নবম শ্রেণী গনিত: সহ সমীকরণ কষে দেখি 5.4 তুলনামূলক পদ্ধতি

1. $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=8$ সমীকরণের $x$-কে $y$ চলের মাধ্যমে প্রকাশ করি।

সমাধান:

সহজ ব্যাখ্যা: প্রদত্ত সমীকরণটিকে $x$-এর জন্য সমাধান করা হয়েছে।

$\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=8$
বা, $\frac{x}{3} = 8 – \frac{y}{2}$
বা, $\frac{x}{3} = \frac{16 – y}{2}$
বা, $x = 3 \times \frac{16 – y}{2}$
বা, $x = \frac{48 – 3y}{2}$

উত্তর: $x = \frac{48 – 3y}{2}$।

2. $\frac{2}{x}+\frac{7}{y}=1$ সমীকরণের $y$-কে $x$ চলের মাধ্যমে প্রকাশ করি।

সমাধান:

সহজ ব্যাখ্যা: প্রদত্ত সমীকরণটিকে $y$-এর জন্য সমাধান করা হয়েছে।

$\frac{2}{x}+\frac{7}{y}=1$
বা, $\frac{7}{y} = 1 – \frac{2}{x}$
বা, $\frac{7}{y} = \frac{x – 2}{x}$
বা, $\frac{y}{7} = \frac{x}{x – 2}$ (উভয় পক্ষকে উল্টে)
বা, $y = \frac{7x}{x – 2}$

উত্তর: $y = \frac{7x}{x – 2}$।

3. (a) $2(x-y)=3$ এবং $5x+8y=14$

সমাধান (a):

সহজ ব্যাখ্যা: তুলনামূলক পদ্ধতিতে সমাধান করার জন্য উভয় সমীকরণ থেকে $x$-কে $y$ চলের মাধ্যমে প্রকাশ করে মান সমান করা হয়েছে।

সমীকরণ (১): $2x – 2y = 3$ → $2x = 3 + 2y$ → $x = \frac{3 + 2y}{2}$

সমীকরণ (২): $5x = 14 – 8y$ → $x = \frac{14 – 8y}{5}$

$x$-এর মান তুলনা করে পাই:
$\frac{3 + 2y}{2} = \frac{14 – 8y}{5}$
বা, $5(3 + 2y) = 2(14 – 8y)$
বা, $15 + 10y = 28 – 16y$
বা, $10y + 16y = 28 – 15$
বা, $26y = 13$
বা, $y = \frac{13}{26} = \frac{1}{2}$

$y=\frac{1}{2}$ মানটি সমীকরণ (১)-এ বসিয়ে পাই:
$x = \frac{3 + 2(\frac{1}{2})}{2} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

**মান যাচাই:**
$x=2, y=\frac{1}{2}$ মান দুটি বসিয়ে পাই:
(১) $2(2 – \frac{1}{2}) = 2(\frac{3}{2}) = 3$ (ঠিক)
(২) $5(2) + 8(\frac{1}{2}) = 10 + 4 = 14$ (ঠিক)

উত্তর: $x=2, y=\frac{1}{2}$। সমাধান সমীকরণগুলিকে সিদ্ধ করে।

3. (b) $2x+\frac{3}{y}=5$ এবং $5x-\frac{2}{y}=3$

সমাধান (b):

সহজ ব্যাখ্যা: $\frac{1}{y} = p$ ধরে সমীকরণগুলিকে $x$ এবং $p$ চলের মাধ্যমে প্রকাশ করে $x$-এর মান তুলনা করা হয়েছে।

ধরি, $\frac{1}{y} = p$

সমীকরণ (১): $2x + 3p = 5$ → $2x = 5 – 3p$ → $x = \frac{5 – 3p}{2}$

সমীকরণ (২): $5x – 2p = 3$ → $5x = 3 + 2p$ → $x = \frac{3 + 2p}{5}$

$x$-এর মান তুলনা করে পাই:
$\frac{5 – 3p}{2} = \frac{3 + 2p}{5}$
বা, $5(5 – 3p) = 2(3 + 2p)$
বা, $25 – 15p = 6 + 4p$
বা, $25 – 6 = 15p + 4p$
বা, $19 = 19p$
বা, $p = 1$

$p=1$ মানটি সমীকরণ (১)-এ বসিয়ে পাই:
$2x + 3(1) = 5$
বা, $2x = 5 – 3 = 2$
বা, $x = 1$

যেহেতু $p = \frac{1}{y}$, $1 = \frac{1}{y}$ → $y = 1$

**মান যাচাই:**
$x=1, y=1$ মান দুটি বসিয়ে পাই:
(১) $2(1) + 3/1 = 2 + 3 = 5$ (ঠিক)
(২) $5(1) – 2/1 = 5 – 2 = 3$ (ঠিক)

উত্তর: $x=1, y=1$। সমাধান সমীকরণগুলিকে সিদ্ধ করে।

3. (c) $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1$ এবং $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=1$

সমাধান (c):

সহজ ব্যাখ্যা: উভয় সমীকরণকে পূর্ণসংখ্যায় এনে $x$-কে $y$ চলের মাধ্যমে প্রকাশ করে তুলনা করা হয়েছে।

সমীকরণ (১): $\frac{3x+2y}{6} = 1$ → $3x = 6 – 2y$ → $x = \frac{6 – 2y}{3}$

সমীকরণ (২): $\frac{2x+3y}{6} = 1$ → $2x = 6 – 3y$ → $x = \frac{6 – 3y}{2}$

$x$-এর মান তুলনা করে পাই:
$\frac{6 – 2y}{3} = \frac{6 – 3y}{2}$
বা, $2(6 – 2y) = 3(6 – 3y)$
বা, $12 – 4y = 18 – 9y$
বা, $9y – 4y = 18 – 12$
বা, $5y = 6$
বা, $y = \frac{6}{5}$

$y=\frac{6}{5}$ মানটি সমীকরণ (১)-এ বসিয়ে পাই:
$x = \frac{6 – 2(\frac{6}{5})}{3} = \frac{6 – \frac{12}{5}}{3} = \frac{\frac{30 – 12}{5}}{3} = \frac{18}{15} = \frac{6}{5}$

**মান যাচাই:**
$x=\frac{6}{5}, y=\frac{6}{5}$ মান দুটি বসিয়ে পাই:
(১) $\frac{6/5}{2} + \frac{6/5}{3} = \frac{3}{5} + \frac{2}{5} = \frac{5}{5} = 1$ (ঠিক)
(২) $\frac{6/5}{3} + \frac{6/5}{2} = \frac{2}{5} + \frac{3}{5} = 1$ (ঠিক)

উত্তর: $x=\frac{6}{5}, y=\frac{6}{5}$। সমাধান সমীকরণগুলিকে সিদ্ধ করে।

3. (d) $4x-3y=18$ এবং $4y-5x=-7$

সমাধান (d):

সহজ ব্যাখ্যা: উভয় সমীকরণ থেকে $x$-কে $y$ চলের মাধ্যমে প্রকাশ করে তুলনা করা হয়েছে।

সমীকরণ (১): $4x = 18 + 3y$ → $x = \frac{18 + 3y}{4}$

সমীকরণ (২): $-5x = -7 – 4y$ → $5x = 7 + 4y$ → $x = \frac{7 + 4y}{5}$

$x$-এর মান তুলনা করে পাই:
$\frac{18 + 3y}{4} = \frac{7 + 4y}{5}$
বা, $5(18 + 3y) = 4(7 + 4y)$
বা, $90 + 15y = 28 + 16y$
বা, $90 – 28 = 16y – 15y$
বা, $62 = y$

$y=62$ মানটি সমীকরণ (২)-এ বসিয়ে পাই:
$x = \frac{7 + 4(62)}{5} = \frac{7 + 248}{5} = \frac{255}{5} = 51$

**মান যাচাই:**
$x=51, y=62$ মান দুটি বসিয়ে পাই:
(১) $4(51) – 3(62) = 204 – 186 = 18$ (ঠিক)
(২) $4(62) – 5(51) = 248 – 255 = -7$ (ঠিক)

উত্তর: $x=51, y=62$। সমাধান সমীকরণগুলিকে সিদ্ধ করে।

4. $2x + y = 8$ এবং $3y – 2x = 5$ সহসমীকরণগুলি তুলনামূলক পদ্ধতিতে সমাধান করি ও লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করে যাচাই করি।

সমাধান:

সহজ ব্যাখ্যা: $x$ চলটিকে $y$ চলের মাধ্যমে প্রকাশ করে সমীকরণ দুটির সমাধান করা হয়েছে।

সমীকরণ (১): $2x = 8 – y$ → $x = \frac{8 – y}{2}$

সমীকরণ (২): $-2x = 5 – 3y$ → $2x = 3y – 5$ → $x = \frac{3y – 5}{2}$

$x$-এর মান তুলনা করে পাই:
$\frac{8 – y}{2} = \frac{3y – 5}{2}$
বা, $8 – y = 3y – 5$
বা, $8 + 5 = 3y + y$
বা, $13 = 4y$
বা, $y = \frac{13}{4}$

$y=\frac{13}{4}$ মানটি সমীকরণ (১)-এ বসিয়ে পাই:
$x = \frac{8 – \frac{13}{4}}{2} = \frac{\frac{32 – 13}{4}}{2} = \frac{19}{8}$

**মান যাচাই (লেখচিত্রের সাহায্যে):**
লেখচিত্র আঁকলে দেখা যাবে যে $2x+y=8$ এবং $3y-2x=5$ সরলরেখা দুটি $\mathbf{(\frac{19}{8}, \frac{13}{4})}$ বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করেছে।

উত্তর: $x=\frac{19}{8}, y=\frac{13}{4}$। সমাধান লেখচিত্রের সাহায্যে যাচাই করা সম্ভব।

5. (i) $3x-2y=2$ এবং $7x+3y=43$

সমাধান (i):

সহজ ব্যাখ্যা: উভয় সমীকরণ থেকে $x$-কে $y$ চলের মাধ্যমে প্রকাশ করে তুলনা করা হয়েছে।

সমীকরণ (১): $3x = 2 + 2y$ → $x = \frac{2 + 2y}{3}$

সমীকরণ (২): $7x = 43 – 3y$ → $x = \frac{43 – 3y}{7}$

$x$-এর মান তুলনা করে পাই:

$\frac{2 + 2y}{3} = \frac{43 – 3y}{7}$

বা, $7(2 + 2y) = 3(43 – 3y)$

বা, $14 + 14y = 129 – 9y$

বা, $14y + 9y = 129 – 14$

বা, $23y = 115$

বা, $y = \frac{115}{23} = 5$

$y=5$ মানটি সমীকরণ (১) থেকে প্রাপ্ত $x$-এর মানে বসিয়ে পাই:

$x = \frac{2 + 2(5)}{3} = \frac{2 + 10}{3} = \frac{12}{3} = 4$

উত্তর: $x=4, y=5$।

5. (ii) $2x+3y=8$ এবং $\frac{x+y}{x-y}=\frac{7}{3}$

সমাধান (ii):

সহজ ব্যাখ্যা: প্রথমে দ্বিতীয় সমীকরণটিকে সরল করে $x$ ও $y$ এর মধ্যে একটি সরল সম্পর্ক আনা হয়েছে। এরপর সেই সরল সমীকরণের সাথে প্রথম সমীকরণকে তুলনা করা হয়েছে।

সমীকরণ (১): $2x + 3y = 8$

সমীকরণ (২) সরলীকরণ:

$\frac{x+y}{x-y} = \frac{7}{3}$

বা, $3(x+y) = 7(x-y)$

বা, $3x + 3y = 7x – 7y$

বা, $3y + 7y = 7x – 3x$

বা, $10y = 4x$

বা, $x = \frac{10y}{4} = \frac{5y}{2}$ (সমীকরণ ৩)

সমীকরণ (১) থেকে $x$ কে $y$ চলের মাধ্যমে প্রকাশ করে পাই:

$2x = 8 – 3y$ → $x = \frac{8 – 3y}{2}$ (সমীকরণ ৪)

$x$-এর মান (৩) ও (৪) তুলনা করে পাই:

$\frac{5y}{2} = \frac{8 – 3y}{2}$

বা, $5y = 8 – 3y$

বা, $8y = 8$

বা, $y = 1$

$y=1$ মানটি সমীকরণ (৩)-এ বসিয়ে পাই:

$x = \frac{5(1)}{2} = \frac{5}{2}$

উত্তর: $x=\frac{5}{2}, y=1$।

5. (iii) $\frac{1}{3}(x-y) = \frac{1}{4}(y-1)$ এবং $\frac{1}{7}(4x-5y)=x-7$

সমাধান (iii):

সহজ ব্যাখ্যা: প্রথমে উভয় সমীকরণকে সরল রৈখিক আকারে এনে $x$-কে $y$ চলের মাধ্যমে প্রকাশ করে তুলনা করা হয়েছে।

**সমীকরণ (১) সরলীকরণ:**

$4(x-y) = 3(y-1)$

বা, $4x – 4y = 3y – 3$

বা, $4x = 7y – 3$ → $x = \frac{7y – 3}{4}$ (সমীকরণ ৩)

**সমীকরণ (২) সরলীকরণ:**

$4x – 5y = 7(x – 7)$

বা, $4x – 5y = 7x – 49$

বা, $49 – 5y = 7x – 4x$

বা, $3x = 49 – 5y$ → $x = \frac{49 – 5y}{3}$ (সমীকরণ ৪)

$x$-এর মান (৩) ও (৪) তুলনা করে পাই:

$\frac{7y – 3}{4} = \frac{49 – 5y}{3}$

বা, $3(7y – 3) = 4(49 – 5y)$

বা, $21y – 9 = 196 – 20y$

বা, $21y + 20y = 196 + 9$

বা, $41y = 205$

বা, $y = \frac{205}{41} = 5$

$y=5$ মানটি সমীকরণ (৩)-এ বসিয়ে পাই:

$x = \frac{7(5) – 3}{4} = \frac{35 – 3}{4} = \frac{32}{4} = 8$

উত্তর: $x=8, y=5$।

5. (iv) $\frac{x+1}{y+1}=\frac{4}{5}$ এবং $\frac{x-5}{y-5}=\frac{1}{2}$

সমাধান (iv):

সহজ ব্যাখ্যা: উভয় সমীকরণকে সরল করে $x$-কে $y$ চলের মাধ্যমে প্রকাশ করে তুলনা করা হয়েছে।

**সমীকরণ (১) সরলীকরণ:**

$5(x+1) = 4(y+1)$

বা, $5x + 5 = 4y + 4$

বা, $5x = 4y – 1$ → $x = \frac{4y – 1}{5}$ (সমীকরণ ৩)

**সমীকরণ (২) সরলীকরণ:**

$2(x-5) = 1(y-5)$

বা, $2x – 10 = y – 5$

বা, $2x = y + 5$ → $x = \frac{y + 5}{2}$ (সমীকরণ ৪)

$x$-এর মান (৩) ও (৪) তুলনা করে পাই:

$\frac{4y – 1}{5} = \frac{y + 5}{2}$

বা, $2(4y – 1) = 5(y + 5)$

বা, $8y – 2 = 5y + 25$

বা, $8y – 5y = 25 + 2$

বা, $3y = 27$

বা, $y = 9$

$y=9$ মানটি সমীকরণ (৪)-এ বসিয়ে পাই:

$x = \frac{9 + 5}{2} = \frac{14}{2} = 7$

উত্তর: $x=7, y=9$।

5. (v) $x+y=11$ এবং $y+2=\frac{1}{8}(10y+x)$

সমাধান (v):

সহজ ব্যাখ্যা: প্রথম সমীকরণ থেকে $x$-কে $y$ চলের মাধ্যমে প্রকাশ করে এবং দ্বিতীয় সমীকরণকে সরল করে তুলনা করা হয়েছে।

সমীকরণ (১): $x = 11 – y$ (সমীকরণ ৩)

**সমীকরণ (২) সরলীকরণ:**

$8(y+2) = 10y + x$

বা, $8y + 16 = 10y + x$

বা, $x = 16 – 2y$ (সমীকরণ ৪)

$x$-এর মান (৩) ও (৪) তুলনা করে পাই:

$11 – y = 16 – 2y$

বা, $2y – y = 16 – 11$

বা, $y = 5$

$y=5$ মানটি সমীকরণ (৩)-এ বসিয়ে পাই:

$x = 11 – 5 = 6$

উত্তর: $x=6, y=5$।

5. (vi) $\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1$ এবং $2x+4y=11$

সমাধান (vi):

সহজ ব্যাখ্যা: প্রথমে প্রথম সমীকরণকে সরল করে পূর্ণসংখ্যায় আনা হয়েছে। এরপর উভয় সমীকরণ থেকে $x$-কে $y$ চলের মাধ্যমে প্রকাশ করে তুলনা করা হয়েছে।

**সমীকরণ (১) সরলীকরণ:** (12 দ্বারা গুণ করে)

$4x + 3y = 12$

বা, $4x = 12 – 3y$ → $x = \frac{12 – 3y}{4}$ (সমীকরণ ৩)

সমীকরণ (২): $2x + 4y = 11$

বা, $2x = 11 – 4y$ → $x = \frac{11 – 4y}{2}$ (সমীকরণ ৪)

$x$-এর মান (৩) ও (৪) তুলনা করে পাই:

$\frac{12 – 3y}{4} = \frac{11 – 4y}{2}$

বা, $12 – 3y = 2(11 – 4y)$

বা, $12 – 3y = 22 – 8y$

বা, $8y – 3y = 22 – 12$

বা, $5y = 10$

বা, $y = 2$

$y=2$ মানটি সমীকরণ (৪)-এ বসিয়ে পাই:

$x = \frac{11 – 4(2)}{2} = \frac{11 – 8}{2} = \frac{3}{2}$

উত্তর: $x=\frac{3}{2}, y=2$।

5. (vii) $x+\frac{2}{y}=7$ এবং $2x-\frac{6}{y}=9$

সমাধান (vii):

সহজ ব্যাখ্যা: উভয় সমীকরণ থেকে $\frac{2}{y}$ চলটিকে $x$ চলের মাধ্যমে প্রকাশ করে তুলনা করা হয়েছে।

সমীকরণ (১): $\frac{2}{y} = 7 – x$ (সমীকরণ ৩)

সমীকরণ (২): $\frac{6}{y} = 2x – 9$

বা, $3 \times \frac{2}{y} = 2x – 9$ → $\frac{2}{y} = \frac{2x – 9}{3}$ (সমীকরণ ৪)

$\frac{2}{y}$-এর মান (৩) ও (৪) তুলনা করে পাই:

$7 – x = \frac{2x – 9}{3}$

বা, $3(7 – x) = 2x – 9$

বা, $21 – 3x = 2x – 9$

বা, $21 + 9 = 2x + 3x$

বা, $30 = 5x$

বা, $x = 6$

$x=6$ মানটি সমীকরণ (৩)-এ বসিয়ে পাই:

$\frac{2}{y} = 7 – 6 = 1$

বা, $y = 2$

উত্তর: $x=6, y=2$।

5. (viii) $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{6}$ এবং $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{6}$

সমাধান (viii):

সহজ ব্যাখ্যা: $\frac{1}{y}$ চলটিকে অপনীত করার জন্য উভয় সমীকরণ থেকে $\frac{1}{x}$ চলটিকে $\frac{1}{y}$ চলের মাধ্যমে প্রকাশ করে তুলনা করা হয়েছে।

সমীকরণ (১): $\frac{1}{x} = \frac{5}{6} – \frac{1}{y}$ (সমীকরণ ৩)

সমীকরণ (২): $\frac{1}{x} = \frac{1}{6} + \frac{1}{y}$ (সমীকরণ ৪)

$\frac{1}{x}$-এর মান (৩) ও (৪) তুলনা করে পাই:

$\frac{5}{6} – \frac{1}{y} = \frac{1}{6} + \frac{1}{y}$

বা, $\frac{5}{6} – \frac{1}{6} = \frac{1}{y} + \frac{1}{y}$

বা, $\frac{4}{6} = \frac{2}{y}$

বা, $\frac{2}{3} = \frac{2}{y}$

বা, $y = 3$

$y=3$ মানটি সমীকরণ (৪)-এ বসিয়ে পাই:

$\frac{1}{x} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1 + 2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

বা, $x = 2$

উত্তর: $x=2, y=3$।

5. (ix) $\frac{x+y}{xy}=2$ এবং $\frac{x-y}{xy}=1$

সমাধান (ix):

সহজ ব্যাখ্যা: সমীকরণগুলিকে $\frac{1}{y} + \frac{1}{x} = 2$ আকারে এনে $\frac{1}{y}$ চলটিকে $\frac{1}{x}$ চলের মাধ্যমে প্রকাশ করে তুলনা করা হয়েছে।

সমীকরণ (১) সরলীকরণ: $\frac{1}{y} + \frac{1}{x} = 2$ → $\frac{1}{y} = 2 – \frac{1}{x}$ (সমীকরণ ৩)

সমীকরণ (২) সরলীকরণ: $\frac{1}{y} – \frac{1}{x} = 1$ → $\frac{1}{y} = 1 + \frac{1}{x}$ (সমীকরণ ৪)

$\frac{1}{y}$-এর মান (৩) ও (৪) তুলনা করে পাই:

$2 – \frac{1}{x} = 1 + \frac{1}{x}$

বা, $2 – 1 = \frac{1}{x} + \frac{1}{x}$

বা, $1 = \frac{2}{x}$

বা, $x = 2$

$x=2$ মানটি সমীকরণ (৪)-এ বসিয়ে পাই:

$\frac{1}{y} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

বা, $y = \frac{2}{3}$

উত্তর: $x=2, y=\frac{2}{3}$।

5. (x) $\frac{x+y}{5}+\frac{x-y}{4}=5$ এবং $\frac{x+y}{4}+\frac{x-y}{5}=5\frac{4}{5}$

সমাধান (x):

সহজ ব্যাখ্যা: $x+y=p$ এবং $x-y=q$ ধরে সমীকরণগুলিকে সরল রৈখিক আকারে আনা হয়েছে। এরপর $p$ চলটিকে $q$ চলের মাধ্যমে প্রকাশ করে তুলনা করা হয়েছে।

ধরি, $x+y = p$ এবং $x-y = q$

**সমীকরণ (১) সরলীকরণ:** (20 দ্বারা গুণ করে)

$4p + 5q = 100$ → $4p = 100 – 5q$ → $p = \frac{100 – 5q}{4}$ (সমীকরণ ৩)

**সমীকরণ (২) সরলীকরণ:** ($5\frac{4}{5} = \frac{29}{5}$, 20 দ্বারা গুণ করে)

$5p + 4q = 20 \times \frac{29}{5} = 116$

বা, $5p = 116 – 4q$ → $p = \frac{116 – 4q}{5}$ (সমীকরণ ৪)

$p$-এর মান (৩) ও (৪) তুলনা করে পাই:

$\frac{100 – 5q}{4} = \frac{116 – 4q}{5}$

বা, $5(100 – 5q) = 4(116 – 4q)$

বা, $500 – 25q = 464 – 16q$

বা, $500 – 464 = 25q – 16q$

বা, $36 = 9q$

বা, $q = 4$

$q=4$ মানটি সমীকরণ (৩)-এ বসিয়ে পাই:

$p = \frac{100 – 5(4)}{4} = \frac{80}{4} = 20$

**মূল চলের মান নির্ণয়:**

$x+y = 20$ (সমীকরণ ৫) এবং $x-y = 4$ (সমীকরণ ৬)

$x$ ও $y$ কে $p$ ও $q$ এর মাধ্যমে প্রকাশ করে তুলনা করা যায়: $x = \frac{p+q}{2}$ এবং $y = \frac{p-q}{2}$

$x = \frac{20 + 4}{2} = 12$

$y = \frac{20 – 4}{2} = 8$

উত্তর: $x=12, y=8$।

5. (xi) $\frac{4}{x}-\frac{y}{2}=-1$ এবং $\frac{8}{x}+2y=10$

সমাধান (xi):

সহজ ব্যাখ্যা: উভয় সমীকরণ থেকে $y$-কে $\frac{1}{x}$ চলের মাধ্যমে প্রকাশ করে তুলনা করা হয়েছে।

সমীকরণ (১): $-\frac{y}{2} = -1 – \frac{4}{x}$ → $\frac{y}{2} = 1 + \frac{4}{x}$ → $y = 2 + \frac{8}{x}$ (সমীকরণ ৩)

সমীকরণ (২): $2y = 10 – \frac{8}{x}$ → $y = 5 – \frac{4}{x}$ (সমীকরণ ৪)

$y$-এর মান (৩) ও (৪) তুলনা করে পাই:

$2 + \frac{8}{x} = 5 – \frac{4}{x}$

বা, $\frac{8}{x} + \frac{4}{x} = 5 – 2$

বা, $\frac{12}{x} = 3$

বা, $3x = 12$

বা, $x = 4$

$x=4$ মানটি সমীকরণ (৪)-এ বসিয়ে পাই:

$y = 5 – \frac{4}{4} = 5 – 1 = 4$

উত্তর: $x=4, y=4$।

5. (xii) $2-2(3x-y)=10(4-y)-5x=4(y-x)$

সমাধান (xii):

সহজ ব্যাখ্যা: তিনটি অংশকে নিয়ে দুটি সরল সমীকরণ গঠন করে $x$ চলটিকে $y$ চলের মাধ্যমে প্রকাশ করে তুলনা করা হয়েছে।

ধরি, $A = 2-2(3x-y)$, $B = 10(4-y)-5x$ এবং $C = 4(y-x)$।

**সমীকরণ (১) গঠন ($A=C$):**

$2 – 6x + 2y = 4y – 4x$

বা, $2 = 4y – 4x + 6x – 2y$

বা, $2x + 2y = 2$

বা, $x + y = 1$ → $x = 1 – y$ (সমীকরণ ৩)

**সমীকরণ (২) গঠন ($B=C$):**

$40 – 10y – 5x = 4y – 4x$

বা, $40 = 4y + 10y + 5x – 4x$

বা, $x + 14y = 40$ → $x = 40 – 14y$ (সমীকরণ ৪)

$x$-এর মান (৩) ও (৪) তুলনা করে পাই:

$1 – y = 40 – 14y$

বা, $14y – y = 40 – 1$

বা, $13y = 39$

বা, $y = 3$

$y=3$ মানটি সমীকরণ (৩)-এ বসিয়ে পাই:

$x = 1 – 3 = -2$

উত্তর: $x=-2, y=3$।