সপ্তম শ্রেণী গণিত: অধ্যায় -১২, কষে দেখি – 12.2 বীজগাণিতিক সূত্রাবলী

সমাধান:
এখানে $x=x$, $a=7$ এবং $b=1$ ধরে প্রদত্ত অভেদ প্রয়োগ করে পাই:
$(x+7)(x+1)$
$= x^2 + (7+1)x + (7 \times 1)$
$= x^2 + 8x + 7$

উত্তর: $x^2 + 8x + 7$

সমাধান:
রাশিটিকে সাজিয়ে পাই: $\{x+(-8)\}\{x+(-2)\}$
এখানে $x=x$, $a=-8$ এবং $b=-2$।
সূত্রানুসারে:
$(x-8)(x-2)$
$= x^2 + \{(-8) + (-2)\}x + \{(-8) \times (-2)\}$
$= x^2 + (-10)x + 16$
$= x^2 – 10x + 16$

উত্তর: $x^2 – 10x + 16$

সমাধান:
এখানে $x=x$, $a=9$ এবং $b=-6$।
সূত্রানুসারে:
$(x+9)(x-6)$
$= x^2 + \{9 + (-6)\}x + \{9 \times (-6)\}$
$= x^2 + (9 – 6)x – 54$
$= x^2 + 3x – 54$

উত্তর: $x^2 + 3x – 54$

সমাধান:
এখানে সূত্রের $x$ এর জায়গায় $2x$ বসাতে হবে।
$a=1$ এবং $b=-1$।
সূত্রানুসারে:
$(2x+1)(2x-1)$
$= (2x)^2 + \{1 + (-1)\} \cdot 2x + \{1 \times (-1)\}$
$= 4x^2 + (0) \cdot 2x – 1$
$= 4x^2 – 1$

উত্তর: $4x^2 – 1$

সমাধান:
এখানে সূত্রের $x$ এর জায়গায় $xy$ বসাতে হবে।
$a=-4$ এবং $b=2$।
সূত্রানুসারে:
$(xy-4)(xy+2)$
$= (xy)^2 + \{(-4) + 2\}xy + \{(-4) \times 2\}$
$= x^2y^2 + (-2)xy – 8$
$= x^2y^2 – 2xy – 8$

উত্তর: $x^2y^2 – 2xy – 8$

সমাধান:
এখানে সূত্রের $x$ এর জায়গায় $a^2$ বসাতে হবে।
$a=5$ এবং $b=-4$।
সূত্রানুসারে:
$(a^2+5)(a^2-4)$
$= (a^2)^2 + \{5 + (-4)\}a^2 + \{5 \times (-4)\}$
$= a^4 + (1)a^2 – 20$
$= a^4 + a^2 – 20$

উত্তর: $a^4 + a^2 – 20$

(i) $(2x+3y)^2 – (2x-3y)^2 = 24xy$

বামপক্ষ (L.H.S.) $= (2x+3y)^2 – (2x-3y)^2$
আমরা জানি, $(a+b)^2 – (a-b)^2 = 4ab$
এখানে $a = 2x$ এবং $b = 3y$ ধরলে পাই:
$= 4 \times (2x) \times (3y)$
$= 24xy$
$= \text{ডানপক্ষ (R.H.S.)}$

(প্রমানিত)

(ii) $(a+2b)^2 + (a-2b)^2 = 2(a^2+4b^2)$

বামপক্ষ $= (a+2b)^2 + (a-2b)^2$
আমরা জানি, $(x+y)^2 + (x-y)^2 = 2(x^2+y^2)$
এখানে $x = a$ এবং $y = 2b$ ধরলে পাই:
$= 2\{a^2 + (2b)^2\}$
$= 2(a^2 + 4b^2)$
$= \text{ডানপক্ষ}$

(প্রমানিত)

(iii) $(l+m)^2 = (l-m)^2 + 4lm$

বামপক্ষ $= (l+m)^2$
আমরা জানি, $(a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab$
এখানে $a = l$ এবং $b = m$ বসালে পাই:
$(l+m)^2 = (l-m)^2 + 4lm$
$= \text{ডানপক্ষ}$

(প্রমানিত)

(iv) $(2p-q)^2 = (2p+q)^2 – 8pq$

ডানপক্ষ $= (2p+q)^2 – 8pq$
$= (2p)^2 + 2(2p)(q) + q^2 – 8pq$
$= 4p^2 + 4pq + q^2 – 8pq$
$= 4p^2 – 4pq + q^2$
$= (2p)^2 – 2(2p)(q) + q^2$
$= (2p-q)^2$
$= \text{বামপক্ষ}$

(প্রমানিত)

(v) $(3m+4n)^2 = (3m-4n)^2 + 48mn$

ডানপক্ষ $= (3m-4n)^2 + 48mn$
$= (3m)^2 – 2(3m)(4n) + (4n)^2 + 48mn$
$= 9m^2 – 24mn + 16n^2 + 48mn$
$= 9m^2 + 24mn + 16n^2$
$= (3m)^2 + 2(3m)(4n) + (4n)^2$
$= (3m+4n)^2$
$= \text{বামপক্ষ}$

(প্রমানিত)

(vi) $(6x+7y)^2 – 84xy = 36x^2 + 49y^2$

বামপক্ষ $= (6x+7y)^2 – 84xy$
$= (6x)^2 + 2(6x)(7y) + (7y)^2 – 84xy$
$= 36x^2 + 84xy + 49y^2 – 84xy$
$= 36x^2 + 49y^2$
$= \text{ডানপক্ষ}$

(প্রমানিত)

(vii) $(3a-4b)^2 + 24ab = 9a^2 + 16b^2$

বামপক্ষ $= (3a-4b)^2 + 24ab$
$= (3a)^2 – 2(3a)(4b) + (4b)^2 + 24ab$
$= 9a^2 – 24ab + 16b^2 + 24ab$
$= 9a^2 + 16b^2$
$= \text{ডানপক্ষ}$

(প্রমানিত)

(viii) $(2a + \frac{1}{a})^2 = (2a – \frac{1}{a})^2 + 8$

আমরা জানি, $(x+y)^2 = (x-y)^2 + 4xy$
এখানে $x = 2a$ এবং $y = \frac{1}{a}$ ধরলে পাই:
বামপক্ষ $= (2a + \frac{1}{a})^2$
$= (2a – \frac{1}{a})^2 + 4 \times 2a \times \frac{1}{a}$
$= (2a – \frac{1}{a})^2 + 4 \times 2$
$= (2a – \frac{1}{a})^2 + 8$
$= \text{ডানপক্ষ}$

(প্রমানিত)

সমাধান:
আমরা জানি, $x^2+y^2 = (x-y)^2 + 2xy$
প্রদত্ত মানগুলি বসিয়ে পাই:
$= (3)^2 + 2 \times 28$
$= 9 + 56$
$= 65$

উত্তর: $65$

সমাধান:
আমরা জানি, $(a-b)^2 = a^2+b^2 – 2ab$
বা, $2ab = a^2+b^2 – (a-b)^2$
মান বসিয়ে পাই:
$2ab = 52 – (2)^2$
বা, $2ab = 52 – 4$
বা, $2ab = 48$
বা, $ab = \frac{48}{2}$
$= 24$

উত্তর: $24$

সমাধান:
আমরা জানি, $(l+m)^2 = l^2+m^2+2lm$
মান বসিয়ে পাই:
$(5)^2 = 13 + 2lm$
বা, $25 = 13 + 2lm$
বা, $2lm = 25 – 13$
বা, $2lm = 12$
বা, $lm = \frac{12}{2}$
$= 6$

উত্তর: $6$

সমাধান:
আমরা জানি, $a^2+b^2 = (a+b)^2 – 2ab$
এখানে $b = \frac{1}{a}$
$\therefore a^2+\frac{1}{a^2} = (a+\frac{1}{a})^2 – 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a}$
$= (4)^2 – 2$
$= 16 – 2$
$= 14$

উত্তর: $14$

সমাধান:
আমরা জানি, $a^2+b^2 = (a-b)^2 + 2ab$
এখানে $b = \frac{1}{a}$
$\therefore a^2+\frac{1}{a^2} = (a-\frac{1}{a})^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a}$
$= (4)^2 + 2$
$= 16 + 2$
$= 18$

উত্তর: $18$

সমাধান:
বামপক্ষ (L.H.S.) $= 25x^2+\frac{1}{x^2}$
$= (5x)^2 + (\frac{1}{x})^2$
সূত্র: $a^2+b^2 = (a+b)^2 – 2ab$
$= (5x + \frac{1}{x})^2 – 2 \cdot 5x \cdot \frac{1}{x}$
$= (6)^2 – 10$ [যেহেতু $5x+\frac{1}{x}=6$]
$= 36 – 10$
$= 26$
$= \text{ডানপক্ষ (R.H.S.)}$

(প্রমাণিত)

সমাধান:
প্রদত্ত রাশিটি হলো $4x^2 + \frac{1}{x^2}$
$= (2x)^2 + (\frac{1}{x})^2$

আমরা জানি, $a^2 + b^2 = (a+b)^2 – 2ab$
এখানে $a = 2x$ এবং $b = \frac{1}{x}$
$\therefore (2x)^2 + (\frac{1}{x})^2 = (2x + \frac{1}{x})^2 – 2 \cdot 2x \cdot \frac{1}{x}$
মান বসিয়ে পাই:
$= (5)^2 – 4$
$= 25 – 4$
$= 21$

উত্তর: $21$

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি $= \frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{x^2}$
$= (\frac{x}{y})^2 + (\frac{y}{x})^2$
আমরা জানি, $a^2 + b^2 = (a+b)^2 – 2ab$
এখানে $a = \frac{x}{y}$ এবং $b = \frac{y}{x}$
$= (\frac{x}{y} + \frac{y}{x})^2 – 2 \cdot \frac{x}{y} \cdot \frac{y}{x}$
$= (3)^2 – 2$
$= 9 – 2$
$= 7$

উত্তর: $7$

সমাধান:
বামপক্ষ (L.H.S.) $= x^4 + y^4$
$= (x^2)^2 + (y^2)^2$
$= (x^2 + y^2)^2 – 2 \cdot x^2 \cdot y^2$ [সূত্র: $a^2+b^2 = (a+b)^2 – 2ab$]
প্রদত্ত মান $x^2 + y^2 = 4xy$ বসিয়ে পাই:
$= (4xy)^2 – 2x^2y^2$
$= 16x^2y^2 – 2x^2y^2$
$= 14x^2y^2$
$= \text{ডানপক্ষ (R.H.S.)}$

(প্রমাণিত)

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি $= 4a^2 + \frac{1}{9a^2}$
$= (2a)^2 + (\frac{1}{3a})^2$
সূত্র: $a^2 + b^2 = (a+b)^2 – 2ab$
$= (2a + \frac{1}{3a})^2 – 2 \cdot 2a \cdot \frac{1}{3a}$
$= (6)^2 – \frac{4a}{3a}$
$= 36 – \frac{4}{3}$
$= \frac{108 – 4}{3}$
$= \frac{104}{3} = 34\frac{2}{3}$

উত্তর: $34\frac{2}{3}$

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি $= 25a^2 + \frac{1}{49a^2}$
$= (5a)^2 + (\frac{1}{7a})^2$
$= (5a + \frac{1}{7a})^2 – 2 \cdot 5a \cdot \frac{1}{7a}$
$= (5)^2 – \frac{10}{7}$
$= 25 – \frac{10}{7}$
$= \frac{175 – 10}{7}$
$= \frac{165}{7} = 23\frac{4}{7}$

উত্তর: $23\frac{4}{7}$

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ: $2x – \frac{1}{x} = 4$
উভয়পক্ষকে $2$ দিয়ে ভাগ করে পাই:
$\frac{2x}{2} – \frac{1}{2x} = \frac{4}{2}$
বা, $x – \frac{1}{2x} = 2$

এখন প্রদত্ত রাশি $= x^2 + \frac{1}{4x^2}$
$= (x)^2 + (\frac{1}{2x})^2$
সূত্র: $a^2 + b^2 = (a-b)^2 + 2ab$
$= (x – \frac{1}{2x})^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2x}$
$= (2)^2 + 1$
$= 4 + 1$
$= 5$

উত্তর: $5$

সমাধান:
বামপক্ষ (L.H.S.) $= m^2 + \frac{1}{m^2}$
$= (m)^2 + (\frac{1}{m})^2$
সূত্র: $a^2 + b^2 = (a+b)^2 – 2ab$
$= (m + \frac{1}{m})^2 – 2 \cdot m \cdot \frac{1}{m}$
মান বসিয়ে পাই:
$= (-p)^2 – 2$
$= p^2 – 2$
$= \text{ডানপক্ষ (R.H.S.)}$

(প্রমাণিত)

সমাধান:
প্রদত্ত: $a^2 + b^2 = 5ab$
উভয়পক্ষকে $ab$ দিয়ে ভাগ করে পাই:
$\frac{a^2}{ab} + \frac{b^2}{ab} = \frac{5ab}{ab}$
বা, $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 5$

এখন বামপক্ষ (L.H.S.) $= \frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{a^2}$
$= (\frac{a}{b})^2 + (\frac{b}{a})^2$
সূত্র: $x^2 + y^2 = (x+y)^2 – 2xy$
$= (\frac{a}{b} + \frac{b}{a})^2 – 2 \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}$
$= (5)^2 – 2$
$= 25 – 2$
$= 23$
$= \text{ডানপক্ষ (R.H.S.)}$

(প্রমাণিত)

সমাধান:
প্রদত্ত: $6x^2 – 1 = 4x$
উভয়পক্ষকে $x$ দিয়ে ভাগ করে পাই:
$\frac{6x^2}{x} – \frac{1}{x} = \frac{4x}{x}$
বা, $6x – \frac{1}{x} = 4$

এখন বামপক্ষ (L.H.S.) $= 36x^2 + \frac{1}{x^2}$
$= (6x)^2 + (\frac{1}{x})^2$
সূত্র: $a^2 + b^2 = (a-b)^2 + 2ab$
$= (6x – \frac{1}{x})^2 + 2 \cdot 6x \cdot \frac{1}{x}$
$= (4)^2 + 12$
$= 16 + 12$
$= 28$
$= \text{ডানপক্ষ (R.H.S.)}$

(প্রমাণিত)

দ্রষ্টব্য: পাঠ্যবইয়ের এই প্রশ্নে সাধারণত $m – \frac{1}{m}$ থাকে অথবা ডানপক্ষে ধ্রুবক সংখ্যাটি ভিন্ন হয়। তবে প্রশ্নের ডানপক্ষ ($p^2 – 4p + 6$) প্রমাণ করতে হলে প্রদত্ত সম্পর্কটি $m – \frac{1}{m} = p-2$ হওয়া প্রয়োজন। নীচে সেই অনুযায়ী সমাধান দেওয়া হলো।

সমাধান (ধরি, $m – \frac{1}{m} = p – 2$):
বামপক্ষ (L.H.S.) $= m^2 + \frac{1}{m^2}$
$= (m – \frac{1}{m})^2 + 2 \cdot m \cdot \frac{1}{m}$
$= (p – 2)^2 + 2$
$= (p^2 – 4p + 4) + 2$
$= p^2 – 4p + 6$
$= \text{ডানপক্ষ (R.H.S.)}$

(প্রমাণিত)

সমাধান:
প্রদত্ত: $m – \frac{1}{m-2} = 6$
উভয়পক্ষ থেকে $2$ বিয়োগ করে পাই:
$(m – 2) – \frac{1}{m-2} = 6 – 2$
বা, $(m – 2) – \frac{1}{m-2} = 4$

এখন প্রদত্ত রাশি $= (m-2)^2 + \frac{1}{(m-2)^2}$
সূত্র: $a^2 + b^2 = (a-b)^2 + 2ab$
এখানে $a = m-2$ এবং $b = \frac{1}{m-2}$
$= \{(m-2) – \frac{1}{m-2}\}^2 + 2 \cdot (m-2) \cdot \frac{1}{m-2}$
$= (4)^2 + 2$
$= 16 + 2$
$= 18$

উত্তর: $18$