সপ্তম শ্রেণী গণিত: কষে দেখি – 11.1

সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= \frac{1089}{625}$ বর্গসেমি.
আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য $= \sqrt{\text{ক্ষেত্রফল}}$
$\therefore$ একটি বাহুর দৈর্ঘ্য $= \sqrt{\frac{1089}{625}}$ সেমি.

এখন, লব ও হরের বর্গমূল নির্ণয় করি:
$1089$-এর বর্গমূল: $33 \times 33 = 1089 \Rightarrow \sqrt{1089} = 33$
$625$-এর বর্গমূল: $25 \times 25 = 625 \Rightarrow \sqrt{625} = 25$

$\therefore$ বাহুর দৈর্ঘ্য $= \frac{33}{25}$ সেমি.
মিশ্র ভগ্নাংশে প্রকাশ করে পাই: $1\frac{8}{25}$ সেমি.

উত্তর: বর্গক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য $1\frac{8}{25}$ সেমি.।

(i) $3\frac{22}{49}$

$= \frac{3 \times 49 + 22}{49}$
$= \frac{147 + 22}{49}$
$= \frac{169}{49}$
$\therefore$ নির্ণেয় বর্গমূল $= \sqrt{\frac{169}{49}} = \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{49}} = \frac{13}{7} = 1\frac{6}{7}$

উত্তর: $1\frac{6}{7}$

(ii) $\frac{375}{1215}$

প্রথমে ভগ্নাংশটিকে লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ করি:
$\frac{375 \div 5}{1215 \div 5} = \frac{75}{243}$
আবার $3$ দিয়ে ভাগ করি: $\frac{75 \div 3}{243 \div 3} = \frac{25}{81}$
$\therefore$ নির্ণেয় বর্গমূল $= \sqrt{\frac{25}{81}} = \frac{5}{9}$

উত্তর: $\frac{5}{9}$

(iii) $6\frac{433}{676}$

$= \frac{6 \times 676 + 433}{676}$
$= \frac{4056 + 433}{676}$
$= \frac{4489}{676}$
$\therefore$ নির্ণেয় বর্গমূল $= \sqrt{\frac{4489}{676}} = \frac{67}{26}$ [কারণ $67^2=4489$ এবং $26^2=676$]
$= 2\frac{15}{26}$

উত্তর: $2\frac{15}{26}$

(iv) $1\frac{496}{729}$

$= \frac{1 \times 729 + 496}{729}$
$= \frac{729 + 496}{729}$
$= \frac{1225}{729}$
$\therefore$ নির্ণেয় বর্গমূল $= \sqrt{\frac{1225}{729}} = \frac{35}{27}$ [কারণ $35^2=1225$ এবং $27^2=729$]
$= 1\frac{8}{27}$

উত্তর: $1\frac{8}{27}$

(v) $\frac{324}{576}$

$\therefore$ নির্ণেয় বর্গমূল $= \sqrt{\frac{324}{576}}$
$= \frac{18}{24}$ [কারণ $18^2=324$ এবং $24^2=576$]
লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ করে পাই: $\frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4}$

উত্তর: $\frac{3}{4}$

সমাধান:
প্রথমে $\frac{121}{169}$-এর বর্গমূল নির্ণয় করি।
বর্গমূল $= \sqrt{\frac{121}{169}}$
$= \frac{11}{13}$ [কারণ $11 \times 11 = 121$ এবং $13 \times 13 = 169$]

এখন, ধরি নির্ণেয় সংখ্যাটি $x$।
প্রশ্নানুসারে,
$\frac{11}{13} \times x = 1$
বা, $x = 1 \div \frac{11}{13}$
বা, $x = 1 \times \frac{13}{11}$
বা, $x = \frac{13}{11}$
$= 1\frac{2}{11}$

উত্তর: নির্ণেয় সংখ্যাটি $1\frac{2}{11}$।

সমাধান:
ধরি, একটি সংখ্যা $= x$
সুতরাং, অপর সংখ্যাটি $= 2x$

প্রশ্নানুসারে, সংখ্যা দুটির গুণফল $= 1\frac{17}{32}$
বা, $x \times 2x = \frac{32 \times 1 + 17}{32}$
বা, $2x^2 = \frac{49}{32}$
বা, $x^2 = \frac{49}{32 \times 2}$
বা, $x^2 = \frac{49}{64}$
বা, $x = \sqrt{\frac{49}{64}}$
বা, $x = \frac{7}{8}$

$\therefore$ একটি সংখ্যা $= \frac{7}{8}$
এবং অপর সংখ্যাটি $= 2 \times \frac{7}{8} = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$

উত্তর: সংখ্যা দুটি হলো $\frac{7}{8}$ এবং $1\frac{3}{4}$।

সমাধান:
কোনো সংখ্যাকে সেই সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে গুণফল সংখ্যাটির বর্গ হয়।
সুতরাং, নির্ণেয় ভগ্নাংশটি হবে প্রদত্ত গুণফলের বর্গমূল।

প্রদত্ত গুণফল $= 6\frac{145}{256}$
$= \frac{6 \times 256 + 145}{256}$
$= \frac{1536 + 145}{256}$
$= \frac{1681}{256}$

$\therefore$ নির্ণেয় ভগ্নাংশ $= \sqrt{\frac{1681}{256}}$
আমরা জানি, $41 \times 41 = 1681$ এবং $16 \times 16 = 256$
$= \frac{41}{16}$
$= 2\frac{9}{16}$

উত্তর: নির্ণেয় ভগ্নাংশটি $2\frac{9}{16}$।

সমাধান:
ধরি, নির্ণেয় ভগ্নাংশটি $x$।
প্রশ্নানুসারে, গুণফলের বর্গমূল 1 হবে।
$\therefore \sqrt{\frac{49}{91} \times x} = 1$

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই:
$\frac{49}{91} \times x = (1)^2$
বা, $\frac{49}{91} \times x = 1$
বা, $x = 1 \times \frac{91}{49}$
বা, $x = \frac{91}{49}$

লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ করে পাই (7 দিয়ে কাটাকাটি করে):
$x = \frac{13}{7}$
$= 1\frac{6}{7}$

উত্তর: নির্ণেয় ভগ্নাংশটি $1\frac{6}{7}$।

সমাধান:
প্রদত্ত ভগ্নাংশ $= \frac{35}{42}$।
লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ করলে পাই (7 দিয়ে ভাগ করে): $\frac{5}{6}$।

ধরি, নির্ণেয় ভগ্নাংশটি $x$।
প্রশ্নানুসারে,
$\sqrt{\frac{5}{6} \times x} = 2$

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই:
$\frac{5}{6} \times x = (2)^2$
বা, $\frac{5}{6} \times x = 4$
বা, $x = 4 \times \frac{6}{5}$
বা, $x = \frac{24}{5}$
$= 4\frac{4}{5}$

উত্তর: নির্ণেয় ভগ্নাংশটি $4\frac{4}{5}$।

সমাধান:
প্রদত্ত ভগ্নাংশ $= \frac{9}{50}$।
লব $9 = 3^2$, যা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।
হর $50 = 2 \times 5 \times 5 = 2 \times 5^2$।
এখানে হরে $2$ এর কোনো জোড়া নেই। তাই ভগ্নাংশটিকে পূর্ণবর্গ করতে হলে হরকে পূর্ণবর্গ করতে হবে বা $2$ কে বাদ দিতে হবে।

যদি আমরা ভগ্নাংশটিকে $2$ দিয়ে গুণ করি:
$\frac{9}{50} \times 2 = \frac{18}{50} = \frac{9}{25}$
এখানে $\frac{9}{25} = (\frac{3}{5})^2$, যা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

যেহেতু $2$ একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, তাই নির্ণেয় সংখ্যাটি হলো $2$।

উত্তর: সবচেয়ে ছোট ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাটি 2।

সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুটি $x$ এবং $y$।
প্রশ্নানুসারে,
$x \times y = \frac{14}{15}$ … (i)
$x \div y = \frac{35}{24}$ … (ii)

(i) ও (ii) নং সমীকরণ গুণ করে পাই:
$(x \times y) \times (\frac{x}{y}) = \frac{14}{15} \times \frac{35}{24}$
বা, $x^2 = \frac{14 \times 35}{15 \times 24}$
কাটাকাটি করে পাই:
$x^2 = \frac{7 \times 7}{3 \times 12} = \frac{49}{36}$
বা, $x = \sqrt{\frac{49}{36}}$
বা, $x = \frac{7}{6}$

এখন, $y$ এর মান নির্ণয় করি:
$y = (x \times y) \div x$
$= \frac{14}{15} \div \frac{7}{6}$
$= \frac{14}{15} \times \frac{6}{7}$
$= \frac{2}{5} \times \frac{2}{1} = \frac{4}{5}$

উত্তর: সংখ্যা দুটি হলো $\frac{7}{6}$ এবং $\frac{4}{5}$।

সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুটি $a$ এবং $b$।
প্রশ্নানুসারে,
$a \times b = \frac{16}{50}$ … (i)
$a \div b = \frac{1}{2}$ … (ii)

(i) ও (ii) গুণ করে পাই:
$a^2 = \frac{16}{50} \times \frac{1}{2}$
বা, $a^2 = \frac{16}{100}$
বা, $a = \sqrt{\frac{16}{100}}$
বা, $a = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

এখন, $b$ এর মান নির্ণয় করি:
$b = (a \times b) \div a$
$= \frac{16}{50} \div \frac{2}{5}$
$= \frac{16}{50} \times \frac{5}{2}$
$= \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

উত্তর: সংখ্যা দুটি হলো $\frac{2}{5}$ এবং $\frac{4}{5}$।

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি $= \sqrt{\sqrt{\frac{9}{64}} + \sqrt{\frac{25}{64}}}$

ভেতরের বর্গমূলের কাজ আগে করি:
$\sqrt{\frac{9}{64}} = \frac{3}{8}$ এবং $\sqrt{\frac{25}{64}} = \frac{5}{8}$

মান বসিয়ে পাই:
$= \sqrt{\frac{3}{8} + \frac{5}{8}}$
$= \sqrt{\frac{3+5}{8}}$
$= \sqrt{\frac{8}{8}}$
$= \sqrt{1}$
$= 1$

উত্তর: নির্ণেয় মান 1।

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি $= \sqrt{\frac{1}{4}} + \sqrt{\frac{1}{9}} – \sqrt{\frac{1}{16}} – \sqrt{\frac{1}{25}}$

বর্গমূল নির্ণয় করে পাই:
$= \frac{1}{2} + \frac{1}{3} – \frac{1}{4} – \frac{1}{5}$

এখন লসাগু করি ($2, 3, 4, 5$-এর লসাগু $60$):
$= \frac{30 + 20 – 15 – 12}{60}$
$= \frac{50 – 27}{60}$
$= \frac{23}{60}$

উত্তর: নির্ণেয় মান $\frac{23}{60}$।

সমাধান:
প্রথমে রাশিগুলির মান নির্ণয় করি:
$\sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$
$\sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}$
$\sqrt{\frac{1}{36}} = \frac{1}{6}$
$\sqrt{\frac{1}{49}} = \frac{1}{7}$

আমরা জানি, লব একই থাকলে যার হর ছোট হয় সেই ভগ্নাংশটি বড় হয়।
এখানে, $4 < 5 < 6 < 7$ সুতরাং, $\frac{1}{4} > \frac{1}{5} > \frac{1}{6} > \frac{1}{7}$

অতএব, মানের অধঃক্রমে (বড় থেকে ছোট) সাজিয়ে পাই:
$\sqrt{\frac{1}{16}}, \sqrt{\frac{1}{25}}, \sqrt{\frac{1}{36}}, \sqrt{\frac{1}{49}}$

উত্তর: মানের অধঃক্রম হলো $\sqrt{\frac{1}{16}}, \sqrt{\frac{1}{25}}, \sqrt{\frac{1}{36}}, \sqrt{\frac{1}{49}}$।

সমাধান:
প্রথম রাশিটি হলো:
$(\sqrt{16} + \sqrt{36}) = (4 + 6) = 10$

দ্বিতীয় রাশিটি হলো:
$(\sqrt{25} + \sqrt{81}) = (5 + 9) = 14$

এখন, পার্থক্য নির্ণয় করি:
$14 – 10 = 4$

উত্তর: $(\sqrt{25} + \sqrt{81})$ রাশিটি $4$ বেশি।

(i) $3\frac{22}{49}$

$= \frac{3 \times 49 + 22}{49} = \frac{147 + 22}{49} = \frac{169}{49}$
$\therefore$ নির্ণেয় বর্গমূল $= \sqrt{\frac{169}{49}} = \frac{13}{7} = 1\frac{6}{7}$

উত্তর: $1\frac{6}{7}$

(ii) $7\frac{57}{256}$

$= \frac{7 \times 256 + 57}{256} = \frac{1792 + 57}{256} = \frac{1849}{256}$
$\therefore$ নির্ণেয় বর্গমূল $= \sqrt{\frac{1849}{256}}$
আমরা জানি, $43 \times 43 = 1849$ এবং $16 \times 16 = 256$
$= \frac{43}{16} = 2\frac{11}{16}$

উত্তর: $2\frac{11}{16}$

(iii) $\frac{1089}{2025}$

$\therefore$ নির্ণেয় বর্গমূল $= \sqrt{\frac{1089}{2025}}$
প্রথমে ভগ্নাংশটিকে লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ করতে পারি (9 দিয়ে ভাগ করে):
$\frac{1089 \div 9}{2025 \div 9} = \frac{121}{225}$
সুতরাং, $\sqrt{\frac{121}{225}} = \frac{11}{15}$

উত্তর: $\frac{11}{15}$

(iv) $3\frac{814}{1225}$

$= \frac{3 \times 1225 + 814}{1225} = \frac{3675 + 814}{1225} = \frac{4489}{1225}$
$\therefore$ নির্ণেয় বর্গমূল $= \sqrt{\frac{4489}{1225}}$
আমরা জানি, $67 \times 67 = 4489$ এবং $35 \times 35 = 1225$
$= \frac{67}{35} = 1\frac{32}{35}$

উত্তর: $1\frac{32}{35}$