নবম শ্রেণী গণিত : সহ-সমীকরন কষে দেখি 5.5

সমাধান:

সহজ ব্যাখ্যা: প্রদত্ত সমীকরণটিকে $x$-এর জন্য সমাধান করা হয়েছে।

$\frac{2}{x}+\frac{3}{y}=1$
বা, $\frac{2}{x} = 1 – \frac{3}{y}$
বা, $\frac{2}{x} = \frac{y – 3}{y}$
বা, $\frac{x}{2} = \frac{y}{y – 3}$ (উভয় পক্ষকে উল্টে)
বা, $x = \frac{2y}{y – 3}$

উত্তর: $x = \frac{2y}{y – 3}$।

সমাধান:

সহজ ব্যাখ্যা: প্রদত্ত সমীকরণে $y$-এর মান বসিয়ে $x$-এর জন্য সমাধান করা হয়েছে।

$2x+3y=9$
$y$-এর পরিবর্তে $\frac{7-4x}{-5}$ বসিয়ে পাই:
বা, $2x + 3 \left( \frac{7-4x}{-5} \right) = 9$
বা, $2x – \frac{3(7-4x)}{5} = 9$
বা, $2x – \frac{21-12x}{5} = 9$

সমীকরণকে 5 দ্বারা গুণ করে পাই:
বা, $10x – (21 – 12x) = 45$
বা, $10x – 21 + 12x = 45$
বা, $22x = 45 + 21$
বা, $22x = 66$
বা, $x = 3$

উত্তর: $x$-এর মান 3 হবে।

সমাধান (a):

সহজ ব্যাখ্যা: প্রথম সমীকরণ থেকে $y$-কে $x$ চলের মাধ্যমে প্রকাশ করে সেই মান দ্বিতীয় সমীকরণে বসিয়ে $x$-এর মান নির্ণয় করা হয়েছে।

সমীকরণ (১): $3x – y = 7$ → $y = 3x – 7$

সমীকরণ (২): $2x + 4y = 0$

$y$-এর মান সমীকরণ (২)-এ বসিয়ে পাই:
$2x + 4(3x – 7) = 0$
বা, $2x + 12x – 28 = 0$
বা, $14x = 28$
বা, $x = 2$

$x=2$ মানটি $y = 3x – 7$-এ বসিয়ে পাই:
$y = 3(2) – 7 = 6 – 7 = -1$

উত্তর: $x=2, y=-1$।

সমাধান (b):

সহজ ব্যাখ্যা: প্রথমে উভয় সমীকরণকে পূর্ণসংখ্যায় আনা হয়েছে। এরপর প্রথম সমীকরণ থেকে $x$-এর মান দ্বিতীয় সমীকরণে বসিয়ে $y$-এর মান নির্ণয় করা হয়েছে।

**সমীকরণ (১) সরলীকরণ:** (6 দ্বারা গুণ করে)
$3x + 2y = 12$ → $3x = 12 – 2y$ → $x = \frac{12 – 2y}{3}$ (সমীকরণ ৩)

**সমীকরণ (২) সরলীকরণ:** (4 দ্বারা গুণ করে)
$x + 2y = 8$ (সমীকরণ ৪)

$x$-এর মান সমীকরণ (৪)-এ বসিয়ে পাই:
$\left( \frac{12 – 2y}{3} \right) + 2y = 8$
বা, $12 – 2y + 6y = 24$ (3 দ্বারা গুণ করে)
বা, $4y = 24 – 12$
বা, $4y = 12$
বা, $y = 3$

$y=3$ মানটি সমীকরণ (৩)-এ বসিয়ে পাই:
$x = \frac{12 – 2(3)}{3} = \frac{12 – 6}{3} = \frac{6}{3} = 2$

উত্তর: $x=2, y=3$।

সমাধান (a):

সহজ ব্যাখ্যা: প্রথম সমীকরণ থেকে $\frac{1}{y}$ এর মান বের করে দ্বিতীয় সমীকরণে বসিয়ে $x$-এর মান নির্ণয় করা হয়েছে।

সমীকরণ (১): $2x + \frac{3}{y} = 1$ → $\frac{3}{y} = 1 – 2x$ → $\frac{1}{y} = \frac{1 – 2x}{3}$

সমীকরণ (২): $5x – 2(\frac{1}{y}) = \frac{11}{12}$

$\frac{1}{y}$-এর মান সমীকরণ (২)-এ বসিয়ে পাই:
$5x – 2\left( \frac{1 – 2x}{3} \right) = \frac{11}{12}$

সমীকরণকে 12 দ্বারা গুণ করে পাই:
$60x – 8(1 – 2x) = 11$
বা, $60x – 8 + 16x = 11$
বা, $76x = 19$
বা, $x = \frac{19}{76} = \frac{1}{4}$

$x=\frac{1}{4}$ মানটি $\frac{1}{y} = \frac{1 – 2x}{3}$-এ বসিয়ে পাই:
$\frac{1}{y} = \frac{1 – 2(\frac{1}{4})}{3} = \frac{1 – \frac{1}{2}}{3} = \frac{\frac{1}{2}}{3} = \frac{1}{6}$
বা, $y = 6$

**মান যাচাই:**
(১) $2(\frac{1}{4}) + \frac{3}{6} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ (ঠিক)
(২) $5(\frac{1}{4}) – \frac{2}{6} = \frac{5}{4} – \frac{1}{3} = \frac{15 – 4}{12} = \frac{11}{12}$ (ঠিক)

উত্তর: $x=\frac{1}{4}, y=6$। সমাধান সমীকরণগুলিকে সিদ্ধ করে।

সমাধান (b):

সহজ ব্যাখ্যা: প্রথম সমীকরণ থেকে $\frac{1}{x}$-এর মান বের করে দ্বিতীয় সমীকরণে বসিয়ে $\frac{1}{y}$-এর মান নির্ণয় করা হয়েছে।

সমীকরণ (১): $\frac{2}{x} = 2 – \frac{3}{y}$ → $\frac{1}{x} = 1 – \frac{3}{2y}$ (সমীকরণ ৩)

সমীকরণ (২): $\frac{5}{x} + \frac{10}{y} = \frac{35}{6}$ → $5(\frac{1}{x}) + \frac{10}{y} = \frac{35}{6}$

$\frac{1}{x}$-এর মান সমীকরণ (২)-এ বসিয়ে পাই:
$5\left( 1 – \frac{3}{2y} \right) + \frac{10}{y} = \frac{35}{6}$
বা, $5 – \frac{15}{2y} + \frac{10}{y} = \frac{35}{6}$
বা, $\frac{10}{y} – \frac{15}{2y} = \frac{35}{6} – 5$
বা, $\frac{20 – 15}{2y} = \frac{35 – 30}{6}$
বা, $\frac{5}{2y} = \frac{5}{6}$
বা, $2y = 6$
বা, $y = 3$

$y=3$ মানটি সমীকরণ (৩)-এ বসিয়ে পাই:
$\frac{1}{x} = 1 – \frac{3}{2(3)} = 1 – \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
বা, $x = 2$

**মান যাচাই:**
(১) $\frac{2}{2} + \frac{3}{3} = 1 + 1 = 2$ (ঠিক)
(২) $\frac{5}{2} + \frac{10}{3} = \frac{15 + 20}{6} = \frac{35}{6} = 5\frac{5}{6}$ (ঠিক)

উত্তর: $x=2, y=3$। সমাধান সমীকরণগুলিকে সিদ্ধ করে।

সমাধান (c):

সহজ ব্যাখ্যা: সমীকরণগুলিকে $\frac{1}{y} + \frac{1}{x} = 3$ আকারে এনে প্রথম সমীকরণ থেকে $\frac{1}{y}$ এর মান দ্বিতীয় সমীকরণে বসিয়ে $\frac{1}{x}$-এর মান নির্ণয় করা হয়েছে।

**সমীকরণ (১) সরলীকরণ:** $\frac{1}{y} + \frac{1}{x} = 3$ → $\frac{1}{y} = 3 – \frac{1}{x}$ (সমীকরণ ৩)

**সমীকরণ (২) সরলীকরণ:** $\frac{1}{y} – \frac{1}{x} = 1$ (সমীকরণ ৪)

$\frac{1}{y}$-এর মান সমীকরণ (৪)-এ বসিয়ে পাই:
$\left( 3 – \frac{1}{x} \right) – \frac{1}{x} = 1$
বা, $3 – \frac{2}{x} = 1$
বা, $3 – 1 = \frac{2}{x}$
বা, $2 = \frac{2}{x}$
বা, $x = 1$

$x=1$ মানটি সমীকরণ (৩)-এ বসিয়ে পাই:
$\frac{1}{y} = 3 – \frac{1}{1} = 2$
বা, $y = \frac{1}{2}$

**মান যাচাই:**
(১) $\frac{1 + 1/2}{1 \times 1/2} = \frac{3/2}{1/2} = 3$ (ঠিক)
(২) $\frac{1 – 1/2}{1 \times 1/2} = \frac{1/2}{1/2} = 1$ (ঠিক)

উত্তর: $x=1, y=\frac{1}{2}$। সমাধান সমীকরণগুলিকে সিদ্ধ করে।

সমাধান (d):

সহজ ব্যাখ্যা: দ্বিতীয় সরল সমীকরণ থেকে $x+y$ এর মান প্রথম সমীকরণে বসিয়ে $x$ ও $y$-এর মান নির্ণয় করা হয়েছে।

সমীকরণ (২): $x+y = \frac{7}{10}$

$x+y$ এর মান সমীকরণ (১)-এ বসিয়ে পাই:
$\frac{7/10}{x-y} = \frac{7}{3}$
বা, $\frac{1}{10(x-y)} = \frac{1}{3}$
বা, $10(x-y) = 3$
বা, $x-y = \frac{3}{10}$ (সমীকরণ ৩)

সমীকরণ (২) ও (৩) যোগ করে পাই:
$(x+y) + (x-y) = \frac{7}{10} + \frac{3}{10}$
বা, $2x = \frac{10}{10} = 1$
বা, $x = \frac{1}{2}$

$x=\frac{1}{2}$ মানটি সমীকরণ (২)-এ বসিয়ে পাই:
$\frac{1}{2} + y = \frac{7}{10}$
বা, $y = \frac{7}{10} – \frac{1}{2} = \frac{7 – 5}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

**মান যাচাই:**
(১) $\frac{1/2 + 1/5}{1/2 – 1/5} = \frac{7/10}{3/10} = \frac{7}{3}$ (ঠিক)
(২) $1/2 + 1/5 = 7/10$ (ঠিক)

উত্তর: $x=\frac{1}{2}, y=\frac{1}{5}$। সমাধান সমীকরণগুলিকে সিদ্ধ করে।

সমাধান (i):

সহজ ব্যাখ্যা: প্রথম সমীকরণ থেকে $x$-এর মান বের করে দ্বিতীয় সমীকরণে বসিয়ে $y$-এর মান নির্ণয় করা হয়েছে। (দ্রষ্টব্য: প্রশ্নে $3x-2y=2$ এবং $7x+3y=43$ ধরে সমাধান করা হয়েছে, যেমনটি কষে দেখি 5.4 এর 5.(i) তে ছিল)।

সমীকরণ (১): $3x – 2y = 2$ → $3x = 2 + 2y$ → $x = \frac{2 + 2y}{3}$ (সমীকরণ ৩)

সমীকরণ (২): $7x + 3y = 43$

$x$-এর মান সমীকরণ (২)-এ বসিয়ে পাই:
$7 \left( \frac{2 + 2y}{3} \right) + 3y = 43$
বা, $7(2 + 2y) + 9y = 129$ (3 দ্বারা গুণ করে)
বা, $14 + 14y + 9y = 129$
বা, $23y = 129 – 14 = 115$
বা, $y = 5$

$y=5$ মানটি সমীকরণ (৩)-এ বসিয়ে পাই:
$x = \frac{2 + 2(5)}{3} = \frac{12}{3} = 4$

উত্তর: $x=4, y=5$।

সমাধান (ii):

সহজ ব্যাখ্যা: প্রথম সমীকরণ থেকে $\frac{3}{y}$ এর মান বের করে দ্বিতীয় সমীকরণে বসিয়ে $x$-এর মান নির্ণয় করা হয়েছে।

সমীকরণ (১): $2x + \frac{3}{y} = 5$ → $\frac{3}{y} = 5 – 2x$

সমীকরণ (২): $5x – \frac{2}{y} = 3$ → $5x – \frac{2}{3} \left( \frac{3}{y} \right) = 3$

$\frac{3}{y}$-এর মান সমীকরণ (২)-এ বসিয়ে পাই:
$5x – \frac{2}{3} (5 – 2x) = 3$
বা, $15x – 2(5 – 2x) = 9$ (3 দ্বারা গুণ করে)
বা, $15x – 10 + 4x = 9$
বা, $19x = 19$
বা, $x = 1$

$x=1$ মানটি $\frac{3}{y} = 5 – 2x$-এ বসিয়ে পাই:
$\frac{3}{y} = 5 – 2(1) = 3$
বা, $3y = 3$
বা, $y = 1$

উত্তর: $x=1, y=1$।

সমাধান (iii):

সহজ ব্যাখ্যা: প্রথমে উভয় সমীকরণকে পূর্ণসংখ্যায় এনে প্রথম সমীকরণ থেকে $x$-এর মান দ্বিতীয় সমীকরণে বসিয়ে $y$-এর মান নির্ণয় করা হয়েছে।

**সমীকরণ সরলীকরণ (6 দ্বারা গুণ করে):**
(৩) $3x + 2y = 6$ → $3x = 6 – 2y$ → $x = \frac{6 – 2y}{3}$

(৪) $2x + 3y = 6$

$x$-এর মান সমীকরণ (৪)-এ বসিয়ে পাই:
$2 \left( \frac{6 – 2y}{3} \right) + 3y = 6$
বা, $2(6 – 2y) + 9y = 18$ (3 দ্বারা গুণ করে)
বা, $12 – 4y + 9y = 18$
বা, $5y = 6$
বা, $y = \frac{6}{5}$

$y=\frac{6}{5}$ মানটি $x = \frac{6 – 2y}{3}$-এ বসিয়ে পাই:
$x = \frac{6 – 2(\frac{6}{5})}{3} = \frac{6 – \frac{12}{5}}{3} = \frac{\frac{30 – 12}{5}}{3} = \frac{18}{15} = \frac{6}{5}$

উত্তর: $x=\frac{6}{5}, y=\frac{6}{5}$।

সমাধান (iv):

সহজ ব্যাখ্যা: প্রথম সমীকরণ থেকে $x$-এর মান সরাসরি দ্বিতীয় সমীকরণে বসিয়ে $y$-এর মান নির্ণয় করা হয়েছে।

সমীকরণ (১): $\frac{x}{3}=\frac{y}{4}$ → $x = \frac{3y}{4}$

সমীকরণ (২): $7x – 5y = 2$

$x$-এর মান সমীকরণ (২)-এ বসিয়ে পাই:
$7 \left( \frac{3y}{4} \right) – 5y = 2$
বা, $\frac{21y}{4} – 5y = 2$
বা, $21y – 20y = 8$ (4 দ্বারা গুণ করে)
বা, $y = 8$

$y=8$ মানটি $x = \frac{3y}{4}$-এ বসিয়ে পাই:
$x = \frac{3(8)}{4} = 3 \times 2 = 6$

উত্তর: $x=6, y=8$।

সমাধান (v):

সহজ ব্যাখ্যা: প্রথম সমীকরণ থেকে $\frac{1}{x}$-এর মান বের করে দ্বিতীয় সমীকরণে বসিয়ে $\frac{1}{y}$-এর মান নির্ণয় করা হয়েছে।

সমীকরণ (১): $\frac{2}{x} = 1 – \frac{5}{y}$ → $\frac{1}{x} = \frac{1}{2} – \frac{5}{2y}$ (সমীকরণ ৩)

সমীকরণ (২): $3(\frac{1}{x}) + \frac{2}{y} = \frac{19}{20}$

$\frac{1}{x}$-এর মান সমীকরণ (২)-এ বসিয়ে পাই:
$3\left( \frac{1}{2} – \frac{5}{2y} \right) + \frac{2}{y} = \frac{19}{20}$
বা, $\frac{3}{2} – \frac{15}{2y} + \frac{2}{y} = \frac{19}{20}$
বা, $\frac{2}{y} – \frac{15}{2y} = \frac{19}{20} – \frac{3}{2}$
বা, $\frac{4 – 15}{2y} = \frac{19 – 30}{20}$
বা, $\frac{-11}{2y} = \frac{-11}{20}$
বা, $2y = 20$
বা, $y = 10$

$y=10$ মানটি সমীকরণ (৩)-এ বসিয়ে পাই:
$\frac{1}{x} = \frac{1}{2} – \frac{5}{2(10)} = \frac{1}{2} – \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$
বা, $x = 4$

উত্তর: $x=4, y=10$।

সমাধান (vi):

সহজ ব্যাখ্যা: উভয় সমীকরণকে সরল রৈখিক আকারে এনে প্রথম সমীকরণ থেকে $x$-এর মান দ্বিতীয় সমীকরণে বসিয়ে $y$-এর মান নির্ণয় করা হয়েছে।

**সমীকরণ (১) সরলীকরণ:**
$4(x-y) = 3(y-1)$
বা, $4x – 4y = 3y – 3$
বা, $4x = 7y – 3$ → $x = \frac{7y – 3}{4}$ (সমীকরণ ৩)

**সমীকরণ (২) সরলীকরণ:**
$4x – 5y = 7x – 49$
বা, $-3x = 5y – 49$ → $x = \frac{49 – 5y}{3}$ (সমীকরণ ৪)

$x$-এর মান সমীকরণ (৪)-এ বসিয়ে পাই:
$\frac{7y – 3}{4} = \frac{49 – 5y}{3}$ (তুলনামূলক পদ্ধতি ব্যবহার করে, এটি পরিবর্ত পদ্ধতির একটি ধাপের প্রয়োগ)
বা, $3(7y – 3) = 4(49 – 5y)$
বা, $21y – 9 = 196 – 20y$
বা, $41y = 205$
বা, $y = 5$

$y=5$ মানটি সমীকরণ (৩)-এ বসিয়ে পাই:
$x = \frac{7(5) – 3}{4} = \frac{32}{4} = 8$

উত্তর: $x=8, y=5$।

সমাধান (vii):

সহজ ব্যাখ্যা: উভয় সমীকরণকে পূর্ণসংখ্যায় এনে প্রথম সমীকরণ থেকে $x$-এর মান দ্বিতীয় সমীকরণে বসিয়ে $y$-এর মান নির্ণয় করা হয়েছে।

**সমীকরণ (১) সরলীকরণ (126 দ্বারা গুণ করে):**
$9x + 7y = 126$ → $9x = 126 – 7y$ → $x = \frac{126 – 7y}{9}$ (সমীকরণ ৩)

**সমীকরণ (২) সরলীকরণ (4 দ্বারা গুণ করে):**
$5x – 3y = 8$ → $5x = 8 + 3y$ → $x = \frac{8 + 3y}{5}$ (সমীকরণ ৪)

$x$-এর মান (৩) ও (৪) তুলনা করে পাই:
$\frac{126 – 7y}{9} = \frac{8 + 3y}{5}$ (তুলনামূলক পদ্ধতি ব্যবহার করে)
বা, $5(126 – 7y) = 9(8 + 3y)$
বা, $630 – 35y = 72 + 27y$
বা, $630 – 72 = 27y + 35y$
বা, $558 = 62y$
বা, $y = \frac{558}{62} = 9$

$y=9$ মানটি সমীকরণ (৪)-এ বসিয়ে পাই:
$x = \frac{8 + 3(9)}{5} = \frac{8 + 27}{5} = \frac{35}{5} = 7$

উত্তর: $x=7, y=9$।

সমাধান (viii):

সহজ ব্যাখ্যা: তিনটি অংশকে পৃথক করে দুটি সরল সমীকরণ গঠন করা হয়েছে। এরপর $x$-এর মান প্রথম সমীকরণ থেকে বের করে দ্বিতীয় সমীকরণে বসিয়ে $y$-এর মান নির্ণয় করা হয়েছে।

**সমীকরণ (১) গঠন ($p(x+y)=2pq$):**
$x+y = 2q$ → $x = 2q – y$ (সমীকরণ ৩)

**সমীকরণ (২) গঠন ($q(x-y)=2pq$):**
$x-y = 2p$ (সমীকরণ ৪)

$x$-এর মান সমীকরণ (৪)-এ বসিয়ে পাই:
$(2q – y) – y = 2p$
বা, $2q – 2y = 2p$
বা, $2y = 2q – 2p$
বা, $y = q – p$

$y=q-p$ মানটি সমীকরণ (৩)-এ বসিয়ে পাই:
$x = 2q – (q – p)$
বা, $x = q + p$

উত্তর: $x=p+q, y=q-p$।