সপ্তম শ্রেণী গণিত: কষে দেখি – 22.4 সমীকরণ গঠন ও সমাধান

ধরি, তিনি বেগুন চাষ করে আয় করেন $x$ টাকা।
প্রশ্নানুযায়ী, পটল চাষ করে তিনি আয় করেন $(x + 630)$ টাকা।
মোট আয় $2830$ টাকা।

শর্তানুসারে,
$$x + (x + 630) = 2830$$
$$ \text{বা, } 2x + 630 = 2830 $$
$$ \text{বা, } 2x = 2830 – 630 $$
$$ \text{বা, } 2x = 2200 $$
$$ \text{বা, } x = \frac{2200}{2} $$
$$ \therefore x = 1100 $$

তিনি বেগুন চাষ করে আয় করেন $1100$ টাকা।
অতএব, পটল চাষ করে আয় করেন $= 1100 + 630 = 1730$ টাকা।

উত্তর: পটল চাষ করে তিনি 1730 টাকা পেয়েছিলেন।

ধরি, জমিটির প্রস্থ $x$ মিটার।
$\therefore$ জমিটির দৈর্ঘ্য $= 1\frac{1}{2}x = \frac{3}{2}x$ মিটার।
আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা $= 2(\text{দৈর্ঘ্য} + \text{প্রস্থ})$

শর্তানুসারে,
$$ 2\left(\frac{3}{2}x + x\right) = 400 $$
$$ \text{বা, } 2\left(\frac{3x + 2x}{2}\right) = 400 $$
$$ \text{বা, } 2 \times \frac{5x}{2} = 400 $$
$$ \text{বা, } 5x = 400 $$
$$ \text{বা, } x = \frac{400}{5} $$
$$ \therefore x = 80 $$

জমির প্রস্থ $= 80$ মিটার।
জমির দৈর্ঘ্য $= \frac{3}{2} \times 80 = 3 \times 40 = 120$ মিটার।

উত্তর: কুমারদের জমির দৈর্ঘ্য 120 মিটার এবং প্রস্থ 80 মিটার।

ধরি, মঞ্জু পেল $x$ টাকা।
$\therefore$ কণা পেল $(2x – 30)$ টাকা।
$\therefore$ অমল পেল $\left[\frac{2x – 30}{2} + 15\right]$ টাকা
$= \left[\frac{2(x – 15)}{2} + 15\right]$ টাকা
$= (x – 15 + 15)$ টাকা
$= x$ টাকা।

শর্তানুসারে,
$$ x + (2x – 30) + x = 170 $$
$$ \text{বা, } 4x – 30 = 170 $$
$$ \text{বা, } 4x = 170 + 30 $$
$$ \text{বা, } 4x = 200 $$
$$ \text{বা, } x = \frac{200}{4} $$
$$ \therefore x = 50 $$

মঞ্জু পেল $50$ টাকা।
কণা পেল $(2 \times 50 – 30) = (100 – 30) = 70$ টাকা।
অমল পেল $50$ টাকা।

উত্তর: মঞ্জু 50 টাকা, কণা 70 টাকা এবং অমল 50 টাকা পেল।

ধরি, আমার কাছে মোট আপেল আছে $x$ টি।
ভাইকে দেব $\frac{2}{3}x$ টি আপেল।
অবশিষ্ট আপেল $= x – \frac{2}{3}x = \frac{3x – 2x}{3} = \frac{x}{3}$ টি।

শর্তানুসারে,
$$ \frac{x}{3} = 6 $$
$$ \text{বা, } x = 6 \times 3 $$
$$ \therefore x = 18 $$

মোট আপেল $18$ টি।
ভাইকে দেব $= 18 \times \frac{2}{3} = 6 \times 2 = 12$ টি।

উত্তর: আমি ভাইকে 12 টি আপেল দেব।

ধরি, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য $3x$ মিটার এবং প্রস্থ $2x$ মিটার।
পরিসীমা $= 2(3x + 2x)$ মিটার $= 2(5x)$ মিটার $= 10x$ মিটার।

শর্তানুসারে,
$$ 10x = 160 $$
$$ \text{বা, } x = \frac{160}{10} $$
$$ \therefore x = 16 $$

দৈর্ঘ্য $= 3 \times 16 = 48$ মিটার।
প্রস্থ $= 2 \times 16 = 32$ মিটার।
ক্ষেত্রফল $= \text{দৈর্ঘ্য} \times \text{প্রস্থ} = 48 \times 32$ বর্গমিটার।
$= 1536$ বর্গমিটার।

উত্তর: আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল 1536 বর্গমিটার।

ধরি, $5$ টাকার মুদ্রার সংখ্যা $x$ টি।
যেহেতু মোট মুদ্রার সংখ্যা $20$ টি, তাই $10$ টাকার মুদ্রার সংখ্যা $(20 – x)$ টি।
$5$ টাকার মুদ্রার মোট মূল্য $5x$ টাকা এবং $10$ টাকার মুদ্রার মোট মূল্য $10(20 – x)$ টাকা।

শর্তানুসারে,
$$ 5x + 10(20 – x) = 145 $$
$$ \text{বা, } 5x + 200 – 10x = 145 $$
$$ \text{বা, } -5x = 145 – 200 $$
$$ \text{বা, } -5x = -55 $$
$$ \text{বা, } x = \frac{-55}{-5} $$
$$ \therefore x = 11 $$

$5$ টাকার মুদ্রা আছে $11$ টি।
$10$ টাকার মুদ্রা আছে $(20 – 11) = 9$ টি।

উত্তর: ব্যাগে 5 টাকার মুদ্রা 11 টি এবং 10 টাকার মুদ্রা 9 টি আছে।

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি $180^{\circ}$।

শর্তানুসারে,
$$ x + 2x + 3x = 180 $$
$$ \text{বা, } 6x = 180 $$
$$ \text{বা, } x = \frac{180}{6} $$
$$ \therefore x = 30 $$

কোণ তিনটির মান যথাক্রমে:
$1$ম কোণ $= 30^{\circ}$
$2$য় কোণ $= 2 \times 30 = 60^{\circ}$
$3$য় কোণ $= 3 \times 30 = 90^{\circ}$

এখানে বৃহত্তম কোণটি হলো $3x^{\circ}$ বা $90^{\circ}$।

উত্তর: ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণের মান $90^{\circ}$।

ধরি, তিনি প্রথমে $x$ টাকা ধার করেছিলেন।
তিনি পরিশোধ করেছেন $= (\frac{x}{3} + 2000)$ টাকা।
এখনও ধার বাকি আছে (যা শোধ করেছেন তার চেয়ে $21000$ টাকা বেশি)
$= (\frac{x}{3} + 2000) + 21000 = (\frac{x}{3} + 23000)$ টাকা।

মোট ধার = পরিশোধ করা টাকা + বাকি থাকা টাকা
শর্তানুসারে,
$$ (\frac{x}{3} + 2000) + (\frac{x}{3} + 23000) = x $$
$$ \text{বা, } \frac{2x}{3} + 25000 = x $$
$$ \text{বা, } 25000 = x – \frac{2x}{3} $$
$$ \text{বা, } 25000 = \frac{3x – 2x}{3} $$
$$ \text{বা, } 25000 = \frac{x}{3} $$
$$ \text{বা, } x = 25000 \times 3 $$
$$ \therefore x = 75000 $$

উত্তর: চঞ্চলবাবু প্রথমে 75000 টাকা ধার করেছিলেন।

ধরি, সাইকেল রিকশার গতিবেগ ঘণ্টায় $x$ কিমি।
$\therefore$ অটো রিকশার গতিবেগ ঘণ্টায় $(x + 8)$ কিমি।

সময়:
সাইকেল রিকশায় যায় $2$ ঘণ্টা। অতিক্রান্ত দূরত্ব $= 2x$ কিমি।
অটো রিকশায় যায় $30$ মিনিট বা $\frac{30}{60} = \frac{1}{2}$ ঘণ্টা। অতিক্রান্ত দূরত্ব $= \frac{1}{2}(x + 8)$ কিমি।

মোট দূরত্ব $19$ কিমি।
শর্তানুসারে,
$$ 2x + \frac{1}{2}(x + 8) = 19 $$
$$ \text{বা, } 2x + \frac{x}{2} + 4 = 19 $$
$$ \text{বা, } \frac{4x + x}{2} = 19 – 4 $$
$$ \text{বা, } \frac{5x}{2} = 15 $$
$$ \text{বা, } 5x = 30 $$
$$ \text{বা, } x = 6 $$

সাইকেল রিকশার গতিবেগ $6$ কিমি/ঘণ্টা।
অটো রিকশার গতিবেগ $= 6 + 8 = 14$ কিমি/ঘণ্টা।

উত্তর: অটো রিকশার গতিবেগ ছিল ঘণ্টায় 14 কিমি।

ধরি, মারিয়ার ছোট ভাইয়ের বর্তমান বয়স $x$ বছর।
$\therefore$ মারিয়ার বর্তমান বয়স $(x + 8)$ বছর।

$4$ বছর পরে:
ছোট ভাইয়ের বয়স হবে $(x + 4)$ বছর।
মারিয়ার বয়স হবে $(x + 8 + 4) = (x + 12)$ বছর।

শর্তানুসারে,
$$ x + 12 = 2(x + 4) $$
$$ \text{বা, } x + 12 = 2x + 8 $$
$$ \text{বা, } 12 – 8 = 2x – x $$
$$ \therefore x = 4 $$

ছোট ভাইয়ের বর্তমান বয়স $4$ বছর।
মারিয়ার বর্তমান বয়স $= 4 + 8 = 12$ বছর।

উত্তর: মারিয়ার বর্তমান বয়স 12 বছর এবং তার ভাইয়ের বর্তমান বয়স 4 বছর।