নবম শ্রেণী গণিত: কষে দেখি 5.5 পরিবর্ত পদ্ধতি

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ:
$\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 1$

বা, $\frac{2}{x} = 1 – \frac{3}{y}$ [ পক্ষান্তর করে ]

বা, $\frac{2}{x} = \frac{y – 3}{y}$ [ ডানপক্ষে বিয়োগ করে ]

বা, $\frac{x}{2} = \frac{y}{y – 3}$ [ উভয়পক্ষকে ব্যস্ত বা Reciprocal করে ]

বা, $x = \frac{2y}{y – 3}$

উত্তর: নির্ণেয় প্রকাশ হলো $x = \frac{2y}{y – 3}$

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ:
$2x + 3y = 9$

প্রশ্নানুসারে, $y$-এর পরিবর্তে $\frac{7 – 4x}{-5}$ বসিয়ে পাই:
$2x + 3(\frac{7 – 4x}{-5}) = 9$

বা, $2x – \frac{3(7 – 4x)}{5} = 9$ [ প্লাসে মাইনাসে মাইনাস ]

বা, $\frac{10x – (21 – 12x)}{5} = 9$ [ ল.সা.গু করে ]

বা, $10x – 21 + 12x = 45$ [ আড়াআড়ি গুণ করে ]

বা, $22x = 45 + 21$

বা, $22x = 66$

বা, $x = \frac{66}{22}$

$\therefore x = 3$

উত্তর: নির্ণেয় x-এর মান 3।

পরিবর্ত পদ্ধতিতে সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ দুটি:
$3x – y = 7 \dots \dots (1)$
$2x + 4y = 0 \dots \dots (2)$

$(1)$ নং সমীকরণ থেকে পাই:
$-y = 7 – 3x$
বা, $y = 3x – 7 \dots \dots (3)$

$(3)$ নং সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত $y$-এর মান $(2)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$2x + 4(3x – 7) = 0$
বা, $2x + 12x – 28 = 0$
বা, $14x = 28$
বা, $x = \frac{28}{14}$
$\therefore x = 2$

এখন $(3)$ নং সমীকরণে $x = 2$ বসিয়ে পাই:
$y = 3(2) – 7$
বা, $y = 6 – 7$
$\therefore y = -1$

নির্ণেয় সমাধান: $x = 2, y = -1$

লেখচিত্রের সাহায্যে যাচাই:

• ১ম সমীকরণ ($y = 3x – 7$) থেকে বিন্দুগুলি পাই: $(2, -1), (0, -7), (3, 2)$
• ২য় সমীকরণ ($2x + 4y = 0 \Rightarrow x = -2y$) থেকে বিন্দুগুলি পাই: $(0, 0), (-2, 1), (2, -1)$

লেখচিত্র অঙ্কন করলে দেখা যাবে সরলরেখা দুটি পরস্পরকে $(2, -1)$ বিন্দুতে ছেদ করছে, যা আমাদের সমাধানের সাথে মিলে যায়।

পরিবর্ত পদ্ধতিতে সমাধান:

প্রদত্ত সম্পর্ক থেকে আমরা দুটি সমীকরণ পাই:

১ম সমীকরণ:
$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 2$
বা, $\frac{3x + 2y}{6} = 2$
বা, $3x + 2y = 12 \dots \dots (1)$

২য় সমীকরণ:
$\frac{x}{4} + \frac{y}{2} = 2$
বা, $\frac{x + 2y}{4} = 2$
বা, $x + 2y = 8 \dots \dots (2)$

$(2)$ নং সমীকরণ থেকে পাই:
$x = 8 – 2y \dots \dots (3)$

$(3)$ নং সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত $x$-এর মান $(1)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$3(8 – 2y) + 2y = 12$
বা, $24 – 6y + 2y = 12$
বা, $-4y = 12 – 24$
বা, $-4y = -12$
বা, $y = \frac{-12}{-4}$
$\therefore y = 3$

এখন $(3)$ নং সমীকরণে $y = 3$ বসিয়ে পাই:
$x = 8 – 2(3)$
বা, $x = 8 – 6$
$\therefore x = 2$

নির্ণেয় সমাধান: $x = 2, y = 3$

লেখচিত্রের সাহায্যে যাচাই:

• ১ম সমীকরণ ($2y = 12 – 3x$) থেকে বিন্দুগুলি পাই: $(2, 3), (4, 0), (0, 6)$
• ২য় সমীকরণ ($x = 8 – 2y$) থেকে বিন্দুগুলি পাই: $(2, 3), (8, 0), (4, 2)$

উভয় সমীকরণের লেখচিত্র অঙ্কন করলে দেখা যাবে তারা পরস্পরকে $(2, 3)$ বিন্দুতে ছেদ করছে।

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ দুটি:
$2x + \frac{3}{y} = 1 \dots \dots (1)$
$5x – \frac{2}{y} = \frac{11}{12} \dots \dots (2)$

$(1)$ নং সমীকরণ থেকে পাই:
$2x = 1 – \frac{3}{y}$
বা, $x = \frac{1}{2}(1 – \frac{3}{y}) \dots \dots (3)$

$(3)$ নং সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত $x$-এর মান $(2)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$5[\frac{1}{2}(1 – \frac{3}{y})] – \frac{2}{y} = \frac{11}{12}$
বা, $\frac{5}{2} – \frac{15}{2y} – \frac{2}{y} = \frac{11}{12}$
বা, $-\frac{15}{2y} – \frac{4}{2y} = \frac{11}{12} – \frac{5}{2}$
বা, $-\frac{19}{2y} = \frac{11 – 30}{12}$
বা, $-\frac{19}{2y} = -\frac{19}{12}$
বা, $\frac{1}{2y} = \frac{1}{12}$
বা, $2y = 12 \Rightarrow y = 6$

$(3)$ নং সমীকরণে $y = 6$ বসিয়ে পাই:
$x = \frac{1}{2}(1 – \frac{3}{6}) = \frac{1}{2}(1 – \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

নির্ণেয় সমাধান: $x = \frac{1}{4}, y = 6$

যাচাই:
১ম সমীকরণের বামপক্ষ $= 2(\frac{1}{4}) + \frac{3}{6} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 =$ ডানপক্ষ।
২য় সমীকরণের বামপক্ষ $= 5(\frac{1}{4}) – \frac{2}{6} = \frac{5}{4} – \frac{1}{3} = \frac{15 – 4}{12} = \frac{11}{12} =$ ডানপক্ষ।
$\therefore$ সমাধানটি সঠিক।

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ দুটি:
$\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 2 \dots \dots (1)$
$\frac{5}{x} + \frac{10}{y} = \frac{35}{6} \dots \dots (2)$

$(1)$ নং সমীকরণ থেকে পাই:
$\frac{2}{x} = 2 – \frac{3}{y}$
বা, $\frac{1}{x} = 1 – \frac{3}{2y} \dots \dots (3)$

$(3)$ নং সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত $\frac{1}{x}$-এর মান $(2)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$5(1 – \frac{3}{2y}) + \frac{10}{y} = \frac{35}{6}$
বা, $5 – \frac{15}{2y} + \frac{10}{y} = \frac{35}{6}$
বা, $\frac{-15 + 20}{2y} = \frac{35}{6} – 5$
বা, $\frac{5}{2y} = \frac{35 – 30}{6}$
বা, $\frac{5}{2y} = \frac{5}{6}$
বা, $2y = 6 \Rightarrow y = 3$

$(3)$ নং সমীকরণে $y = 3$ বসিয়ে পাই:
$\frac{1}{x} = 1 – \frac{3}{2(3)} = 1 – \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$\therefore x = 2$

নির্ণেয় সমাধান: $x = 2, y = 3$

যাচাই:
১ম সমীকরণের বামপক্ষ $= \frac{2}{2} + \frac{3}{3} = 1 + 1 = 2 =$ ডানপক্ষ।
২য় সমীকরণের বামপক্ষ $= \frac{5}{2} + \frac{10}{3} = \frac{15 + 20}{6} = \frac{35}{6} = 5\frac{5}{6} =$ ডানপক্ষ।
$\therefore$ সমাধানটি সঠিক।

সমাধান:

সমীকরণ দুটিকে সরল করে পাই:
১ম: $\frac{x}{xy} + \frac{y}{xy} = 3 \Rightarrow \frac{1}{y} + \frac{1}{x} = 3 \dots \dots (1)$
২য়: $\frac{x}{xy} – \frac{y}{xy} = 1 \Rightarrow \frac{1}{y} – \frac{1}{x} = 1 \dots \dots (2)$

$(2)$ নং সমীকরণ থেকে পাই:
$\frac{1}{y} = 1 + \frac{1}{x}$
বা, $y = \frac{x}{x + 1} \dots \dots (3)$ [ব্যস্ত করে]

তবে সুবিধার্থে আমরা $\frac{1}{y}$-এর মান সরাসরি $(1)$ নং সমীকরণে বসাতে পারি:
$(1 + \frac{1}{x}) + \frac{1}{x} = 3$
বা, $1 + \frac{2}{x} = 3$
বা, $\frac{2}{x} = 2$
বা, $2x = 2 \Rightarrow x = 1$

$(2)$ নং সমীকরণে $x = 1$ বসিয়ে পাই:
$\frac{1}{y} – 1 = 1$
বা, $\frac{1}{y} = 2 \Rightarrow y = \frac{1}{2}$

নির্ণেয় সমাধান: $x = 1, y = \frac{1}{2}$

যাচাই:
১ম সমীকরণ: $\frac{1 + 0.5}{1 \times 0.5} = \frac{1.5}{0.5} = 3$ (মিলেছে)।
২য় সমীকরণ: $\frac{1 – 0.5}{1 \times 0.5} = \frac{0.5}{0.5} = 1$ (মিলেছে)।

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ দুটি:
$\frac{x+y}{x-y} = \frac{7}{3} \dots \dots (1)$
$x + y = \frac{7}{10} \dots \dots (2)$

$(1)$ নং সমীকরণ থেকে পাই:
$3(x + y) = 7(x – y)$
বা, $3x + 3y = 7x – 7y$
বা, $3y + 7y = 7x – 3x$
বা, $10y = 4x$
বা, $x = \frac{10y}{4} = \frac{5y}{2} \dots \dots (3)$

$(3)$ নং সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত $x$-এর মান $(2)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$\frac{5y}{2} + y = \frac{7}{10}$
বা, $\frac{5y + 2y}{2} = \frac{7}{10}$
বা, $\frac{7y}{2} = \frac{7}{10}$
বা, $y = \frac{7}{10} \times \frac{2}{7}$
$\therefore y = \frac{1}{5}$

$(3)$ নং সমীকরণে $y = \frac{1}{5}$ বসিয়ে পাই:
$x = \frac{5}{2} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{2}$

নির্ণেয় সমাধান: $x = \frac{1}{2}, y = \frac{1}{5}$

যাচাই:
১ম সমীকরণ: বামপক্ষ $= \frac{1/2 + 1/5}{1/2 – 1/5} = \frac{5+2}{10} \div \frac{5-2}{10} = \frac{7}{10} \times \frac{10}{3} = \frac{7}{3} =$ ডানপক্ষ।
২য় সমীকরণ: বামপক্ষ $= \frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{5+2}{10} = \frac{7}{10} =$ ডানপক্ষ।
$\therefore$ সমাধানটি সঠিক।

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ দুটি:
$2(x – y) = 3 \Rightarrow 2x – 2y = 3 \dots \dots (1)$
$5x + 8y = 14 \dots \dots (2)$

$(1)$ নং সমীকরণ থেকে $x$-এর মান বের করি:
$2x = 3 + 2y$
বা, $x = \frac{3 + 2y}{2} \dots \dots (3)$

$(3)$ নং সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত $x$-এর মান $(2)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$5(\frac{3 + 2y}{2}) + 8y = 14$
বা, $\frac{15 + 10y}{2} + 8y = 14$
বা, $\frac{15 + 10y + 16y}{2} = 14$ [ল.সা.গু. করে]
বা, $15 + 26y = 28$ [আড়াআড়ি গুণ করে]
বা, $26y = 28 – 15$
বা, $26y = 13$
বা, $y = \frac{13}{26} = \frac{1}{2}$

এখন $(3)$ নং সমীকরণে $y = \frac{1}{2}$ বসিয়ে পাই:
$x = \frac{3 + 2(\frac{1}{2})}{2} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

নির্ণেয় সমাধান: $x = 2, y = \frac{1}{2}$

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ দুটি:
$2x + \frac{3}{y} = 5 \dots \dots (1)$
$5x – \frac{2}{y} = 3 \dots \dots (2)$

$(1)$ নং সমীকরণ থেকে $x$-এর মান বের করি:
$2x = 5 – \frac{3}{y}$
বা, $x = \frac{1}{2}(5 – \frac{3}{y}) \dots \dots (3)$

$(3)$ নং সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত $x$-এর মান $(2)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$5[\frac{1}{2}(5 – \frac{3}{y})] – \frac{2}{y} = 3$
বা, $\frac{5}{2}(5 – \frac{3}{y}) – \frac{2}{y} = 3$
বা, $\frac{25}{2} – \frac{15}{2y} – \frac{2}{y} = 3$
বা, $-(\frac{15}{2y} + \frac{4}{2y}) = 3 – \frac{25}{2}$
বা, $-\frac{19}{2y} = \frac{6 – 25}{2}$
বা, $-\frac{19}{2y} = -\frac{19}{2}$
বা, $\frac{1}{y} = 1 \Rightarrow y = 1$

এখন $(3)$ নং সমীকরণে $y = 1$ বসিয়ে পাই:
$x = \frac{1}{2}(5 – \frac{3}{1}) = \frac{1}{2}(5 – 3) = \frac{1}{2}(2) = 1$

নির্ণেয় সমাধান: $x = 1, y = 1$

সমাধান:

১ম সমীকরণ সরল করি:
$\frac{3x + 2y}{6} = 1 \Rightarrow 3x + 2y = 6 \dots \dots (1)$

২য় সমীকরণ সরল করি:
$\frac{2x + 3y}{6} = 1 \Rightarrow 2x + 3y = 6 \dots \dots (2)$

$(1)$ নং সমীকরণ থেকে $x$-এর মান বের করি:
$3x = 6 – 2y$
বা, $x = \frac{6 – 2y}{3} \dots \dots (3)$

$(3)$ নং সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত $x$-এর মান $(2)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$2(\frac{6 – 2y}{3}) + 3y = 6$
বা, $\frac{12 – 4y}{3} + 3y = 6$
বা, $\frac{12 – 4y + 9y}{3} = 6$
বা, $12 + 5y = 18$
বা, $5y = 18 – 12$
বা, $5y = 6 \Rightarrow y = \frac{6}{5}$

এখন $(3)$ নং সমীকরণে $y = \frac{6}{5}$ বসিয়ে পাই:
$x = \frac{6 – 2(\frac{6}{5})}{3} = \frac{6 – \frac{12}{5}}{3} = \frac{\frac{30 – 12}{5}}{3} = \frac{18}{5 \times 3} = \frac{6}{5}$

নির্ণেয় সমাধান: $x = \frac{6}{5}, y = \frac{6}{5}$

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ দুটি:
$\frac{x}{3} = \frac{y}{4} \dots \dots (1)$
$7x – 5y = 2 \dots \dots (2)$

$(1)$ নং সমীকরণ থেকে $x$-এর মান বের করি:
$x = \frac{3y}{4} \dots \dots (3)$

$(3)$ নং সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত $x$-এর মান $(2)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$7(\frac{3y}{4}) – 5y = 2$
বা, $\frac{21y}{4} – 5y = 2$
বা, $\frac{21y – 20y}{4} = 2$ [ল.সা.গু. করে]
বা, $\frac{y}{4} = 2$
বা, $y = 8$

এখন $(3)$ নং সমীকরণে $y = 8$ বসিয়ে পাই:
$x = \frac{3 \times 8}{4} = 3 \times 2 = 6$

নির্ণেয় সমাধান: $x = 6, y = 8$