সপ্তম শ্রেণী গণিত: কষে দেখি – 11.2 ভগ্নাংশের বর্গমূল
কষে দেখি – 11.2 (সপ্তম শ্রেণী) : দশমিকের বর্গমূল
1. একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $32.49$ বর্গসেমি.। এই বর্গক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য কত সেমি. হবে হিসাব করি।
সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= 32.49$ বর্গসেমি.
আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য $= \sqrt{\text{ক্ষেত্রফল}}$
$\therefore$ বাহুর দৈর্ঘ্য $= \sqrt{32.49}$ সেমি.
বর্গমূল নির্ণয়:
$5^2 = 25$ এবং $6^2 = 36$। সংখ্যাটি $5$ ও $6$-এর মাঝে।
দশমিকের পর $49$ আছে, যা $7^2$-এর শেষে থাকে।
$\therefore \sqrt{32.49} = 5.7$
যাচাই: $5.7 \times 5.7 = 32.49$।
উত্তর: বর্গক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য $5.7$ সেমি.।
2. $2.1214$ বর্গমিটার এবং $2.9411$ বর্গমিটার বিশিষ্ট দুটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে হিসাব করি।
সমাধান:
দুটি আয়তক্ষেত্রের মোট ক্ষেত্রফল:
$= 2.1214 + 2.9411$ বর্গমিটার
$= 5.0625$ বর্গমিটার।
প্রশ্নানুসারে, এই মোট ক্ষেত্রফল একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান।
$\therefore$ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= 5.0625$ বর্গমিটার।
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য $= \sqrt{5.0625}$ মিটার।
বর্গমূল নির্ণয়:
$50625$-এর বর্গমূল $225$।
যেহেতু দশমিকের পর ৪টি অঙ্ক আছে, তাই বর্গমূলে দশমিকের পর ২টি অঙ্ক থাকবে।
$\therefore \sqrt{5.0625} = 2.25$
উত্তর: বর্গক্ষেত্রটির বাহুর দৈর্ঘ্য $2.25$ মিটার।
3. $0.28$-এর সাথে কোন দশমিক সংখ্যা যোগ করলে যোগফলের বর্গমূল 1 হবে হিসাব করি।
সমাধান:
ধরি, নির্ণেয় সংখ্যাটি $x$।
প্রশ্নানুসারে, $\sqrt{0.28 + x} = 1$
উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই:
$0.28 + x = (1)^2$
বা, $0.28 + x = 1$
বা, $x = 1 – 0.28$
বা, $x = 0.72$
উত্তর: $0.72$ যোগ করতে হবে।
4. $0.162$ এবং $0.2$-এর গুণফলের বর্গমূল কত হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
প্রথমে গুণফল নির্ণয় করি:
$0.162 \times 0.2 = 0.0324$
এখন গুণফলের বর্গমূল নির্ণয় করি:
$\sqrt{0.0324}$
আমরা জানি, $324$-এর বর্গমূল $18$।
এখানে দশমিকের পর ৪টি অঙ্ক আছে, তাই বর্গমূলে দশমিকের পর ২টি অঙ্ক থাকবে।
$\therefore \sqrt{0.0324} = 0.18$
উত্তর: নির্ণেয় বর্গমূল $0.18$।
5. $\sqrt{240.25} + \sqrt{2.4025} + \sqrt{0.024025}$ -এর মান কী হবে হিসাব করে লেখার চেষ্টা করি।
সমাধান:
প্রথমে $24025$-এর বর্গমূল নির্ণয় করি।
$155 \times 155 = 24025$।
এখন, দশমিক বসাই:
$\sqrt{240.25} = 15.5$ (দশমিকের পর ২ ঘরের জন্য ১ ঘর)
$\sqrt{2.4025} = 1.55$ (দশমিকের পর ৪ ঘরের জন্য ২ ঘর)
$\sqrt{0.024025} = 0.155$ (দশমিকের পর ৬ ঘরের জন্য ৩ ঘর)
যোগফল:
$15.5 + 1.55 + 0.155$
$= 17.205$
উত্তর: নির্ণেয় মান $17.205$।
6. $1.4641$ বর্গমিটার ও $1.0609$ বর্গমিটার ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট দুটি বর্গক্ষেত্রের মধ্যে কোন বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য বেশি ও কত বেশি হিসাব করে লেখার চেষ্টা করি।
সমাধান:
১ম বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য $= \sqrt{1.4641}$ মিটার।
$14641$-এর বর্গমূল $121$।
$\therefore$ বাহু $= 1.21$ মিটার।
২য় বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য $= \sqrt{1.0609}$ মিটার।
$10609$-এর বর্গমূল $103$।
$\therefore$ বাহু $= 1.03$ মিটার।
তুলনা করে পাই: $1.21 > 1.03$।
সুতরাং, ১ম বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য বেশি।
পার্থক্য $= 1.21 – 1.03 = 0.18$ মিটার।
উত্তর: ১ম বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য $0.18$ মিটার বেশি।
7. $0.4$-এর বর্গের সঙ্গে $0.3$-এর বর্গ যোগ করলে যে যোগফল পাব তা যে সংখ্যার বর্গের সমান সেই সংখ্যাটি কী হবে নির্ণয় করি।
সমাধান:
$0.4$-এর বর্গ $= (0.4)^2 = 0.16$
$0.3$-এর বর্গ $= (0.3)^2 = 0.09$
যোগফল $= 0.16 + 0.09 = 0.25$
আমাদের বের করতে হবে কোন সংখ্যার বর্গ $0.25$।
অর্থাৎ, $0.25$-এর বর্গমূল নির্ণয় করতে হবে।
$\sqrt{0.25} = 0.5$
উত্তর: নির্ণেয় সংখ্যাটি $0.5$।
8. ভাগ পদ্ধতিতে বর্গমূল নির্ণয় করি:
(i) $2.56$
1.6
-------
1| 2.56
-1
-------
1 56
26| -1 56
-------
0
ধাপসমূহ:
- পূর্ণসংখ্যা $2$-এর জন্য $1 \times 1 = 1$ নিলাম। ভাগশেষ $1$।
- দশমিক বিন্দুর পরের জোড়া $56$ নামালাম। ভাগফলে দশমিক বসালাম।
- $1$-এর দ্বিগুণ $2$। $26 \times 6 = 156$।
উত্তর: $\sqrt{2.56} = 1.6$
(ii) $4.84$
2.2
-------
2| 4.84
-4
-------
84
42| - 84
-------
0
উত্তর: $\sqrt{4.84} = 2.2$
(iii) $5.76$
2.4
-------
2| 5.76
-4
-------
1 76
44| -1 76
-------
0
উত্তর: $\sqrt{5.76} = 2.4$
(iv) $6.76$
2.6
-------
2| 6.76
-4
-------
2 76
46| -2 76
-------
0
উত্তর: $\sqrt{6.76} = 2.6$
(v) $0.045369$
0.2 1 3
----------
0| 0.04 53 69
- 0
-------
4
2| - 4
-------
53
41| - 41
-------
12 69
423| - 12 69
--------
0
উত্তর: $\sqrt{0.045369} = 0.213$
(vi) $0.000169$
0.0 1 3
----------
0| 0.00 01 69
- 0
-------
00
0| - 0
-------
01
1| - 1
-------
0 69
23| - 69
------
0
উত্তর: $\sqrt{0.000169} = 0.013$
(vii) $76.195441$
8. 7 2 9
-----------
8| 76.19 54 41
-64
-------
12 19
167| - 11 69
---------
50 54
1742| - 34 84
---------
15 70 41
17449| - 15 70 41
----------
0
উত্তর: $\sqrt{76.195441} = 8.729$
(viii) $170.485249$
1 3. 0 5 7
-------------
1| 1 70.48 52 49
-1
-------
70
23| - 69
-------
1 48
260| - 0
-------
1 48 52
2605| - 1 30 25
---------
18 27 49
26107| - 18 27 49
----------
0
উত্তর: $\sqrt{170.485249} = 13.057$
(ix) $5505.64$
7 4. 2
----------
7| 55 05.64
-49
-------
6 05
144| - 5 76
-------
29 64
1482| - 29 64
-------
0
উত্তর: $\sqrt{5505.64} = 74.2$
9. কোন দশমিক সংখ্যাকে সেই সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে গুণফল $1.1025$ হবে তা নির্ণয় করি।
সমাধান:
আমরা জানি, কোনো সংখ্যাকে সেই সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে গুণফল হয় সংখ্যাটির বর্গ।
সুতরাং, নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে গুণফলের বর্গমূল।
গুণফল $= 1.1025$
$\therefore$ নির্ণেয় সংখ্যা $= \sqrt{1.1025}$
বর্গমূল নির্ণয়:
$105 \times 105 = 11025$
যেহেতু দশমিকের পরে ৪টি অঙ্ক আছে, তাই বর্গমূলে দশমিকের পরে ২টি অঙ্ক থাকবে।
$\therefore \sqrt{1.1025} = 1.05$
উত্তর: নির্ণেয় দশমিক সংখ্যাটি $1.05$।
10. $0.75$-এর সাথে কোন দশমিক সংখ্যা যোগ করলে তার বর্গমূল $2$ হবে তা নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, নির্ণেয় সংখ্যাটি $x$।
প্রশ্নানুসারে,
$\sqrt{0.75 + x} = 2$
উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই:
$0.75 + x = (2)^2$
বা, $0.75 + x = 4$
বা, $x = 4 – 0.75$
বা, $x = 3.25$
উত্তর: $3.25$ যোগ করতে হবে।
11. $48.09$ থেকে কোন দশমিক সংখ্যা বিয়োগ করলে বিয়োগফলের বর্গমূল $5.7$ হবে তা নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, নির্ণেয় সংখ্যাটি $x$।
প্রশ্নানুসারে,
$\sqrt{48.09 – x} = 5.7$
উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই:
$48.09 – x = (5.7)^2$
বা, $48.09 – x = 5.7 \times 5.7$
বা, $48.09 – x = 32.49$
বা, $x = 48.09 – 32.49$
বা, $x = 15.6$
উত্তর: $15.6$ বিয়োগ করতে হবে।
12. $0.000328$ থেকে কোন ক্ষুদ্রতম দশমিক সংখ্যা বিয়োগ করলে বিয়োগফল একটি পূর্ণবর্গসংখ্যা (ছয় দশমিক স্থান পর্যন্ত) হবে তা নির্ণয় করি।
আমরা $0.000328$-এর বর্গমূল করার চেষ্টা করি এবং ভাগশেষ নির্ণয় করি।
0.0 1 8
----------
0| 0.00 03 28
- 0
-------
00
0| - 0
-------
03
1| - 1
-------
2 28
28| - 2 24
------
4
ব্যাখ্যা: এখানে ভাগশেষ $4$। যেহেতু আমরা ৬ দশমিক স্থান পর্যন্ত কাজ করেছি (শেষ জোড়া $28$), তাই এই ভাগশেষের স্থানীয় মান হলো $0.000004$।
উত্তর: নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম দশমিক সংখ্যাটি $0.000004$।
13. নীচের সংখ্যাগুলির আসন্ন মান লিখি।
(i) $\sqrt{6}$ (দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত)
2. 4 4 9
---------
2| 6. 00 00 00
-4
-------
2 00
44| -1 76
-------
24 00
484| - 19 36
-------
4 64 00
4889| - 4 40 01
---------
23 99
তৃতীয় দশমিক স্থানে $9$ আছে ($>5$), তাই দ্বিতীয় স্থানের সাথে $1$ যোগ হবে ($4+1=5$)।
উত্তর: $2.45$
(ii) $\sqrt{8}$ (দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত)
2. 8 2 8
---------
2| 8. 00 00 00
-4
-------
4 00
48| -3 84
-------
16 00
562| - 11 24
-------
4 76 00
5648| - 4 51 84
---------
24 16
তৃতীয় দশমিক স্থানে $8$ আছে ($>5$), তাই দ্বিতীয় স্থানের সাথে $1$ যোগ হবে ($2+1=3$)।
উত্তর: $2.83$
(iii) $\sqrt{11}$ (তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত)
3. 3 1 6
-----------
3| 11. 00 00 00
- 9
-------
2 00
63| -1 89
-------
11 00
661| - 6 61
-------
4 39 00
6626| - 3 97 56
---------
41 44
চতুর্থ দশমিক স্থানে $6$ আছে ($>5$), তাই তৃতীয় স্থানের সাথে $1$ যোগ হবে ($1+1=2$, কিন্তু এখানে আসলে $3.316$… তাই $6$ দেখে $1$ এর সাথে যোগ হবে না, বরং $6$ এর আগের অঙ্ক অর্থাৎ $1$ এর সাথে ১ যোগ হবে। $3.316 \rightarrow 3.317$)।
উত্তর: $3.317$
(iv) $\sqrt{12}$ (তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত)
3. 4 6 4
-----------
3| 12. 00 00 00
- 9
-------
3 00
64| -2 56
-------
44 00
686| - 41 16
-------
2 84 00
6924| - 2 76 96
---------
7 04
চতুর্থ দশমিক স্থানে $4$ আছে ($<5$), তাই তৃতীয় স্থান অপরিবর্তিত থাকবে।
উত্তর: $3.464$
14. $\sqrt{15}$ -এর দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান লিখি। এই আসন্ন মানের বর্গ করি ও এই বর্গ $15$-এর চেয়ে কত কম বা বেশি হিসাব করি।
১ম অংশ: $\sqrt{15}$ নির্ণয়
3. 8 7 2
---------
3| 15. 00 00 00
- 9
-------
6 00
68| -5 44
-------
56 00
767| - 53 69
-------
2 31 00
7742| - 1 54 84
---------
76 16
দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্নমান নিতে হলে তৃতীয় স্থান ($2$) দেখতে হবে। যেহেতু $2 < 5$, তাই মান হবে $3.87$।
২য় অংশ: বর্গের পার্থক্য
আসন্ন মানের বর্গ $= (3.87)^2$
$= 3.87 \times 3.87 = 14.9769$
পার্থক্য $= 15 – 14.9769$
$= 0.0231$
উত্তর: আসন্নমান $3.87$ এবং এর বর্গ $15$-এর চেয়ে $0.0231$ কম।
শেয়ার