নবম শ্রেণী গণিত: রাশি বিজ্ঞান কষে দেখি -11.1

সমাধান:

প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী, সর্বোচ্চ শিশুসংখ্যা 6 এবং সর্বনিম্ন 0।
প্রশ্নানুযায়ী শ্রেণিগুলি হবে 0-2, 2-4, 4-6 ইত্যাদি। এখানে শ্রেণি-বহির্ভূত পদ্ধতি (Exclusive Method) ব্যবহার করা হয়েছে (যেমন: 0-2 শ্রেণিতে 0 ও 1 থাকবে, কিন্তু 2 পরবর্তী শ্রেণিতে যাবে)।

পরিসংখ্যা বিভাজন ছক:

সংজ্ঞা:

• (i) শ্রেণি-অন্তর (Class Interval): চলের (Variable) মানগুলিকে যখন কয়েকটি শ্রেণিতে ভাগ করা হয়, তখন সেই বিস্তৃত প্রসারকে শ্রেণি-অন্তর বলা হয়। যেমন: এখানে 0-2 হলো একটি শ্রেণি-অন্তর।
• (ii) শ্রেণি-দৈর্ঘ্য (Class Length): কোনো শ্রেণির ঊর্ধ্বসীমানা ও নিম্নসীমানার অন্তরফলকে শ্রেণি-দৈর্ঘ্য বলা হয়। যেমন: 0-2 শ্রেণির দৈর্ঘ্য $(2 – 0) = 2$।
• (iii) শ্রেণি-পরিসংখ্যা (Class Frequency): কোনো শ্রেণির অন্তর্গত চলের মানগুলির মোট সংখ্যাকে ওই শ্রেণির পরিসংখ্যা বলা হয়। যেমন: 0-2 শ্রেণির পরিসংখ্যা 11।
• (iv) শ্রেণি-সীমা (Class Limit): শ্রেণির প্রান্তস্থ মান দুটিকে শ্রেণি-সীমা বলে। এর মধ্যে ক্ষুদ্রতম মানটিকে নিম্নসীমা এবং বৃহত্তম মানটিকে ঊর্ধ্বসীমা বলা হয়।

সমাধান:

প্রদত্ত শ্রেণিগুলি হলো শ্রেণি-অন্তর্ভুক্ত পদ্ধতি (Inclusive Method)। এখানে 1-10 শ্রেণিতে 1 থেকে 10 পর্যন্ত সমস্ত মান অন্তর্ভুক্ত থাকবে।

উত্তর: নির্ণেয় পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি উপরে দেওয়া হলো।

সমাধান:

প্রদত্ত তথ্যে সর্বনিম্ন ওজন 30 গ্রাম এবং সর্বোচ্চ ওজন 110 গ্রাম। তথ্যের প্রসারকে সুবিধাজনক ভাবে প্রকাশ করার জন্য আমরা 20 শ্রেণি-দৈর্ঘ্য নিয়ে শ্রেণি গঠন করলাম (যেমন: 30-50, 50-70…)।

১. পরিসংখ্যা বিভাজন ছক:

২. ক্ষুদ্রতর-সূচক ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা বিভাজন ছক:

সমাধান:

প্রদত্ত তথ্যে সর্বনিম্ন বিল 52 টাকা এবং সর্বোচ্চ বিল 130 টাকা।
তথ্যের প্রসার (Range) = $130 – 52 = 78$।
সুবিধাজনকভাবে শ্রেণি-দৈর্ঘ্য 20 নিয়ে আমরা শ্রেণি গঠন করতে পারি। যেমন: 50-70, 70-90 ইত্যাদি।

সমাধান:

‘বৃহত্তর-সূচক’ (Greater than type) ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা তৈরি করার সময় আমরা শ্রেণির নিম্নসীমাগুলি ব্যবহার করি।

সমাধান:

প্রদত্ত ছকটি ‘ক্ষুদ্রতর-সূচক’ (Less than type)। এখান থেকে সাধারণ পরিসংখ্যা বের করার জন্য পরপর বিয়োগ করতে হবে।

সমাধান:

প্রদত্ত ছকটি ‘বৃহত্তর-সূচক’ (More than type)। কারণ এখানে ‘বেশি’ কথাটি ব্যবহার করা হয়েছে এবং মান ক্রমশ কমছে।

ব্যাখ্যা:

দণ্ডলেখ (Bar Graph) হলো রাশিবিজ্ঞানের তথ্যের একটি লৈখিক বা চিত্র উপস্থাপন পদ্ধতি। বাকি অপশনগুলো (কাঁচা তথ্য, ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা, পরিসংখ্যা বিভাজন) হলো তথ্যের সজ্জা বা গাণিতিক রূপ, কিন্তু চিত্র নয়।

উত্তর: (a) দণ্ডলেখ

সমাধান:

প্রদত্ত তথ্যগুলির মধ্যে,

সর্বোচ্চ মান = 32

সর্বনিম্ন মান = 6

আমরা জানি, প্রসার (Range) = সর্বোচ্চ মান – সর্বনিম্ন মান

$= 32 – 6 = 26$

উত্তর: (d) 26

সমাধান:

শ্রেণিগুলি বিচ্ছিন্ন (Discontinuous) অবস্থায় আছে (1-5, তারপর 6-10)।

প্রথমে এদের শ্রেণি-সীমানায় প্রকাশ করতে হবে।

পার্থক্য = $6 – 5 = 1$; তাই $0.5$ বিয়োগ ও যোগ করতে হবে।

1-5 শ্রেণির নিম্ন শ্রেণি-সীমানা = $1 – 0.5 = 0.5$

1-5 শ্রেণির উচ্চ শ্রেণি-সীমানা = $5 + 0.5 = 5.5$

$\therefore$ শ্রেণি-দৈর্ঘ্য = উচ্চ সীমানা – নিম্ন সীমানা

$= 5.5 – 0.5 = 5$

উত্তর: (b) 5

সমাধান:

এখানে পরপর দুটি মধ্যবিন্দুর পার্থক্য (শ্রেণি-দৈর্ঘ্য) = $20 – 15 = 5$

সুতরাং, শ্রেণি-দৈর্ঘ্য ($h$) = 5

যে শ্রেণির মধ্যবিন্দু 20, তার নিম্নসীমা হবে = $\text{মধ্যবিন্দু} – \frac{h}{2}$

$= 20 – \frac{5}{2} = 20 – 2.5 = 17.5$

এবং উচ্চসীমা হবে = $\text{মধ্যবিন্দু} + \frac{h}{2}$

$= 20 + \frac{5}{2} = 20 + 2.5 = 22.5$

$\therefore$ শ্রেণিটি হলো 17.5 – 22.5

উত্তর: (b) 17.5 – 22.5

সমাধান:

দেওয়া আছে,

মধ্যবিন্দু ($m$) = 10

শ্রেণি-দৈর্ঘ্য ($c$) = 6

আমরা জানি, নিম্নসীমা = $m – \frac{c}{2}$

$= 10 – \frac{6}{2}$

$= 10 – 3 = 7$

উত্তর: (b) 7

সমাধান:

ধরি, নিম্নশ্রেণি সীমানা = $l$

আমরা জানি, শ্রেণির মধ্যবিন্দু = $\frac{\text{নিম্নশ্রেণি সীমানা} + \text{উচ্চশ্রেণি সীমানা}}{2}$

প্রশ্নানুসারে,

$\frac{l + u}{2} = m$

বা, $l + u = 2m$

বা, $l = 2m – u$

উত্তর: নিম্নশ্রেণি সীমানাটি হলো $(2m – u)$।

সমাধান:

দেওয়া আছে,

মধ্যবিন্দু ($m$) = 42

শ্রেণি-দৈর্ঘ্য ($c$) = 10

আমরা জানি,

উচ্চসীমা = $\text{মধ্যবিন্দু} + \frac{\text{শ্রেণি-দৈর্ঘ্য}}{2}$

$= 42 + \frac{10}{2} = 42 + 5 = 47$

নিম্নসীমা = $\text{মধ্যবিন্দু} – \frac{\text{শ্রেণি-দৈর্ঘ্য}}{2}$

$= 42 – \frac{10}{2} = 42 – 5 = 37$

উত্তর: শ্রেণিটির উচ্চসীমা 47 এবং নিম্নসীমা 37।

সমাধান:

প্রথম শ্রেণিটি হলো 70-74।

যেহেতু শ্রেণিগুলি বিচ্ছিন্ন (Discontinuous), তাই আমাদের শ্রেণি-সীমানা বের করতে হবে।

পার্থক্য = $75 – 74 = 1$। তাই $0.5$ বিয়োগ ও যোগ করতে হবে।

প্রথম শ্রেণির শ্রেণি-সীমানা = $(70 – 0.5)$ থেকে $(74 + 0.5)$ = $69.5 – 74.5$

শ্রেণি-দৈর্ঘ্য = $74.5 – 69.5 = 5$

প্রথম শ্রেণির পরিসংখ্যা = 3

পরিসংখ্যা ঘনত্ব = $\frac{\text{শ্রেণি পরিসংখ্যা}}{\text{শ্রেণি-দৈর্ঘ্য}}$

$= \frac{3}{5} = 0.6$

উত্তর: প্রথম শ্রেণির পরিসংখ্যা ঘনত্ব 0.6।

সমাধান:

মোট পরিসংখ্যা ($N$) = $3 + 4 + 5 + 8 = 20$

শেষ শ্রেণিটি হলো 85-89, যার পরিসংখ্যা ($f$) = 8

আপেক্ষিক পরিসংখ্যা (Relative Frequency) = $\frac{\text{শ্রেণি পরিসংখ্যা}}{\text{মোট পরিসংখ্যা}}$

$= \frac{8}{20}$

$= \frac{2}{5} = 0.4$

উত্তর: শেষ শ্রেণির আপেক্ষিক পরিসংখ্যা 0.4।

সমাধান:

রাশিবিজ্ঞানে যা সংখ্যা দিয়ে পরিমাপ করা যায় তা ‘চল’ (Variable) এবং যা কেবল গুণগত মান বা বৈশিষ্ট্য বোঝায় তা ‘গুণ’ (Attribute)।

• i) পরিবারের জনসংখ্যা: এটি সংখ্যায় গণনা করা যায়। $\rightarrow$ চল (Variable) [বিচ্ছিন্ন চল]
• ii) দৈনন্দিন তাপমাত্রা: এটি পরিমাপযোগ্য রাশি। $\rightarrow$ চল (Variable) [অবিচ্ছিন্ন চল]
• iii) শিক্ষাগত মান: এটি একটি বৈশিষ্ট্য বা গুণ। $\rightarrow$ গুণ (Attribute)
• iv) মাসিক আয়: এটি টাকার অঙ্কে পরিমাপযোগ্য। $\rightarrow$ চল (Variable)
• v) মাধ্যমিক পরীক্ষায় প্রাপ্ত গ্রেড: গ্রেড (A, B, C ইত্যাদি) একটি গুণগত মান বা পর্যায় বোঝায়। $\rightarrow$ গুণ (Attribute)