সপ্তম শ্রেণী গণিত: নিজে করি -1.2
নিজে করি – 1.2 : ঐকিক নিয়ম
1) একটি চাকা $55$ বার ঘুরে $77$ মিটার পথ যায়। তবে $98$ মিটার পথ যেতে ওই চাকা কতবার ঘুরবে হিসাব করি।
সমাধান:
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো:
দূরত্ব (মিটার) : $77$ $\rightarrow$ চাকার ঘূর্ণন সংখ্যা : $55$
দূরত্ব (মিটার) : $98$ $\rightarrow$ চাকার ঘূর্ণন সংখ্যা : $?$ ($x$)
দূরত্ব বাড়লে চাকা বেশিবার ঘুরবে, তাই দূরত্বের সাথে ঘূর্ণন সংখ্যার সরল সম্পর্ক।
সমানুপাতটি হলো:
$77 : 98 :: 55 : x$
নির্ণেয় ঘূর্ণন সংখ্যা ($x$):
$x = \frac{98 \times 55}{77}$
$x = \frac{98 \times 5}{7}$ ($11$ দিয়ে $55$ ও $77$ কে ভাগ করে)
$x = 14 \times 5$ ($7$ দিয়ে $98$ কে ভাগ করে)
$x = 70$
উত্তর: $98$ মিটার পথ যেতে ওই চাকা $70$ বার ঘুরবে।
2) দীপ্তার্ক প্রত্যেক সপ্তাহে একদিন সাঁতার শিখতে যায়। $364$ দিনে সে মোট কতদিন সাঁতার শিখতে যায় হিসাব করি।
সমাধান:
আমরা জানি, $1$ সপ্তাহ $= 7$ দিন।
$7$ দিনে সাঁতার শিখতে যায় $= 1$ দিন।
$1$ দিনে সাঁতার শিখতে যায় $= \frac{1}{7}$ দিন।
$\therefore 364$ দিনে সাঁতার শিখতে যায় $= \frac{1}{7} \times 364$ দিন।
কাটাকাটি করে পাই:
$= 52$ দিন।
উত্তর: সে মোট $52$ দিন সাঁতার শিখতে যায়।
3) কবিতার $120$ টি কাগজের প্রয়োজন। প্রত্যেক দিস্তায় $24$ টি কাগজ আছে। কবিতা কত দিস্তা কাগজ কিনবে হিসাব করি।
সমাধান:
$24$ টি কাগজ $= 1$ দিস্তা।
$1$ টি কাগজ $= \frac{1}{24}$ দিস্তা।
$\therefore 120$ টি কাগজ $= \frac{1}{24} \times 120$ দিস্তা।
কাটাকাটি করে পাই:
$= 5$ দিস্তা।
উত্তর: কবিতা $5$ দিস্তা কাগজ কিনবে।
4) এক ডজন ডিমের দাম $48$ টাকা হলে, $32$ টি ডিমের দাম কত হবে হিসাব করে দেখি।
সমাধান:
আমরা জানি, $1$ ডজন $= 12$ টি।
$12$ টি ডিমের দাম $= 48$ টাকা।
$1$ টি ডিমের দাম $= \frac{48}{12} = 4$ টাকা।
$\therefore 32$ টি ডিমের দাম $= 4 \times 32$ টাকা।
$= 128$ টাকা।
উত্তর: $32$ টি ডিমের দাম $128$ টাকা হবে।
5) প্রতিদিন $5$ ঘণ্টা কাজ করলে $30$ দিনে একটি কাজ শেষ করা যায়। প্রতিদিন $6$ ঘণ্টা কাজ করলে কত দিনে সেই কাজ শেষ করা যাবে হিসাব করি।
সমাধান:
দৈনিক কাজের সময় বাড়লে দিন সংখ্যা কমবে, তাই এটি ব্যস্ত সম্পর্ক।
প্রতিদিন $5$ ঘণ্টা কাজ করলে লাগে $= 30$ দিন।
প্রতিদিন $1$ ঘণ্টা কাজ করলে লাগে $= 30 \times 5$ দিন।
$\therefore$ প্রতিদিন $6$ ঘণ্টা কাজ করলে লাগবে $= \frac{30 \times 5}{6}$ দিন।
$= 5 \times 5$ দিন ($6$ দিয়ে $30$ কে ভাগ করে)
$= 25$ দিন।
উত্তর: $25$ দিনে সেই কাজ শেষ করা যাবে।
6) কোনো সম্পত্তির মোট পরিমাণের $\frac{5}{7}$ অংশের মূল্য $2825$ টাকা। ওই সম্পত্তির মোট পরিমাণের $\frac{2}{7}$ অংশের মূল্য কত টাকা হিসাব করি।
সমাধান:
সম্পত্তির $\frac{5}{7}$ অংশের মূল্য $= 2825$ টাকা।
$\therefore 1$ বা সম্পূর্ণ অংশের মূল্য $= 2825 \times \frac{7}{5}$ টাকা।
$\therefore$ সম্পত্তির $\frac{2}{7}$ অংশের মূল্য $= 2825 \times \frac{7}{5} \times \frac{2}{7}$ টাকা।
$= 2825 \times \frac{2}{5}$ টাকা ($7$ ও $7$ কেটে গেল)
$= 565 \times 2$ টাকা ($5$ দিয়ে $2825$ কে ভাগ করে)
$= 1130$ টাকা।
উত্তর: ওই সম্পত্তির $\frac{2}{7}$ অংশের মূল্য $1130$ টাকা।
7) একটি শিবিরে $48$ জন সৈন্যের $7$ সপ্তাহের খাবার মজুত আছে। যদি ওই দলে আরও $8$ জন সৈন্য যোগ দেয়, তবে ওই পরিমাণ খাবারে কত সপ্তাহ চলবে হিসাব করি।
সমাধান:
বর্তমান সৈন্য সংখ্যা $= 48 + 8 = 56$ জন।
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো:
সৈন্য সংখ্যা : $48$ $\rightarrow$ সময় (সপ্তাহ) : $7$
সৈন্য সংখ্যা : $56$ $\rightarrow$ সময় (সপ্তাহ) : $?$ ($x$)
সৈন্য সংখ্যা বাড়লে খাবার কম দিন চলবে, তাই এটি ব্যস্ত সম্পর্ক।
$48$ জন সৈন্যের চলে $= 7$ সপ্তাহ।
$1$ জন সৈন্যের চলে $= 7 \times 48$ সপ্তাহ।
$\therefore 56$ জন সৈন্যের চলবে $= \frac{7 \times 48}{56}$ সপ্তাহ।
$= \frac{48}{8}$ ($7$ দিয়ে $56$ কে ভাগ করে)
$= 6$ সপ্তাহ।
উত্তর: ওই পরিমাণ খাবারে $6$ সপ্তাহ চলবে।
8) একটি জাহাজে $50$ জন নাবিকের $16$ দিনের খাবার মজুত আছে। $10$ দিন পরে আরও $10$ জন নাবিক তাদের সঙ্গে যোগ দিলেন। বাকি খাবারে সকলের আর কত দিন চলবে হিসাব করে দেখি।
সমাধান:
$10$ দিন পর, $50$ জন নাবিকের জন্য খাবার মজুত আছে $= (16 – 10) = 6$ দিনের।
নতুন নাবিক সংখ্যা $= 50 + 10 = 60$ জন।
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো:
নাবিক সংখ্যা : $50$ $\rightarrow$ দিন সংখ্যা : $6$
নাবিক সংখ্যা : $60$ $\rightarrow$ দিন সংখ্যা : $?$ ($x$)
নাবিক বাড়লে খাবার কম দিন চলবে (ব্যস্ত সম্পর্ক)।
$50$ জনের চলে $= 6$ দিন।
$1$ জনের চলে $= 6 \times 50$ দিন।
$\therefore 60$ জনের চলবে $= \frac{6 \times 50}{60}$ দিন।
$= \frac{300}{60}$ দিন
$= 5$ দিন।
উত্তর: বাকি খাবারে সকলের আর $5$ দিন চলবে।
9) $20$ জন লোক ঠিক করল $30$ দিনে তারা একটা বাড়ি সারানোর কাজ সম্পূর্ণ করবে। কিন্তু $6$ দিন পরে তাদের মধ্যে $8$ জন লোক অসুস্থ হয়ে পড়ল। হিসাব করে দেখি কত দিনে তারা বাড়ি সারানোর কাজ শেষ করবে।
সমাধান:
$6$ দিন পর, $20$ জন লোকের জন্য কাজ বাকি আছে $= (30 – 6) = 24$ দিনের।
বর্তমানে লোকসংখ্যা $= 20 – 8 = 12$ জন।
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো:
লোকসংখ্যা : $20$ $\rightarrow$ সময় (দিন) : $24$
লোকসংখ্যা : $12$ $\rightarrow$ সময় (দিন) : $?$ ($x$)
লোকসংখ্যা কমলে সময় বেশি লাগবে (ব্যস্ত সম্পর্ক)।
$20$ জন লোক কাজটি করে $= 24$ দিনে।
$1$ জন লোক কাজটি করে $= 24 \times 20$ দিনে।
$\therefore 12$ জন লোক কাজটি করবে $= \frac{24 \times 20}{12}$ দিনে।
$= 2 \times 20$ দিনে ($12$ দিয়ে $24$ কে ভাগ করে)
$= 40$ দিনে।
অর্থাৎ বাকি কাজ শেষ করতে ৪০ দিন সময় লাগবে।
উত্তর: তারা বাকি কাজটি $40$ দিনে শেষ করবে। (মোট সময়: $6+40=46$ দিন)
10) $25$ জন কৃষক $12$ দিনে $15$ বিঘা জমি চাষ করেন। তাহলে $30$ জন কৃষক $16$ দিনে কত বিঘা জমি চাষ করবেন হিসাব করে দেখি।
সমাধান:
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো:
কৃষক (জন) : $25$ $\rightarrow$ সময় (দিন) : $12$ $\rightarrow$ জমি (বিঘা) : $15$
কৃষক (জন) : $30$ $\rightarrow$ সময় (দিন) : $16$ $\rightarrow$ জমি (বিঘা) : $?$ ($x$)
১. কৃষকের সাথে জমির পরিমাণের সরল সম্পর্ক (কৃষক বাড়লে বেশি জমি চাষ হবে)।
২. সময়ের সাথে জমির পরিমাণের সরল সম্পর্ক (সময় বাড়লে বেশি জমি চাষ হবে)।
ঐকিক নিয়মে পাই:
$25$ জন কৃষক $12$ দিনে চাষ করে $= 15$ বিঘা।
$1$ জন কৃষক $12$ দিনে চাষ করে $= \frac{15}{25}$ বিঘা।
$1$ জন কৃষক $1$ দিনে চাষ করে $= \frac{15}{25 \times 12}$ বিঘা।
$30$ জন কৃষক $1$ দিনে চাষ করে $= \frac{15 \times 30}{25 \times 12}$ বিঘা।
$30$ জন কৃষক $16$ দিনে চাষ করে $= \frac{15 \times 30 \times 16}{25 \times 12}$ বিঘা।
কাটাকাটি করে পাই:
$= \frac{3 \times 30 \times 16}{5 \times 12}$ ($5$ দিয়ে $15$ ও $25$ কে ভাগ করে)
$= \frac{3 \times 6 \times 16}{12}$ ($5$ দিয়ে $30$ কে ভাগ করে)
$= \frac{18 \times 16}{12}$
$= \frac{3 \times 16}{2}$ ($6$ দিয়ে $18$ ও $12$ কে ভাগ করে)
$= 3 \times 8$
$= 24$ বিঘা।
উত্তর: $30$ জন কৃষক $16$ দিনে $24$ বিঘা জমি চাষ করবেন।
শেয়ার