সপ্তম শ্রেণী গণিত: কষে দেখি – 15 সময় ও দূরত্ব

শনিবারের হিসাব:
1 ঘন্টায় যাই = 13 কিমি.
$\therefore$ 2 ঘন্টায় যাই = $13 \times 2$ কিমি. = 26 কিমি.

রবিবারের হিসাব:
1 ঘন্টায় যাই = 11 কিমি.
$\therefore$ 2 ঘন্টায় যাই = $11 \times 2$ কিমি. = 22 কিমি.

পার্থক্য:
শনিবার বেশি পথ গেলাম = $(26 – 22)$ কিমি. = 4 কিমি.

সম্পর্ক:
সময় স্থির থাকলে, গতিবেগ বাড়লে অতিক্রান্ত দূরত্ব বাড়ে।
$\therefore$ গতিবেগ ও অতিক্রান্ত দূরত্বের মধ্যে সরল সম্পর্ক।

উত্তর: শনিবার 4 কিমি. বেশি পথ গেলাম।

সোমবারের হিসাব:
12 কিমি. যেতে সময় লাগে = 1 ঘন্টা = 60 মিনিট
1 কিমি. যেতে সময় লাগে = $\frac{60}{12}$ মিনিট
$\therefore$ 2 কিমি. যেতে সময় লাগে = $\frac{60}{12} \times 2$ মিনিট = $5 \times 2$ মিনিট = 10 মিনিট।

মঙ্গলবারের হিসাব:
15 কিমি. যেতে সময় লাগে = 1 ঘন্টা = 60 মিনিট
1 কিমি. যেতে সময় লাগে = $\frac{60}{15}$ মিনিট
$\therefore$ 2 কিমি. যেতে সময় লাগে = $\frac{60}{15} \times 2$ মিনিট = $4 \times 2$ মিনিট = 8 মিনিট।

পার্থক্য:
মঙ্গলবার কম সময় লাগল = $(10 – 8)$ মিনিট = 2 মিনিট।

সম্পর্ক:
দূরত্ব স্থির থাকলে, গতিবেগ বাড়লে সময় কমে।
$\therefore$ গতিবেগ ও সময়ের মধ্যে ব্যস্ত সম্পর্ক।

উত্তর: মঙ্গলবার 2 মিনিট কম সময় লাগল।

গল্প:
ধরি, একটি বাস ঘন্টায় 40 কিমি. বেগে চলছে।
বাসটি 2 ঘন্টায় কতটা পথ যাবে এবং 3 ঘন্টায় কতটা পথ যাবে?

ঐকিক নিয়মে সমাধান:
1 ঘন্টায় যায় = 40 কিমি.
2 ঘন্টায় যায় = $40 \times 2$ = 80 কিমি.
3 ঘন্টায় যায় = $40 \times 3$ = 120 কিমি.

সম্পর্ক:
দেখা যাচ্ছে, সময় বাড়ার সাথে সাথে অতিক্রান্ত দূরত্বও বাড়ছে।
$\therefore$ গতিবেগ স্থির থাকলে সময়ের সাথে অতিক্রান্ত দূরত্বের সরল সম্পর্ক।

উত্তর: সম্পর্কটি সরল সমানুপাতী।

সমাধান (ঐকিক নিয়মে):
আমরা জানি, 1 ঘন্টা = 60 মিনিট।
40 মিনিটে বাসটি যায় = 12 কিমি.
1 মিনিটে বাসটি যায় = $\frac{12}{40}$ কিমি.
$\therefore$ 60 মিনিটে বাসটি যায় = $\frac{12}{40} \times 60$ কিমি.

কাটাকাটি করে পাই:
$= \frac{12 \times 3}{2}$ [20 দিয়ে 40 ও 60 কে কেটে]
$= 6 \times 3$ [2 দিয়ে 12 কে কেটে]
$= 18$ কিমি.

উত্তর: বাসের গতিবেগ ঘন্টায় 18 কিমি.।

সমাধান:
গাছকে অতিক্রম করা মানে ট্রেনের নিজের দৈর্ঘ্য (100 মিটার) অতিক্রম করা।
গতিবেগ = 60 কিমি./ঘন্টা।
60 কিমি. = $60 \times 1000$ মিটার = 60000 মিটার।
1 ঘন্টা = 3600 সেকেন্ড।

ঐকিক নিয়মে:
60000 মিটার যেতে সময় লাগে = 3600 সেকেন্ড
1 মিটার যেতে সময় লাগে = $\frac{3600}{60000}$ সেকেন্ড
$\therefore$ 100 মিটার যেতে সময় লাগে = $\frac{3600}{60000} \times 100$ সেকেন্ড

কাটাকাটি করে পাই:
$= \frac{36}{60} \times 10$ [শূন্যগুলি কেটে]
$= \frac{36}{6}$
$= 6$ সেকেন্ড।

উত্তর: ট্রেনটি গাছকে অতিক্রম করতে 6 সেকেন্ড সময় নেবে।

সমাধান:
6 ঘন্টা 12 মিনিট = $(6 \times 60) + 12$ মিনিট = $360 + 12$ মিনিট = 372 মিনিট।
এখানে দূরত্ব ও সময়ের মধ্যে সরল সম্পর্ক।

ঐকিক নিয়মে:
217 কিমি. যেতে সময় লাগে = 372 মিনিট
1 কিমি. যেতে সময় লাগে = $\frac{372}{217}$ মিনিট
$\therefore$ 273 কিমি. যেতে সময় লাগে = $\frac{372}{217} \times 273$ মিনিট

কাটাকাটি করে পাই:
31 দিয়ে 217 কে কাটলে পাই 7 এবং 372 কে কাটলে পাই 12।
$= \frac{12}{7} \times 273$ মিনিট
7 দিয়ে 273 কে কাটলে পাই 39।
$= 12 \times 39$ মিনিট
$= 468$ মিনিট

মিনিটকে ঘন্টায় রূপান্তর:
$468 \div 60$ = 7 ঘন্টা 48 মিনিট।

উত্তর: ট্যাক্সিটির 7 ঘন্টা 48 মিনিট সময় লাগবে।

সমাধান:
মোটরবাইকের ক্ষেত্রে:
সময় = 2 ঘন্টা 5 মিনিট = $(2 \times 60) + 5$ মিনিট = 125 মিনিট।
125 মিনিটে যায় = 100 কিমি.
$\therefore$ 1 মিনিটে যায় = $\frac{100}{125}$ কিমি. = $\frac{4}{5}$ কিমি. (মোটরবাইকের গতিবেগ)

সাইকেলের ক্ষেত্রে:
সময় = 6 ঘন্টা 40 মিনিট = $(6 \times 60) + 40$ মিনিট = $360 + 40$ মিনিট = 400 মিনিট।
400 মিনিটে যায় = 100 কিমি.
$\therefore$ 1 মিনিটে যায় = $\frac{100}{400}$ কিমি. = $\frac{1}{4}$ কিমি. (সাইকেলের গতিবেগ)

গতিবেগের অনুপাত:
মোটরবাইক : সাইকেল
$= \frac{4}{5} : \frac{1}{4}$
উভয় পদকে 20 দিয়ে গুণ করে পাই (হরগুলির ল.সা.গু. 20):
$= (\frac{4}{5} \times 20) : (\frac{1}{4} \times 20)$
$= 16 : 5$

উত্তর: মোটরবাইক ও সাইকেলের গতিবেগের অনুপাত 16 : 5।

সমাধান:
2 ঘন্টা 45 মিনিট = $(2 \times 60) + 45$ মিনিট = $120 + 45$ মিনিট = 165 মিনিট।

ঐকিক নিয়মে:
49.5 কিমি. যেতে সময় লাগে = 165 মিনিট
1 কিমি. যেতে সময় লাগে = $\frac{165}{49.5}$ মিনিট
$\therefore$ 58.5 কিমি. যেতে সময় লাগে = $\frac{165}{49.5} \times 58.5$ মিনিট

দশমিক তুলে দিয়ে পাই:
$= \frac{165 \times 585}{495}$ মিনিট
165 দিয়ে 495 কে কাটলে পাই 3।
$= \frac{585}{3}$ মিনিট
$= 195$ মিনিট

মিনিটকে ঘন্টায় রূপান্তর:
$195 \div 60$ = 3 ঘন্টা 15 মিনিট।

উত্তর: মালগাড়িটির 3 ঘন্টা 15 মিনিট সময় লাগবে।

সমাধান:
মোট সময় লেগেছে = 3 ঘন্টা 30 মিনিট।
কাজের সময় = 1 ঘন্টা।
$\therefore$ যাতায়াতের মোট সময় (শুধু পথ চলা) = 3 ঘন্টা 30 মিনিট – 1 ঘন্টা = 2 ঘন্টা 30 মিনিট = 2.5 ঘন্টা।

ঐকিক নিয়মে মোট দূরত্ব নির্ণয়:
1 ঘন্টায় যায় = 40 কিমি.
$\therefore$ 2.5 ঘন্টায় যায় = $40 \times 2.5$ কিমি. = 100 কিমি.

এই 100 কিমি. হলো যাওয়া এবং আসার মোট দূরত্ব।
যেহেতু বাড়ি থেকে পাঁচলা গিয়ে আবার ফিরে এসেছে, তাই দূরত্ব সমান।
$\therefore$ বাড়ি থেকে পাঁচলার দূরত্ব = $\frac{100}{2}$ কিমি. = 50 কিমি.

উত্তর: বাড়ি থেকে পাঁচলার দূরত্ব 50 কিমি.।

সমাধান:
বাসটি চলেছে = সকাল 7টা 30 মিনিট থেকে দুপুর 12টা পর্যন্ত।
সময় = 12টা – 7টা 30 মিনিট = 4 ঘন্টা 30 মিনিট।
4 ঘন্টা 30 মিনিট = 4.5 ঘন্টা।

ঐকিক নিয়মে:
বাসটি 1 ঘন্টায় যায় = 45 কিমি.
$\therefore$ বাসটি 4.5 ঘন্টায় যায় = $45 \times 4.5$ কিমি.

গণনা:
$45 \times 4.5 = 202.5$ কিমি.

উত্তর: কলকাতা থেকে দিঘার দূরত্ব 202.5 কিমি.।

সমাধান:
প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করতে হলে ট্রেনটিকে নিজের দৈর্ঘ্য ও প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি অতিক্রম করতে হবে।
মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব = ট্রেনের দৈর্ঘ্য + প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য
$= 70 + 105$ মিটার
$= 175$ মিটার।

ট্রেনের গতিবেগ = 75 কিমি./ঘন্টা
75 কিমি. = 75000 মিটার এবং 1 ঘন্টা = 3600 সেকেন্ড।

ঐকিক নিয়মে:
75000 মিটার যেতে সময় লাগে = 3600 সেকেন্ড
1 মিটার যেতে সময় লাগে = $\frac{3600}{75000}$ সেকেন্ড
$\therefore$ 175 মিটার যেতে সময় লাগে = $\frac{3600}{75000} \times 175$ সেকেন্ড

কাটাকাটি করে পাই:
শূন্যগুলি কাটার পর: $\frac{36}{750} \times 175$
25 দিয়ে কাটলে: $\frac{36}{30} \times 7$
6 দিয়ে কাটলে: $\frac{6}{5} \times 7 = \frac{42}{5}$ সেকেন্ড
$= 8.4$ সেকেন্ড।

উত্তর: ট্রেনটি 8.4 সেকেন্ডে প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করবে।

সমাধান:
একটি স্তম্ভকে অতিক্রম করার অর্থ হলো ট্রেনটি তার নিজের দৈর্ঘ্য (90 মিটার) অতিক্রম করেছে।
সময় লেগেছে = 25 সেকেন্ড।

ঐকিক নিয়মে গতিবেগ নির্ণয়:
25 সেকেন্ডে যায় = 90 মিটার
1 সেকেন্ডে যায় = $\frac{90}{25}$ মিটার
$\therefore$ 3600 সেকেন্ডে (1 ঘন্টায়) যায় = $\frac{90}{25} \times 3600$ মিটার

গণনা:
25 দিয়ে 3600 কে ভাগ করলে পাই 144।
$= 90 \times 144$ মিটার
$= 12960$ মিটার

মিটারকে কিলোমিটারে প্রকাশ করি:
$12960 \div 1000 = 12.96$ কিমি.

উত্তর: রেলগাড়ির গতিবেগ ঘন্টায় 12.96 কিমি.।

প্রথম ক্ষেত্র (সেতু অতিক্রম):
মোট দূরত্ব = ট্রেনের দৈর্ঘ্য + সেতুর দৈর্ঘ্য = $150 + 250$ = 400 মিটার।
সময় লাগে = 30 সেকেন্ড।

দ্বিতীয় ক্ষেত্র (প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম):
মোট দূরত্ব = ট্রেনের দৈর্ঘ্য + প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য = $150 + 130$ = 280 মিটার।

ঐকিক নিয়মে:
400 মিটার যেতে সময় লাগে = 30 সেকেন্ড
1 মিটার যেতে সময় লাগে = $\frac{30}{400}$ সেকেন্ড
$\therefore$ 280 মিটার যেতে সময় লাগে = $\frac{30}{400} \times 280$ সেকেন্ড

কাটাকাটি করে পাই:
শূন্যগুলি কাটার পর: $\frac{3}{40} \times 280$
40 দিয়ে 280 কে কাটলে পাই 7।
$= 3 \times 7 = 21$ সেকেন্ড।

উত্তর: প্ল্যাটফর্মটি অতিক্রম করতে 21 সেকেন্ড সময় লাগবে।

সমাধান:
যেহেতু ট্রেনের যাত্রী প্ল্যাটফর্মটি অতিক্রম হতে দেখলেন, তাই এখানে অতিক্রান্ত দূরত্ব হবে শুধুমাত্র প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য। (কারণ যাত্রী নিজেকে স্থির বিন্দু বিবেচনা করলে প্ল্যাটফর্মটি তাকে অতিক্রম করে গেছে)।
গতিবেগ = 60 কিমি./ঘন্টা = 60000 মিটার/3600 সেকেন্ড।
সময় = 15 সেকেন্ড।

ঐকিক নিয়মে প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য নির্ণয়:
3600 সেকেন্ডে ট্রেনটি যায় = 60000 মিটার
1 সেকেন্ডে যায় = $\frac{60000}{3600}$ মিটার
$\therefore$ 15 সেকেন্ডে যায় = $\frac{60000}{3600} \times 15$ মিটার

কাটাকাটি করে পাই:
শূন্যগুলি কাটার পর: $\frac{600}{36} \times 15$
12 দিয়ে কাটলে: $\frac{50}{3} \times 15$
3 দিয়ে 15 কে কাটলে পাই 5।
$= 50 \times 5 = 250$ মিটার।

উত্তর: প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য 250 মিটার।

সমাধান:
4 সেকেন্ডে অতিক্রম করে = ট্রেনের দৈর্ঘ্য (টেলিগ্রাফ পোস্ট অতিক্রম করা মানে নিজের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করা)
20 সেকেন্ডে অতিক্রম করে = ট্রেনের দৈর্ঘ্য + 264 মিটার (সেতু অতিক্রম)

সময়ের পার্থক্য = $20 – 4 = 16$ সেকেন্ড।
দূরত্বের পার্থক্য = 264 মিটার।
$\therefore$ ট্রেনটি 16 সেকেন্ডে যায় 264 মিটার।

গতিবেগ নির্ণয় (ঐকিক নিয়ম):
16 সেকেন্ডে যায় = 264 মিটার
1 সেকেন্ডে যায় = $\frac{264}{16}$ মিটার = 16.5 মিটার
$\therefore$ 3600 সেকেন্ডে যায় = $16.5 \times 3600$ মিটার = 59400 মিটার = 59.4 কিমি.

ট্রেনের দৈর্ঘ্য নির্ণয়:
1 সেকেন্ডে যায় 16.5 মিটার।
ট্রেনটি নিজের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করে 4 সেকেন্ডে।
$\therefore$ ট্রেনের দৈর্ঘ্য = $16.5 \times 4$ মিটার = 66 মিটার।

উত্তর: ট্রেনটির দৈর্ঘ্য 66 মিটার এবং গতিবেগ ঘন্টায় 59.4 কিমি.।

সমাধান:
25 সেকেন্ডে ট্রেনটি যায় = নিজের দৈর্ঘ্য + 210 মিটার (১ম সেতু)
17 সেকেন্ডে ট্রেনটি যায় = নিজের দৈর্ঘ্য + 122 মিটার (২য় সেতু)
———————————————————
বিয়োগ করে পাই,
$(25 – 17)$ বা 8 সেকেন্ডে ট্রেনটি যায় = $(210 – 122)$ মিটার = 88 মিটার।

গতিবেগ নির্ণয়:
8 সেকেন্ডে যায় = 88 মিটার
$\therefore$ 1 সেকেন্ডে যায় = $\frac{88}{8}$ মিটার = 11 মিটার।
$\therefore$ 3600 সেকেন্ডে (1 ঘন্টায়) যায় = $11 \times 3600$ মিটার
$= 39600$ মিটার = 39.6 কিমি.

ট্রেনের দৈর্ঘ্য নির্ণয়:
1 সেকেন্ডে যায় 11 মিটার।
$\therefore$ 25 সেকেন্ডে যায় = $11 \times 25$ মিটার = 275 মিটার।
এই 275 মিটারের মধ্যে ট্রেনের দৈর্ঘ্য এবং 210 মিটার সেতু আছে।
$\therefore$ ট্রেনের দৈর্ঘ্য = $275 – 210$ মিটার = 65 মিটার।

উত্তর: ট্রেনটির দৈর্ঘ্য 65 মিটার এবং গতিবেগ ঘন্টায় 39.6 কিমি.।

সমাধান:
ট্রেনের গতিবেগ = 48 কিমি./ঘন্টা।
48 কিমি. = 48000 মিটার এবং 1 ঘন্টা = 3600 সেকেন্ড।
সুড়ঙ্গ অতিক্রম করতে ট্রেনটিকে নিজের দৈর্ঘ্য + সুড়ঙ্গের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করতে হবে।

ঐকিক নিয়মে:
3600 সেকেন্ডে যায় = 48000 মিটার
1 সেকেন্ডে যায় = $\frac{48000}{3600}$ মিটার
$\therefore$ 21 সেকেন্ডে যায় = $\frac{48000}{3600} \times 21$ মিটার

কাটাকাটি করে পাই:
শূন্যগুলি কাটার পর: $\frac{480}{36} \times 21$
12 দিয়ে কাটলে: $\frac{40}{3} \times 21$
3 দিয়ে 21 কে কাটলে পাই 7।
$= 40 \times 7 = 280$ মিটার।

এই 280 মিটার হলো (ট্রেনের দৈর্ঘ্য + সুড়ঙ্গের দৈর্ঘ্য)।
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = 100 মিটার।
$\therefore$ সুড়ঙ্গের দৈর্ঘ্য = $280 – 100$ মিটার = 180 মিটার।

উত্তর: সুড়ঙ্গ রাস্তাটির দৈর্ঘ্য 180 মিটার।

সমাধান:
লোককে অতিক্রম করা মানে ট্রেনটি শুধু নিজের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করে = 10 সেকেন্ডে।
প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করা মানে (নিজের দৈর্ঘ্য + 150 মিটার) অতিক্রম করে = 22 সেকেন্ডে।

সময়ের পার্থক্য = $22 – 10 = 12$ সেকেন্ড।
দূরত্বের পার্থক্য = 150 মিটার।
$\therefore$ ট্রেনটি 12 সেকেন্ডে যায় 150 মিটার।

গতিবেগ নির্ণয়:
12 সেকেন্ডে যায় = 150 মিটার
1 সেকেন্ডে যায় = $\frac{150}{12}$ মিটার = 12.5 মিটার
$\therefore$ 3600 সেকেন্ডে যায় = $12.5 \times 3600$ মিটার
$= 45000$ মিটার = 45 কিমি.

ট্রেনের দৈর্ঘ্য নির্ণয়:
ট্রেনটি 1 সেকেন্ডে যায় 12.5 মিটার।
নিজের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করতে সময় লাগে 10 সেকেন্ড।
$\therefore$ ট্রেনের দৈর্ঘ্য = $12.5 \times 10$ মিটার = 125 মিটার।

উত্তর: ট্রেনটির দৈর্ঘ্য 125 মিটার এবং গতিবেগ ঘন্টায় 45 কিমি.।

ধরি:
১ম ট্রেনের দৈর্ঘ্য = 120 মিটার, গতিবেগ = 50 কিমি./ঘন্টা।
২য় ট্রেনের দৈর্ঘ্য = 130 মিটার, গতিবেগ = 40 কিমি./ঘন্টা।

সমাধান:
ট্রেন দুটি পরস্পরের দিকে আসছে, তাই তাদের আপেক্ষিক গতিবেগ হবে দুই গতিবেগের সমষ্টি।
আপেক্ষিক গতিবেগ = $50 + 40 = 90$ কিমি./ঘন্টা।
মোট অতিক্রম করতে হবে = $120 + 130 = 250$ মিটার।
90 কিমি. = 90000 মিটার, 1 ঘন্টা = 3600 সেকেন্ড।

ঐকিক নিয়মে:
90000 মিটার যায় = 3600 সেকেন্ডে
1 মিটার যায় = $\frac{3600}{90000}$ সেকেন্ডে
$\therefore$ 250 মিটার যায় = $\frac{3600}{90000} \times 250$ সেকেন্ডে

কাটাকাটি করে পাই:
শূন্যগুলি কাটার পর: $\frac{36}{900} \times 250$
$\frac{4}{100} \times 250$ [9 দিয়ে কাটলে]
$= \frac{1000}{100} = 10$ সেকেন্ড।

উত্তর: ট্রেন দুটি পরস্পরকে 10 সেকেন্ডে অতিক্রম করবে (ধরা মান অনুযায়ী)।

সমাধান:
মেল ট্রেনটি মালগাড়িটিকে পিছন থেকে অতিক্রম করবে, অর্থাৎ দুটি ট্রেন একই দিকে চলেছে।
$\therefore$ আপেক্ষিক গতিবেগ = মেল ট্রেনের গতিবেগ – মালগাড়ির গতিবেগ
$= 60 – 33 = 27$ কিমি./ঘন্টা।

মোট অতিক্রম করতে হবে = মালগাড়ির দৈর্ঘ্য + মেল ট্রেনের দৈর্ঘ্য
$= 250 + 200 = 450$ মিটার।
27 কিমি. = 27000 মিটার।

ঐকিক নিয়মে:
27000 মিটার অতিক্রম করতে সময় লাগে = 3600 সেকেন্ড
1 মিটার অতিক্রম করতে সময় লাগে = $\frac{3600}{27000}$ সেকেন্ড
$\therefore$ 450 মিটার অতিক্রম করতে সময় লাগে = $\frac{3600}{27000} \times 450$ সেকেন্ড

কাটাকাটি করে পাই:
শূন্যগুলি কাটার পর: $\frac{36}{270} \times 450$
9 দিয়ে কাটলে: $\frac{4}{30} \times 450$
30 দিয়ে 450 কে কাটলে পাই 15।
$= 4 \times 15 = 60$ সেকেন্ড
$= 1$ মিনিট।

উত্তর: মেল ট্রেনটি মালগাড়িটিকে 1 মিনিটে অতিক্রম করবে।