নমব শ্রেণী গনিত: কষে দেখি 1.3 বাস্তব সংখ্যা

প্রশ্ন ১: ভাগ না করে নীচের কোন্ সংখ্যাগুলির দশমিক বিস্তার সসীম হবে লিখি:

(i) $\frac{17}{80}$ (ii) $\frac{13}{24}$ (iii) $\frac{17}{12}$ (iv) $\frac{16}{125}$ (v) $\frac{4}{35}$

সমাধান:

আমরা জানি, কোনো ভগ্নাংশের (যা লঘিষ্ঠ আকারে আছে) হরের উৎপাদকে শুধুমাত্র **$2$ বা $5$ অথবা উভয়ই** থাকলে, তবেই তার দশমিক বিস্তার **সসীম (Terminating)** হবে।

ধাপ ১: প্রতিটি ভগ্নাংশের হরকে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ

1. $\frac{17}{80}$: হর $80 = 2 \times 40 = 2 \times 2 \times 20 = 2 \times 2 \times 2 \times 10 = 2^4 \times 5^1$
2. $\frac{13}{24}$: হর $24 = 2 \times 12 = 2 \times 2 \times 6 = 2^3 \times 3^1$
3. $\frac{17}{12}$: হর $12 = 2 \times 6 = 2^2 \times 3^1$
4. $\frac{16}{125}$: হর $125 = 5 \times 25 = 5^3$
5. $\frac{4}{35}$: হর $35 = 5 \times 7^1$

ধাপ ২: সিদ্ধান্ত গ্রহণ

যেহেতু ভগ্নাংশ (i) এবং (iv)-এর হরের উৎপাদকে শুধুমাত্র $2$ এবং $5$ রয়েছে, তাই এদের দশমিক বিস্তার সসীম হবে।

✅ দশমিক বিস্তার সসীম হবে: $\mathbf{\frac{17}{80}}$ এবং $\mathbf{\frac{16}{125}}$।

প্রশ্ন ২: নীচের কোন্ সংখ্যাগুলির দশমিকে বিস্তার সসীম এবং কোন্গুলির অসীম ও পৌনঃপুনিক (Recurring) লিখি:

(i) $\frac{11}{25}$ (ii) $\frac{5}{8}$ (iii) $\frac{3}{13}$ (iv) $\frac{17}{8}$ (v) $\frac{3}{11}$ (vi) $\frac{7}{25}$

সমাধান:

হরের উৎপাদকে শুধু $2$ ও $5$ থাকলে সসীম, অন্য মৌলিক উৎপাদক থাকলে অসীম ও পৌনঃপুনিক হবে।

ধাপ ১: হরকে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ

1. $\frac{11}{25}$: হর $25 = 5^2$ (শুধু $5$ আছে) $\rightarrow$ **সসীম**।
2. $\frac{5}{8}$: হর $8 = 2^3$ (শুধু $2$ আছে) $\rightarrow$ **সসীম**।
3. $\frac{3}{13}$: হর $13$ (অন্য মৌলিক সংখ্যা) $\rightarrow$ **অসীম ও পৌনঃপুনিক**।
4. $\frac{17}{8}$: হর $8 = 2^3$ (শুধু $2$ আছে) $\rightarrow$ **সসীম**।
5. $\frac{3}{11}$: হর $11$ (অন্য মৌলিক সংখ্যা) $\rightarrow$ **অসীম ও পৌনঃপুনিক**।
6. $\frac{7}{25}$: হর $25 = 5^2$ (শুধু $5$ আছে) $\rightarrow$ **সসীম**।

✅ সসীম দশমিক বিস্তার: $\mathbf{\frac{11}{25}, \frac{5}{8}, \frac{17}{8}, \frac{7}{25}}$।

✅ অসীম ও পৌনঃপুনিক দশমিক বিস্তার: $\mathbf{\frac{3}{13}, \frac{3}{11}}$।

প্রশ্ন ৩: নীচের প্রতিটি সংখ্যাকে $\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করি, যেখানে $p$ ও $q$ পূর্ণ সংখ্যা এবং $q \ne 0$:

(i) $0.\bar{3}$ (ii) $1.\bar{3}$ (iii) $0.\overline{54}$ (iv) $0.\bar{3}\bar{4}$ (v) $3.1\bar{4}$ (vi) $0.1\bar{7}$ (vii) $0.00\bar{1}$ (viii) $0.1\bar{6}\bar{3}$

সমাধান:

পৌনঃপুনিক দশমিক সংখ্যাকে ভগ্নাংশে প্রকাশের সহজ নিয়ম হলো: দশমিক বিন্দুর পর পৌনঃপুনিক অংশটি যতগুলি অঙ্ক নিয়ে গঠিত হয়, ততগুলি $9$ হরের স্থানে বসাতে হয়। যদি অনাবৃত অংশ থাকে, তবে ততগুলি $0$ তার ডান দিকে বসাতে হয়।

(i) $0.\bar{3}$

$$0.\bar{3} = \frac{3}{9} = \mathbf{\frac{1}{3}}$$

(ii) $1.\bar{3}$

$$1.\bar{3} = 1 + 0.\bar{3} = 1 + \frac{3}{9} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{3+1}{3} = \mathbf{\frac{4}{3}}$$

(iii) $0.\overline{54}$

$$0.\overline{54} = \frac{54}{99}$$
উভয়কে $9$ দ্বারা ভাগ করে: $$\frac{54 \div 9}{99 \div 9} = \mathbf{\frac{6}{11}}$$

(iv) $0.\bar{3}\bar{4}$

$$0.\overline{34} = \mathbf{\frac{34}{99}}$$

(v) $3.1\bar{4}$

$$3.1\bar{4} = \frac{314 – 31}{90} = \mathbf{\frac{283}{90}}$$
*(নিয়ম: সম্পূর্ণ সংখ্যা – অনাবৃত অংশ / পৌনঃপুনিক অংশের জন্য $9$, অনাবৃত অংশের জন্য $0$)*

(vi) $0.1\bar{7}$

$$0.1\bar{7} = \frac{17 – 1}{90} = \frac{16}{90}$$
উভয়কে $2$ দ্বারা ভাগ করে: $$\frac{16 \div 2}{90 \div 2} = \mathbf{\frac{8}{45}}$$

(vii) $0.00\bar{1}$

$$0.00\bar{1} = \frac{001 – 00}{900} = \mathbf{\frac{1}{900}}$$

(viii) $0.1\bar{6}\bar{3}$

$$0.1\overline{63} = \frac{163 – 1}{990} = \frac{162}{990}$$
উভয়কে $18$ দ্বারা ভাগ করে: $$\frac{162 \div 18}{990 \div 18} = \mathbf{\frac{9}{55}}$$

✅ নির্ণেয় $\frac{p}{q}$ আকারগুলি হলো: $\frac{1}{3}, \frac{4}{3}, \frac{6}{11}, \frac{34}{99}, \frac{283}{90}, \frac{8}{45}, \frac{1}{900}, \frac{9}{55}$।

প্রশ্ন ৪: ৪টি সংখ্যা লিখি যাদের দশমিকের বিস্তার অসীম ও অনাবৃত (Non-terminating and non-recurring)।

সমাধান:

অসীম ও অনাবৃত দশমিক বিস্তারযুক্ত সংখ্যাগুলি হলো **অমূলদ সংখ্যা (Irrational Numbers)**।

৪টি অমূলদ সংখ্যা:

1. $$\mathbf{\sqrt{5}}$$
2. $$\mathbf{\pi \text{ (পাই)}}$$
3. $$\mathbf{0.2020020002…}$$ (একটি নির্দিষ্ট প্যাটার্ন নেই)
4. $$\mathbf{4.123456789101112…}$$ (অঙ্কগুলির পুনরাবৃত্তি হয় না)

✅ ৪টি অসীম ও অনাবৃত দশমিক বিস্তারযুক্ত সংখ্যা লেখা হলো।

প্রশ্ন ৫: $\frac{1}{7}$ ও $\frac{2}{7}$-এর মধ্যে একটি অমূলদ সংখ্যা লিখি।

প্রশ্ন ৬: $\frac{3}{7}$ ও $\frac{5}{7}$-এর মধ্যে দুটি অমূলদ সংখ্যা লিখি।

সমাধান:

অমূলদ সংখ্যা নির্ণয়ের জন্য প্রথমে প্রদত্ত মূলদ সংখ্যাগুলির দশমিক বিস্তার নির্ণয় করতে হবে।

৫. $\frac{1}{7}$ ও $\frac{2}{7}$-এর মধ্যে একটি অমূলদ সংখ্যা:

ধাপ ১: দশমিক বিস্তার নির্ণয়

$$\frac{1}{7} = 0.\overline{142857}$$
$$\frac{2}{7} = 2 \times \frac{1}{7} = 0.\overline{285714}$$

ধাপ ২: অমূলদ সংখ্যা নির্ণয়

একটি অমূলদ সংখ্যা হবে $0.142857$ থেকে বড় এবং $0.285714$ থেকে ছোট, যার দশমিক বিস্তার অসীম ও অনাবৃত হবে।

উদাহরণস্বরূপ: $\mathbf{0.150150015000…}$

—

৬. $\frac{3}{7}$ ও $\frac{5}{7}$-এর মধ্যে দুটি অমূলদ সংখ্যা:

ধাপ ১: দশমিক বিস্তার নির্ণয়

$$\frac{3}{7} = 3 \times \frac{1}{7} = 0.\overline{428571}$$
$$\frac{5}{7} = 5 \times \frac{1}{7} = 0.\overline{714285}$$

ধাপ ২: দুটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয়

দুটি অমূলদ সংখ্যা হবে $0.428571$ থেকে বড় এবং $0.714285$ থেকে ছোট।

1. প্রথম অমূলদ সংখ্যা: $\mathbf{0.5050050005…}$
2. দ্বিতীয় অমূলদ সংখ্যা: $\mathbf{0.6161161116…}$

✅ $\frac{1}{7}$ ও $\frac{2}{7}$-এর মধ্যে একটি অমূলদ সংখ্যা: $\mathbf{0.150150015000…}$।

✅ $\frac{3}{7}$ ও $\frac{5}{7}$-এর মধ্যে দুটি অমূলদ সংখ্যা: $\mathbf{0.5050050005…}$ এবং $\mathbf{0.6161161116…}$।

প্রশ্ন ৭: নীচের সংখ্যাগুলির মধ্যে কোনটি মূলদ সংখ্যা এবং কোনটি অমূলদ সংখ্যা লিখি:

(i) $\sqrt{47}$ (ii) $\sqrt{625}$ (iii) $6.5757…$ (iv) $1.1010010001…$

সমাধান:

(i) $\sqrt{47}$

সমাধান: $47$ একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়। $\sqrt{47}$-এর দশমিক বিস্তার অসীম ও অনাবৃত। তাই এটি **অমূলদ সংখ্যা**।

(ii) $\sqrt{625}$

সমাধান: $$\sqrt{625} = 25 = \frac{25}{1}$$
এটি $\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায়। তাই এটি **মূলদ সংখ্যা**।

(iii) $6.5757…$

সমাধান: $6.5757… = 6.\overline{57}$। এটি অসীম কিন্তু পৌনঃপুনিক দশমিক বিস্তার। পৌনঃপুনিক দশমিক বিস্তারকে $\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায়। তাই এটি **মূলদ সংখ্যা**।

(iv) $1.1010010001…$

সমাধান: এই দশমিক বিস্তারটি অসীম এবং অনাবৃত (অঙ্কগুলি পুনরাবৃত্তি হচ্ছে না)। তাই এটি **অমূলদ সংখ্যা**।

✅ মূলদ সংখ্যা: $\mathbf{\sqrt{625}, 6.5757…}$।

✅ অমূলদ সংখ্যা: $\mathbf{\sqrt{47}, 1.1010010001…}$।

প্রশ্ন ৮: সংখ্যারেখায় নীচের সংখ্যাগুলি স্থাপন করি:

(i) $5.762$ (ii) $2.321$ (iii) $1.052$ (iv) $4.178$

সমাধান:

এই সসীম দশমিক সংখ্যাগুলিকে সংখ্যারেখায় স্থাপন করার জন্য **বৃহদীকরণ পদ্ধতি (Successive Magnification)** ব্যবহার করা হয়।

(i) $5.762$ স্থাপন:

ধাপ ১: $5$ ও $6$-এর মধ্যে

$5.762$ সংখ্যাটি $5$ ও $6$-এর মধ্যে অবস্থিত। এই অংশটিকে $10$ ভাগে ভাগ করে $5.7$ ও $5.8$ চিহ্নিত করি।

ধাপ ২: $5.7$ ও $5.8$-এর মধ্যে

$5.762$ সংখ্যাটি $5.7$ ও $5.8$-এর মধ্যে অবস্থিত। এই অংশটিকে $10$ ভাগে ভাগ করে $5.76$ ও $5.77$ চিহ্নিত করি।

ধাপ ৩: $5.76$ ও $5.77$-এর মধ্যে

$5.762$ সংখ্যাটি $5.76$ ও $5.77$-এর মধ্যে অবস্থিত। এই অংশটিকে $10$ ভাগে ভাগ করে দ্বিতীয় ভাগবিন্দুটি হলো $\mathbf{5.762}$।

*(অন্যান্য সংখ্যাগুলিও একই পদ্ধতিতে স্থাপন করতে হবে।)*

✅ $\mathbf{5.762, 2.321, 1.052}$ এবং $\mathbf{4.178}$ সংখ্যাগুলি উপরে বর্ণিত বৃহদীকরণ পদ্ধতিতে সংখ্যারেখায় স্থাপন করা হলো।

প্রশ্ন ৯: $2.\overline{26}$ ও $5.\overline{54}$-এর মধ্যে ৪ দশমিক স্থান পর্যন্ত পূর্ণসংখ্যাগুলি সংখ্যারেখায় স্থাপন করি।

সমাধান:

প্রশ্নটি সম্ভবত $\mathbf{2.26}$ ও $\mathbf{5.54}$-এর মধ্যে অবস্থিত **পূর্ণসংখ্যাগুলি (Integers)** অথবা $\mathbf{2.\overline{26}}$ ও $\mathbf{5.\overline{54}}$-এর মধ্যে অবস্থিত $\mathbf{4}$ দশমিক স্থান পর্যন্ত সংখ্যাগুলিকে সংখ্যারেখায় স্থাপন করতে বলা হয়েছে। যেহেতু শেষাংশটি সম্ভব নয়, তাই প্রথমটি অর্থাৎ পূর্ণসংখ্যাগুলি স্থাপন করা হলো।

ধাপ ১: পূর্ণসংখ্যাগুলি চিহ্নিত করা

$2.\overline{26} = 2.262626…$ এবং $5.\overline{54} = 5.545454…$

এই দুটি সংখ্যার মধ্যবর্তী পূর্ণসংখ্যাগুলি হলো: $\mathbf{3, 4, 5}$।

ধাপ ২: সংখ্যারেখায় স্থাপন

একটি সরলরেখা টেনে $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ চিহ্নিত করে $3, 4, 5$ বিন্দুগুলিকে চিহ্নিত করা হলো।

✅ $\mathbf{2.\overline{26}}$ ও $\mathbf{5.\overline{54}}$-এর মধ্যে অবস্থিত পূর্ণসংখ্যাগুলি হলো $\mathbf{3, 4, 5}$। এই তিনটি সংখ্যা সংখ্যারেখায় স্থাপন করা হলো।

প্রশ্ন ১০: $\mathbf{0.212112111211112…}$ এবং $\mathbf{0.202002000200002…}$-এর মধ্যে দুটি মূলদ সংখ্যা লিখি।

সমাধান:

প্রদত্ত সংখ্যা দুটিই অমূলদ সংখ্যা। এদের মধ্যে অবস্থিত দুটি মূলদ সংখ্যা লিখতে হবে, যা দুটি সসীম দশমিক সংখ্যা হতে পারে।

প্রথম সংখ্যা: $A = 0.2121121112…$

দ্বিতীয় সংখ্যা: $B = 0.2020020002…$

স্পষ্টতই, $B < A$ কারণ প্রথম সংখ্যাটি $0.21$ থেকে শুরু হচ্ছে এবং দ্বিতীয়টি $0.20$ থেকে শুরু হচ্ছে।

ধাপ ১: সংখ্যাগুলির মধ্যে অবস্থিত একটি সাধারণ সসীম দশমিক সংখ্যা খুঁজে বের করা।

আমরা $0.20$ এর থেকে বড় এবং $0.21$-এর থেকে ছোট সংখ্যা নেব।

প্রথম মূলদ সংখ্যা: $0.20$ এর চেয়ে সামান্য বড় একটি সসীম সংখ্যা, যেমন $\mathbf{0.205}$।

দ্বিতীয় মূলদ সংখ্যা: $0.205$ এর চেয়ে বড় এবং $0.21$ এর চেয়ে ছোট একটি সসীম সংখ্যা, যেমন $\mathbf{0.208}$।

ধাপ ২: $\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ

1. প্রথম মূলদ সংখ্যা: $$0.205 = \frac{205}{1000} = \mathbf{\frac{41}{200}}$$
2. দ্বিতীয় মূলদ সংখ্যা: $$0.208 = \frac{208}{1000} = \mathbf{\frac{26}{125}}$$

✅ নির্ণেয় দুটি মূলদ সংখ্যা হলো $\mathbf{\frac{41}{200}}$ এবং $\mathbf{\frac{26}{125}}$।

প্রশ্ন ১১: $\mathbf{0.2101}$ এবং $\mathbf{0.2222…}$ এর মধ্যে দুটি মূলদ সংখ্যা লিখি।

সমাধান:

প্রথম সংখ্যা: $A = 0.2101$ (সসীম দশমিক সংখ্যা, এটি মূলদ সংখ্যা)

দ্বিতীয় সংখ্যা: $B = 0.2222… = 0.\overline{2}$ (অসীম পৌনঃপুনিক দশমিক সংখ্যা, এটি মূলদ সংখ্যা)

আমরা $0.2101$ এবং $0.2222…$-এর মধ্যে দুটি সসীম মূলদ সংখ্যা লিখব।

ধাপ ১: দুটি মূলদ সংখ্যা নির্ণয়

1. প্রথম মূলদ সংখ্যা: $0.2101$ এর চেয়ে বড় এবং $0.2222…$ এর চেয়ে ছোট একটি সসীম সংখ্যা, যেমন $\mathbf{0.215}$।
2. দ্বিতীয় মূলদ সংখ্যা: $0.215$ এর চেয়ে বড় এবং $0.2222…$ এর চেয়ে ছোট একটি সসীম সংখ্যা, যেমন $\mathbf{0.22}$।

ধাপ ২: $\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ

1. প্রথম মূলদ সংখ্যা: $$0.215 = \frac{215}{1000} = \mathbf{\frac{43}{200}}$$
2. দ্বিতীয় মূলদ সংখ্যা: $$0.22 = \frac{22}{100} = \mathbf{\frac{11}{50}}$$

✅ নির্ণেয় দুটি মূলদ সংখ্যা হলো $\mathbf{\frac{43}{200}}$ এবং $\mathbf{\frac{11}{50}}$।

প্রশ্ন ১২: স্বাভাবিক সংখ্যা, অখণ্ড সংখ্যা, পূর্ণসংখ্যা, মূলদ সংখ্যা, অমূলদ সংখ্যা ও বাস্তব সংখ্যা নিয়ে দশটি সত্য ও দশটি মিথ্যা বক্তব্য লিখি।

সমাধান:

**(সংক্ষিপ্ত আকারে কিছু উদাহরণ দেওয়া হলো)**

সত্য (T) বক্তব্য:

1. প্রতিটি স্বাভাবিক সংখ্যাই অখণ্ড সংখ্যা।
2. প্রতিটি অখণ্ড সংখ্যাই পূর্ণ সংখ্যা।
3. প্রতিটি পূর্ণ সংখ্যাই মূলদ সংখ্যা।
4. প্রতিটি মূলদ সংখ্যাই বাস্তব সংখ্যা।
5. পূর্ণ সংখ্যাগুলির যোগফল সর্বদা পূর্ণ সংখ্যা হবে।
6. অমূলদ সংখ্যাগুলির যোগফল মূলদ বা অমূলদ উভয়ই হতে পারে।
7. $0$ একটি মূলদ সংখ্যা।
8. $0$ ক্ষুদ্রতম অখণ্ড সংখ্যা।
9. মূলদ ও অমূলদ সংখ্যাগুলির সেট একত্রে বাস্তব সংখ্যা সেট তৈরি করে।
10. $\sqrt{9}$ একটি মূলদ সংখ্যা।

মিথ্যা (F) বক্তব্য:

1. প্রতিটি পূর্ণ সংখ্যাই স্বাভাবিক সংখ্যা। (কারণ $-1$ স্বাভাবিক সংখ্যা নয়)
2. প্রতিটি মূলদ সংখ্যাই অমূলদ সংখ্যা।
3. প্রতিটি বাস্তব সংখ্যাই অমূলদ সংখ্যা।
4. দুটি অমূলদ সংখ্যার গুণফল সর্বদা অমূলদ সংখ্যা হয়। ($\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$ মূলদ)
5. পূর্ণ সংখ্যাগুলির ভাগফল সর্বদা পূর্ণ সংখ্যা হয়। ($3 \div 2 = 1.5$ পূর্ণ সংখ্যা নয়)
6. সবচেয়ে ছোট পূর্ণ সংখ্যা হলো $0$।
7. $0$ একটি স্বাভাবিক সংখ্যা।
8. অখণ্ড সংখ্যাগুলির মধ্যে কোনো ঋণাত্মক সংখ্যা নেই।
9. $\frac{2}{3}$ একটি অমূলদ সংখ্যা।
10. $1.\bar{3}$ একটি অমূলদ সংখ্যা।

✅ সংখ্যা সেটগুলির বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে ১০টি সত্য ও ১০টি মিথ্যা বক্তব্য লেখা হলো।

প্রশ্ন ১৩: একটি গুণ করতে $2$ টাকা ও একটি যোগ করতে $1$ টাকা লাগলে নীচের সংখ্যামালাগুলির মান নির্ণয় করতে কত টাকা লাগবে দেখি এবং এই নিয়ম ব্যবহার করে কম করে কত টাকায় সংখ্যামালার মান বার করা যায় দেখি:

(i) $3x^2 + 2x + 1$, যখন $x = 5$     (ii) $2x^3 + 3x^2 + 2x + 3$, যখন $x = 7$

সমাধান:

খরচের নিয়ম: গুণ $\rightarrow 2$ টাকা, যোগ $\rightarrow 1$ টাকা।

(i) $3x^2 + 2x + 1$, যখন $x = 5$

ধাপ ১: প্রচলিত পদ্ধতি (Traditional Method)

• $x=5$: $3(5)^2 + 2(5) + 1$
• $5^2 = 5 \times 5$: $1$ গুণ $\rightarrow 2$ টাকা।
• $3 \times 5^2$: $1$ গুণ $\rightarrow 2$ টাকা।
• $2 \times 5$: $1$ গুণ $\rightarrow 2$ টাকা।
• $3x^2 + 2x$: $1$ যোগ $\rightarrow 1$ টাকা।
• $(3x^2 + 2x) + 1$: $1$ যোগ $\rightarrow 1$ টাকা।

মোট খরচ: (৩টি গুণ + ২টি যোগ) $\times 2 + 1 = (3 \times 2) + (2 \times 1) = 6 + 2 = \mathbf{8}$ টাকা।

ধাপ ২: কম খরচের পদ্ধতি (হর্নারের পদ্ধতি – Horner’s Method)

সংখ্যামালাটিকে এইভাবে লেখা যায়: $$\mathbf{((3x + 2)x) + 1}$$

• $3 \times x$: $1$ গুণ $\rightarrow 2$ টাকা।
• $(3x) + 2$: $1$ যোগ $\rightarrow 1$ টাকা।
• $(3x+2) \times x$: $1$ গুণ $\rightarrow 2$ টাকা।
• $((3x+2)x) + 1$: $1$ যোগ $\rightarrow 1$ টাকা।

মোট খরচ: (২টি গুণ + ২টি যোগ) $\times 2 + 1 = (2 \times 2) + (2 \times 1) = 4 + 2 = \mathbf{6}$ টাকা।

✅ প্রচলিত পদ্ধতিতে খরচ: $\mathbf{8}$ টাকা। কম খরচের পদ্ধতিতে খরচ: $\mathbf{6}$ টাকা।

—

(ii) $2x^3 + 3x^2 + 2x + 3$, যখন $x = 7$

ধাপ ১: প্রচলিত পদ্ধতি

• $x^3$: $2$ গুণ ($x \times x \times x$) $\rightarrow 4$ টাকা।
• $2x^3$: $1$ গুণ $\rightarrow 2$ টাকা।
• $x^2$: $1$ গুণ $\rightarrow 2$ টাকা।
• $3x^2$: $1$ গুণ $\rightarrow 2$ টাকা।
• $2x$: $1$ গুণ $\rightarrow 2$ টাকা।
• মোট যোগ: $3$টি যোগ $\rightarrow 3 \times 1 = 3$ টাকা।

মোট খরচ: (৫টি গুণ + ৩টি যোগ) $\rightarrow (5 \times 2) + (3 \times 1) = 10 + 3 = \mathbf{13}$ টাকা।

ধাপ ২: কম খরচের পদ্ধতি (হর্নারের পদ্ধতি)

সংখ্যামালাটিকে এইভাবে লেখা যায়: $$\mathbf{(((2x + 3)x + 2)x) + 3}$$

• $2x$: $1$ গুণ $\rightarrow 2$ টাকা।
• $2x+3$: $1$ যোগ $\rightarrow 1$ টাকা।
• $(2x+3)x$: $1$ গুণ $\rightarrow 2$ টাকা।
• $(2x+3)x + 2$: $1$ যোগ $\rightarrow 1$ টাকা।
• $((2x+3)x+2)x$: $1$ গুণ $\rightarrow 2$ টাকা।
• $(((2x+3)x+2)x) + 3$: $1$ যোগ $\rightarrow 1$ টাকা।

মোট খরচ: (৩টি গুণ + ৩টি যোগ) $\rightarrow (3 \times 2) + (3 \times 1) = 6 + 3 = \mathbf{9}$ টাকা।

✅ প্রচলিত পদ্ধতিতে খরচ: $\mathbf{13}$ টাকা। কম খরচের পদ্ধতিতে খরচ: $\mathbf{9}$ টাকা।

প্রশ্ন ১৪: বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)

(i) $\sqrt{5}$-এর দশমিক বিস্তার

সমাধান: $\sqrt{5}$ একটি অমূলদ সংখ্যা। অমূলদ সংখ্যার দশমিক বিস্তার সর্বদা অসীম এবং অনাবৃত হয়।

✅ সঠিক উত্তর: $\mathbf{(c)}$ একটি অসীম এবং অনাবৃত দশমিক।

(ii) দুটি অমূলদ সংখ্যার গুণফল

সমাধান: দুটি অমূলদ সংখ্যার গুণফল মূলদ অথবা অমূলদ উভয়ই হতে পারে। যেমন: $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ (অমূলদ); আবার $\sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$ (মূলদ)।

✅ সঠিক উত্তর: $\mathbf{(c)}$ মূলদ কিংবা অমূলদ সংখ্যা।

(iii) $\pi$ সংখ্যাটি

সমাধান: $\pi$ একটি অমূলদ সংখ্যা। $\frac{22}{7}$ হলো $\pi$-এর একটি আসন্ন মূলদ মান মাত্র, এটি $\pi$ নয়।

✅ সঠিক উত্তর: $\mathbf{(c)}$ অমূলদ সংখ্যা এবং $\frac{22}{7}$ মূলদ সংখ্যা।

(iv) দুটি মূলদ সংখ্যার মধ্যে

সমাধান: দুটি মূলদ সংখ্যার মধ্যে অসংখ্য মূলদ সংখ্যা এবং অসংখ্য অমূলদ সংখ্যা থাকে।

✅ সঠিক উত্তর: $\mathbf{(c)}$ অসংখ্য মূলদ সংখ্যা আছে।

(v) দুটি অমূলদ সংখ্যার মধ্যে

সমাধান: দুটি অমূলদ সংখ্যার মধ্যেও অসংখ্য মূলদ সংখ্যা এবং অসংখ্য অমূলদ সংখ্যা থাকে।

✅ সঠিক উত্তর: $\mathbf{(c)}$ অসংখ্য অমূলদ সংখ্যা আছে।

(vi) $0$ সংখ্যাটি

সমাধান: $0$ একটি অখণ্ড সংখ্যা, পূর্ণ সংখ্যা, মূলদ সংখ্যা এবং বাস্তব সংখ্যা। এটি অমূলদ সংখ্যা নয়।

✅ সঠিক উত্তর: $\mathbf{(d)}$ অখণ্ড সংখ্যা, পূর্ণসংখ্যা, মূলদ সংখ্যা এবং বাস্তব সংখ্যা।

প্রশ্ন ১৫: সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন

(i) একটি উদাহরণ লিখি যেখানে দুটি অমূলদ সংখ্যার যোগফল একটি মূলদ সংখ্যা।

সমাধান: প্রথম অমূলদ সংখ্যা: $\sqrt{3}$, দ্বিতীয় অমূলদ সংখ্যা: $2-\sqrt{3}$।

যোগফল: $\sqrt{3} + (2 – \sqrt{3}) = \mathbf{2}$। $2$ একটি মূলদ সংখ্যা।

(ii) একটি উদাহরণ লিখি যেখানে দুটি অমূলদ সংখ্যার বিয়োগফল একটি মূলদ সংখ্যা।

সমাধান: প্রথম অমূলদ সংখ্যা: $3+\sqrt{5}$, দ্বিতীয় অমূলদ সংখ্যা: $\sqrt{5}$।

বিয়োগফল: $(3 + \sqrt{5}) – (\sqrt{5}) = \mathbf{3}$। $3$ একটি মূলদ সংখ্যা।

(iii) $\frac{1}{7}$ ও $\frac{2}{7}$-এর মধ্যে একটি মূলদ সংখ্যা লিখি।

সমাধান: দুটি মূলদ সংখ্যার মধ্যে একটি মূলদ সংখ্যা হলো তাদের যোগফলের অর্ধেক।
$$\frac{1}{2} \left( \frac{1}{7} + \frac{2}{7} \right) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{7} = \mathbf{\frac{3}{14}}$$

(iv) $\frac{1}{7}$ এবং $\frac{2}{7}$-এর মধ্যে একটি অমূলদ সংখ্যা লিখি।

সমাধান: $\frac{1}{7} \approx 0.142857…$ এবং $\frac{2}{7} \approx 0.285714…$।
একটি অমূলদ সংখ্যা: $\mathbf{0.151151115…}$

(v) $.01\overline{23}$ আবৃত্ত দশমিক সংখ্যাকে সামান্য ভগ্নাংশে লিখি।

সমাধান:
$$0.01\overline{23} = \frac{\text{সম্পূর্ণ সংখ্যা – অনাবৃত অংশ}}{\text{পৌনঃপুনিকের জন্য 9 – অনাবৃতের জন্য 0}}$$
$$0.01\overline{23} = \frac{123 – 1}{9900} = \frac{122}{9900}$$
উভয়কে $2$ দ্বারা ভাগ করে: $$\frac{122 \div 2}{9900 \div 2} = \mathbf{\frac{61}{4950}}$$

✅ সকল সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্নের সঠিক উত্তর প্রদান করা হলো।