সপ্তম শ্রেণী গণিত: কষে দেখি – 4

(a) $(-10) \times 4 = \Box$
$= -40$

(b) $(-15) \times \Box = -90$
$\Box = (-90) \div (-15)$
$= 6$

(c) $25 \times \Box = -125$
$\Box = (-125) \div 25$
$= -5$

(d) $(-16) \times \Box = 96$
$\Box = 96 \div (-16)$
$= -6$

(e) $(-13) \times \Box = -104$
$\Box = (-104) \div (-13)$
$= 8$

(f) $\Box \times 21 = -126$
$\Box = (-126) \div 21$
$= -6$

(g) $\Box \times \Box = -42$
সম্ভাব্য উত্তর: $6 \times (-7)$ বা $(-6) \times 7$ ইত্যাদি।
$= 6 \times (-7)$ (একটি উদাহরণ)

(h) $\Box \times (-30) = 330$
$\Box = 330 \div (-30)$
$= -11$

(i) $-26 \div \Box = 1$
$\Box = -26 \div 1$
$= -26$

(j) $\Box \div 1 = -29$
$\Box = -29 \times 1$
$= -29$

(k) $\Box \div (-59) = -1$
$\Box = (-1) \times (-59)$
$= 59$

(l) $87 \div \Box = -87$
$\Box = 87 \div (-87)$
$= -1$

উত্তর: (a) $-40$, (b) $6$, (c) $-5$, (d) $-6$, (e) $8$, (f) $-6$, (g) $6, -7$, (h) $-11$, (i) $-26$, (j) $-29$, (k) $59$, (l) $-1$

সমাধান:
জোসেফ ঠিক উত্তর দিয়েছে $9$টি।
প্রতিটি ঠিক উত্তরের জন্য নম্বর পেয়েছে $5$।
$\therefore 9$টি ঠিক উত্তরের জন্য মোট নম্বর পেয়েছে $= 9 \times 5 = 45$।

কিন্তু সে মোট নম্বর পেয়েছে $33$।
ভুল উত্তরের জন্য নম্বর কমেছে $= 45 – 33 = 12$।
যেহেতু নম্বর কমেছে, তাই ভুল উত্তরের মোট নম্বর $= -12$।

সে ভুল উত্তর দিয়েছে $6$টি।
$\therefore 6$টি ভুল উত্তরের জন্য পেয়েছে $-12$ নম্বর।
$\therefore 1$টি ভুল উত্তরের জন্য পেয়েছে $= (-12) \div 6 = -2$।

উত্তর: প্রতিটি ভুল উত্তরের জন্য $-2$ নম্বর দেওয়া হয়েছে।

(i) রেহানার হিসাব:
রেহানা ঠিক উত্তর দিয়েছে $8$টি।
ঠিক উত্তরের জন্য প্রাপ্ত নম্বর $= 8 \times 6 = 48$।
রেহানার মোট প্রাপ্ত নম্বর $= 36$।
ভুল উত্তরের জন্য নম্বর কমেছে $= 48 – 36 = 12$।
অর্থাৎ, ভুল উত্তরের জন্য মোট নম্বর $= -12$।
ভুল প্রশ্নের সংখ্যা $= 4$টি।
$\therefore$ প্রতিটি ভুল উত্তরের জন্য নম্বর $= (-12) \div 4 = -3$।

(ii) সায়নের হিসাব:
সায়ন ঠিক উত্তর দিয়েছে $6$টি এবং ভুল উত্তর দিয়েছে $6$টি।
ঠিক উত্তরের জন্য নম্বর $= 6 \times 6 = 36$।
ভুল উত্তরের জন্য নম্বর (প্রতিটি $-3$ করে) $= 6 \times (-3) = -18$।
$\therefore$ সায়নের মোট নম্বর $= 36 + (-18) = 36 – 18 = 18$।

উত্তর: (i) প্রতিটি ভুল উত্তরের জন্য $-3$ নম্বর দেওয়া হয়েছে। (ii) সায়ন মোট $18$ নম্বর পেয়েছে।

সমাধান:
প্রাথমিক তাপমাত্রা $= 12^\circ C$।
$8$ ঘণ্টা পর চূড়ান্ত তাপমাত্রা $= -4^\circ C$।
তাপমাত্রার মোট পরিবর্তন (হ্রাস) $= 12^\circ C – (-4^\circ C) = 12^\circ C + 4^\circ C = 16^\circ C$।

সময় লেগেছে $= 8$ ঘণ্টা।
$\therefore$ প্রতি ঘণ্টায় তাপমাত্রা কমেছে $= 16^\circ C \div 8 = 2^\circ C$।

উত্তর: প্রতি ঘণ্টায় $2^\circ C$ তাপমাত্রা কমেছে।

১ম অংশ:
লিফটটি $8$ মিনিটে নামে $24$ মিটার।
$\therefore 1$ মিনিটে নামে $= \frac{24}{8} = 3$ মিটার।
$\therefore 6$ মিনিটে নামবে $= 6 \times 3 = 18$ মিটার।
অর্থাৎ, লিফটটি $18$ মিটার নীচে থাকবে।

২য় অংশ:
লিফটের গতিবেগ $= 3$ মিটার/মিনিট।
$70$ মিনিটে লিফটটি মোট দূরত্ব অতিক্রম করবে $= 70 \times 3 = 210$ মিটার।

যেহেতু লিফটটি ভূমির $10$ মিটার উপর থেকে যাত্রা শুরু করেছে:
মাটির নীচে পৌঁছানোর আগে এটি $10$ মিটার অতিক্রম করবে।
$\therefore$ মাটির নীচে লিফটের অবস্থান হবে $= 210 – 10 = 200$ মিটার।

উত্তর: ৬ মিনিটে ১৮ মিটার নীচে থাকবে এবং ৭০ মিনিট পর ভূমির ২০০ মিটার নীচে থাকবে।

(i) $-16 \div (-2) + \Box = -1$
সমাধান:
$-16 \div (-2) = 8$
বা, $8 + \Box = -1$
বা, $\Box = -1 – 8$
বা, $\Box = -9$

(ii) $20 – 50 + \Box = -1$
সমাধান:
$20 – 50 = -30$
বা, $-30 + \Box = -1$
বা, $\Box = -1 + 30$
বা, $\Box = 29$

(iii) $41 \times (-5) + \Box = -3$
সমাধান:
$41 \times (-5) = -205$
বা, $-205 + \Box = -3$
বা, $\Box = -3 + 205$
বা, $\Box = 202$

(iv) $(-9) \times (-3) \times \Box = -81$
সমাধান:
$(-9) \times (-3) = 27$
বা, $27 \times \Box = -81$
বা, $\Box = -81 \div 27$
বা, $\Box = -3$

(v) $(-15) \div (-5) – \Box = -1$
সমাধান:
$(-15) \div (-5) = 3$
বা, $3 – \Box = -1$
বা, $-\Box = -1 – 3$
বা, $-\Box = -4$
বা, $\Box = 4$

(vi) $(-18) \div \Box + 3 = -6$
সমাধান:
বা, $(-18) \div \Box = -6 – 3$
বা, $(-18) \div \Box = -9$
বা, $\Box = (-18) \div (-9)$
বা, $\Box = 2$

(vii) $\Box \div 4 – 2 = -7$
সমাধান:
বা, $\Box \div 4 = -7 + 2$
বা, $\Box \div 4 = -5$
বা, $\Box = -5 \times 4$
বা, $\Box = -20$

(viii) $\Box \times (-1) + 9 = 0$
সমাধান:
বা, $\Box \times (-1) = 0 – 9$
বা, $\Box \times (-1) = -9$
বা, $\Box = -9 \div (-1)$
বা, $\Box = 9$

উত্তর: (i) $-9$, (ii) $29$, (iii) $202$, (iv) $-3$, (v) $4$, (vi) $2$, (vii) $-20$, (viii) $9$

উদাহরণ ১:
ধরি, দুটি পূর্ণসংখ্যা $6$ ও $-3$।
গুণের ক্ষেত্রে: $6 \times (-3) = -18$ এবং $(-3) \times 6 = -18$।
$\therefore 6 \times (-3) = (-3) \times 6$। (বিনিময় নিয়ম মানছে)
ভাগের ক্ষেত্রে: $6 \div (-3) = -2$।
কিন্তু, $(-3) \div 6 = -\frac{1}{2}$ (যা পূর্ণসংখ্যা নয় এবং সমান নয়)।
$\therefore 6 \div (-3) \neq (-3) \div 6$।

উদাহরণ ২:
ধরি, দুটি পূর্ণসংখ্যা $10$ ও $2$।
গুণের ক্ষেত্রে: $10 \times 2 = 20$ এবং $2 \times 10 = 20$।
$\therefore 10 \times 2 = 2 \times 10$।
ভাগের ক্ষেত্রে: $10 \div 2 = 5$।
কিন্তু, $2 \div 10 = \frac{1}{5}$।
$\therefore 10 \div 2 \neq 2 \div 10$।

সিদ্ধান্ত: পূর্ণসংখ্যার গুণ বিনিময় নিয়ম মেনে চলে, কিন্তু ভাগ মেনে চলে না।

উদাহরণ ১:
ধরি, সংখ্যাগুলি $10, 2, 5$।
গুণের ক্ষেত্রে (বামপক্ষ): $10 \times (2 + 5) = 10 \times 7 = 70$।
গুণের ক্ষেত্রে (ডানপক্ষ): $(10 \times 2) + (10 \times 5) = 20 + 50 = 70$।
$\therefore$ গুণ বিচ্ছেদ নিয়ম মেনে চলে।

ভাগের ক্ষেত্রে (বামপক্ষ): $20 \div (2 + 2) = 20 \div 4 = 5$।
ভাগের ক্ষেত্রে (ডানপক্ষ): $(20 \div 2) + (20 \div 2) = 10 + 10 = 20$।
$\therefore 5 \neq 20$, অর্থাৎ ভাগ বিচ্ছেদ নিয়ম মেনে চলে না।

উদাহরণ ২:
ধরি, সংখ্যাগুলি $12, 4, 2$।
গুণের ক্ষেত্রে: $12 \times (4 + 2) = 12 \times 6 = 72$।
আবার, $(12 \times 4) + (12 \times 2) = 48 + 24 = 72$।
$\therefore$ গুণ বিচ্ছেদ নিয়ম মেনে চলে।

ভাগের ক্ষেত্রে: $12 \div (4 + 2) = 12 \div 6 = 2$।
কিন্তু, $(12 \div 4) + (12 \div 2) = 3 + 6 = 9$।
$\therefore 2 \neq 9$, অর্থাৎ ভাগ বিচ্ছেদ নিয়ম মেনে চলে না।

সিদ্ধান্ত: পূর্ণসংখ্যার গুণ বিচ্ছেদ নিয়ম মেনে চলে, কিন্তু ভাগ সর্বদা মেনে চলে না।

(i) $(-125) \div 5$
$= -25$

(ii) $(-144) \div 6$
$= -24$

(iii) $(-49) \div 7$
$= -7$

(iv) $225 \div (-3)$
$= -75$

(v) $169 \div (-13)$
$= -13$

(vi) $100 \div (-5)$
$= -20$

(vii) $(-81) \div (-9)$
$= 9$ (ঋণাত্মক $\div$ ঋণাত্মক = ধনাত্মক)

(viii) $(-150) \div (-5)$
$= 30$

(ix) $(-121) \div (-11)$
$= 11$

(x) $(-275) \div (-25)$
$= 11$

উত্তর: (i) $-25$, (ii) $-24$, (iii) $-7$, (iv) $-75$, (v) $-13$, (vi) $-20$, (vii) $9$, (viii) $30$, (ix) $11$, (x) $11$