সপ্তম শ্রেণী গণিত: অধ্যায় – ১২, কষে দেখি – 12.1 বীজগাণিতিক সূত্রাবলী

সমাধান:
আমরা জানি, কোনো রাশিকে সেই একই রাশি দিয়ে গুণ করলে তার বর্গ পাওয়া যায়।
$\therefore (a+b) \times (a+b) = (a+b)^2$

উত্তর: (ii) $(a+b)^2$

সমাধান:
বামপক্ষকে $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ সূত্র অনুযায়ী ভেঙে পাই:
$(x+7)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2$
$= x^2 + 14x + 49$

এখন প্রদত্ত সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই:
$x^2 + 14x + k = x^2 + 14x + 49$
$\therefore k = 49$

উত্তর: (ii) $49$

সমাধান:
আমরা জানি,
১) $a^2 + b^2 + 2ab = (a+b)^2$, যা একটি পূর্ণবর্গ রাশি।
২) $a^2 + b^2 – 2ab = (a-b)^2$, যা একটি পূর্ণবর্গ রাশি।

সুতরাং, $2ab$ অথবা $-2ab$ যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে।

উত্তর: (iii) $2ab$ বা $-2ab$

সমাধান:
ডানপক্ষকে পূর্ণবর্গাকারে সাজিয়ে পাই:
$a^2 + 6a + 9$
$= a^2 + 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2$
$= (a+3)^2$

প্রশ্নানুসারে,
$(a+b)^2 = (a+3)^2$
তুলনা করে পাই, $b = 3$

উত্তর: (iii) $3$

সমাধান:
আমরা রাশিটিকে $a^2 + 2ab + b^2$ আকারে সাজানোর চেষ্টা করি।
এখানে $a = x$।
তাহলে $2ab$ অংশটি হলো $\frac{1}{4}x$।
শর্তমতে,
$2 \cdot x \cdot b = \frac{1}{4}x$
বা, $2b = \frac{1}{4}$
বা, $b = \frac{1}{4 \times 2} = \frac{1}{8}$

সুতরাং, পূর্ণবর্গ হতে হলে $b^2$ যোগ করতে হবে।
$\therefore b^2 = (\frac{1}{8})^2 = \frac{1}{64}$

উত্তর: (i) $\frac{1}{64}$

(i) $k$ -এর কোন মান বা মানগুলির জন্য $c^2 + kc + \frac{1}{9}$ পূর্ণবর্গ হবে লিখি।

রাশিটি হলো $c^2 + kc + \frac{1}{9}$।
একে পূর্ণবর্গাকারে সাজানোর চেষ্টা করি:
$= (c)^2 + 2 \cdot c \cdot \frac{k}{2} + (\frac{1}{3})^2$
পূর্ণবর্গ রাশি $(c \pm \frac{1}{3})^2 = c^2 \pm \frac{2}{3}c + \frac{1}{9}$ এর সাথে তুলনা করে পাই:
$kc = \pm \frac{2}{3}c$
$\therefore k = \pm \frac{2}{3}$

উত্তর: $k = \frac{2}{3}$ বা $-\frac{2}{3}$

(ii) $9p^2 + \frac{1}{9p^2}$ সংখ্যামালাটি থেকে কোন সংখ্যা বা সংখ্যাগুলি বিয়োগ করলে বিয়োগফল পূর্ণবর্গ হবে তা নির্ণয় করি।

$9p^2 + \frac{1}{9p^2} = (3p)^2 + (\frac{1}{3p})^2$
আমরা জানি, $a^2 + b^2 = (a+b)^2 – 2ab$ অথবা $(a-b)^2 + 2ab$।
ক্ষেত্র ১: $(3p + \frac{1}{3p})^2 – 2 \cdot 3p \cdot \frac{1}{3p} = (3p + \frac{1}{3p})^2 – 2$
এক্ষেত্রে পূর্ণবর্গ পেতে হলে $-2$ বিয়োগ করতে হবে (কারণ $-2 – (-2) = 0$ যা রাশিটিকে পূর্ণবর্গে রাখে, বা সহজ কথায় $+2$ যোগ করলে $-2$ কেটে যাবে… কিন্তু প্রশ্নে বিয়োগ করতে বলেছে। তাই রাশিটি থেকে $-2$ বিয়োগ করলে $(3p + \frac{1}{3p})^2$ পাবো।)
ক্ষেত্র ২: $(3p – \frac{1}{3p})^2 + 2 \cdot 3p \cdot \frac{1}{3p} = (3p – \frac{1}{3p})^2 + 2$
এক্ষেত্রে রাশিটি থেকে $2$ বিয়োগ করলে $(3p – \frac{1}{3p})^2$ পাবো।

উত্তর: $2$ বা $-2$

(iii) $(x – y)^2 = 4 – 4y + y^2$ হলে $x$ -এর মান কত হবে তা নির্ণয় করি।

ডানপক্ষকে সাজিয়ে পাই:
$4 – 4y + y^2 = 2^2 – 2 \cdot 2 \cdot y + y^2 = (2 – y)^2 = (y – 2)^2$
প্রশ্নানুসারে, $(x – y)^2 = (2 – y)^2$
তুলনা করে পাই, $x = 2$।

উত্তর: $2$

(iv) $(c – 3)^2 = c^2 + kc + 9$ হলে $k$ -এর মান কী হবে লিখি।

বামপক্ষকে ভেঙে পাই:
$(c – 3)^2 = c^2 – 2 \cdot c \cdot 3 + 3^2 = c^2 – 6c + 9$
উভয়পক্ষ তুলনা করে পাই:
$c^2 + kc + 9 = c^2 – 6c + 9$
$\therefore kc = -6c$
বা, $k = -6$

উত্তর: $-6$

(i) $(2q – 3z)^2 – 2(2q – 3z)(q – 3z) + (q – 3z)^2$

ধরি, $a = 2q – 3z$ এবং $b = q – 3z$
প্রদত্ত রাশিটি দাঁড়ায়: $a^2 – 2ab + b^2$
$= (a – b)^2$
এখন $a$ ও $b$ এর মান বসিয়ে পাই:
$= \{(2q – 3z) – (q – 3z)\}^2$
$= (2q – 3z – q + 3z)^2$
$= (q)^2$
$= q^2$

উত্তর: $q^2$

(ii) $(3p + 2q – 4r)^2 + 2(3p + 2q – 4r)(4r – 2p – q) + (4r – 2p – q)^2$

ধরি, $x = 3p + 2q – 4r$ এবং $y = 4r – 2p – q$
প্রদত্ত রাশিটি দাঁড়ায়: $x^2 + 2xy + y^2$
$= (x + y)^2$
এখন $x$ ও $y$ এর মান বসিয়ে পাই:
$= \{(3p + 2q – 4r) + (4r – 2p – q)\}^2$
$= (3p + 2q – 4r + 4r – 2p – q)^2$
$= (p + q)^2$

উত্তর: $(p + q)^2$

(i) $16a^2 – 40ac + 25c^2$

$= (4a)^2 – 2 \cdot 4a \cdot 5c + (5c)^2$
$= (4a – 5c)^2$ [$(a-b)^2$ সূত্রানুসারে]

উত্তর: $(4a – 5c)^2$

(ii) $4p^2 – 2p + \frac{1}{4}$

$= (2p)^2 – 2 \cdot 2p \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2$
$= (2p – \frac{1}{2})^2$

উত্তর: $(2p – \frac{1}{2})^2$

(iii) $1 + \frac{4}{a} + \frac{4}{a^2}$

$= (1)^2 + 2 \cdot 1 \cdot \frac{2}{a} + (\frac{2}{a})^2$
$= (1 + \frac{2}{a})^2$

উত্তর: $(1 + \frac{2}{a})^2$

(iv) $9a^2 + 24ab + 16b^2$

$= (3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot 4b + (4b)^2$
$= (3a + 4b)^2$

উত্তর: $(3a + 4b)^2$

(i) $64a^2 + 16a + 1$ যখন $a = 1$

পূর্ণবর্গাকারে প্রকাশ:
$= (8a)^2 + 2 \cdot 8a \cdot 1 + (1)^2$
$= (8a + 1)^2$
এখন $a = 1$ বসিয়ে পাই:
$= (8 \times 1 + 1)^2$
$= (8 + 1)^2 = (9)^2 = 81$

উত্তর: $81$

(ii) $25a^2 – 30ab + 9b^2$ যখন $a = 3$ এবং $b = 2$

পূর্ণবর্গাকারে প্রকাশ:
$= (5a)^2 – 2 \cdot 5a \cdot 3b + (3b)^2$
$= (5a – 3b)^2$
এখন $a = 3, b = 2$ বসিয়ে পাই:
$= (5 \times 3 – 3 \times 2)^2$
$= (15 – 6)^2 = (9)^2 = 81$

উত্তর: $81$

(iii) $64 – \frac{16}{p} + \frac{1}{p^2}$ যখন $p = -1$

পূর্ণবর্গাকারে প্রকাশ:
$= (8)^2 – 2 \cdot 8 \cdot \frac{1}{p} + (\frac{1}{p})^2$
$= (8 – \frac{1}{p})^2$
এখন $p = -1$ বসিয়ে পাই:
$= (8 – \frac{1}{-1})^2$
$= (8 – (-1))^2$
$= (8 + 1)^2 = (9)^2 = 81$

উত্তর: $81$

(iv) $p^2q^2 + 10pqr + 25r^2$ যখন $p = 2, q = -1$ এবং $r = 3$

পূর্ণবর্গাকারে প্রকাশ:
$= (pq)^2 + 2 \cdot pq \cdot 5r + (5r)^2$
$= (pq + 5r)^2$
এখন মান বসিয়ে পাই:
$= \{2 \times (-1) + 5 \times 3\}^2$
$= \{-2 + 15\}^2$
$= (13)^2 = 169$

উত্তর: $169$

১ম অংশ: $st$ এর মান নির্ণয়
আমরা জানি, $ab = (\frac{a+b}{2})^2 – (\frac{a-b}{2})^2$
সুতরাং, $st = (\frac{s+t}{2})^2 – (\frac{s-t}{2})^2$
মান বসিয়ে পাই:
$= (\frac{12}{2})^2 – (\frac{8}{2})^2$
$= (6)^2 – (4)^2$
$= 36 – 16$
$= 20$

২য় অংশ: $(s^2+t^2)$ এর মান নির্ণয়
আমরা জানি, $2(a^2+b^2) = (a+b)^2 + (a-b)^2$
$\therefore 2(s^2+t^2) = (12)^2 + (8)^2$
বা, $2(s^2+t^2) = 144 + 64$
বা, $2(s^2+t^2) = 208$
বা, $s^2+t^2 = \frac{208}{2}$
$= 104$

উত্তর: $st = 20$ এবং $s^2+t^2 = 104$

সমাধান:
প্রদত্ত রাশিটিকে আমরা ভেঙে লিখতে পারি:
$8xy(x^2+y^2) = 4xy \times 2(x^2+y^2)$

এখন সূত্র প্রয়োগ করি:
$= \{(x+y)^2 – (x-y)^2\} \times \{(x+y)^2 + (x-y)^2\}$
মান বসিয়ে পাই:
$= \{(5)^2 – (1)^2\} \times \{(5)^2 + (1)^2\}$
$= (25 – 1) \times (25 + 1)$
$= 24 \times 26$
$= 624$

উত্তর: $624$

সমাধান:
লব ও হর উভয়কে $2$ দিয়ে গুণ করে পাই:
$\frac{2(x^2+y^2)}{4xy}$

এখন সূত্র প্রয়োগ করে ও মান বসিয়ে পাই:
$= \frac{(x+y)^2 + (x-y)^2}{(x+y)^2 – (x-y)^2}$
$= \frac{(9)^2 + (5)^2}{(9)^2 – (5)^2}$
$= \frac{81 + 25}{81 – 25}$
$= \frac{106}{56}$

কাটাকাটি করে পাই (2 দিয়ে ভাগ করে):
$= \frac{53}{28} = 1\frac{25}{28}$

উত্তর: $\frac{53}{28}$ বা $1\frac{25}{28}$

সমাধান:
সংকেত অনুযায়ী, $36 = 9 \times 4$
আমরা জানি, $ab = (\frac{a+b}{2})^2 – (\frac{a-b}{2})^2$
এখানে $a=9, b=4$ ধরে পাই:
$36 = (\frac{9+4}{2})^2 – (\frac{9-4}{2})^2$
$= (\frac{13}{2})^2 – (\frac{5}{2})^2$

উত্তর: $(\frac{13}{2})^2 – (\frac{5}{2})^2$

সমাধান:
$44$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই: $44 = 11 \times 4$
$ab$ এর সূত্র প্রয়োগ করে পাই:
$44 = (\frac{11+4}{2})^2 – (\frac{11-4}{2})^2$
$= (\frac{15}{2})^2 – (\frac{7}{2})^2$

উত্তর: $(\frac{15}{2})^2 – (\frac{7}{2})^2$

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি $= 8x^2 + 50y^2$
$= 2(4x^2 + 25y^2)$ [$2$ কমন নিয়ে]
$= 2\{(2x)^2 + (5y)^2\}$

আমরা জানি, $2(a^2+b^2) = (a+b)^2 + (a-b)^2$
এখানে $a=2x$ এবং $b=5y$ ধরে পাই:
$= (2x+5y)^2 + (2x-5y)^2$

উত্তর: $(2x+5y)^2 + (2x-5y)^2$

সমাধান:
আমরা $x$ কে লিখতে পারি: $x = x \times 1$
এখন $ab$ এর সূত্র প্রয়োগ করে পাই ($a=x, b=1$):
$x = (\frac{x+1}{2})^2 – (\frac{x-1}{2})^2$

উত্তর: $(\frac{x+1}{2})^2 – (\frac{x-1}{2})^2$