নবম শ্রেণী গণিত: কষে দেখি – 8.3 উৎপাদকে বিশ্লেষণ

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি,
$= t^9 – 512$

$= (t^3)^3 – (8)^3$

$= (t^3 – 8)\{(t^3)^2 + t^3 \cdot 8 + (8)^2\}$ [সূত্র: $a^3 – b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$]

$= (t^3 – 2^3)(t^6 + 8t^3 + 64)$

এখন প্রথম অংশ $(t^3 – 2^3)$-কে আবার সূত্রে ফেলা যায়:

$= (t – 2)(t^2 + t \cdot 2 + 2^2)(t^6 + 8t^3 + 64)$

$= (t – 2)(t^2 + 2t + 4)(t^6 + 8t^3 + 64)$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(t – 2)(t^2 + 2t + 4)(t^6 + 8t^3 + 64)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি,
$= 729p^6 – q^6$

প্রথমে একে বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করি:

$= (27p^3)^2 – (q^3)^2$

$= (27p^3 + q^3)(27p^3 – q^3)$ [সূত্র: $a^2 – b^2 = (a+b)(a-b)$]

এখন উভয় অংশকেই ঘনফলের সূত্রে ভাঙা যায়:

$= \{(3p)^3 + (q)^3\}\{(3p)^3 – (q)^3\}$

$= (3p + q)\{(3p)^2 – 3p \cdot q + q^2\} \cdot (3p – q)\{(3p)^2 + 3p \cdot q + q^2\}$

$= (3p + q)(9p^2 – 3pq + q^2)(3p – q)(9p^2 + 3pq + q^2)$

সাজিয়ে লিখলে পাই:

$= (3p + q)(3p – q)(9p^2 – 3pq + q^2)(9p^2 + 3pq + q^2)$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(3p + q)(3p – q)(9p^2 – 3pq + q^2)(9p^2 + 3pq + q^2)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি,
$= 8(p – 3)^3 + 343$

$= \{2(p – 3)\}^3 + (7)^3$

$= (2p – 6)^3 + (7)^3$

ধরি $A = 2p – 6$ এবং $B = 7$, তাহলে $A^3 + B^3$ এর সূত্র প্রয়োগ করি:

$= (2p – 6 + 7)\{(2p – 6)^2 – (2p – 6) \cdot 7 + (7)^2\}$

$= (2p + 1)\{(4p^2 – 24p + 36) – (14p – 42) + 49\}$

$= (2p + 1)(4p^2 – 24p + 36 – 14p + 42 + 49)$

$= (2p + 1)(4p^2 – 38p + 127)$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(2p + 1)(4p^2 – 38p + 127)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি,
$= \frac{1}{8a^3} + \frac{8}{b^3}$

$= (\frac{1}{2a})^3 + (\frac{2}{b})^3$

$= (\frac{1}{2a} + \frac{2}{b})\{(\frac{1}{2a})^2 – \frac{1}{2a} \cdot \frac{2}{b} + (\frac{2}{b})^2\}$ [সূত্র: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$]

$= (\frac{1}{2a} + \frac{2}{b})(\frac{1}{4a^2} – \frac{2}{2ab} + \frac{4}{b^2})$

$= (\frac{1}{2a} + \frac{2}{b})(\frac{1}{4a^2} – \frac{1}{ab} + \frac{4}{b^2})$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(\frac{1}{2a} + \frac{2}{b})(\frac{1}{4a^2} – \frac{1}{ab} + \frac{4}{b^2})$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি,
$= (2a^3 – b^3)^3 – (b^3)^3$

ধরি $x = 2a^3 – b^3$ এবং $y = b^3$। তাহলে রাশিটি দাঁড়ায় $x^3 – y^3$।

সূত্র: $(x – y)(x^2 + xy + y^2)$ প্রয়োগ করে পাই:

$= \{(2a^3 – b^3) – b^3\}\{(2a^3 – b^3)^2 + (2a^3 – b^3)b^3 + (b^3)^2\}$

$= (2a^3 – 2b^3)\{(4a^6 – 4a^3b^3 + b^6) + (2a^3b^3 – b^6) + b^6\}$

$= 2(a^3 – b^3)(4a^6 – 2a^3b^3 + b^6)$ [সরল করে]

এখন $(a^3 – b^3)$-কে আবার সূত্রে ভাঙা যায়:

$= 2(a – b)(a^2 + ab + b^2)(4a^6 – 2a^3b^3 + b^6)$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $2(a – b)(a^2 + ab + b^2)(4a^6 – 2a^3b^3 + b^6)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি,
$= AR^3 – Ar^3 + AR^2h – Ar^2h$

পুরো রাশি থেকে $A$ কমন নিয়ে পাই:

$= A(R^3 – r^3 + R^2h – r^2h)$

$= A[(R^3 – r^3) + h(R^2 – r^2)]$ [পদগুলি সাজিয়ে]

এখন $R^3 – r^3$ এবং $R^2 – r^2$-এর সূত্র প্রয়োগ করি:

$= A[(R – r)(R^2 + Rr + r^2) + h(R – r)(R + r)]$

উভয় অংশ থেকে $(R – r)$ কমন নিয়ে পাই:

$= A(R – r)[R^2 + Rr + r^2 + h(R + r)]$

$= A(R – r)(R^2 + Rr + r^2 + Rh + rh)$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $A(R – r)(R^2 + Rr + r^2 + Rh + rh)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি,
$= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 – 8$

প্রথম অংশটি $(a + b)^3$-এর সূত্র:

$= (a + b)^3 – (2)^3$ [যেহেতু $2^3 = 8$]

এখন $x^3 – y^3$-এর সূত্র প্রয়োগ করি, যেখানে $x = a+b$ এবং $y = 2$:

$= \{(a + b) – 2\}\{(a + b)^2 + (a + b) \cdot 2 + (2)^2\}$

$= (a + b – 2)(a^2 + 2ab + b^2 + 2a + 2b + 4)$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(a + b – 2)(a^2 + 2ab + b^2 + 2a + 2b + 4)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি,
$= 32x^4 – 500x$

প্রথমে $4x$ কমন নিয়ে পাই:

$= 4x(8x^3 – 125)$

$= 4x\{(2x)^3 – (5)^3\}$

এখন $a^3 – b^3$-এর সূত্র প্রয়োগ করি:

$= 4x(2x – 5)\{(2x)^2 + 2x \cdot 5 + (5)^2\}$

$= 4x(2x – 5)(4x^2 + 10x + 25)$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $4x(2x – 5)(4x^2 + 10x + 25)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি,
$= 8a^3 – b^3 – 4ax + 2bx$

$= (2a)^3 – (b)^3 – 2x(2a – b)$ [প্রথম অংশে ঘন এবং পরের অংশে $-2x$ কমন নিয়ে]

$= (2a – b)\{(2a)^2 + 2a \cdot b + b^2\} – 2x(2a – b)$

$= (2a – b)(4a^2 + 2ab + b^2) – 2x(2a – b)$

উভয় পদ থেকে $(2a – b)$ কমন নিয়ে পাই:

$= (2a – b)(4a^2 + 2ab + b^2 – 2x)$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(2a – b)(4a^2 + 2ab + b^2 – 2x)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি,
$= x^3 – 6x^2 + 12x – 35$

রাশিটিকে $(x – 2)^3$ এর আদলে সাজানোর চেষ্টা করি:

$= x^3 – 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 – 2^3 – 27$ [$-35$ কে $-8 – 27$ এ ভেঙে]

$= (x – 2)^3 – 27$

$= (x – 2)^3 – (3)^3$

এখন $a^3 – b^3$-এর সূত্র প্রয়োগ করি, যেখানে $a = x – 2$ এবং $b = 3$:

$= (x – 2 – 3)\{(x – 2)^2 + (x – 2) \cdot 3 + (3)^2\}$

$= (x – 5)\{(x^2 – 4x + 4) + (3x – 6) + 9\}$

$= (x – 5)(x^2 – 4x + 4 + 3x – 6 + 9)$

$= (x – 5)(x^2 – x + 7)$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(x – 5)(x^2 – x + 7)$