সপ্তম শ্রেণী গণিত: অধ্যায় – ১২, কষে দেখি – 12.3 বীজগাণিতিক সূত্রাবলী

(i) $(37)^2 – (13)^2$

এখানে $a=37$ এবং $b=13$।
সূত্রানুসারে পাই:
$= (37+13)(37-13)$
$= (50)(24)$
$= 1200$

উত্তর: $1200$

(ii) $(2.06)^2 – (0.94)^2$

এখানে $a=2.06$ এবং $b=0.94$।
সূত্রানুসারে পাই:
$= (2.06 + 0.94)(2.06 – 0.94)$
$= (3.00)(1.12)$
$= 3 \times 1.12$
$= 3.36$

উত্তর: $3.36$

(iii) $(78) \times (82)$

সংখ্যা দুটিকে বর্গের অন্তররূপে সাজিয়ে পাই:
$= (80 – 2) \times (80 + 2)$
এখন $(a-b)(a+b) = a^2 – b^2$ সূত্র প্রয়োগ করে পাই:
$= (80)^2 – (2)^2$
$= 6400 – 4$
$= 6396$

উত্তর: $6396$

(iv) $1.15 \times 0.85$

সংখ্যা দুটিকে বর্গের অন্তররূপে সাজিয়ে পাই:
$1.15 = 1 + 0.15$ এবং $0.85 = 1 – 0.15$
$\therefore (1 + 0.15)(1 – 0.15)$
$= (1)^2 – (0.15)^2$
$= 1 – 0.0225$
$= 0.9775$

উত্তর: $0.9775$

(v) $(65)^2 – (35)^2$

এখানে $a=65$ এবং $b=35$।
সূত্রানুসারে পাই:
$= (65 + 35)(65 – 35)$
$= (100)(30)$
$= 3000$

উত্তর: $3000$

(i) $k – p^2 = (9+p)(9-p)$ হলে $k$ -এর মান কত হবে বের করি।

প্রদত্ত সমীকরণ: $k – p^2 = (9+p)(9-p)$
ডানপক্ষকে $(a+b)(a-b) = a^2 – b^2$ সূত্রে ভেঙে পাই:
$k – p^2 = (9)^2 – (p)^2$
বা, $k – p^2 = 81 – p^2$
উভয়পক্ষ থেকে $-p^2$ বাদ দিয়ে পাই:
$k = 81$

উত্তর: $k = 81$

(ii) $(25-4x^2) = (5+ax)(5-ax)$ হলে $a$ -এর ধনাত্মক মান কত হবে হিসাব করি।

প্রদত্ত সমীকরণ: $(25-4x^2) = (5+ax)(5-ax)$
ডানপক্ষকে সূত্রে ভেঙে পাই:
$25 – 4x^2 = (5)^2 – (ax)^2$
বা, $25 – 4x^2 = 25 – a^2x^2$
উভয়পক্ষ তুলনা করে পাই:
$4x^2 = a^2x^2$
বা, $a^2 = 4$
বা, $a = \sqrt{4} = 2$ (ধনাত্মক মান চেয়েছে)

উত্তর: $a = 2$

(iii) $(4-x) \times \square = (16-x^2)$ হলে ফাঁকা ঘরে কি হবে লিখি।

ডানপক্ষ $= 16 – x^2 = (4)^2 – (x)^2$
$= (4+x)(4-x)$ [সূত্রানুসারে]
সুতরাং, $(4-x) \times (4+x) = (16-x^2)$
$\therefore$ ফাঁকা ঘরে $(4+x)$ বসবে।

উত্তর: $(4+x)$

(i) $25l^2 – 16m^2$

$= (5l)^2 – (4m)^2$
$= (5l + 4m)(5l – 4m)$

উত্তর: $(5l + 4m)(5l – 4m)$

(ii) $49x^4 – 36y^4$

$= (7x^2)^2 – (6y^2)^2$
$= (7x^2 + 6y^2)(7x^2 – 6y^2)$

উত্তর: $(7x^2 + 6y^2)(7x^2 – 6y^2)$

(iii) $(2a+b)^2 – (a+b)^2$

$= \{(2a+b) + (a+b)\}\{(2a+b) – (a+b)\}$
$= (2a+b+a+b)(2a+b-a-b)$
$= (3a+2b)(a)$
$= a(3a+2b)$

উত্তর: $a(3a+2b)$

(iv) $(x+y)^2 – (a+b)^2$

$= \{(x+y) + (a+b)\}\{(x+y) – (a+b)\}$
$= (x+y+a+b)(x+y-a-b)$

উত্তর: $(x+y+a+b)(x+y-a-b)$

(v) $(x+y-z)^2 – (x-y+z)^2$

$= \{(x+y-z) + (x-y+z)\}\{(x+y-z) – (x-y+z)\}$
$= (x+y-z+x-y+z)(x+y-z-x+y-z)$
$= (2x)(2y-2z)$
$= 2x \times 2(y-z)$
$= 4x(y-z)$

উত্তর: $4x(y-z)$

(vi) $(m+p+q)^2 – (m-p-q)^2$

$= \{(m+p+q) + (m-p-q)\}\{(m+p+q) – (m-p-q)\}$
$= (m+p+q+m-p-q)(m+p+q-m+p+q)$
$= (2m)(2p+2q)$
$= 2m \times 2(p+q)$
$= 4m(p+q)$

উত্তর: $4m(p+q)$

(i) $(c+d)(c-d)(c^2+d^2)$

$= (c^2 – d^2)(c^2 + d^2)$ [কারণ $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$]
$= (c^2)^2 – (d^2)^2$
$= c^4 – d^4$

উত্তর: $c^4 – d^4$

(ii) $(1-3x^2)(1+3x^2)(1+9x^4)$

$= \{(1)^2 – (3x^2)^2\}(1+9x^4)$
$= (1 – 9x^4)(1+9x^4)$
$= (1)^2 – (9x^4)^2$
$= 1 – 81x^8$

উত্তর: $1 – 81x^8$

(iii) $(a^2+b^2)(a^2-b^2)(a^4+b^4)(a^8+b^8)$

$= \{(a^2)^2 – (b^2)^2\}(a^4+b^4)(a^8+b^8)$
$= (a^4 – b^4)(a^4+b^4)(a^8+b^8)$
$= \{(a^4)^2 – (b^4)^2\}(a^8+b^8)$
$= (a^8 – b^8)(a^8+b^8)$
$= (a^8)^2 – (b^8)^2$
$= a^{16} – b^{16}$

উত্তর: $a^{16} – b^{16}$

(i) $16c^4 – 81d^4$

$= (4c^2)^2 – (9d^2)^2$
$= (4c^2 + 9d^2)(4c^2 – 9d^2)$
$= (4c^2 + 9d^2)\{(2c)^2 – (3d)^2\}$
$= (4c^2 + 9d^2)(2c + 3d)(2c – 3d)$

উত্তর: $(4c^2 + 9d^2)(2c + 3d)(2c – 3d)$

(ii) $p^4q^4 – r^4s^4$

$= (p^2q^2)^2 – (r^2s^2)^2$
$= (p^2q^2 + r^2s^2)(p^2q^2 – r^2s^2)$
$= (p^2q^2 + r^2s^2)\{(pq)^2 – (rs)^2\}$
$= (p^2q^2 + r^2s^2)(pq + rs)(pq – rs)$

উত্তর: $(p^2q^2 + r^2s^2)(pq + rs)(pq – rs)$

(iii) $81 – x^4$

$= (9)^2 – (x^2)^2$
$= (9 + x^2)(9 – x^2)$
$= (9 + x^2)\{(3)^2 – (x)^2\}$
$= (9 + x^2)(3 + x)(3 – x)$

উত্তর: $(9 + x^2)(3 + x)(3 – x)$

(iv) $625 – a^4b^4$

$= (25)^2 – (a^2b^2)^2$
$= (25 + a^2b^2)(25 – a^2b^2)$
$= (25 + a^2b^2)\{(5)^2 – (ab)^2\}$
$= (25 + a^2b^2)(5 + ab)(5 – ab)$

উত্তর: $(25 + a^2b^2)(5 + ab)(5 – ab)$

সমাধান:
বামপক্ষ (L.H.S.) $= (p+q)^4 – (p-q)^4$
$= \{(p+q)^2\}^2 – \{(p-q)^2\}^2$
$= \{(p+q)^2 + (p-q)^2\} \times \{(p+q)^2 – (p-q)^2\}$ [ $a^2-b^2$ সূত্রানুসারে ]

আমরা জানি,
$(a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2+b^2)$
এবং $(a+b)^2 – (a-b)^2 = 4ab$

$\therefore$ রাশিটি দাঁড়ায়:
$= \{2(p^2+q^2)\} \times \{4pq\}$
$= 8pq(p^2+q^2)$
$= \text{ডানপক্ষ (R.H.S.)}$

(প্রমাণিত)

সমাধান:
পদগুলিকে সাজিয়ে দুটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করি:
প্রথম অংশ: $(b+c+a)(b+c-a) = \{(b+c)+a\}\{(b+c)-a\} = (b+c)^2 – a^2$
দ্বিতীয় অংশ: $(a+(b-c))(a-(b-c)) = a^2 – (b-c)^2$
(সংশোধন: প্রশ্ন অনুযায়ী ৩য় ও ৪র্থ পদ হলো $(c+a-b)(a+b-c)$। একে সাজালে পাই $\{a+(c-b)\}\{a-(c-b)\} = a^2 – (c-b)^2$)

এখন গুণফল:
$= \{(b+c)^2 – a^2\} \times \{a^2 – (b-c)^2\}$
$= (b^2+2bc+c^2-a^2) \times (a^2 – (b^2-2bc+c^2))$
$= (2bc + (b^2+c^2-a^2)) \times (a^2 – b^2 + 2bc – c^2)$
$= (2bc + (b^2+c^2-a^2)) \times (2bc – (b^2+c^2-a^2))$

আবার $(x+y)(x-y) = x^2 – y^2$ সূত্র প্রয়োগ করি:
$= (2bc)^2 – (b^2+c^2-a^2)^2$
$= 4b^2c^2 – (b^4 + c^4 + a^4 + 2b^2c^2 – 2c^2a^2 – 2a^2b^2)$
$= 4b^2c^2 – b^4 – c^4 – a^4 – 2b^2c^2 + 2c^2a^2 + 2a^2b^2$
$= 2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 – a^4 – b^4 – c^4$

উত্তর: $2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 – a^4 – b^4 – c^4$

সমাধান:
বামপক্ষ $= x^4 + y^4 – 2x^2y^2$
$= (x^2)^2 – 2(x^2)(y^2) + (y^2)^2$
$= (x^2 – y^2)^2$
$= \{(x+y)(x-y)\}^2$

এখন $x+y$ এবং $x-y$ এর মান বের করি:
$x+y = (\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) + (\frac{a}{b} – \frac{b}{a}) = 2\frac{a}{b}$
$x-y = (\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) – (\frac{a}{b} – \frac{b}{a}) = 2\frac{b}{a}$

মান বসিয়ে পাই:
$= \{(2\frac{a}{b}) \times (2\frac{b}{a})\}^2$
$= \{4 \times 1\}^2$
$= 16$
$= \text{ডানপক্ষ}$

(প্রমাণিত)

সমাধান:
প্রথম দুটি পদের গুণফল:
$(a^2+a+1)(a^2-a+1)$
$= \{(a^2+1)+a\}\{(a^2+1)-a\}$
$= (a^2+1)^2 – a^2$
$= a^4 + 2a^2 + 1 – a^2$
$= a^4 + a^2 + 1$

এখন এই গুণফলের সাথে তৃতীয় পদ গুণ করি:
$(a^4+a^2+1)(a^4-a^2+1)$
$= \{(a^4+1)+a^2\}\{(a^4+1)-a^2\}$
$= (a^4+1)^2 – (a^2)^2$
$= a^8 + 2a^4 + 1 – a^4$
$= a^8 + a^4 + 1$

উত্তর: $a^8 + a^4 + 1$

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি $= x^4 + y^4 – 2x^2y^2$
$= (x^2 – y^2)^2$
$= \{(x+y)(x-y)\}^2$

মান বসাই:
$x+y = (a+\frac{1}{a}) + (a-\frac{1}{a}) = 2a$
$x-y = (a+\frac{1}{a}) – (a-\frac{1}{a}) = \frac{2}{a}$

$\therefore$ রাশিটি দাঁড়ায়:
$= \{2a \times \frac{2}{a}\}^2$
$= (4)^2$
$= 16$

উত্তর: $16$

সমাধান:
রাশিটিকে সাজিয়ে পাই:
$= (4x^2+4x+1) – (a^2-8a+16)$ [মাইনাস কমন নিয়ে]
$= \{(2x)^2 + 2(2x)(1) + (1)^2\} – \{a^2 – 2(a)(4) + (4)^2\}$
$= (2x+1)^2 – (a-4)^2$

উত্তর: $(2x+1)^2 – (a-4)^2$

সমাধান:
$a^2 + \frac{1}{a^2} – 3$
$= (a)^2 + (\frac{1}{a})^2 – 2 – 1$ [$-3$ কে $-2-1$ লিখলাম]
$= \{(a)^2 – 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} + (\frac{1}{a})^2\} – 1$
$= (a – \frac{1}{a})^2 – (1)^2$

উত্তর: $(a – \frac{1}{a})^2 – (1)^2$