সপ্তম শ্রেণী গণিত: কষে দেখি -6.3

(i) $3a \times 4b = \Box$
$= (3 \times 4) \times (a \times b) = 12ab$

উত্তর: $12ab$

(ii) $12ab \div 3a = \Box$
$= \frac{12ab}{3a} = 4b$

উত্তর: $4b$

(iii) $12ab \div \Box = 4ab$
$\Box = \frac{12ab}{4ab} = 3$

উত্তর: $3$

(iv) $(-x^2) \times x = \Box$
$= -(x^2 \times x) = -x^{2+1} = -x^3$

উত্তর: $-x^3$

(v) $9x^2 \div 3x^2 = \Box$
$= \frac{9x^2}{3x^2} = 3$

উত্তর: $3$

(vi) $x^2 \times x^2 = \Box$
$= x^{2+2} = x^4$

উত্তর: $x^4$

(vii) $x^2 \times \Box = 1$
$\Box = \frac{1}{x^2}$ (অন্যোনক)

উত্তর: $\frac{1}{x^2}$

(viii) $0 \div ab = \Box$
$= 0$ (শূন্যকে কোনো অশূন্য সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল শূন্য হয়)

উত্তর: $0$

(ix) $4a^2b^2c^2 \times \Box = 0$
যেকোনো সংখ্যার সাথে $0$ গুণ করলে গুণফল $0$ হয়।

উত্তর: $0$

(x) $3ab \div \Box = a$
$\Box = \frac{3ab}{a} = 3b$

উত্তর: $3b$

(xi) $x^0 \times y = \Box$
আমরা জানি $x^0 = 1$
$\therefore 1 \times y = y$

উত্তর: $y$

(xii) $x \div 0 = \Box$
কোনো সংখ্যাকে $0$ দিয়ে ভাগ করা যায় না, এটি অসংজ্ঞাত।

উত্তর: অসংজ্ঞাত (Undefined)

(a) $2x^2 \times (-3y) \times 6z$

$= \{2 \times (-3) \times 6\} \times (x^2 \times y \times z)$
$= -36 \times x^2yz$
$= -36x^2yz$

উত্তর: $-36x^2yz$

(b) $7xy^2 \times 8x^2y \times xy$

$= (7 \times 8 \times 1) \times (x^{1+2+1} \times y^{2+1+1})$
$= 56 \times x^4 \times y^4$
$= 56x^4y^4$

উত্তর: $56x^4y^4$

(c) $(-3a^2) \times (4a^2b) \times (-2)$

$= \{(-3) \times 4 \times (-2)\} \times (a^{2+2} \times b)$
$= 24 \times a^4b$
$= 24a^4b$

উত্তর: $24a^4b$

(d) $(-2mn) \times \frac{1}{6} m^2n^2 \times 13m^4n^4$

$= \{(-2) \times \frac{1}{6} \times 13\} \times (m^{1+2+4} \times n^{1+2+4})$
$= -\frac{13}{3} m^7n^7$

উত্তর: $-\frac{13}{3} m^7n^7$

(e) $\frac{2}{3} x^2y \times \frac{3}{5} xy^2$

$= (\frac{2}{3} \times \frac{3}{5}) \times (x^{2+1} \times y^{1+2})$
$= \frac{2}{5} x^3y^3$

উত্তর: $\frac{2}{5} x^3y^3$

(f) $(-\frac{18}{5} x^2z) \times (\frac{25}{6} xz^2y)$

$= \{ (-\frac{18}{5}) \times \frac{25}{6} \} \times (x^{2+1} \times y \times z^{1+2})$
$= (-3 \times 5) x^3yz^3$
$= -15x^3yz^3$

উত্তর: $-15x^3yz^3$

(g) $(-\frac{3}{5} s^2t) \times (\frac{15}{7} st^2u) \times (\frac{7}{9} su^2)$

$= \{ (-\frac{3}{5}) \times \frac{15}{7} \times \frac{7}{9} \} \times (s^{2+1+1} \times t^{1+2} \times u^{1+2})$
$= -1 \times s^4t^3u^3$
$= -s^4t^3u^3$

উত্তর: $-s^4t^3u^3$

(h) $(\frac{4}{3} x^2yz) \times (\frac{1}{3} y^2zx) \times (-6xyz^2)$

$= \{ \frac{4}{3} \times \frac{1}{3} \times (-6) \} \times (x^{2+1+1} \times y^{1+2+1} \times z^{1+1+2})$
$= -\frac{8}{3} x^4y^4z^4$

উত্তর: $-\frac{8}{3} x^4y^4z^4$

(i) $4a (3a + 7b)$

$= (4a \times 3a) + (4a \times 7b)$
$= 12a^2 + 28ab$

উত্তর: $12a^2 + 28ab$

(j) $8a^2 \times (2a + 5b)$

$= (8a^2 \times 2a) + (8a^2 \times 5b)$
$= 16a^3 + 40a^2b$

উত্তর: $16a^3 + 40a^2b$

(k) $-17x^2 \times (3x – 4)$

$= (-17x^2 \times 3x) – (-17x^2 \times 4)$
$= -51x^3 – (-68x^2)$
$= -51x^3 + 68x^2$

উত্তর: $-51x^3 + 68x^2$

(l) $\frac{2}{3}abc (a^2 + b^2 – 3c^2)$

$= (\frac{2}{3}abc \times a^2) + (\frac{2}{3}abc \times b^2) – (\frac{2}{3}abc \times 3c^2)$
$= \frac{2}{3}a^3bc + \frac{2}{3}ab^3c – 2abc^3$

উত্তর: $\frac{2}{3}a^3bc + \frac{2}{3}ab^3c – 2abc^3$

(m) $2 \times 5x (10x^2y – 100xy^2)$

$= 10x (10x^2y – 100xy^2)$
$= (10x \times 10x^2y) – (10x \times 100xy^2)$
$= 100x^3y – 1000x^2y^2$

উত্তর: $100x^3y – 1000x^2y^2$

(n) $(2x + 3y) (5x – y)$

$= 2x(5x – y) + 3y(5x – y)$
$= 10x^2 – 2xy + 15xy – 3y^2$
$= 10x^2 + 13xy – 3y^2$

উত্তর: $10x^2 + 13xy – 3y^2$

(o) $(a^2 – b^2) (2b – 6a)$

$= a^2(2b – 6a) – b^2(2b – 6a)$
$= 2a^2b – 6a^3 – 2b^3 + 6ab^2$
সাজিয়ে পাই: $-6a^3 + 2a^2b + 6ab^2 – 2b^3$

উত্তর: $2a^2b – 6a^3 – 2b^3 + 6ab^2$

(p) $(x + 2) (3x + 1)$

$= x(3x + 1) + 2(3x + 1)$
$= 3x^2 + x + 6x + 2$
$= 3x^2 + 7x + 2$

উত্তর: $3x^2 + 7x + 2$

সমাধান:
প্রতি সারিতে চারাগাছের সংখ্যা $= 3x$ টি।
মোট সারির সংখ্যা $= 2x$ টি।
$\therefore$ মোট চারাগাছ লাগিয়েছে $= \text{সারির সংখ্যা} \times \text{প্রতি সারিতে গাছের সংখ্যা}$
$= 2x \times 3x$
$= (2 \times 3) \times (x \times x)$
$= 6x^2$ টি।

উত্তর: সীমা মোট $6x^2$ টি চারাগাছ লাগিয়েছে।

সমাধান:
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $= (4x + 1)$ মিটার।
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ $= 3x$ মিটার।
$\therefore$ ক্ষেত্রফল $= \text{দৈর্ঘ্য} \times \text{প্রস্থ}$
$= (4x + 1) \times 3x$ বর্গমিটার
$= (4x \times 3x) + (1 \times 3x)$ বর্গমিটার
$= 12x^2 + 3x$ বর্গমিটার।

উত্তর: আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $(12x^2 + 3x)$ বর্গমিটার।

সমাধান:
আগে $1$ ডজন কলার দাম ছিল $= x$ টাকা।
দাম বেড়েছে $= 6$ টাকা।
$\therefore$ বর্তমানে $1$ ডজন কলার দাম $= (x + 6)$ টাকা।
এখন $2x$ ডজন কলা কিনতে মোট খরচ হবে:
$= 2x \times (x + 6)$ টাকা
$= (2x \times x) + (2x \times 6)$ টাকা
$= 2x^2 + 12x$ টাকা।

উত্তর: এখন $2x$ ডজন কলা কিনতে $(2x^2 + 12x)$ টাকা লাগবে।

সমাধান:
বর্গাকার ক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য $= 7x$ সেমি.।
আমরা জানি, বর্গাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= (\text{বাহু})^2$।
$\therefore$ ক্ষেত্রফল $= (7x)^2$ বর্গসেমি.
$= 7x \times 7x$ বর্গসেমি.
$= 49x^2$ বর্গসেমি.।

উত্তর: বর্গাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $49x^2$ বর্গসেমি.।

সমাধান:
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= 8x^2$ বর্গ একক।
দৈর্ঘ্য $= 4x$ একক।
আমরা জানি, প্রস্থ $= \frac{\text{ক্ষেত্রফল}}{\text{দৈর্ঘ্য}}$।
$\therefore$ প্রস্থ $= \frac{8x^2}{4x}$ একক
$= \frac{8 \times x \times x}{4 \times x}$ একক
$= 2x$ একক।

উত্তর: প্রস্থ হবে $2x$ একক।

সমাধান:
মোট দিন সংখ্যা $= 9y$।
মোট বিক্রি করা ঘুড়ির সংখ্যা $= 729y^4$ টি।
$\therefore$ প্রতিদিন গড়ে ঘুড়ি বিক্রি করেছে $= \frac{\text{মোট ঘুড়ি}}{\text{মোট দিন}}$
$= \frac{729y^4}{9y}$
$= \frac{729}{9} \times \frac{y^4}{y}$
$= 81 \times y^{4-1}$
$= 81y^3$ টি।

উত্তর: সে গড়ে প্রতিদিন $81y^3$ টি ঘুড়ি বিক্রি করেছে।

(i) $8x^3b \div x^2b$

$= \frac{8x^3b}{x^2b}$
$= 8 \times x^{3-2} \times b^{1-1}$
$= 8x^1b^0$
$= 8x$

উত্তর: $8x$

(ii) $-9xy^3 \div xy$

$= \frac{-9xy^3}{xy}$
$= -9 \times x^{1-1} \times y^{3-1}$
$= -9y^2$

উত্তর: $-9y^2$

(iii) $-15x^2y^4z^2 \div -x^2yz^2$

$= \frac{-15x^2y^4z^2}{-x^2yz^2}$
$= 15 \times x^{2-2} \times y^{4-1} \times z^{2-2}$
$= 15y^3$

উত্তর: $15y^3$

(iv) $21l^3m^3n^3 \div -4l^4mn$

$= \frac{21l^3m^3n^3}{-4l^4mn}$
$= -\frac{21}{4} \times l^{3-4} \times m^{3-1} \times n^{3-1}$
$= -\frac{21}{4} l^{-1}m^2n^2$
$= -\frac{21m^2n^2}{4l}$

উত্তর: $-\frac{21m^2n^2}{4l}$

(v) $(5a^2 – 7ab^2) \div a$

$= \frac{5a^2}{a} – \frac{7ab^2}{a}$
$= 5a^{2-1} – 7a^{1-1}b^2$
$= 5a – 7b^2$

উত্তর: $5a – 7b^2$

(vi) $(-48x^9 + 12x^6) \div 3x^3$

$= \frac{-48x^9}{3x^3} + \frac{12x^6}{3x^3}$
$= -16x^{9-3} + 4x^{6-3}$
$= -16x^6 + 4x^3$

উত্তর: $-16x^6 + 4x^3$

(vii) $(15m^2n + 20m^2n^2) \div 5mn$

$= \frac{15m^2n}{5mn} + \frac{20m^2n^2}{5mn}$
$= 3m^{2-1}n^{1-1} + 4m^{2-1}n^{2-1}$
$= 3m + 4mn$

উত্তর: $3m + 4mn$

(viii) $(36a^5b^2 – 24a^2b^5) \div -4a^2b^2$

$= \frac{36a^5b^2}{-4a^2b^2} – \frac{24a^2b^5}{-4a^2b^2}$
$= -9a^{5-2}b^{2-2} – (-6a^{2-2}b^{5-2})$
$= -9a^3 + 6b^3$

উত্তর: $-9a^3 + 6b^3$

(ix) $(3pqr + 6p^2qr^2 – 9p^3q^2r^3) \div -3pqr$

$= \frac{3pqr}{-3pqr} + \frac{6p^2qr^2}{-3pqr} – \frac{9p^3q^2r^3}{-3pqr}$
$= -1 – 2p^{2-1}r^{2-1} – (-3p^{3-1}q^{2-1}r^{3-1})$
$= -1 – 2pr + 3p^2qr^2$

উত্তর: $-1 – 2pr + 3p^2qr^2$

(x) $(m^2n^4 + m^3n^3 – m^4n^2) \div -m^4n^4$

$= \frac{m^2n^4}{-m^4n^4} + \frac{m^3n^3}{-m^4n^4} – \frac{m^4n^2}{-m^4n^4}$
$= -m^{2-4}n^{4-4} – m^{3-4}n^{3-4} + m^{4-4}n^{2-4}$
$= -m^{-2} – m^{-1}n^{-1} + n^{-2}$
$= -\frac{1}{m^2} – \frac{1}{mn} + \frac{1}{n^2}$

উত্তর: $-\frac{1}{m^2} – \frac{1}{mn} + \frac{1}{n^2}$

(i) $a(b – c) + b(c – a) + c(a – b)$

$= ab – ac + bc – ba + ca – cb$
$= ab – ab – ac + ac + bc – bc$ (সাজিয়ে পাই)
$= 0$

উত্তর: $0$

(ii) $a(b – c) – b(c – a) – c(a – b)$

$= ab – ac – (bc – ab) – (ac – bc)$
$= ab – ac – bc + ab – ac + bc$ [বিয়োগ চিহ্নের জন্য ভেতরের চিহ্ন পরিবর্তন হলো]
$= (ab + ab) + (-ac – ac) + (-bc + bc)$
$= 2ab – 2ac$

উত্তর: $2ab – 2ac$

(iii) $x(x + 4) + 2x(x – 3) – 3x^2$

$= x^2 + 4x + 2x^2 – 6x – 3x^2$
$= (x^2 + 2x^2 – 3x^2) + (4x – 6x)$
$= (3x^2 – 3x^2) – 2x$
$= -2x$

উত্তর: $-2x$

(iv) $3x^2 + x(x + 2) – 3x(2x + 1)$

$= 3x^2 + x^2 + 2x – 6x^2 – 3x$
$= (3x^2 + x^2 – 6x^2) + (2x – 3x)$
$= (4x^2 – 6x^2) – x$
$= -2x^2 – x$

উত্তর: $-2x^2 – x$

(v) $(a + b)(a – b) + (b + c)(b – c) + (c + a)(c – a)$

আমরা জানি, $(x+y)(x-y) = x^2 – y^2$
$= (a^2 – b^2) + (b^2 – c^2) + (c^2 – a^2)$
$= a^2 – b^2 + b^2 – c^2 + c^2 – a^2$
$= (a^2 – a^2) + (-b^2 + b^2) + (-c^2 + c^2)$
$= 0$

উত্তর: $0$

(vi) $(a^2 + b^2)(a^2 – b^2) + (b^2 + c^2)(b^2 – c^2) + (c^2 + a^2)(c^2 – a^2)$

সূত্র প্রয়োগ করে পাই:
$= \{(a^2)^2 – (b^2)^2\} + \{(b^2)^2 – (c^2)^2\} + \{(c^2)^2 – (a^2)^2\}$
$= (a^4 – b^4) + (b^4 – c^4) + (c^4 – a^4)$
$= a^4 – b^4 + b^4 – c^4 + c^4 – a^4$
$= 0$

উত্তর: $0$