নবম শ্রেণী গণিত: সহ সমীকরণ কষে দেখি 5.3 অপনয়ন পদ্ধতি

1. (a) $8x+5y-11=0$ এবং $3x-4y-10=0$

সমাধান (a):

সহজ ব্যাখ্যা: $y$ চলটিকে অপনীত করার জন্য প্রথম সমীকরণকে 4 দিয়ে এবং দ্বিতীয় সমীকরণকে 5 দিয়ে গুণ করে যোগ করা হয়েছে।

সমীকরণ (১): $8x + 5y = 11$

সমীকরণ (২): $3x – 4y = 10$

সমীকরণ (১)-কে 4 দ্বারা এবং সমীকরণ (২)-কে 5 দ্বারা গুণ করে পাই:

(৩) $32x + 20y = 44$

(৪) $15x – 20y = 50$

সমীকরণ (৩) ও (৪) যোগ করে পাই:

বা, $x = 2$

$x=2$ মানটি সমীকরণ (১)-এ বসিয়ে পাই:

$8(2) + 5y = 11$

বা, $16 + 5y = 11$

বা, $5y = -5$

বা, $y = -1$

উত্তর: সমাধান হলো $x=2, y=-1$।

1. (b) $2x+3y-7=0$ এবং $3x+2y-8=0$

সমাধান (b):

সহজ ব্যাখ্যা: $x$ চলটিকে অপনীত করার জন্য প্রথম সমীকরণকে 3 দিয়ে এবং দ্বিতীয় সমীকরণকে 2 দিয়ে গুণ করে বিয়োগ করা হয়েছে।

সমীকরণ (১): $2x + 3y = 7$

সমীকরণ (২): $3x + 2y = 8$

সমীকরণ (১)-কে 3 দ্বারা এবং সমীকরণ (২)-কে 2 দ্বারা গুণ করে পাই:

(৩) $6x + 9y = 21$

(৪) $6x + 4y = 16$

সমীকরণ (৩) থেকে (৪) বিয়োগ করে পাই:

বা, $y = 1$

$y=1$ মানটি সমীকরণ (১)-এ বসিয়ে পাই:

$2x + 3(1) = 7$

বা, $2x = 4$

বা, $x = 2$

উত্তর: সমাধান হলো $x=2, y=1$।

2. $7x-5y+2=0$ সমীকরণকে কত দিয়ে গুণ করে $2x+15y+3=0$ সমীকরণের সঙ্গে যোগ করব যাতে $y$ চলটিকে অপনীত করতে পারি।

সমাধান:

সহজ ব্যাখ্যা: $y$ চলটিকে অপনীত করার জন্য, প্রথম সমীকরণের $y$-এর সহগ (-5) এবং দ্বিতীয় সমীকরণের $y$-এর সহগ (15) এর সাংখ্যমান সমান কিন্তু বিপরীত চিহ্ন করতে হবে।

সমীকরণ (১): $7x – 5y + 2 = 0$ ($y$-এর সহগ $-5$)

সমীকরণ (২): $2x + 15y + 3 = 0$ ($y$-এর সহগ $+15$)

$-5y$ কে $+15y$-এর সাথে যোগ করলে শূন্য হওয়ার জন্য, $-5y$ কে $-15y$ করতে হবে।

অর্থাৎ, সমীকরণ (১)-কে $15 \div 5 = 3$ দ্বারা গুণ করতে হবে।

উত্তর: $7x-5y+2=0$ সমীকরণকে 3 দিয়ে গুণ করে $y$ চলটিকে অপনীত করা যাবে।

3. $4x-3y=16$ ও $6x+5y=62$ উভয় সমীকরণকে সবথেকে ছোটো কোন কোন স্বাভাবিক সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে দুটি সমীকরণের $x$-এর সহগ সমান হবে তা লিখি।

সমাধান:

সহজ ব্যাখ্যা: $x$-এর সহগ (4 এবং 6) সমান করার জন্য, তাদের লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (LCM) নির্ণয় করতে হবে। 4 এবং 6 এর LCM হলো 12।

সমীকরণ (১): $4x – 3y = 16$ ($x$-এর সহগ 4)

সমীকরণ (২): $6x + 5y = 62$ ($x$-এর সহগ 6)

$x$-এর সহগ 12 করার জন্য:
* সমীকরণ (১)-কে $12 \div 4 = 3$ দ্বারা গুণ করতে হবে।
* সমীকরণ (২)-কে $12 \div 6 = 2$ দ্বারা গুণ করতে হবে।

উত্তর: প্রথম সমীকরণকে 3 এবং দ্বিতীয় সমীকরণকে 2 দিয়ে গুণ করলে $x$-এর সহগ সমান হবে (12)।

4. (i) $3x+2y=6$ এবং $2x-3y=17$

সমাধান (i):

সহজ ব্যাখ্যা: $y$ চলটিকে অপনীত করার জন্য প্রথম সমীকরণকে 3 দ্বারা এবং দ্বিতীয় সমীকরণকে 2 দ্বারা গুণ করে যোগ করা হয়েছে।

সমীকরণ (১): $3x + 2y = 6$

সমীকরণ (২): $2x – 3y = 17$

সমীকরণ (১)-কে 3 দ্বারা এবং সমীকরণ (২)-কে 2 দ্বারা গুণ করে পাই:

(৩) $9x + 6y = 18$

(৪) $4x – 6y = 34$

সমীকরণ (৩) ও (৪) যোগ করে পাই:

বা, $x = 4$

$x=4$ মানটি সমীকরণ (১)-এ বসিয়ে পাই:

$3(4) + 2y = 6$

বা, $12 + 2y = 6$

বা, $2y = -6$

বা, $y = -3$

উত্তর: $x=4, y=-3$।

4. (ii) $2x+3y=32$ এবং $11y-9x=3$

সমাধান (ii):

সহজ ব্যাখ্যা: $x$ চলটিকে অপনীত করার জন্য প্রথম সমীকরণকে 9 দ্বারা এবং দ্বিতীয় সমীকরণকে 2 দ্বারা গুণ করে যোগ করা হয়েছে।

সমীকরণ (১): $2x + 3y = 32$

সমীকরণ (২): $-9x + 11y = 3$

সমীকরণ (১)-কে 9 দ্বারা এবং সমীকরণ (২)-কে 2 দ্বারা গুণ করে পাই:

(৩) $18x + 27y = 288$

(৪) $-18x + 22y = 6$

সমীকরণ (৩) ও (৪) যোগ করে পাই:

বা, $y = 6$

$y=6$ মানটি সমীকরণ (১)-এ বসিয়ে পাই:

$2x + 3(6) = 32$

বা, $2x + 18 = 32$

বা, $2x = 14$

বা, $x = 7$

উত্তর: $x=7, y=6$।

4. (iii) $x+y=48$ এবং $x+4=\frac{5}{2}(y+4)$

সমাধান (iii):

সহজ ব্যাখ্যা: দ্বিতীয় সমীকরণকে সরল করে পূর্ণসংখ্যায় এনে $y$ চলটিকে অপনীত করার জন্য সমীকরণ দুটির যোগ করা হয়েছে।

সমীকরণ (১): $x + y = 48$

সমীকরণ (২)-কে সরল করি: $2x – 5y = 12$ (সমীকরণ ২)

$y$ চল অপনীত করার জন্য সমীকরণ (১)-কে 5 দ্বারা গুণ করি:

(৩) $5x + 5y = 240$

সমীকরণ (২) ও (৩) যোগ করে পাই:

বা, $x = 36$

$x=36$ মানটি সমীকরণ (১)-এ বসিয়ে পাই:

$36 + y = 48$

বা, $y = 12$

উত্তর: $x=36, y=12$।

4. (iv) $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=8$ এবং $\frac{5x}{4}-3y=-3$

সমাধান (iv):

সহজ ব্যাখ্যা: প্রথম সমীকরণকে 6 দ্বারা এবং দ্বিতীয় সমীকরণকে 4 দ্বারা গুণ করে পূর্ণসংখ্যায় এনে $y$ চলটিকে অপনীত করার জন্য সমীকরণ দুটির যোগ করা হয়েছে।

সমীকরণ (১)-কে 6 দ্বারা গুণ করে পাই:

(৩) $3x + 2y = 48$

সমীকরণ (২)-কে 4 দ্বারা গুণ করে পাই:

(৪) $5x – 12y = -12$

$y$ চল অপনীত করার জন্য সমীকরণ (৩)-কে 6 দ্বারা গুণ করি:

(৫) $18x + 12y = 288$

সমীকরণ (৪) ও (৫) যোগ করে পাই:

বা, $x = 12$

$x=12$ মানটি সমীকরণ (৩)-এ বসিয়ে পাই:

$3(12) + 2y = 48$

বা, $36 + 2y = 48$

বা, $2y = 12$

বা, $y = 6$

উত্তর: $x=12, y=6$।

4. (v) $3x-\frac{2}{y}=5$ এবং $x+\frac{4}{y}=4$

সমাধান (v):

সহজ ব্যাখ্যা: $\frac{1}{y}$ চলটিকে অপনীত করার জন্য প্রথম সমীকরণকে 2 দিয়ে গুণ করে যোগ করা হয়েছে।

সমীকরণ (১): $3x – \frac{2}{y} = 5$

সমীকরণ (২): $x + \frac{4}{y} = 4$

সমীকরণ (১)-কে 2 দ্বারা গুণ করে পাই:

(৩) $6x – \frac{4}{y} = 10$

সমীকরণ (২) ও (৩) যোগ করে পাই:

বা, $x = 2$

$x=2$ মানটি সমীকরণ (২)-এ বসিয়ে পাই:

$2 + \frac{4}{y} = 4$

বা, $\frac{4}{y} = 2$

বা, $y = 2$

উত্তর: $x=2, y=2$।

4. (vi) $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1$ এবং $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=1$

সমাধান (vi):

সহজ ব্যাখ্যা: উভয় সমীকরণকে 6 দ্বারা গুণ করে পূর্ণসংখ্যায় এনে $y$ চল অপনীত করার জন্য সমীকরণ (৩)-কে 3 এবং (৪)-কে 2 দ্বারা গুণ করে বিয়োগ করা হয়েছে।

সমীকরণ (১) থেকে পাই (6 দ্বারা গুণ করে):

(৩) $3x + 2y = 6$

সমীকরণ (২) থেকে পাই (6 দ্বারা গুণ করে):

(৪) $2x + 3y = 6$

সমীকরণ (৩)-কে 3 দ্বারা এবং সমীকরণ (৪)-কে 2 দ্বারা গুণ করে পাই:

(৫) $9x + 6y = 18$

(৬) $4x + 6y = 12$

সমীকরণ (৫) থেকে (৬) বিয়োগ করে পাই:

বা, $x = \frac{6}{5}$

$x=\frac{6}{5}$ মানটি সমীকরণ (৩)-এ বসিয়ে পাই:

$3(\frac{6}{5}) + 2y = 6$

বা, $2y = \frac{12}{5}$

বা, $y = \frac{6}{5}$

উত্তর: $x=\frac{6}{5}, y=\frac{6}{5}$।

4. (vii) $\frac{x+y}{2}+\frac{3x-5y}{4}=2$ এবং $\frac{x}{14}+\frac{y}{18}=1$

সমাধান (vii):

সহজ ব্যাখ্যা: সমীকরণ দুটির হর দূর করার জন্য প্রথমটিকে 4 দ্বারা এবং দ্বিতীয়টিকে 126 দ্বারা গুণ করে সরল রৈখিক আকারে এনে $y$ চল অপনীত করা হয়েছে।

**সমীকরণ (১) সরলীকরণ:** (4 দ্বারা গুণ করে)
$5x – 3y = 8$ (সমীকরণ ৩)

**সমীকরণ (২) সরলীকরণ:** (126 দ্বারা গুণ করে)
$9x + 7y = 126$ (সমীকরণ ৪)

$y$ চল অপনীত করার জন্য সমীকরণ (৩)-কে 7 দ্বারা এবং সমীকরণ (৪)-কে 3 দ্বারা গুণ করে পাই:

(৫) $35x – 21y = 56$

(৬) $27x + 21y = 378$

সমীকরণ (৫) ও (৬) যোগ করে পাই:

বা, $x = 7$

$x=7$ মানটি সমীকরণ (৩)-এ বসিয়ে পাই:

$5(7) – 3y = 8$

বা, $3y = 27$

বা, $y = 9$

উত্তর: $x=7, y=9$।

4. (viii) $\frac{xy}{x+y}=\frac{1}{5}$ এবং $\frac{xy}{x-y}=\frac{1}{9}$

সমাধান (viii):

সহজ ব্যাখ্যা: সমীকরণগুলিকে উল্টে $\frac{1}{y} + \frac{1}{x} = 5$ আকারে এনে চলগুলিকে অপনয়ন করা হয়েছে।

সমীকরণ (১)-কে উল্টে পাই: $\frac{1}{y} + \frac{1}{x} = 5$ (সমীকরণ ৩)

সমীকরণ (২)-কে উল্টে পাই: $\frac{1}{y} – \frac{1}{x} = 9$ (সমীকরণ ৪)

সমীকরণ (৩) ও (৪) যোগ করে পাই:

বা, $y = \frac{1}{7}$

সমীকরণ (৩) থেকে (৪) বিয়োগ করে পাই:

বা, $x = -\frac{1}{2}$

উত্তর: $x=-\frac{1}{2}, y=\frac{1}{7}$।

4. (ix) $\frac{1}{x-1}+\frac{1}{y-2}=3$ এবং $\frac{2}{x-1}+\frac{3}{y-2}=5$

সমাধান (ix):

সহজ ব্যাখ্যা: $\frac{1}{x-1} = a$ এবং $\frac{1}{y-2} = b$ ধরে নতুন সরল সমীকরণে এনে $b$ চল অপনীত করে সমাধান করা হয়েছে।

ধরি, $\frac{1}{x-1} = a$ এবং $\frac{1}{y-2} = b$

সমীকরণ দুটি হলো: (৩) $a + b = 3$ এবং (৪) $2a + 3b = 5$

$b$ চল অপনীত করার জন্য সমীকরণ (৩)-কে 3 দ্বারা গুণ করি:

(৫) $3a + 3b = 9$

সমীকরণ (৫) থেকে (৪) বিয়োগ করে পাই:

$a=4$ মানটি সমীকরণ (৩)-এ বসিয়ে পাই: $b = -1$

**এখন মূল চলের মান নির্ণয়:**

$\frac{1}{x-1} = 4$ → $x = \frac{5}{4}$

$\frac{1}{y-2} = -1$ → $y = 1$

উত্তর: $x=\frac{5}{4}, y=1$।

4. (x) $\frac{14}{x+y}+\frac{3}{x-y}=5$ এবং $\frac{21}{x+y}-\frac{1}{x-y}=2$

সমাধান (x):

সহজ ব্যাখ্যা: $\frac{1}{x+y} = a$ এবং $\frac{1}{x-y} = b$ ধরে নতুন সরল সমীকরণে এনে $b$ চল অপনীত করে সমাধান করা হয়েছে।

ধরি, $\frac{1}{x+y} = a$ এবং $\frac{1}{x-y} = b$

সমীকরণ দুটি হলো: (৩) $14a + 3b = 5$ এবং (৪) $21a – b = 2$

$b$ চল অপনীত করার জন্য সমীকরণ (৪)-কে 3 দ্বারা গুণ করি:

(৫) $63a – 3b = 6$

সমীকরণ (৩) ও (৫) যোগ করে পাই:

বা, $a = \frac{1}{7}$

$a=\frac{1}{7}$ মানটি সমীকরণ (৪)-এ বসিয়ে পাই: $b = 1$

**এখন মূল চলের মান নির্ণয়:**

$x+y = 7$ (সমীকরণ ৬) এবং $x-y = 1$ (সমীকরণ ৭)

সমীকরণ (৬) ও (৭) যোগ করে পাই:

বা, $x = 4$

$x=4$ মানটি সমীকরণ (৭)-এ বসিয়ে পাই: $y = 3$

উত্তর: $x=4, y=3$।

4. (xi) $\frac{x+y}{5}-\frac{x-y}{4} = \frac{7}{20}$ এবং $\frac{x+y}{3}-\frac{x-y}{2}+\frac{5}{6}=0$

সমাধান (xi):

সহজ ব্যাখ্যা: $x+y=p$ এবং $x-y=q$ ধরে সমীকরণগুলিকে সরল রৈখিক আকারে এনে $p$ ও $q$ এর মান বের করা হয়েছে।

ধরি, $x+y = p$ এবং $x-y = q$

**সমীকরণ সরলীকরণ (20 এবং 6 দ্বারা গুণ করে):**
(৩) $4p – 5q = 7$

(৪) $2p – 3q = -5$

$p$ চল অপনীত করার জন্য সমীকরণ (৪)-কে 2 দ্বারা গুণ করি:

(৫) $4p – 6q = -10$

সমীকরণ (৩) থেকে (৫) বিয়োগ করে পাই:

$q=17$ মানটি সমীকরণ (৩)-এ বসিয়ে পাই: $p = 23$

**এখন মূল চলের মান নির্ণয়:**
$x+y = 23$ (সমীকরণ ৬) এবং $x-y = 17$ (সমীকরণ ৭)

সমীকরণ (৬) ও (৭) যোগ করে পাই:

বা, $x = 20$

$x=20$ মানটি সমীকরণ (৬)-এ বসিয়ে পাই: $y = 3$

উত্তর: $x=20, y=3$।

4. (xii) $\frac{21}{x+y}-\frac{1}{x-y}=2$ এবং $\frac{14}{x+y}+\frac{3}{x-y}=5$

সমাধান (xii):

সহজ ব্যাখ্যা: $\frac{1}{x+y} = a$ এবং $\frac{1}{x-y} = b$ ধরে নতুন সরল সমীকরণে এনে $b$ চল অপনীত করে সমাধান করা হয়েছে।

ধরি, $\frac{1}{x+y} = a$ এবং $\frac{1}{x-y} = b$

সমীকরণ দুটি হলো: (৩) $21a – b = 2$ এবং (৪) $14a + 3b = 5$

$b$ চল অপনীত করার জন্য সমীকরণ (৩)-কে 3 দ্বারা গুণ করি:

(৫) $63a – 3b = 6$

সমীকরণ (৪) ও (৫) যোগ করে পাই:

বা, $a = \frac{1}{7}$

$a=\frac{1}{7}$ মানটি সমীকরণ (৩)-এ বসিয়ে পাই: $b = 1$

**এখন মূল চলের মান নির্ণয়:**
$x+y = 7$ (সমীকরণ ৬) এবং $x-y = 1$ (সমীকরণ ৭)

সমীকরণ (৬) ও (৭) যোগ করে পাই:

বা, $x = 4$

$x=4$ মানটি সমীকরণ (৭)-এ বসিয়ে পাই: $y = 3$

উত্তর: $x=4, y=3$।

4. (xiii) $\frac{x+a}{a}=\frac{y+b}{b}$ এবং $ax-by=a^{2}-b^{2}$

সমাধান (xiii):

সহজ ব্যাখ্যা: প্রথম সমীকরণকে সরল করে $bx-ay=0$ আকারে এনে $y$ চল অপনীত করা হয়েছে।

**সমীকরণ (১) সরলীকরণ:**
$bx – ay = 0$ (সমীকরণ ৩)

সমীকরণ (২): $ax – by = a^2 – b^2$ (সমীকরণ ৪)

$y$ চল অপনীত করার জন্য সমীকরণ (৩)-কে $b$ দ্বারা এবং সমীকরণ (৪)-কে $a$ দ্বারা গুণ করে পাই:

(৫) $b^2x – aby = 0$

(৬) $a^2x – aby = a(a^2 – b^2)$

সমীকরণ (৫) থেকে (৬) বিয়োগ করে পাই:

বা, $x = a$

$x=a$ মানটি সমীকরণ (৩)-এ বসিয়ে পাই:

$b(a) – ay = 0$ → $y = b$

উত্তর: $x=a, y=b$।

4. (xiv) $ax+by=c$ এবং $a^{2}x+b^{2}y=c^{2}$

সমাধান (xiv):

সহজ ব্যাখ্যা: $y$ চল অপনীত করার জন্য প্রথম সমীকরণকে $b$ দ্বারা এবং দ্বিতীয় সমীকরণকে 1 দ্বারা গুণ করে বিয়োগ করা হয়েছে।

সমীকরণ (১): $ax + by = c$

সমীকরণ (২): $a^2x + b^2y = c^2$

$y$ চল অপনীত করার জন্য সমীকরণ (১)-কে $b$ দ্বারা গুণ করে পাই:

(৩) $abx + b^2y = bc$

সমীকরণ (৩) থেকে (২) বিয়োগ করে পাই:

বা, $x a(b – a) = c(b – c)$

বা, $x = \frac{c(b-c)}{a(b-a)}$

$x$-এর মান সমীকরণ (১)-এ বসিয়ে পাই:

$y = \frac{c(c-a)}{b(b-a)}$ (বিস্তারিত ধাপ আগের সমাধানে দেখানো হয়েছে)

উত্তর: $x = \frac{c(b-c)}{a(b-a)}, y = \frac{c(c-a)}{b(b-a)}$।

4. (xv) $x+y=a+b$ এবং $ax-by=a^{2}-b^{2}$

সমাধান (xv):

সহজ ব্যাখ্যা: $y$ চল অপনীত করার জন্য প্রথম সমীকরণকে $b$ দ্বারা গুণ করে যোগ করা হয়েছে।

সমীকরণ (১): $x + y = a + b$

সমীকরণ (২): $ax – by = a^2 – b^2$

$y$ চল অপনীত করার জন্য সমীকরণ (১)-কে $b$ দ্বারা গুণ করে পাই:

(৩) $bx + by = ab + b^2$

সমীকরণ (২) ও (৩) যোগ করে পাই:

বা, $(a+b)x = a(a+b)$

বা, $x = a$

$x=a$ মানটি সমীকরণ (১)-এ বসিয়ে পাই:

$a + y = a + b$

বা, $y = b$

উত্তর: $x=a, y=b$।

4. (xvi) $(7x-y-6)^{2}+(14x+2y-16)^{2}=0$

সমাধান (xvi):

সহজ ব্যাখ্যা: দুটি রাশির বর্গের যোগফল শূন্য হলে, রাশি দুটিকে আলাদাভাবে শূন্যের সমান ধরে সহসমীকরণ গঠন করে $y$ চল অপনীত করা হয়েছে।

দুটি রাশির বর্গের যোগফল শূন্য হয় যদি রাশি দুটিই আলাদাভাবে শূন্য হয়।

সমীকরণ (১): $7x – y – 6 = 0$ → $7x – y = 6$

সমীকরণ (২): $14x + 2y – 16 = 0$ → $7x + y = 8$ (2 দ্বারা ভাগ করে)

সমীকরণ (১) ও (২) যোগ করে পাই:

বা, $x = 1$

$x=1$ মানটি সমীকরণ (২)-এ বসিয়ে পাই:

$7(1) + y = 8$

বা, $y = 8 – 7 = 1$

উত্তর: $x=1, y=1$।