নবম শ্রেণী গণিত: কষে দেখি – 8.5 উৎপাদকে বিশ্লেষণ

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি,
$= (a + b)^2 – 5(a + b) + 6$ [$-5$ কমন নিয়ে]

ধরি, $a + b = x$

$\therefore$ রাশিটি দাঁড়ায়:

$= x^2 – 5x + 6$

$= x^2 – 3x – 2x + 6$ [মধ্যসহগ বিশ্লেষণ করে]

$= x(x – 3) – 2(x – 3)$

$= (x – 3)(x – 2)$

এখন $x$-এর মান বসিয়ে পাই:

$= (a + b – 3)(a + b – 2)$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(a + b – 2)(a + b – 3)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশিকে সাজিয়ে পাই:

$= \{(x + 1)(3x – 1)\} \{(x + 2)(3x – 4)\} + 12$

$= (3x^2 – x + 3x – 1)(3x^2 – 4x + 6x – 8) + 12$

$= (3x^2 + 2x – 1)(3x^2 + 2x – 8) + 12$

ধরি, $3x^2 + 2x = a$

$\therefore$ রাশিটি দাঁড়ায়:

$= (a – 1)(a – 8) + 12$

$= a^2 – 8a – a + 8 + 12$

$= a^2 – 9a + 20$

$= a^2 – 4a – 5a + 20$

$= a(a – 4) – 5(a – 4)$

$= (a – 4)(a – 5)$

এখন $a$-এর মান $3x^2 + 2x$ বসিয়ে পাই:

$= (3x^2 + 2x – 4)(3x^2 + 2x – 5)$

দ্বিতীয় উৎপাদকটিকে পুনরায় বিশ্লেষণ করা যায়:

$3x^2 + 2x – 5 = 3x^2 + 5x – 3x – 5 = x(3x + 5) – 1(3x + 5) = (3x + 5)(x – 1)$

$\therefore$ নির্ণেয় রাশিমালা $= (3x^2 + 2x – 4)(x – 1)(3x + 5)$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(x – 1)(3x + 5)(3x^2 + 2x – 4)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি,
$= x(x – 1)(x + 1)(x + 2) – 8$

সাজিয়ে পাই:

$= \{x(x + 1)\} \{(x – 1)(x + 2)\} – 8$

$= (x^2 + x)(x^2 + 2x – x – 2) – 8$

$= (x^2 + x)(x^2 + x – 2) – 8$

ধরি, $x^2 + x = p$

$\therefore$ রাশিটি দাঁড়ায়:

$= p(p – 2) – 8$

$= p^2 – 2p – 8$

$= p^2 – 4p + 2p – 8$

$= p(p – 4) + 2(p – 4)$

$= (p – 4)(p + 2)$

এখন $p$-এর মান বসিয়ে পাই:

$= (x^2 + x – 4)(x^2 + x + 2)$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(x^2 + x – 4)(x^2 + x + 2)$

সমাধান:

আমরা জানি, $a^4 – b^4 = (a^2 + b^2)(a^2 – b^2)$

ধরি, $a^2 + b^2 = x$ এবং $a^2 – b^2 = y$

$\therefore$ রাশিটি দাঁড়ায়:

$= 7x^2 – 15xy + 8y^2$

$= 7x^2 – 7xy – 8xy + 8y^2$

$= 7x(x – y) – 8y(x – y)$

$= (x – y)(7x – 8y)$

এখন $x$ ও $y$-এর মান বসিয়ে পাই:

১ম অংশ: $x – y = (a^2 + b^2) – (a^2 – b^2) = a^2 + b^2 – a^2 + b^2 = 2b^2$

২য় অংশ: $7x – 8y = 7(a^2 + b^2) – 8(a^2 – b^2) = 7a^2 + 7b^2 – 8a^2 + 8b^2 = 15b^2 – a^2$

$\therefore$ নির্ণেয় রাশিমালা $= 2b^2(15b^2 – a^2)$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $2b^2(15b^2 – a^2)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি,
$= (x^2 – 1)^2 + 8x(x^2 + 1) + 19x^2$

আমরা জানি, $(x^2 – 1)^2 = (x^2 + 1)^2 – 4x^2 \cdot 1 = (x^2 + 1)^2 – 4x^2$

$\therefore$ রাশিটি হয়:

$= (x^2 + 1)^2 – 4x^2 + 8x(x^2 + 1) + 19x^2$

$= (x^2 + 1)^2 + 8x(x^2 + 1) + 15x^2$

ধরি, $x^2 + 1 = p$

$= p^2 + 8xp + 15x^2$

$= p^2 + 3xp + 5xp + 15x^2$

$= p(p + 3x) + 5x(p + 3x)$

$= (p + 3x)(p + 5x)$

এখন $p$-এর মান $x^2 + 1$ বসিয়ে পাই:

$= (x^2 + 1 + 3x)(x^2 + 1 + 5x)$

$= (x^2 + 3x + 1)(x^2 + 5x + 1)$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(x^2 + 3x + 1)(x^2 + 5x + 1)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি: $(a – 1)x^2 – x – (a – 2)$

এখানে $x^2$-এর সহগ $(a – 1)$ এবং ধ্রুবক পদ $(a – 2)$।

আমরা জানি, $(a – 1) – (a – 2) = a – 1 – a + 2 = 1$ (যা মধ্যপদের সহগ)।

$\therefore$ রাশিটি দাঁড়ায়:

$= (a – 1)x^2 – \{(a – 1) – (a – 2)\}x – (a – 2)$

$= (a – 1)x^2 – (a – 1)x + (a – 2)x – (a – 2)$

$= (a – 1)x(x – 1) + (a – 2)(x – 1)$ [কমন নিয়ে]

$= (x – 1)\{(a – 1)x + (a – 2)\}$

$= (x – 1)(ax – x + a – 2)$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(x – 1)(ax – x + a – 2)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি: $(a – 1)x^2 + a^2xy + (a + 1)y^2$

প্রান্তীয় সহগ দুটির গুণফল: $(a – 1)(a + 1) = a^2 – 1$।

মধ্যপদ $a^2$-কে আমরা লিখতে পারি: $a^2 = (a^2 – 1) + 1$।

$\therefore$ রাশিটি দাঁড়ায়:

$= (a – 1)x^2 + \{(a^2 – 1) + 1\}xy + (a + 1)y^2$

$= (a – 1)x^2 + (a^2 – 1)xy + xy + (a + 1)y^2$

$= (a – 1)x^2 + (a – 1)(a + 1)xy + xy + (a + 1)y^2$

$= (a – 1)x \{x + (a + 1)y\} + y \{x + (a + 1)y\}$

$= \{x + (a + 1)y\} \{(a – 1)x + y\}$

$= (x + ay + y)(ax – x + y)$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(x + ay + y)(ax – x + y)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি: $x^2 – qx – (p^2 – 5pq + 6q^2)$

প্রথমে ধ্রুবক অংশটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি:

$p^2 – 5pq + 6q^2 = p^2 – 2pq – 3pq + 6q^2 = p(p – 2q) – 3q(p – 2q) = (p – 2q)(p – 3q)$

এখন মূল রাশিতে ফিরে আসি:

$= x^2 – qx – (p – 2q)(p – 3q)$

আমরা দেখি যে, $(p – 2q) – (p – 3q) = q$ (যা মধ্যপদের সহগ)।

$\therefore$ রাশিটি হয়:

$= x^2 – \{(p – 2q) – (p – 3q)\}x – (p – 2q)(p – 3q)$

$= x^2 – (p – 2q)x + (p – 3q)x – (p – 2q)(p – 3q)$

$= x\{x – (p – 2q)\} + (p – 3q)\{x – (p – 2q)\}$

$= \{x – (p – 2q)\} \{x + (p – 3q)\}$

$= (x – p + 2q)(x + p – 3q)$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(x – p + 2q)(x + p – 3q)$

সমাধান:

আমরা জানি, $a^2 + \frac{1}{a^2} = (a – \frac{1}{a})^2 + 2$

ধরি, $a – \frac{1}{a} = x$

$\therefore$ প্রদত্ত রাশি:

$= 2(x^2 + 2) – x – 7$

$= 2x^2 + 4 – x – 7$

$= 2x^2 – x – 3$

$= 2x^2 – 3x + 2x – 3$ [মধ্যসহগ বিশ্লেষণ করে]

$= x(2x – 3) + 1(2x – 3)$

$= (2x – 3)(x + 1)$

এখন $x$-এর মান বসিয়ে পাই:

$= \{2(a – \frac{1}{a}) – 3\} (a – \frac{1}{a} + 1)$

$= (2a – \frac{2}{a} – 3)(a – \frac{1}{a} + 1)$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(2a – \frac{2}{a} – 3)(a – \frac{1}{a} + 1)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি: $(x^2 – x)y^2 + y – (x^2 + x)$

সরল করে পাই:

$= x(x – 1)y^2 + y – x(x + 1)$

প্রান্তীয় পদ দুটির গুণফল: $x(x – 1) \times \{-x(x + 1)\} = -x^2(x^2 – 1)$

মধ্যপদ $y$-এর সহগ হলো $1$।

আমরা জানি, $x^2 – (x^2 – 1) = 1$।

$\therefore$ মধ্যপদ বিশ্লেষণ করে পাই:

$= x(x – 1)y^2 + \{x^2 – (x^2 – 1)\}y – x(x + 1)$

$= (x^2 – x)y^2 + x^2y – (x^2 – 1)y – (x^2 + x)$

$= x(x – 1)y^2 + x^2y – (x – 1)(x + 1)y – x(x + 1)$

প্রথম অংশ থেকে $xy$ এবং দ্বিতীয় অংশ থেকে $-(x + 1)$ কমন নিয়ে পাই:

$= xy\{(x – 1)y + x\} – (x + 1)\{(x – 1)y + x\}$

$= \{(x – 1)y + x\} \{xy – (x + 1)\}$

$= (xy – y + x)(xy – x – 1)$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(xy – y + x)(xy – x – 1)$

সমাধান:

প্রদত্ত, $a^2 – b^2 = 11 \times 9 = 99$

এখন বিকল্পগুলি যাচাই করি:

• (a) $a=11, b=9 \Rightarrow a^2 – b^2 = 121 – 81 = 40 \neq 99$
• (b) $a=33, b=3 \Rightarrow a^2 – b^2 = 1089 – 9 = 1080 \neq 99$
• (c) $a=10, b=1 \Rightarrow a^2 – b^2 = 100 – 1 = 99$ (সঠিক)

অথবা, গাণিতিক পদ্ধতিতে:
$a^2 – b^2 = 99 = 100 – 1 = 10^2 – 1^2$
তুলনা করে পাই $a = 10$ এবং $b = 1$।

উত্তর: (c) $a=10, b=1$

সমাধান:

প্রদত্ত, $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 1$

বা, $\frac{a^2 + b^2}{ab} = 1$ [লসাগু করে]

বা, $a^2 + b^2 = ab$

বা, $a^2 – ab + b^2 = 0$

এখন, $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2)$

$= (a + b) \times 0$ [মান বসিয়ে]

$= 0$

উত্তর: (d) 0

সমাধান:

ধরি, $a = 25$, $b = -75$, $c = 50$

এখানে, $a + b + c = 25 – 75 + 50 = 0$

আমরা জানি, যদি $a + b + c = 0$ হয়, তবে $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$।

সুতরাং, $25^3 + (-75)^3 + 50^3 = 3 \times 25 \times (-75) \times 50$

বা, $25^3 – 75^3 + 50^3 = -3 \times 25 \times 75 \times 50$

এখন প্রদত্ত রাশিমালা:
$(25^3 – 75^3 + 50^3) + (3 \times 25 \times 75 \times 50)$

$= (-3 \times 25 \times 75 \times 50) + (3 \times 25 \times 75 \times 50)$

$= 0$

উত্তর: (b) 0

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি = $\frac{a^2}{bc} + \frac{b^2}{ca} + \frac{c^2}{ab}$

$= \frac{a^3 + b^3 + c^3}{abc}$ [লসাগু $abc$]

যেহেতু $a + b + c = 0$, তাই $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$।

মান বসিয়ে পাই:

$= \frac{3abc}{abc}$

$= 3$

উত্তর: (d) 3

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণের ডানপক্ষ গুণ করে পাই:

$(x – 3)(x – a) = x^2 – ax – 3x + 3a = x^2 – (a + 3)x + 3a$

এখন বামপক্ষ $x^2 – px + 12$-এর সাথে সহগ তুলনা করে পাই:

১. ধ্রুবক পদ: $3a = 12 \Rightarrow a = 4$

২. $x$-এর সহগ: $-p = -(a + 3) \Rightarrow p = a + 3$

$a = 4$ মান বসিয়ে পাই, $p = 4 + 3 = 7$

সুতরাং, $a = 4$ এবং $p = 7$

উত্তর: (a) $a=4, p=7$

সমাধান:

আমরা জানি, যদি $x + y + z = 0$ হয়, তবে $x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$ হয়।

লবের ক্ষেত্রে:
ধরি, $x = b^2 – c^2$, $y = c^2 – a^2$, $z = a^2 – b^2$।
$x + y + z = (b^2 – c^2) + (c^2 – a^2) + (a^2 – b^2) = 0$।
$\therefore$ লব $= 3(b^2 – c^2)(c^2 – a^2)(a^2 – b^2)$।

হরের ক্ষেত্রে:
ধরি, $p = b – c$, $q = c – a$, $r = a – b$।
$p + q + r = (b – c) + (c – a) + (a – b) = 0$।
$\therefore$ হর $= 3(b – c)(c – a)(a – b)$।

এখন প্রদত্ত ভগ্নাংশটি দাঁড়ায়:

$= \frac{3(b^2 – c^2)(c^2 – a^2)(a^2 – b^2)}{3(b – c)(c – a)(a – b)}$

$= \frac{3(b + c)(b – c)(c + a)(c – a)(a + b)(a – b)}{3(b – c)(c – a)(a – b)}$

$= (b + c)(c + a)(a + b)$

উত্তর: নির্ণেয় সরলতম মান $(b + c)(c + a)(a + b)$

সমাধান:

আমরা জানি,
$a^3 + b^3 + c^3 – 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 – ab – bc – ca)$

প্রশ্নানুসারে, রাশিটির মান 0 এবং $a + b + c \neq 0$।
সুতরাং, অপর উৎপাদকটি অবশ্যই শূন্য হবে।

$\therefore a^2 + b^2 + c^2 – ab – bc – ca = 0$

উভয়পক্ষকে 2 দিয়ে গুণ করে পাই:

$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 – 2ab – 2bc – 2ca = 0$

$(a^2 – 2ab + b^2) + (b^2 – 2bc + c^2) + (c^2 – 2ca + a^2) = 0$

$(a – b)^2 + (b – c)^2 + (c – a)^2 = 0$

কয়েকটি বর্গরাশির সমষ্টি শূন্য হলে, তারা প্রত্যেকে পৃথকভাবে শূন্য হবে।

$\therefore a – b = 0 \Rightarrow a = b$
$b – c = 0 \Rightarrow b = c$
$c – a = 0 \Rightarrow c = a$

অর্থাৎ, $a = b = c$

উত্তর: নির্ণেয় সম্পর্কটি হলো $a = b = c$

সমাধান:

প্রদত্ত, $a^2 – b^2 = 224$

যেহেতু $a$ ও $b$ ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং $a < b$, তাই $|a| > |b|$।
ধরি, $a = -x$ এবং $b = -y$, যেখানে $x, y$ ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং $x > y$।

$\therefore (-x)^2 – (-y)^2 = 224$
বা, $x^2 – y^2 = 224$
বা, $(x + y)(x – y) = 224$

দুটি পূর্ণসংখ্যার গুণফল 224 এবং যেহেতু তাদের যোগফল $(x + y)$ ও বিয়োগফল $(x – y)$-এর সমষ্টি $2x$ (জোড় সংখ্যা), তাই উৎপাদক দুটি অবশ্যই উভয়ই জোড় হতে হবে।

সম্ভাব্য জোড় উৎপাদক জোড়া হলো:

• $112 \times 2 \Rightarrow x + y = 112, x – y = 2 \Rightarrow 2x = 114 \Rightarrow x = 57, y = 55$
• $56 \times 4 \Rightarrow x + y = 56, x – y = 4 \Rightarrow 2x = 60 \Rightarrow x = 30, y = 26$
• $28 \times 8 \Rightarrow x + y = 28, x – y = 8 \Rightarrow 2x = 36 \Rightarrow x = 18, y = 10$
• $16 \times 14 \Rightarrow x + y = 16, x – y = 14 \Rightarrow 2x = 30 \Rightarrow x = 15, y = 1$

যেহেতু $a = -x$ এবং $b = -y$, তাই সম্ভাব্য মানগুলি হলো:
$(-57, -55), (-30, -26), (-18, -10), (-15, -1)$

উত্তর: $a$ ও $b$-এর সম্ভাব্য মানগুলি হলো $(-57, -55), (-30, -26), (-18, -10)$ বা $(-15, -1)$

সমাধান:

ধরি, $P = x – a$, $Q = x – b$, $R = x – c$

এখন, $P + Q + R = (x – a) + (x – b) + (x – c)$
$= 3x – (a + b + c)$

প্রদত্ত আছে, $3x = a + b + c \Rightarrow 3x – (a + b + c) = 0$

$\therefore P + Q + R = 0$

আমরা জানি, যদি $P + Q + R = 0$ হয়, তবে $P^3 + Q^3 + R^3 = 3PQR$ হয়।

$\therefore P^3 + Q^3 + R^3 – 3PQR = 0$

মান বসিয়ে পাই:
$(x – a)^3 + (x – b)^3 + (x – c)^3 – 3(x – a)(x – b)(x – c) = 0$

উত্তর: নির্ণেয় মান 0

সমাধান:

প্রদত্ত অভেদ:
$2x^2 + px + 6 = (2x – a)(x – 2)$

ডানপক্ষ গুণ করে পাই:
$= 2x(x – 2) – a(x – 2)$
$= 2x^2 – 4x – ax + 2a$
$= 2x^2 – (4 + a)x + 2a$

এখন বামপক্ষ $2x^2 + px + 6$-এর সাথে সহগ তুলনা করে পাই:

১. ধ্রুবক পদ: $2a = 6 \Rightarrow a = 3$

২. $x$-এর সহগ: $p = -(4 + a)$

$a = 3$ মানটি বসিয়ে পাই:
$p = -(4 + 3) = -7$

উত্তর: নির্ণেয় মান $a = 3$ এবং $p = -7$