নবম শ্রেণী গণিত: কষে দেখি -8.2 উৎপাদকে বিশ্লেষণ

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি,
$= \frac{x^4}{16} – \frac{y^4}{81}$

$= (\frac{x^2}{4})^2 – (\frac{y^2}{9})^2$

$= (\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9})(\frac{x^2}{4} – \frac{y^2}{9})$ [সূত্র: $a^2 – b^2 = (a+b)(a-b)$]

$= (\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9})[(\frac{x}{2})^2 – (\frac{y}{3})^2]$

$= (\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9})(\frac{x}{2} + \frac{y}{3})(\frac{x}{2} – \frac{y}{3})$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9})(\frac{x}{2} + \frac{y}{3})(\frac{x}{2} – \frac{y}{3})$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি,
$= m^2 + \frac{1}{m^2} + 2 – 2m – \frac{2}{m}$

$= (m)^2 + (\frac{1}{m})^2 + 2\cdot m \cdot \frac{1}{m} – 2(m + \frac{1}{m})$ [পূর্ণবর্গাকারে সাজিয়ে]

$= (m + \frac{1}{m})^2 – 2(m + \frac{1}{m})$

এখন $(m + \frac{1}{m})$ কমন নিয়ে পাই,

$= (m + \frac{1}{m})(m + \frac{1}{m} – 2)$

$= (m + \frac{1}{m})(m – 2 + \frac{1}{m})$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(m + \frac{1}{m})(m – 2 + \frac{1}{m})$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি,
$= (3p)^2 – 2\cdot(3p)\cdot(4q) + (4q)^2 + a(3p – 4q)$

$= (3p – 4q)^2 + a(3p – 4q)$ [প্রথম অংশটি $(a-b)^2$ এর সূত্রে ফেলে]

এখন $(3p – 4q)$ কমন নিয়ে পাই,

$= (3p – 4q)(3p – 4q + a)$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(3p – 4q)(3p – 4q + a)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি,
$= (2x^2)^2 + (9)^2$

$= (2x^2 + 9)^2 – 2\cdot(2x^2)\cdot 9$ [সূত্র: $a^2 + b^2 = (a+b)^2 – 2ab$]

$= (2x^2 + 9)^2 – 36x^2$

$= (2x^2 + 9)^2 – (6x)^2$

$= (2x^2 + 9 + 6x)(2x^2 + 9 – 6x)$ [সূত্র: $a^2 – b^2 = (a+b)(a-b)$]

$= (2x^2 + 6x + 9)(2x^2 – 6x + 9)$ [সাজিয়ে লিখে]

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(2x^2 + 6x + 9)(2x^2 – 6x + 9)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি,
$= x^4 – 7x^2 + 1$

$= (x^2)^2 + (1)^2 – 7x^2$

$= (x^2 + 1)^2 – 2 \cdot x^2 \cdot 1 – 7x^2$ [সূত্র: $a^2 + b^2 = (a+b)^2 – 2ab$]

$= (x^2 + 1)^2 – 2x^2 – 7x^2$

$= (x^2 + 1)^2 – 9x^2$

$= (x^2 + 1)^2 – (3x)^2$

$= (x^2 + 1 + 3x)(x^2 + 1 – 3x)$ [সূত্র: $a^2 – b^2 = (a+b)(a-b)$]

$= (x^2 + 3x + 1)(x^2 – 3x + 1)$ [সাজিয়ে]

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(x^2 + 3x + 1)(x^2 – 3x + 1)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি,
$= p^4 + q^4 – 11p^2q^2$

$= (p^2)^2 + (q^2)^2 – 11p^2q^2$

$= (p^2 – q^2)^2 + 2p^2q^2 – 11p^2q^2$ [সূত্র: $a^2 + b^2 = (a-b)^2 + 2ab$]

$= (p^2 – q^2)^2 – 9p^2q^2$

$= (p^2 – q^2)^2 – (3pq)^2$

$= (p^2 – q^2 + 3pq)(p^2 – q^2 – 3pq)$ [সূত্র: $x^2 – y^2 = (x+y)(x-y)$]

$= (p^2 + 3pq – q^2)(p^2 – 3pq – q^2)$ [সাজিয়ে]

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(p^2 + 3pq – q^2)(p^2 – 3pq – q^2)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি,
$= a^2 – 2ab + b^2 – c^2$ [পূর্ণবর্গাকারে সাজিয়ে]

$= (a – b)^2 – c^2$

$= (a – b + c)(a – b – c)$ [সূত্র: $x^2 – y^2 = (x+y)(x-y)$]

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(a – b + c)(a – b – c)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি,
$= 9a^2 + 6ac – 4b^2 – 4bc$ [গুণ করে পাই]

$= 9a^2 – 4b^2 + 6ac – 4bc$ [বর্গরাশিগুলিকে একপাশে এনে]

$= (3a)^2 – (2b)^2 + 2c(3a – 2b)$ [প্রথম অংশে $a^2-b^2$ এর সূত্র এবং শেষ অংশে কমন নিয়ে]

$= (3a + 2b)(3a – 2b) + 2c(3a – 2b)$

$= (3a – 2b)(3a + 2b + 2c)$ [উভয় পদ থেকে $(3a – 2b)$ কমন নিয়ে]

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(3a – 2b)(3a + 2b + 2c)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি,
$= a^2 – 6ab + 12bc – 4c^2$

$= a^2 – 4c^2 – 6ab + 12bc$ [বর্গরাশিগুলিকে পাশাপাশি এনে]

$= (a)^2 – (2c)^2 – 6b(a – 2c)$ [প্রথম অংশে $a^2-b^2$ এর সূত্র এবং পরের অংশে $-6b$ কমন নিয়ে]

$= (a + 2c)(a – 2c) – 6b(a – 2c)$

$= (a – 2c)(a + 2c – 6b)$ [উভয় পদ থেকে $(a – 2c)$ কমন নিয়ে]

$= (a – 2c)(a – 6b + 2c)$ [সাজিয়ে]

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(a – 2c)(a – 6b + 2c)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি,
$= 3a^2 + 4ab + b^2 – 2ac – c^2$

$= 4a^2 – a^2 + 4ab + b^2 – 2ac – c^2$ [$3a^2$ কে $4a^2 – a^2$ লিখে]

$= (4a^2 + 4ab + b^2) – (a^2 + 2ac + c^2)$ [পূর্ণবর্গাকারে সাজিয়ে]

$= \{(2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot b + (b)^2\} – (a + c)^2$

$= (2a + b)^2 – (a + c)^2$

$= \{(2a + b) + (a + c)\}\{(2a + b) – (a + c)\}$ [সূত্র: $x^2 – y^2 = (x+y)(x-y)$]

$= (2a + b + a + c)(2a + b – a – c)$

$= (3a + b + c)(a + b – c)$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(3a + b + c)(a + b – c)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি,
$= x^2 – y^2 – 6ax + 2ay + 8a^2$

$= x^2 – 6ax + 9a^2 – y^2 + 2ay – a^2$ [$8a^2$ কে $9a^2 – a^2$ লিখে এবং সাজিয়ে]

$= (x^2 – 2 \cdot x \cdot 3a + (3a)^2) – (y^2 – 2ay + a^2)$ [পূর্ণবর্গাকারে সাজিয়ে]

$= (x – 3a)^2 – (y – a)^2$

$= \{(x – 3a) + (y – a)\}\{(x – 3a) – (y – a)\}$ [সূত্র: $A^2 – B^2 = (A+B)(A-B)$]

$= (x – 3a + y – a)(x – 3a – y + a)$

$= (x + y – 4a)(x – y – 2a)$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(x + y – 4a)(x – y – 2a)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি,
$= a^2 – 9b^2 + 4c^2 – 25d^2 – 4ac + 30bd$

$= (a^2 – 4ac + 4c^2) – (9b^2 – 30bd + 25d^2)$ [সাজিয়ে এবং মাইনাস কমন নিয়ে]

$= \{(a)^2 – 2 \cdot a \cdot 2c + (2c)^2\} – \{(3b)^2 – 2 \cdot 3b \cdot 5d + (5d)^2\}$

$= (a – 2c)^2 – (3b – 5d)^2$

$= \{(a – 2c) + (3b – 5d)\}\{(a – 2c) – (3b – 5d)\}$ [সূত্র: $x^2 – y^2 = (x+y)(x-y)$]

$= (a – 2c + 3b – 5d)(a – 2c – 3b + 5d)$

$= (a + 3b – 2c – 5d)(a – 3b – 2c + 5d)$ [সাজিয়ে]

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(a + 3b – 2c – 5d)(a – 3b – 2c + 5d)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি,
$= 3a^2 – b^2 – c^2 + 2ab – 2bc + 2ca$

আমরা $3a^2$-কে $4a^2 – a^2$ লিখতে পারি।

$= 4a^2 – a^2 – b^2 – c^2 + 2ab – 2bc + 2ca$

$= 4a^2 – (a^2 + b^2 + c^2 – 2ab + 2bc – 2ca)$ [মাইনাস কমন নিয়ে]

বন্ধনীর ভেতরের অংশটি $(a – b – c)^2$-এর সূত্র।
কারণ: $(a – b – c)^2 = a^2 + (-b)^2 + (-c)^2 + 2a(-b) + 2(-b)(-c) + 2(-c)a$
$= a^2 + b^2 + c^2 – 2ab + 2bc – 2ca$

$\therefore$ রাশিটি দাঁড়ায়:

$= (2a)^2 – (a – b – c)^2$

$= \{2a + (a – b – c)\}\{2a – (a – b – c)\}$ [সূত্র: $x^2 – y^2 = (x+y)(x-y)$]

$= (2a + a – b – c)(2a – a + b + c)$

$= (3a – b – c)(a + b + c)$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(a + b + c)(3a – b – c)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি,
$= x^2 – 2x – 22499$

রাশিটিকে পূর্ণবর্গাকারে সাজানোর জন্য $1$ যোগ ও বিয়োগ করি:

$= x^2 – 2 \cdot x \cdot 1 + 1 – 1 – 22499$

$= (x – 1)^2 – 22500$

আমরা জানি, $15^2 = 225$, সুতরাং $150^2 = 22500$

$= (x – 1)^2 – (150)^2$

$= (x – 1 + 150)(x – 1 – 150)$ [সূত্র: $a^2 – b^2 = (a+b)(a-b)$]

$= (x + 149)(x – 151)$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(x + 149)(x – 151)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি,
$= (x^2 – y^2)(a^2 – b^2) + 4abxy$

গুণ করে পাই:

$= a^2x^2 – b^2x^2 – a^2y^2 + b^2y^2 + 4abxy$

$4abxy$-কে $2abxy + 2abxy$ আকারে ভেঙে সাজিয়ে লিখি:

$= (a^2x^2 + 2abxy + b^2y^2) – b^2x^2 – a^2y^2 + 2abxy$

$= (ax + by)^2 – (b^2x^2 – 2abxy + a^2y^2)$ [মাইনাস কমন নিয়ে]

$= (ax + by)^2 – \{(bx)^2 – 2 \cdot bx \cdot ay + (ay)^2\}$

$= (ax + by)^2 – (bx – ay)^2$

$= \{(ax + by) + (bx – ay)\}\{(ax + by) – (bx – ay)\}$ [সূত্র: $A^2 – B^2 = (A+B)(A-B)$]

$= (ax + by + bx – ay)(ax + by – bx + ay)$

সাজিয়ে লিখলে পাই:

$= (ax – ay + bx + by)(ax + ay – bx + by)$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(ax – ay + bx + by)(ax + ay – bx + by)$