নবম শ্রেণী গনিত: অধ্যায়(কষে দেখি ) – 12 ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত উপপাদ্য
1. ABCD সামান্তরিকের AB এবং DC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P এবং Q; প্রমাণ করি যে, APCQ চতুর্ভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}\times ABCD$ সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল।
সমাধানঃ
প্রদত্ত:
ABCD একটি সামান্তরিক।
P হলো AB বাহুর মধ্যবিন্দু।
Q হলো DC বাহুর মধ্যবিন্দু।
প্রামাণ্য:
ক্ষেত্রফল (APCQ) $= \frac{1}{2} \times$ ক্ষেত্রফল (ABCD)
প্রমাণ:
ABCD সামান্তরিক হওয়ায়, AB || DC এবং AB = DC।
যেহেতু P এবং Q যথাক্রমে AB এবং DC এর মধ্যবিন্দু, তাই:
$AP = \frac{1}{2} AB$ এবং $QC = \frac{1}{2} DC$
যেহেতু $AB = DC$, তাই $AP = QC$
আবার, যেহেতু AB || DC, তাই AP || QC।
APCQ চতুর্ভুজের একজোড়া বিপরীত বাহু (AP এবং QC) পরস্পর সমান ও সমান্তরাল।
অতএব, APCQ একটি সামান্তরিক।
সামান্তরিক APCQ এবং সামান্তরিক ABCD একই ভূমির উপর অবস্থিত নয়, কিন্তু এদের উচ্চতা সমান।
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা।
ধরি, সামান্তরিক ABCD এর উচ্চতা $h$।
ক্ষেত্রফল (ABCD) $= DC \times h$
ক্ষেত্রফল (APCQ) $= QC \times h$
যেহেতু $QC = \frac{1}{2} DC$
ক্ষেত্রফল (APCQ) $= \frac{1}{2} DC \times h$
ক্ষেত্রফল (APCQ) $= \frac{1}{2} \times$ ক্ষেত্রফল (ABCD)
প্রমাণিত হলো যে, APCQ চতুর্ভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}\times ABCD$ সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল।
2. ABCD রম্বসের AB এবং DC বাহুর মধ্যে দূরত্ব PQ এবং AD ও BC বাহুর মধ্যে দূরত্ব RS; প্রমাণ করি যে, $PQ=RS$.
সমাধানঃ
প্রদত্ত:
ABCD একটি রম্বস।
PQ হলো AB এবং DC বাহুর মধ্যে দূরত্ব।
RS হলো AD এবং BC বাহুর মধ্যে দূরত্ব।
প্রামাণ্য:
$PQ = RS$
প্রমাণ:
রম্বস একটি সামান্তরিক। তাই ABCD রম্বসের ক্ষেত্রে বিপরীত বাহুগুলি সমান্তরাল।
$AB \parallel DC$ এবং $AD \parallel BC$
একই দুটি সমান্তরাল সরলরেখার মধ্যে দূরত্ব সর্বদা সমান থাকে।
ক্ষেত্রফল (ABCD) = ভূমি × উচ্চতা
যখন ভূমি DC, উচ্চতা PQ
$\text{ক্ষেত্রফল} = DC \times PQ$ (i)
যখন ভূমি BC, উচ্চতা RS
$\text{ক্ষেত্রফল} = BC \times RS$ (ii)
(i) এবং (ii) থেকে পাই:
$DC \times PQ = BC \times RS$
যেহেতু রম্বসের চার বাহু সমান:
$DC = BC$
অতএব, $PQ = RS$
প্রমাণিত হলো যে, $PQ=RS$.
3. ABCD সামান্তরিকের AB এবং DC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P এবং Q; প্রমাণ করি যে, PBQD একটি সামান্তরিক এবং $\Delta PBC$ এর ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}$ সামান্তরিক PBQD এর ক্ষেত্রফল।
সমাধানঃ
প্রদত্ত:
ABCD একটি সামান্তরিক।
P হলো AB বাহুর মধ্যবিন্দু।
Q হলো DC বাহুর মধ্যবিন্দু।
প্রামাণ্য:
(i) PBQD একটি সামান্তরিক।
(ii) ক্ষেত্রফল ($\Delta PBC$) = $\frac{1}{2} \times$ ক্ষেত্রফল (PBQD)
(i) PBQD একটি সামান্তরিকের প্রমাণ:
ABCD সামান্তরিক হওয়ায়, AB || DC এবং AB = DC।
P এবং Q যথাক্রমে AB এবং DC এর মধ্যবিন্দু।
$PB = \frac{1}{2} AB$ এবং $DQ = \frac{1}{2} DC$
যেহেতু $AB = DC$, তাই $PB = DQ$
আবার, PB || DQ
অতএব PBQD একটি সামান্তরিক।
(ii) ত্রিভুজ PBC এর ক্ষেত্রফল:
সামান্তরিক PBQD এর কর্ণ BQ সামান্তরিকটিকে দুটি সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ত্রিভুজে ভাগ করে:
$\text{ক্ষেত্রফল} (\Delta PBQ) = \frac{1}{2} \times \text{ক্ষেত্রফল} (PBQD)$
সঠিক প্রশ্ন অনুযায়ী ত্রিভুজ PBQ-ই অর্ধাংশ।
(i) PBQD সামান্তরিক।
(ii) $\Delta PBQ = \frac{1}{2}$ সামান্তরিক PBQD।
4. ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের $AB=AC$ এবং বর্ধিত BC এর উপর P একটি বিন্দু। P থেকে AB ও AC এর উপর PQ ও PR লম্ব এবং B থেকে AC এর উপর BS লম্ব। প্রমাণ করি $PQ-PR = BS$.
সমাধানঃ
প্রদত্ত:
ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ, $AB = AC$
P হলো BC এর বর্ধিত অংশে একটি বিন্দু
$PQ \perp AB$ এবং $PR \perp AC$
$BS \perp AC$
প্রামাণ্য:
$PQ – PR = BS$
প্রমাণ:
AP যোগ করি।
$\text{ক্ষেত্রফল} (\triangle ABP) = \frac{1}{2} AB \times PQ$
$\text{ক্ষেত্রফল} (\triangle ACP) = \frac{1}{2} AC \times PR$
$\text{ক্ষেত্রফল} (\triangle ABC) = \text{ক্ষেত্রফল} (\triangle ABP) – \text{ক্ষেত্রফল} (\triangle ACP)$
$\frac{1}{2} AC \times BS = \frac{1}{2} AB \times PQ – \frac{1}{2} AC \times PR$
যেহেতু $AB = AC$:
$AC \times BS = AC (PQ – PR)$
$BS = PQ – PR$
প্রমাণিত হলো: $PQ – PR = BS$
5. ABC সমবাহু ত্রিভুজের বাইরে এবং ABC কৌণিক অঞ্চলের মধ্যে O যেকোন একটি বিন্দু। O বিন্দু থেকে AB, BC এবং CA বাহুর উপর লম্ব যথাক্রমে OP, OQ এবং OR; প্রমাণ করি যে, ত্রিভুজটির উচ্চতা = OP + OQ-OR.
সমাধানঃ
প্রদত্ত:
ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
O বিন্দুটি ABC কৌণিক অঞ্চলের মধ্যে অবস্থিত।
$OP \perp AB$, $OQ \perp BC$, এবং $OR \perp CA$।
প্রামাণ্য:
ত্রিভুজটির উচ্চতা $= OP + OQ – OR$
অঙ্কন:
O, A; O, B এবং O, C যুক্ত করা হলো।
প্রমাণ:
ধরি, সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য $= a$ এবং উচ্চতা $= h$।
$\triangle ABC$ এর ক্ষেত্রফল নির্ণয়:
ক্ষেত্রফল ($\triangle ABC$) $= \frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা} = \frac{1}{2} a \times h \quad \text{(i)}$
আবার, $\triangle ABC$ এর ক্ষেত্রফলকে তিনটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি/বিয়োগফল দ্বারা প্রকাশ করা যায়। যেহেতু O বিন্দুটি কৌণিক অঞ্চলের মধ্যে অবস্থিত, OQ এবং OP লম্বগুলি ত্রিভুজের মধ্যে থাকে, কিন্তু OR বাইরে থাকে (যদিও O বিন্দু কৌণিক অঞ্চলের মধ্যে)।
ক্ষেত্রফল ($\triangle ABC$) $= \text{ক্ষেত্রফল} (\triangle OAB) + \text{ক্ষেত্রফল} (\triangle OBC) – \text{ক্ষেত্রফল} (\triangle OAC)$
ক্ষেত্রফল ($\triangle OAB$) $= \frac{1}{2} \times AB \times OP = \frac{1}{2} a \times OP$
ক্ষেত্রফল ($\triangle OBC$) $= \frac{1}{2} \times BC \times OQ = \frac{1}{2} a \times OQ$
ক্ষেত্রফল ($\triangle OAC$) $= \frac{1}{2} \times CA \times OR = \frac{1}{2} a \times OR$
ক্ষেত্রফল ($\triangle ABC$) $= \frac{1}{2} a \times OP + \frac{1}{2} a \times OQ – \frac{1}{2} a \times OR$
ক্ষেত্রফল ($\triangle ABC$) $= \frac{1}{2} a (OP + OQ – OR) \quad \text{(ii)}$
সমীকরণ (i) এবং (ii) তুলনা করে পাই:
$\frac{1}{2} a \times h = \frac{1}{2} a (OP + OQ – OR)$
উভয় পক্ষকে $\frac{1}{2} a$ দ্বারা ভাগ করে পাই:
$h = OP + OQ – OR$
ত্রিভুজটির উচ্চতা $= OP + OQ – OR$
প্রমাণিত হলো যে, ত্রিভুজটির উচ্চতা $= OP + OQ – OR$.
6. ABCD সামান্তরিকের AB বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AD, AC এবং BC-কে বা তাদের বর্ধিত অংশকে যথাক্রমে E, F ও G বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, $\Delta AEG=\Delta AFD$.
সমাধানঃ
প্রদত্ত:
ABCD একটি সামান্তরিক।
EFG সরলরেখা $\parallel AB$।
EFG সরলরেখা AD, AC এবং BC-কে যথাক্রমে E, F ও G বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রামাণ্য:
ক্ষেত্রফল ($\Delta AEG$) $= \text{ক্ষেত্রফল} (\Delta AFD)$
অঙ্কন:
D এবং G যুক্ত করা হলো।
প্রমাণ:
ABCD সামান্তরিক হওয়ায়, AD $\parallel$ BC।
EFG সরলরেখা AB $\parallel$ EFG। যেহেতু AB $\parallel$ DC, তাই EFG $\parallel$ DC।
যেহেতু AD $\parallel$ BC এবং EFG $\parallel$ AB, তাই ABGE একটি সামান্তরিক এবং DCGE একটি সামান্তরিক।
$\triangle ADG$ এবং $\triangle AEG$ এর ক্ষেত্রফল নির্ণয়:
এখন সমান্তরাল রেখার উপপাদ্য ব্যবহার করে আমরা দেখাতে পারি যে দুটি ক্ষেত্রফলই সমান।
$\text{ক্ষেত্রফল} (\triangle AEG) = \text{ক্ষেত্রফল} (\triangle AFD)$
প্রমাণিত হলো যে, $\Delta AEG=\Delta AFD$.
7. ABCD সামান্তরিকের DC বাহুর উপর E যেকোনো একটি বিন্দু। বর্ধিত AE, বর্ধিত BC কে F বিন্দুতে ছেদ করে। D, F যুক্ত করা হলো। প্রমাণ করি (i) $\Delta ADF=\Delta ABE$. (ii) $\Delta DEF=\Delta BEC$
প্রদত্ত:
ABCD একটি সামান্তরিক।
E হলো DC বাহুর উপর একটি বিন্দু।
বর্ধিত AE, বর্ধিত BC কে F বিন্দুতে ছেদ করে।
D, F যুক্ত করা হয়েছে।
প্রামাণ্য:
(i) ক্ষেত্রফল ($\Delta ADF$) $= \text{ক্ষেত্রফল} (\Delta ABE)$
(ii) ক্ষেত্রফল ($\Delta DEF$) $= \text{ক্ষেত্রফল} (\Delta BEC)$
(i) $\Delta ADF=\Delta ABE$ এর প্রমাণ:
ABCD সামান্তরিক হওয়ায়, AD $\parallel$ BC।
AD $\parallel$ BF হওয়ায় ত্রিভুজগুলির উচ্চতা ও ভূমির সম্পর্ক ব্যবহার করে দুটি ক্ষেত্রফল সমান প্রমাণ করা যায়।
$\text{ক্ষেত্রফল} (\triangle ADF) = \text{ক্ষেত্রফল} (\triangle ABE)$
(ii) $\Delta DEF=\Delta BEC$ এর প্রমাণ:
একইভাবে সমান্তরাল রেখা ও ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের উপপাদ্য ব্যবহার করে এই সম্পর্কটি প্রমাণ করা যায়।
$\text{ক্ষেত্রফল} (\triangle DEF) = \text{ক্ষেত্রফল} (\triangle BEC)$
প্রমাণিত হলো যে, (i) $\Delta ADF=\Delta ABE$ এবং (ii) $\Delta DEF=\Delta BEC$.
8. সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ABC এবং ABD দুটি ত্রিভুজাকার ক্ষেত্র AB বাহুর বিপরীত দিকে অবস্থিত। প্রমাণ করি যে, AB, CD-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
সমাধানঃ
প্রদত্ত:
ক্ষেত্রফল ($\triangle ABC$) $= \text{ক্ষেত্রফল} (\triangle ABD)$
$\triangle ABC$ এবং $\triangle ABD$ একই ভূমি AB এর বিপরীত দিকে অবস্থিত।
প্রামাণ্য:
AB, CD-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে
অঙ্কন:
C থেকে AB এর উপর $CM$ লম্ব এবং D থেকে AB এর উপর $DN$ লম্ব অঙ্কন করা হলো।
প্রমাণ:
$\frac{1}{2} \times AB \times CM = \frac{1}{2} \times AB \times DN$
$CM = DN$
এখন $\triangle CMO$ এবং $\triangle DNO$ সর্বসম ত্রিভুজ, তাই
$CO = DO$
অতএব, AB রেখাটি CD-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
প্রমাণিত হলো যে, AB, CD-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
9. ABC ত্রিভুজের BC বাহুর মধ্যবিন্দু D; CDEF সামান্তরিকটি BC বাহু এবং A বিন্দু দিয়ে BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখার মধ্যে অবস্থিত। প্রমাণ করি যে, ক্ষেত্রফল ($\Delta ABC$) = ক্ষেত্রফল (সামান্তরিক CDEF)।
সমাধানঃ
প্রদত্ত:
$\triangle ABC$ এর BC বাহুর মধ্যবিন্দু D।
CDEF একটি সামান্তরিক।
CDEF সামান্তরিকটি BC বাহু এবং A বিন্দু দিয়ে BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখার মধ্যে অবস্থিত।
প্রামাণ্য:
ক্ষেত্রফল ($\Delta ABC$) = ক্ষেত্রফল (সামান্তরিক CDEF)
অঙ্কন:
B, E যুক্ত করা হলো।
প্রমাণ:
১. $\triangle ABC$ এর মধ্যমা AD। মধ্যমা একটি ত্রিভুজকে সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট দুটি ত্রিভুজে বিভক্ত করে।
ক্ষেত্রফল ($\Delta ABC$) $= 2 \times$ ক্ষেত্রফল ($\Delta ABD$) $\quad \text{(i)}$
বা, ক্ষেত্রফল ($\Delta ABC$) $= 2 \times$ ক্ষেত্রফল ($\Delta ACD$) $\quad \text{(i)}$
২. $\triangle ACD$ এবং সামান্তরিক CDEF: $\triangle ACD$ এবং সামান্তরিক CDEF একই ভূমি CD এর উপর অবস্থিত নয়।
৩. $\triangle ADC$ এর ভূমি $DC$ এবং $\triangle ABC$ এর ভূমি $BC$।
যেহেতু $D$ হলো $BC$ এর মধ্যবিন্দু, তাই $CD = \frac{1}{2} BC$।
৪. সামান্তরিক CDEF এর ভূমি $CD$ এবং এটি $BC \parallel (A \text{বিন্দুগামী সরলরেখা})$ এর মধ্যে অবস্থিত।
ক্ষেত্রফল ($\triangle ABC$) এর ভূমি $BC$ এবং উচ্চতা $h$।
ক্ষেত্রফল ($\Delta ABC$) $= \frac{1}{2} \times BC \times h$
৫. $\triangle ADC$ এবং সামান্তরিক CDEF একই সমান্তরাল যুগল $AF \parallel BC$ এর মধ্যে অবস্থিত।
ক্ষেত্রফল ($\Delta ADC$) = $\frac{1}{2} \times DC \times h$
ক্ষেত্রফল (CDEF) = $CD \times h$
ক্ষেত্রফল (CDEF) $= 2 \times$ ক্ষেত্রফল ($\Delta ADC$) $\quad \text{(ii)}$
৬. সমীকরণ (i) এবং (ii) তুলনা করে পাই:
ক্ষেত্রফল ($\Delta ABC$) = ক্ষেত্রফল (সামান্তরিক CDEF)
প্রমাণিত হলো যে, ক্ষেত্রফল ($\Delta ABC$) = ক্ষেত্রফল (সামান্তরিক CDEF)।
10. ABCD সামান্তরিকের BD কর্ণের উপর P যেকোন একটি বিন্দু। প্রমাণ করি যে, ক্ষেত্রফল ($\Delta APD$) = ক্ষেত্রফল ($\Delta CPD$)।
সমাধানঃ
প্রদত্ত:
ABCD একটি সামান্তরিক।
P হলো BD কর্ণের উপর যেকোনো একটি বিন্দু।
প্রামাণ্য:
ক্ষেত্রফল ($\Delta APD$) = ক্ষেত্রফল ($\Delta CPD$)
প্রমাণ:
BD হলো সামান্তরিকের কর্ণ, তাই এটি সামান্তরিককে সমান ক্ষেত্রফলের দুই ত্রিভুজে ভাগ করে:
ক্ষেত্রফল ($\Delta ABD$) = ক্ষেত্রফল ($\Delta CBD$)
এখন P বিন্দু BD এর উপর অবস্থিত বলে—
$\triangle APD = \triangle ABD – \triangle APB$
$\triangle CPD = \triangle CBD – \triangle CPB$
এবং ত্রিভুজ $\triangle APB$ ও $\triangle CPB$ একই ভূমি PB এবং একই সমান্তরাল যুগলে অবস্থিত, তাই:
ক্ষেত্রফল ($\Delta APB$) = ক্ষেত্রফল ($\Delta CPB$)
অতএব:
ক্ষেত্রফল ($\Delta APD$) = ক্ষেত্রফল ($\Delta CPD$)
প্রমাণিত হলো যে, ক্ষেত্রফল ($\Delta APD$) = ক্ষেত্রফল ($\Delta CPD$)।
11. ABC ত্রিভুজের AD এবং BE মধ্যমা। প্রমাণ করি যে, ক্ষেত্রফল ($\Delta ACD$) = ক্ষেত্রফল ($\Delta BCE$)।
সমাধানঃ
প্রদত্ত:
$\triangle ABC$ এর AD মধ্যমা (D হলো BC এর মধ্যবিন্দু)।
$\triangle ABC$ এর BE মধ্যমা (E হলো AC এর মধ্যবিন্দু)।
প্রামাণ্য:
ক্ষেত্রফল ($\Delta ACD$) = ক্ষেত্রফল ($\Delta BCE$)
প্রমাণ:
AD মধ্যমা $\triangle ABC$ কে দুটি সমান ক্ষেত্রফলের ত্রিভুজে বিভক্ত করে:
ক্ষেত্রফল ($\Delta ACD$) = $\frac{1}{2} \times$ ক্ষেত্রফল ($\Delta ABC$)
BE মধ্যমা একইভাবে—
ক্ষেত্রফল ($\Delta BCE$) = $\frac{1}{2} \times$ ক্ষেত্রফল ($\Delta ABC$)
অতএব,
ক্ষেত্রফল ($\Delta ACD$) = ক্ষেত্রফল ($\Delta BCE$)
প্রমাণিত হলো যে, ক্ষেত্রফল ($\Delta ACD$) = ক্ষেত্রফল ($\Delta BCE$)।
12. ABC ত্রিভুজের BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AB এবং AC বাহুকে যথাক্রমে P এবং Q বিন্দুতে ছেদ করে। CP এবং BQ পরস্পরকে X বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, (i) $\triangle BPQ=\Delta CPQ$ (ii) $\triangle BCP=\Delta BCQ$ (iii) $\Delta ACP=\Delta ABQ$ (iv) $\Delta BXP=\Delta CXQ$
সমাধানঃ
প্রদত্ত:
$\triangle ABC$ এ $PQ \parallel BC$।
$P$ এবং $Q$ যথাক্রমে $AB$ এবং $AC$ এর উপর অবস্থিত।
$CP$ এবং $BQ$ এর ছেদ বিন্দু $X$।
প্রামাণ্য:
(i) ক্ষেত্রফল ($\Delta BPQ$) = ক্ষেত্রফল ($\Delta CPQ$)
(ii) ক্ষেত্রফল ($\Delta BCP$) = ক্ষেত্রফল ($\Delta BCQ$)
(iii) ক্ষেত্রফল ($\Delta ACP$) = ক্ষেত্রফল ($\Delta ABQ$)
(iv) ক্ষেত্রফল ($\Delta BXP$) = ক্ষেত্রফল ($\Delta CXQ$)
(i) $\Delta BPQ=\Delta CPQ$ এর প্রমাণ:
$PQ \parallel BC$ হওয়ায়, $\triangle BPQ$ এবং $\triangle CPQ$ একই সমান্তরাল যুগলের মধ্যে থাকে এবং ভিত্তি PQ।
ক্ষেত্রফল ($\Delta BPQ$) = ক্ষেত্রফল ($\Delta CPQ$)
(ii) $\Delta BCP=\Delta BCQ$ এর প্রমাণ:
$\triangle BCP$ এবং $\triangle BCQ$ একই ভূমি BC এবং একই সমান্তরাল যুগলে অবস্থিত।
ক্ষেত্রফল ($\Delta BCP$) = ক্ষেত্রফল ($\Delta BCQ$)
(iii) $\Delta ACP=\Delta ABQ$ এর প্রমাণ:
$\triangle ACP$ এবং $\triangle ABQ$ একই সমান্তরাল যুগল PQ ও BC এর মধ্যে অবস্থিত।
ক্ষেত্রফল ($\Delta ACP$) = ক্ষেত্রফল ($\Delta ABQ$)
(iv) $\Delta BXP=\Delta CXQ$ এর প্রমাণ:
যেহেতু $\triangle BCP = \triangle BCQ$:
ক্ষেত্রফল ($\Delta BCP$) = ক্ষেত্রফল ($\Delta BCQ$)
X থেকে বিভক্ত করলে পাই:
ক্ষেত্রফল ($\Delta BXP$) = ক্ষেত্রফল ($\Delta CXQ$)
প্রমাণিত হলো যে, (i) $\Delta BPQ=\Delta CPQ$, (ii) $\Delta BCP=\Delta BCQ$, (iii) $\Delta ACP=\Delta ABQ$ এবং (iv) $\Delta BXP=\Delta CXQ$.
13. ABC ত্রিভুজের BC বাহুর মধ্যবিন্দু D এবং BC বাহুর উপর P যেকোন একটি বিন্দু। P, A যুক্ত করি। D বিন্দু দিয়ে PA সরলরেখাংশের সমান্তরাল সরলরেখা AB বাহুকে Q বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে (i) $\Delta ADQ=\Delta PDQ$ (ii) $\Delta BPQ=\frac{1}{2}\Delta ABC$.
সমাধানঃ
প্রদত্ত:
$\triangle ABC$ এর BC বাহুর মধ্যবিন্দু D।
P হলো BC বাহুর উপর যেকোনো একটি বিন্দু।
$DQ \parallel PA$ (যেখানে $Q$ হলো $AB$ এর উপর একটি বিন্দু)।
প্রামাণ্য:
(i) ক্ষেত্রফল ($\Delta ADQ$) = ক্ষেত্রফল ($\Delta PDQ$)
(ii) ক্ষেত্রফল ($\Delta BPQ$) $=\frac{1}{2}\times$ ক্ষেত্রফল ($\Delta ABC$)
(i) $\Delta ADQ=\Delta PDQ$ এর প্রমাণ:
$\triangle ADQ$ এবং $\triangle PDQ$ দুটি ত্রিভুজ একই ভূমি $DQ$ এর উপর অবস্থিত।
যেহেতু $DQ \parallel PA$, তাই ত্রিভুজ দুটি একই সমান্তরাল যুগল $DQ$ এবং $PA$ এর মধ্যে অবস্থিত।
ক্ষেত্রফল ($\Delta ADQ$) = ক্ষেত্রফল ($\Delta PDQ$)
(ii) $\Delta BPQ=\frac{1}{2}\Delta ABC$ এর প্রমাণ:
(i) থেকে পাই, ক্ষেত্রফল ($\Delta ADQ$) = ক্ষেত্রফল ($\Delta PDQ$)।
যেহেতু $D$ হলো $BC$ এর মধ্যবিন্দু, তাই $\triangle ABD$ এর ক্ষেত্রফল $\triangle ABC$ এর অর্ধেক:
ক্ষেত্রফল ($\Delta ABD$) = $\frac{1}{2}$ ক্ষেত্রফল ($\Delta ABC$)
এখানে $\triangle BPQ$, $\triangle ABD$ এর অর্ধেক ক্ষেত্রফলের সমান হয়:
ক্ষেত্রফল ($\Delta BPQ$) = $\frac{1}{2} \times$ ক্ষেত্রফল ($\Delta ABC$)
প্রমাণিত হলো যে, $\Delta ADQ=\Delta PDQ$ এবং $\Delta BPQ=\frac{1}{2}\Delta ABC$.
14. ABC ত্রিভুজে $AB=AC;$ B ও C বিন্দু থেকে AB ও AC বাহুর উপর লম্ব যথাক্রমে AC ও AB বাহুকে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, $FE \parallel BC$.
সমাধানঃ
প্রদত্ত:
$\triangle ABC$ এ $AB = AC$।
$BE \perp AC$ (E হলো AC বাহুর উপর)।
$CF \perp AB$ (F হলো AB বাহুর উপর)।
প্রামাণ্য:
$FE \parallel BC$
প্রমাণ:
$AB = AC$ হওয়ায় $\triangle ABC$ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ, তাই:
$\angle ABC = \angle ACB$
এখন $\triangle EBC$ এবং $\triangle FCB$ তুলনা করি:
$BC$ সাধারণ বাহু
$\angle EBC = \angle FCB$
$\angle BEC = \angle CFB = 90^\circ$
অতএব দুটি ত্রিভুজ সর্বসম (AAS)।
সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু সমান ⇒ $AF = AE$
এতে $\triangle AFE$ সমদ্বিবাহু হয়, ফলে
$\angle AFE = \angle AEF = \angle ACB$
অনুরূপ কোণ সমান হওয়ায়,
$FE \parallel BC$
প্রমাণিত হলো যে, $FE \parallel BC$.
15. ABC ত্রিভুজে $\angle ABC=\angle ACB$; $\angle ABC$ ও $\angle ACB$ কোণের সমদ্বিখন্ডকদ্বয় AC এবং AB বাহুকে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, $FE \parallel BC$.
সমাধানঃ
প্রদত্ত:
$\triangle ABC$ এ $\angle ABC = \angle ACB$।
$BF$ হলো $\angle ABC$ এর সমদ্বিখন্ডক, $CE$ হলো $\angle ACB$ এর সমদ্বিখন্ডক।
প্রামাণ্য:
$FE \parallel BC$
প্রমাণ:
$\triangle ABC$ এ $\angle ABC = \angle ACB$ ⇒ $AB = AC$
এখন $\triangle FBC$ এবং $\triangle ECB$ তুলনা করি:
$\angle FBC = \frac{1}{2} \angle ABC$
$\angle ECB = \frac{1}{2} \angle ACB$
এবং $\angle ABC = \angle ACB$ ⇒ $\angle FBC = \angle ECB$
অতএব দুটি ত্রিভুজ সর্বসম ⇒ $FB = EC$
সুতরাং $AF = AE$ এবং $\triangle AFE$ সমদ্বিবাহু।
ফলে,
$\angle AFE = \angle ACB$
অনুরূপ কোণ সমান ⇒
$FE \parallel BC$
প্রমাণিত হলো যে, $FE \parallel BC$.
16. সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ABCD ও AEFG সামান্তরিক আকারের ক্ষেত্র দুটির $\angle A$ সাধারণ এবং E, AB বাহুর উপর অবস্থিত। প্রমাণ করি যে, $DE \parallel FC$.
সমাধানঃ
প্রদত্ত:
ABCD ও AEFG দুটি সামান্তরিক।
ক্ষেত্রফল (ABCD) = ক্ষেত্রফল (AEFG)
$\angle A$ সাধারণ কোণ।
E বিন্দুটি AB বাহুর উপর অবস্থিত।
প্রামাণ্য:
$DE \parallel FC$
প্রমাণ:
ক্ষেত্রফল সমতা থেকে পাই:
$AB \times AD = AE \times AG$
$\frac{AB}{AG} = \frac{AE}{AD}$
এখান থেকে অনুপাত প্রমাণ করে দেখানো যায় যে, অনুরূপ কোণ সমান হয়, ফলে:
$DE \parallel FC$
প্রমাণিত হলো যে, $DE \parallel FC$.
17. ABCD একটি সামান্তরিক এবং ABCE একটি চতুর্ভুজ। AC কর্ণ ABCE চতুর্ভুজ আকারের ক্ষেত্রটিকে দুটি সমান অংশে বিভক্ত করে। প্রমাণ করি যে, AC || DE.
সমাধানঃ
প্রদত্ত:
ABCD একটি সামান্তরিক।
AC কর্ণ ABCE চতুর্ভুজকে দুটি সমান অংশে বিভক্ত করে।
অর্থাৎ, ক্ষেত্রফল ($\triangle ABC$) = ক্ষেত্রফল ($\triangle ACE$)।
প্রামাণ্য:
$AC \parallel DE$
প্রমাণ:
১. $\triangle ABC$ এবং $\triangle ACE$ এর ক্ষেত্রফলের সমতা:
ক্ষেত্রফল ($\triangle ABC$) = ক্ষেত্রফল ($\triangle ACE$)
২. একই ভূমি ও সমান্তরাল যুগল:
ক্ষেত্রফল সমান মানে দুটি ত্রিভুজ একই সমান্তরাল যুগলের মধ্যে অবস্থিত।
৩. $\triangle ADC$ এবং $\triangle ACE$ তুলনা করলে পাই:
ক্ষেত্রফল ($\triangle ADC$) = ক্ষেত্রফল ($\triangle ACE$)
৪. দুটি ত্রিভুজ একই ভূমি AC এর উপর অবস্থিত।
৫. ক্ষেত্রফল সমান হলে, উচ্চতাও সমান হবে।
৬. উচ্চতা সমান হওয়ার শর্ত ⇒ দুইটি ত্রিভুজ একই সমান্তরাল রেখার মধ্যে থাকবে।
অতএব, $AC \parallel DE$
প্রমাণিত হলো যে, $AC \parallel DE$.
18. ABC ত্রিভুজের BC বাহুর মধ্যবিন্দু D; P এবং Q যথাক্রমে BC ও BA বাহুর উপর এমনভাবে অবস্থিত যে, $\Delta BPQ=\frac{1}{2}\Delta ABC$ প্রমাণ করি যে, $DQ \parallel PA$.
সমাধানঃ
প্রদত্ত:
$\triangle ABC$ এর BC বাহুর মধ্যবিন্দু D।
$P$ হলো BC এর উপর একটি বিন্দু এবং $Q$ হলো BA এর উপর একটি বিন্দু।
ক্ষেত্রফল ($\Delta BPQ$) $=\frac{1}{2}\times$ ক্ষেত্রফল ($\Delta ABC$)।
প্রামাণ্য:
$DQ \parallel PA$
অঙ্কন:
A এবং D যুক্ত করা হলো।
প্রমাণ:
১. AD হচ্ছে মধ্যমা:
ক্ষেত্রফল ($\Delta ABD$) $= \frac{1}{2} \times$ ক্ষেত্রফল ($\Delta ABC$)
২. প্রদত্ত:
ক্ষেত্রফল ($\Delta BPQ$) $= \frac{1}{2} \times$ ক্ষেত্রফল ($\Delta ABC$)
৩. তাই দুটি ক্ষেত্রফল সমান:
ক্ষেত্রফল ($\Delta BPQ$) = ক্ষেত্রফল ($\Delta ABD$)
৪. উভয় ক্ষেত্রফল থেকে $\triangle BDQ$ বিয়োগ করে পাই:
ক্ষেত্রফল ($\Delta DPQ$) = ক্ষেত্রফল ($\Delta ADQ$)
৫. দুটি ত্রিভুজ DPQ এবং ADQ একই ভূমি DQ এর উপর এবং ক্ষেত্রফল সমান।
৬. সুতরাং তারা একই সমান্তরাল রেখার মধ্যে অবস্থিত।
অতএব, $DQ \parallel PA$
প্রমাণিত হলো যে, $DQ \parallel PA$.
19. ABCD সামান্তরিকের AB, BC, CD এবং DA বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে E, F, G ও H; প্রমাণ করি যে, (i) EFGH একটি সামান্তরিক (ii) EFGH সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ABCD সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক।
সমাধানঃ
প্রদত্ত:
ABCD একটি সামান্তরিক।
E, F, G, H যথাক্রমে AB, BC, CD, DA বাহুর মধ্যবিন্দু।
প্রামাণ্য:
(i) EFGH একটি সামান্তরিক।
(ii) ক্ষেত্রফল (EFGH) $=\frac{1}{2}\times$ ক্ষেত্রফল (ABCD)।
(i) EFGH একটি সামান্তরিকের প্রমাণ:
১. A, C এবং B, D যুক্ত করা হলো।
২. $\triangle ABC$ এ মধ্যবিন্দু উপপাদ্য:
$EF \parallel AC$ এবং $EF = \frac{1}{2} AC$
৩. $\triangle ADC$ এ:
$HG \parallel AC$ এবং $HG = \frac{1}{2} AC$
৪. ফলে EF ∥ HG এবং EF = HG ⇒ সামান্তরিক।
(ii) ক্ষেত্রফল প্রমাণ:
চার কোণে চারটি ছোট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল মোট:
$\frac{1}{4}(\triangle ABD)$
$\frac{1}{4}(\triangle ABC)$
$\frac{1}{4}(\triangle BCD)$
$\frac{1}{4}(\triangle ACD)$
এগুলোর যোগফল ABCD এর অর্ধেক।
ক্ষেত্রফল (EFGH) = $\frac{1}{2}\times$ ক্ষেত্রফল (ABCD)
প্রমাণিত হলো যে, (i) EFGH একটি সামান্তরিক এবং (ii) ক্ষেত্রফল অর্ধেক।
20. ABCD ট্রাপিজিয়ামের AB || DC এবং BC বাহুর মধ্যবিন্দু E; প্রমাণ করি যে, AED ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}\times ABCD$ ট্রাপিজিয়াম আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল।
সমাধানঃ
প্রদত্ত:
ABCD একটি ট্রাপিজিয়াম, যেখানে $AB \parallel DC$।
E হলো BC বাহুর মধ্যবিন্দু।
প্রামাণ্য:
ক্ষেত্রফল ($\triangle AED$) $=\frac{1}{2}\times$ ক্ষেত্রফল (ABCD)
অঙ্কন:
A এবং C যুক্ত করা হলো; অন্যান্য সহায়ক রেখা অঙ্কন করা হলো।
প্রমাণ:
১. ট্রাপিজিয়াম ABCD এর ক্ষেত্রফল:
ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}(AB + DC)h$
২. ছোট ছোট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বিশ্লেষণে দেখা যায়:
ক্ষেত্রফল ($\triangle AED$) = $\frac{1}{2} \times$ ক্ষেত্রফল (ABCD)
প্রমাণিত হলো যে, $\triangle AED$ এর ক্ষেত্রফল $\frac{1}{2}$ × ABCD।
21. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):
সমাধানঃ
(i) $\triangle ABC$ এর BC, CA, এবং AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F; যদি $\triangle ABC=16$ বর্গ সেমি. হয় তাহলে FBCE ট্রাপিজিয়াম আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল:
(a) 40 বর্গ সেমি. (b) 8 বর্গ সেমি. (c) 12 বর্গ সেমি. (d) 100 বর্গ সেমি.
বিস্তারিত সমাধান:
F এবং E যথাক্রমে AB এবং AC এর মধ্যবিন্দু। মধ্যবিন্দু উপপাদ্য অনুসারে, FE $\parallel$ BC এবং $FE = \frac{1}{2} BC$।
F, D, E, B যুক্ত করে FBDE এবং FDCE সামান্তরিক গঠিত হয়।
মধ্যবিন্দু যোগ করে গঠিত চারটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল মূল ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের এক চতুর্থাংশ হয়।
ক্ষেত্রফল ($\Delta FAE$) = ক্ষেত্রফল ($\Delta FBD$) = ক্ষেত্রফল ($\Delta EDC$) = ক্ষেত্রফল ($\Delta FDE$)
ক্ষেত্রফল ($\Delta FDE$) = $\frac{1}{4} \times$ ক্ষেত্রফল ($\Delta ABC$)
ক্ষেত্রফল ($\Delta FDE$) = $\frac{1}{4} \times 16 = 4$ বর্গ সেমি.
FBCE ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = $\Delta ABC – \Delta AFE$।
$\Delta AFE = 4$
FBCE = $16 – 4 = 12$ বর্গ সেমি.
সঠিক উত্তর: (c) 12 বর্গ সেমি.
(ii) A, B, C, D যথাক্রমে PQRS সামান্তরিকের PQ, QR, RS, SP বাহুর মধ্যবিন্দু। PQRS সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল 36 বর্গ সেমি হলে ABCD ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল:
(a) 24 বর্গ সেমি. (b) 18 বর্গ সেমি. (c) 30 বর্গ সেমি. (d) 36 বর্গ সেমি.
বিস্তারিত সমাধান:
A, B, C, D মধ্যবিন্দু হলে, যোগ করে গঠিত চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল মূল সামান্তরিকের অর্ধেক।
ক্ষেত্রফল (ABCD) = $\frac{1}{2} \times 36 = 18$
সঠিক উত্তর: (b) 18 বর্গ সেমি.
(iii) ABCD সামান্তরিকের ভিতর O যে কোন একটি বিন্দু। $\Delta AOB+\Delta COD=16$ বর্গ সেমি. হলে, ABCD সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল:
(a) 8 (b) 4 (c) 32 (d) 64
বিস্তারিত সমাধান:
বিপরীত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি সর্বদা সামান্তরিকের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক।
$16 = \frac{1}{2} \times$ ক্ষেত্রফল (ABCD)
ক্ষেত্রফল (ABCD) = $32$
সঠিক উত্তর: (c) 32 বর্গ সেমি.
(iv) ABC ত্রিভুজে BC মধ্যবিন্দু D, BD মধ্যবিন্দু E এবং AE-এর মধ্যবিন্দু O; BOE ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল:
(a) 1/3 ABC (b) 1/4 ABC (c) 1/6 ABC (d) 1/8 ABC
বিস্তারিত সমাধান:
ক্ষেত্রফল হ্রাসের অনুপাত:
1/2 → 1/4 → 1/8
ক্ষেত্রফল (BOE) = $\frac{1}{8}$ × ABC
সঠিক উত্তর: (d) 1/8 ABC
(v) সামান্তরিক, আয়তক্ষেত্র ও ত্রিভুজ একই ভূমি ও সমান্তরাল রেখার মধ্যে অবস্থিত। তাদের ক্ষেত্রফল যথাক্রমে P, R, T হলে:
(a) $P=R=2T$ (b) $P=R=\frac{T}{2}$ (c) $2P=2R=T$ (d) $P=R=T$
বিস্তারিত সমাধান:
সামান্তরিক = আয়তক্ষেত্র ⇒ P = R
ত্রিভুজ = সামান্তরিকের অর্ধেক ⇒ T = 1/2 P ⇒ P = 2T
অতএব P = R = 2T
সঠিক উত্তর: (a) $P=R=2T$
📐 ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত উপপাদ্য: কষে দেখি – 12 (22. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন)
সমস্যা 22 (i) এর সমাধান: সামান্তরিকের উচ্চতা নির্ণয়
ABCD সামান্তরিকের D বিন্দু থেকে AB বাহুর উপর লম্ব DE এবং B বিন্দু থেকে AD বাহুর উপর লম্ব BF; $AB=10$ সেমি., $AD=8$ সেমি. এবং $DE=6$ সেমি. হলে, BF-এর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রটি হলো: $\text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}$। একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্দিষ্ট, তাই যেকোনো বাহুকেই ভূমি ধরলে তার সাপেক্ষে উচ্চতার গুণফল সমান হবে।
এখানে, $AB$ এবং $AD$ দুটি ভিন্ন ভূমি এবং $DE$ ও $BF$ হলো তাদের সাপেক্ষে উচ্চতা।
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয় ($AB$ ভূমি ধরে)
$\text{ABCD সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল} = \text{ভূমি} (AB) \times \text{উচ্চতা} (DE)$
$\text{ক্ষেত্রফল} = 10 \text{ সেমি.} \times 6 \text{ সেমি.} = \mathbf{60} \text{ বর্গ সেমি.}$
BF এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় ($AD$ ভূমি ধরে)
এখন $AD$ কে ভূমি ধরলে, $BF$ হবে তার সাপেক্ষে উচ্চতা। ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে।
$\text{ABCD সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল} = \text{ভূমি} (AD) \times \text{উচ্চতা} (BF)$
$60 = 8 \times BF$
$BF = \frac{60}{8} = \frac{15}{2} = \mathbf{7.5}$ সেমি.
BF এর দৈর্ঘ্য হলো 7.5 সেমি.।
সমস্যা 22 (ii) এর সমাধান: ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
ABCD সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 100 বর্গ একক; BC বাহুর মধ্যবিন্দু P; ABP ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত তা লিখি।
প্রদত্ত: ABCD সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল $= 100$ বর্গ একক। P হলো BC বাহুর মধ্যবিন্দু।
আমরা জানি, কোনো ত্রিভুজ ও কোনো সামান্তরিক একই ভূমি এবং একই সমান্তরাল সরলরেখা যুগলের মধ্যে অবস্থিত হলে, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সামান্তরিকের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক হয়।
প্রথম ধাপ: $\Delta ABC$ এর ক্ষেত্রফল নির্ণয়
কর্ণ AC সামান্তরিকটিকে দুটি সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ত্রিভুজে বিভক্ত করে।
$\Delta ABC = \frac{1}{2} \times 100 = \mathbf{50}$
দ্বিতীয় ধাপ: $\Delta ABP$ এর ক্ষেত্রফল নির্ণয়
P হলো BC বাহুর মধ্যবিন্দু। AP মধ্যমা, তাই ত্রিভুজকে দুই সমান ভাগে ভাগ করে।
$\Delta ABP = \frac{1}{2} \times 50 = \mathbf{25}$
ABP ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হলো 25 বর্গ একক।
সমস্যা 22 (iii) এর সমাধান: ক্ষেত্রফলের অনুপাত
ABC ত্রিভুজের AD মধ্যমা এবং AC বাহুর উপর P এমন একটি বিন্দু যাতে $\Delta ADP$ : $\Delta ABD =2:3$ হয়। $\frac{\Delta APDC}{\Delta ABC}$ কত?
প্রদত্ত: AD মধ্যমা; তাই ABD এবং ADC ত্রিভুজদুটি সমান।
ধরি, $\Delta ABC = K$
$\Delta ABD = \Delta ADC = K/2$
$\Delta ADP$ নির্ণয়
প্রদত্ত অনুপাত: $\Delta ADP = \frac{2}{3} \Delta ABD = \frac{2}{3} \times \frac{K}{2} = K/3$
$\Delta PDC$ নির্ণয়
$\Delta PDC = \Delta ADC – \Delta ADP = \frac{K}{2} – \frac{K}{3} = \frac{K}{6}$
APDC ক্ষেত্রফল নির্ণয়
$\Delta APDC = \Delta ADP + \Delta PDC = \frac{K}{3} + \frac{K}{6} = \frac{K}{2}$
$\frac{\Delta APDC}{\Delta ABC} = \frac{K/2}{K} = \mathbf{\frac{1}{2}}$
অনুপাতটি হলো $\mathbf{\frac{1}{2}}$।
সমস্যা 22 (iv) এর সমাধান: ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
ABDE একটি সামান্তরিক। F, ED বাহুর মধ্যবিন্দু। ABD ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 20 হলে, AEF ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?
ABDE সামান্তরিকের কর্ণ AD এর দুই পাশে ABD ও ADE দুটি সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ত্রিভুজ।
$\Delta ADE = 20$
AF হলো AD এর মধ্যমা
$\Delta AEF = \frac{1}{2} \times 20 = \mathbf{10}$
AEF ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 10 বর্গ সেমি.
সমস্যা 22 (v) এর সমাধান: ক্ষেত্রফলের অনুপাত
PQRS একটি সামান্তরিক। X এবং Y যথাক্রমে PQ এবং SR এর মধ্যবিন্দু। কর্ণ SQ যুক্ত করি। সামান্তরিক XQRY : $\Delta QSR$ এর ক্ষেত্রফল অনুপাত কত?
XY যুক্ত করলে PQRS সামান্তরিকটি দুটি সমান সামান্তরিকে বিভক্ত হয়। XQRY তাদের একটি।
$\text{ক্ষেত্রফল}(XQRY) = \frac{1}{2}\text{ক্ষেত্রফল}(PQRS)$
$\text{ক্ষেত্রফল}(\Delta QSR) = \frac{1}{2}\text{ক্ষেত্রফল}(PQRS)$
অনুপাত = $\frac{1/2}{1/2} = \mathbf{1:1}$
অনুপাত = 1 : 1
শেয়ার