= 2^{2m+\frac{2}{4}} \times (2^{1+m})^{\frac{1}{2}}$
$= 2^{2m+\frac{1}{2}} \times 2^{\frac{1+m}{2}}$
$= 2^{2m + 0.5 + 0.5 + 0.5m}$
$= 2^{2.5m + 1}$

হর (Denominator):
$2 \cdot \sqrt{2^{-m}}$
$= 2^1 \cdot (2^{-m})^{\frac{1}{2}}$
$= 2^1 \cdot 2^{-\frac{m}{2}}$
$= 2^{1 – 0.5m}$

এখন ভাগ করে পাই:
$\frac{2^{2.5m + 1}}{2^{1 – 0.5m}}$
$= 2^{(2.5m + 1) – (1 – 0.5m)}$
$= 2^{2.5m + 1 – 1 + 0.5m}$
$= 2^{3m}$

পুরো রাশিটি:
$= (2^{3m})^{\frac{1}{m}}$
$= 2^{3m \times \frac{1}{m}}$
$= 2^3$
$= 8$

উত্তর: নির্ণেয় সরলতম মান 8

সমাধান:

প্রতিটি পদকে মৌলিক ঘাতে প্রকাশ করি:
$9^{-3} = (3^2)^{-3} = 3^{-6}$
$16^{\frac{1}{4}} = (2^4)^{\frac{1}{4}} = 2^1 = 2$
$6^{-2} = (2 \cdot 3)^{-2} = 2^{-2} \cdot 3^{-2}$
$(\frac{1}{27})^{-\frac{4}{3}} = (3^{-3})^{-\frac{4}{3}} = 3^{-3 \times (-\frac{4}{3})} = 3^4$

রাশিটি সাজিয়ে পাই:
$= 3^{-6} \times \frac{2}{2^{-2} \cdot 3^{-2}} \times 3^4$
$= 3^{-6} \times 3^4 \times 2^1 \times \frac{1}{2^{-2} \cdot 3^{-2}}$
$= 3^{-6+4} \cdot 2^1 \cdot 2^2 \cdot 3^2$ [হর উপরে উঠলে ঘাতের চিহ্ন বদলায়]
$= 3^{-2} \cdot 3^2 \cdot 2^{1+2}$
$= 3^{-2+2} \cdot 2^3$
$= 3^0 \cdot 8$
$= 1 \cdot 8$
$= 8$

উত্তর: নির্ণেয় সরলতম মান 8

সমাধান:

প্রথম অংশ:
$(\frac{x^a}{x^b})^{a^2+ab+b^2}$
$= (x^{a-b})^{a^2+ab+b^2}$
$= x^{(a-b)(a^2+ab+b^2)}$
$= x^{a^3-b^3}$ [বীজগণিতের সূত্রানুসারে]

অনুরূপভাবে,
দ্বিতীয় অংশ = $x^{b^3-c^3}$
তৃতীয় অংশ = $x^{c^3-a^3}$

এখন গুণ করলে পাই:
$= x^{a^3-b^3} \times x^{b^3-c^3} \times x^{c^3-a^3}$
$= x^{a^3-b^3+b^3-c^3+c^3-a^3}$
$= x^0$
$= 1$

উত্তর: নির্ণেয় সরলতম মান 1

সমাধান:

এখানে ঘাতগুলি হলো $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}$।
প্রথমে ঘাতগুলির হরের ল.সা.গু নির্ণয় করি।
2, 4, 3 এর ল.সা.গু = 12।

এখন প্রতিটি সংখ্যার ঘাতকে সমহরে (12) প্রকাশ করি:

$5^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{6}{12}} = (5^6)^{\frac{1}{12}} = (15625)^{\frac{1}{12}}$

$10^{\frac{1}{4}} = 10^{\frac{3}{12}} = (10^3)^{\frac{1}{12}} = (1000)^{\frac{1}{12}}$

$6^{\frac{1}{3}} = 6^{\frac{4}{12}} = (6^4)^{\frac{1}{12}} = (1296)^{\frac{1}{12}}$

যেহেতু $1000 < 1296 < 15625$,
সুতরাং, $(1000)^{\frac{1}{12}} < (1296)^{\frac{1}{12}} < (15625)^{\frac{1}{12}}$

উত্তর: মানের ঊর্ধ্বক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই: $10^{\frac{1}{4}} < 6^{\frac{1}{3}} < 5^{\frac{1}{2}}$

সমাধান:

এখানে ঘাতগুলি হলো $\frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}$।
3, 2, 4 এর ল.সা.গু = 12।

এখন প্রতিটি সংখ্যার ঘাতকে সমহরে প্রকাশ করি:

$3^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{4}{12}} = (3^4)^{\frac{1}{12}} = (81)^{\frac{1}{12}}$

$2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{6}{12}} = (2^6)^{\frac{1}{12}} = (64)^{\frac{1}{12}}$

$8^{\frac{1}{4}} = 8^{\frac{3}{12}} = (8^3)^{\frac{1}{12}} = (512)^{\frac{1}{12}}$

যেহেতু $64 < 81 < 512$,
সুতরাং, $(64)^{\frac{1}{12}} < (81)^{\frac{1}{12}} < (512)^{\frac{1}{12}}$

উত্তর: মানের ঊর্ধ্বক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই: $2^{\frac{1}{2}} < 3^{\frac{1}{3}} < 8^{\frac{1}{4}}$

সমাধান:

এখানে ঘাতগুলি হলো 60, 48, 36, 24।
এদের গ.সা.গু নির্ণয় করি।
60, 48, 36, 24 এর গ.সা.গু = 12।

এখন প্রতিটি সংখ্যাকে ঘাত 12 এর আকারে প্রকাশ করি:

$2^{60} = 2^{5 \times 12} = (2^5)^{12} = (32)^{12}$

$3^{48} = 3^{4 \times 12} = (3^4)^{12} = (81)^{12}$

$4^{36} = 4^{3 \times 12} = (4^3)^{12} = (64)^{12}$

$5^{24} = 5^{2 \times 12} = (5^2)^{12} = (25)^{12}$

যেহেতু $25 < 32 < 64 < 81$,
সুতরাং, $(25)^{12} < (32)^{12} < (64)^{12} < (81)^{12}$

উত্তর: মানের ঊর্ধ্বক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই: $5^{24} < 2^{60} < 4^{36} < 3^{48}$

প্রমাণ:

বামপক্ষ (L.H.S.)
$= (a^{q-r})^p \times (a^{r-p})^q \times (a^{p-q})^r$
$= a^{p(q-r)} \times a^{q(r-p)} \times a^{r(p-q)}$
$= a^{pq-pr} \times a^{qr-pq} \times a^{rp-rq}$

নিধান একই থাকায় ঘাতগুলি যোগ হবে:
$= a^{pq-pr + qr-pq + rp-rq}$
$= a^{(pq-pq) + (qr-rq) + (rp-pr)}$
$= a^0$
$= 1$
$= \text{R.H.S.}$

(প্রমাণিত)

প্রমাণ:

বামপক্ষ (L.H.S.)
$= (x^{m-n})^{m+n} \times (x^{n-l})^{n+l} \times (x^{l-m})^{l+m}$
$= x^{(m-n)(m+n)} \times x^{(n-l)(n+l)} \times x^{(l-m)(l+m)}$

সূত্র $(a-b)(a+b) = a^2 – b^2$ প্রয়োগ করে পাই:
$= x^{m^2-n^2} \times x^{n^2-l^2} \times x^{l^2-m^2}$
$= x^{m^2-n^2 + n^2-l^2 + l^2-m^2}$
$= x^0$
$= 1$
$= \text{R.H.S.}$

(প্রমাণিত)

প্রমাণ:

বামপক্ষ (L.H.S.)
$= (x^{m-n})^{m+n-l} \times (x^{n-l})^{n+l-m} \times (x^{l-m})^{l+m-n}$
$= x^{(m-n)(m+n-l)} \times x^{(n-l)(n+l-m)} \times x^{(l-m)(l+m-n)}$

এখন ঘাতগুলি গুণ করে পাই:
১ম ঘাত: $(m-n)(m+n-l) = m^2+mn-ml-mn-n^2+nl = m^2-n^2-ml+nl$
২য় ঘাত: $(n-l)(n+l-m) = n^2+nl-nm-ln-l^2+lm = n^2-l^2-nm+lm$
৩য় ঘাত: $(l-m)(l+m-n) = l^2+lm-ln-ml-m^2+mn = l^2-m^2-ln+mn$

সমস্ত ঘাত যোগ করলে পাই:
$= x^{(m^2-n^2-ml+nl) + (n^2-l^2-nm+lm) + (l^2-m^2-ln+mn)}$
$= x^{m^2-m^2 -n^2+n^2 -l^2+l^2 -ml+lm +nl-ln -nm+mn}$
$= x^0$
$= 1$
$= \text{R.H.S.}$

(প্রমাণিত)

প্রমাণ:

বামপক্ষ (L.H.S.)
$= a^{\frac{1}{(x-y)(x-z)}} \times a^{\frac{1}{(y-z)(y-x)}} \times a^{\frac{1}{(z-x)(z-y)}}$

পদগুলিকে চক্রক্রমিক (cyclic order) সাজিয়ে পাই:
$(x-z) = -(z-x)$
$(y-x) = -(x-y)$
$(z-y) = -(y-z)$

সূচকগুলো যোগ করে পাই:
$= a^{\frac{1}{-(x-y)(z-x)} + \frac{1}{-(y-z)(x-y)} + \frac{1}{-(z-x)(y-z)}}$
$= a^{-\left[ \frac{1}{(x-y)(z-x)} + \frac{1}{(x-y)(y-z)} + \frac{1}{(y-z)(z-x)} \right]}$

ল.সা.গু $(x-y)(y-z)(z-x)$ নিয়ে পাই:
$= a^{-\left[ \frac{(y-z) + (z-x) + (x-y)}{(x-y)(y-z)(z-x)} \right]}$
$= a^{-\left[ \frac{y-z+z-x+x-y}{(x-y)(y-z)(z-x)} \right]}$
$= a^{-\left[ \frac{0}{(x-y)(y-z)(z-x)} \right]}$
$= a^0$
$= 1$
$= \text{R.H.S.}$

(প্রমাণিত)

প্রমাণ:

দেওয়া আছে, $x + z = 2y$
বা, $z – y = y – x$
ধরি, $z – y = y – x = k$
সুতরাং, $y – z = -k$ এবং $x – y = -k$

আবার, $z – x = (z – y) + (y – x) = k + k = 2k$

বামপক্ষ (L.H.S.)
$= a^{y-z}b^{z-x}c^{x-y}$
$= a^{-k}b^{2k}c^{-k}$ [মান বসিয়ে]
$= (a^{-1}b^2c^{-1})^k$
$= (\frac{b^2}{ac})^k$

যেহেতু দেওয়া আছে $b^2 = ac$, তাই $\frac{b^2}{ac} = 1$
$= (1)^k$
$= 1$
$= \text{R.H.S.}$

(প্রমাণিত)

প্রমাণ:

বামপক্ষ (L.H.S.)
$= a^{q-r}b^{r-p}c^{p-q}$
$= (xy^{p-1})^{q-r} \cdot (xy^{q-1})^{r-p} \cdot (xy^{r-1})^{p-q}$ [মান বসিয়ে]

এখন $x$ এবং $y$ এর ঘাতগুলি আলাদা করে পাই:
$= x^{q-r} \cdot y^{(p-1)(q-r)} \cdot x^{r-p} \cdot y^{(q-1)(r-p)} \cdot x^{p-q} \cdot y^{(r-1)(p-q)}$
$= x^{(q-r) + (r-p) + (p-q)} \cdot y^{(p-1)(q-r) + (q-1)(r-p) + (r-1)(p-q)}$

১. $x$-এর ঘাত:
$q-r+r-p+p-q = 0$

২. $y$-এর ঘাত:
$(pq-pr-q+r) + (qr-qp-r+p) + (rp-rq-p+q)$
$= pq-pr-q+r + qr-pq-r+p + pr-qr-p+q$
$= 0$ [সব পদ কেটে যাবে]

সুতরাং, রাশিটি দাঁড়ায়:
$= x^0 \cdot y^0$
$= 1 \cdot 1$
$= 1$
$= \text{R.H.S.}$

(প্রমাণিত)

প্রমাণ:

ধরি, $x^{\frac{1}{a}} = y^{\frac{1}{b}} = z^{\frac{1}{c}} = k$ (যেখানে $k \neq 0, 1, -1$)

সুতরাং,
$x = k^a$
$y = k^b$
$z = k^c$

দেওয়া আছে, $xyz = 1$
মান বসিয়ে পাই,
$k^a \cdot k^b \cdot k^c = 1$
বা, $k^{a+b+c} = k^0$ [যেহেতু $k^0 = 1$]

উভয়পক্ষে নিধান সমান হওয়ায় ঘাতগুলি সমান হবে:
$\therefore a+b+c = 0$

(প্রমাণিত)

প্রমাণ:

ধরি, $a^x = b^y = c^z = k$

সুতরাং,
$a = k^{\frac{1}{x}}$
$b = k^{\frac{1}{y}}$
$c = k^{\frac{1}{z}}$

দেওয়া আছে, $abc = 1$
মান বসিয়ে পাই,
$k^{\frac{1}{x}} \cdot k^{\frac{1}{y}} \cdot k^{\frac{1}{z}} = 1$
বা, $k^{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} = k^0$

ঘাতগুলি তুলনা করে পাই:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0$

ল.সা.গু করে পাই:
$\frac{yz + zx + xy}{xyz} = 0$
বা, $xy + yz + zx = 0 \times xyz$
$\therefore xy + yz + zx = 0$

(প্রমাণিত)

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ,

$49^x = 7^3$

বা, $(7^2)^x = 7^3$ [যেহেতু $49 = 7^2$]

বা, $7^{2x} = 7^3$

উভয়পক্ষের নিধান সমান হওয়ায় ঘাতগুলি সমান হবে:

$\therefore 2x = 3$

বা, $x = \frac{3}{2}$

উত্তর: নির্ণেয় সমাধান $x = \frac{3}{2}$

সমাধান:

বা, $2^x \cdot 2^2 + 2^x \cdot 2^{-1} = 9$

বা, $2^x (4 + \frac{1}{2}) = 9$ [$2^x$ কমন নিয়ে]

বা, $2^x (\frac{8+1}{2}) = 9$

বা, $2^x \cdot \frac{9}{2} = 9$

বা, $2^x = 9 \times \frac{2}{9}$

বা, $2^x = 2$

বা, $2^x = 2^1$

ঘাত তুলনা করে পাই,

$\therefore x = 1$

উত্তর: নির্ণেয় সমাধান $x = 1$

সমাধান:

বা, $2^x \cdot 2^1 + 2^x \cdot 2^2 = 48$

বা, $2^x (2 + 4) = 48$

বা, $2^x \cdot 6 = 48$

বা, $2^x = \frac{48}{6}$

বা, $2^x = 8$

বা, $2^x = 2^3$

ঘাত তুলনা করে পাই,

$\therefore x = 3$

উত্তর: নির্ণেয় সমাধান $x = 3$

সমাধান:

আমরা $4 = 2^2$ বসিয়ে পাই:

বা, $2^{4x} \cdot (2^2)^{3x-1} = \frac{(2^2)^{2x}}{2^{3x}}$

বা, $2^{4x} \cdot 2^{6x-2} = \frac{2^{4x}}{2^{3x}}$

বা, $2^{4x+6x-2} = 2^{4x-3x}$

বা, $2^{10x-2} = 2^x$

উভয়পক্ষের নিধান সমান, তাই ঘাত সমান হবে:

বা, $10x – 2 = x$

বা, $10x – x = 2$

বা, $9x = 2$

বা, $x = \frac{2}{9}$

উত্তর: নির্ণেয় সমাধান $x = \frac{2}{9}$

সমাধান:

সবগুলিকে 3-এর ঘাতে প্রকাশ করি ($9=3^2, 81=3^4, 27=3^3$):

বা, $3^2 \times (3^4)^x = (3^3)^{2-x}$

বা, $3^2 \times 3^{4x} = 3^{3(2-x)}$

বা, $3^{2+4x} = 3^{6-3x}$

ঘাত তুলনা করে পাই:

বা, $2 + 4x = 6 – 3x$

বা, $4x + 3x = 6 – 2$

বা, $7x = 4$

বা, $x = \frac{4}{7}$

উত্তর: নির্ণেয় সমাধান $x = \frac{4}{7}$

সমাধান:

বা, $2^{5x+4} = 2^{10} – 2^9$

বা, $2^{5x+4} = 2^9 \cdot 2^1 – 2^9$

বা, $2^{5x+4} = 2^9 (2 – 1)$

বা, $2^{5x+4} = 2^9 \cdot 1$

বা, $2^{5x+4} = 2^9$

ঘাত তুলনা করে পাই:

বা, $5x + 4 = 9$

বা, $5x = 9 – 4$

বা, $5x = 5$

বা, $x = \frac{5}{5} = 1$

উত্তর: নির্ণেয় সমাধান $x = 1$

সমাধান:

বা, $(2 \cdot 3)^{2x+4} = 3^{3x} \cdot 2^{x+8}$

বা, $2^{2x+4} \cdot 3^{2x+4} = 3^{3x} \cdot 2^{x+8}$

একই নিধানযুক্ত পদগুলিকে একদিকে নিয়ে পাই:

বা, $\frac{2^{2x+4}}{2^{x+8}} = \frac{3^{3x}}{3^{2x+4}}$

বা, $2^{(2x+4)-(x+8)} = 3^{3x-(2x+4)}$

বা, $2^{2x+4-x-8} = 3^{3x-2x-4}$

বা, $2^{x-4} = 3^{x-4}$

উভয়পক্ষকে $3^{x-4}$ দিয়ে ভাগ করে পাই:

বা, $\frac{2^{x-4}}{3^{x-4}} = 1$

বা, $(\frac{2}{3})^{x-4} = (\frac{2}{3})^0$ [যেহেতু $a^0=1$]

ঘাত তুলনা করে পাই:

বা, $x – 4 = 0$

$\therefore x = 4$

উত্তর: নির্ণেয় সমাধান $x = 4$

সমাধান:

$(0.243)^{0.2} \times (10)^{0.6}$

$= (\frac{243}{1000})^{\frac{2}{10}} \times 10^{\frac{6}{10}}$

$= (\frac{3^5}{10^3})^{\frac{1}{5}} \times 10^{\frac{3}{5}}$

$= \frac{(3^5)^{\frac{1}{5}}}{(10^3)^{\frac{1}{5}}} \times 10^{\frac{3}{5}}$

$= \frac{3^1}{10^{\frac{3}{5}}} \times 10^{\frac{3}{5}}$

$= 3 \times 1$

$= 3$

সঠিক উত্তর: (b) 3

সমাধান:

$2^{\frac{1}{2}} \times 2^{-\frac{1}{2}} \times (4^2)^{\frac{1}{2}}$

$= 2^{\frac{1}{2} – \frac{1}{2}} \times 4^{2 \times \frac{1}{2}}$

$= 2^0 \times 4^1$

$= 1 \times 4$

$= 4$

সঠিক উত্তর: (c) 4

সমাধান:

$(2^2)^x = (2^3)^3$

বা, $2^{2x} = 2^9$

উভয়পক্ষে ঘাত তুলনা করে পাই:

$2x = 9$

$\therefore x = \frac{9}{2}$

সঠিক উত্তর: (b) $\frac{9}{2}$

সমাধান:

$20^{-x} = \frac{1}{7}$

বা, $\frac{1}{20^x} = \frac{1}{7}$

বা, $20^x = 7$

এখন, $(20)^{2x} = (20^x)^2 = (7)^2 = 49$

সঠিক উত্তর: (c) 49

সমাধান:

$4 \times 5^x = 500$

বা, $5^x = \frac{500}{4}$

বা, $5^x = 125$

বা, $5^x = 5^3$

সুতরাং, $x = 3$

$\therefore x^x = 3^3 = 27$

সঠিক উত্তর: (d) 27

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ,

$(27)^x = (81)^y$

আমরা জানি, $27 = 3^3$ এবং $81 = 3^4$

বা, $(3^3)^x = (3^4)^y$

বা, $3^{3x} = 3^{4y}$

নিধান সমান হওয়ায় ঘাতগুলি সমান হবে:

$3x = 4y$

বা, $\frac{x}{y} = \frac{4}{3}$

বা, $x:y = 4:3$

উত্তর: নির্ণেয় অনুপাত $x:y = 4:3$

সমাধান:

বামপক্ষটি $(a+b)^2 – (a-b)^2$ এর আকারে আছে, যার সূত্র হলো $4ab$।

এখানে $a = 5^5$ এবং $b = 0.01$

সুতরাং,

$4 \times 5^5 \times 0.01 = 5^x$

বা, $4 \times 5^5 \times \frac{1}{100} = 5^x$

বা, $5^5 \times \frac{4}{100} = 5^x$

বা, $5^5 \times \frac{1}{25} = 5^x$

বা, $5^5 \times \frac{1}{5^2} = 5^x$

বা, $\frac{5^5}{5^2} = 5^x$

বা, $5^{5-2} = 5^x$

বা, $5^3 = 5^x$

ঘাত তুলনা করে পাই,

$\therefore x = 3$

উত্তর: নির্ণেয় মান $x = 3$

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ,

$3 \times 27^x = 9^{x+4}$

বা, $3^1 \times (3^3)^x = (3^2)^{x+4}$

বা, $3^1 \times 3^{3x} = 3^{2(x+4)}$

বা, $3^{1+3x} = 3^{2x+8}$

ঘাত তুলনা করে পাই,

$1 + 3x = 2x + 8$

বা, $3x – 2x = 8 – 1$

বা, $x = 7$

উত্তর: নির্ণেয় মান $x = 7$

সমাধান:

প্রথমে ভিতরের কাজ করি:

$(\frac{1}{64})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{64}} = \frac{1}{8}$

এখন,

$\sqrt[3]{\frac{1}{8}}$

$= (\frac{1}{8})^{\frac{1}{3}}$

$= [(\frac{1}{2})^3]^{\frac{1}{3}}$

$= (\frac{1}{2})^{3 \times \frac{1}{3}}$

$= (\frac{1}{2})^1 = \frac{1}{2}$

উত্তর: নির্ণেয় মান $\frac{1}{2}$

সমাধান:

প্রথম সংখ্যাটি:

$3^{3^3} = 3^{(3 \times 3 \times 3)} = 3^{27}$

দ্বিতীয় সংখ্যাটি:

$(3^3)^3 = 3^{3 \times 3} = 3^9$ [ঘাতের ঘাত গুণ হয়]

তুলনা:

যেহেতু $27 > 9$,

সুতরাং, $3^{27} > 3^9$

অর্থাৎ, $3^{3^3} > (3^3)^3$

উত্তর: $3^{3^3}$ সংখ্যাটি বৃহত্তর।