সমাধান:

দেওয়া আছে,

সামান্তরিকের ভূমি ($\mathbf{b}$) = 5 সেমি.

সামান্তরিকের উচ্চতা ($\mathbf{h}$) = 4 সেমি.

আমরা জানি, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রটি হলো: ক্ষেত্রফল = ভূমি $\mathbf{\times}$ উচ্চতা

সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

= $b \times h$ বর্গ সেমি.

= $\mathbf{5 \times 4}$ বর্গ সেমি.

= $\mathbf{20}$ বর্গ সেমি.

উত্তর: সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হলো 20 বর্গ সেমি.।

সমাধান:

ধরি, সামান্তরিকের উচ্চতা ($\mathbf{h}$) = $\mathbf{x}$ সেমি.

প্রশ্নানুসারে, সামান্তরিকের ভূমি ($\mathbf{b}$) = উচ্চতার দ্বিগুণ = $\mathbf{2x}$ সেমি.

সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = **98** বর্গ সেমি.

আমরা জানি, ক্ষেত্রফল = ভূমি $\mathbf{\times}$ উচ্চতা

সুতরাং, $\mathbf{2x \times x = 98}$

$\mathbf{2x^2 = 98}$

$x^2 = \frac{98}{2} = \mathbf{49}$

$x = \sqrt{49} = \mathbf{7}$

অতএব,

উচ্চতা ($\mathbf{x}$) = 7 সেমি.

ভূমি ($\mathbf{2x}$) = $2 \times 7 = \mathbf{14}$ সেমি.

উত্তর: সামান্তরিকটির উচ্চতা 7 সেমি. এবং ভূমি 14 সেমি.।

সমাধান:

ধরি, সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য $\mathbf{a = 15}$ মিটার, $\mathbf{b = 13}$ মিটার।

কর্ণের দৈর্ঘ্য ($\mathbf{c}$) = $\mathbf{14}$ মিটার।

কর্ণটি সামান্তরিকটিকে দুটি সর্বসম ত্রিভুজে বিভক্ত করে। প্রথমে যেকোনো একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হেরনের সূত্রের সাহায্যে নির্ণয় করি।

ত্রিভুজের অর্ধ-পরিসীমা ($\mathbf{s}$) = $\frac{a+b+c}{2} = \frac{15+13+14}{2} = \frac{42}{2} = \mathbf{21}$ মিটার।

হেরনের সূত্র অনুযায়ী, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল:

ক্ষেত্রফল = $\mathbf{\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

= $\sqrt{21(21-15)(21-13)(21-14)}$ বর্গ মিটার

= $\sqrt{21 \times 6 \times 8 \times 7}$ বর্গ মিটার

= $\sqrt{(3 \times 7) \times (2 \times 3) \times (2 \times 4) \times 7}$ বর্গ মিটার

= $\sqrt{\mathbf{4 \times 9 \times 49 \times 4}}$ বর্গ মিটার (উৎপাদকগুলিকে সাজিয়ে)

= $\mathbf{2 \times 3 \times 7 \times 2}$ বর্গ মিটার

= $\mathbf{84}$ বর্গ মিটার

সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $\mathbf{2 \times}$ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

= $2 \times 84 = \mathbf{168}$ বর্গ মিটার

উত্তর: সামান্তরিক আকারের জমির ক্ষেত্রফল হলো 168 বর্গ মিটার।

সমাধান:

প্রথমে সমস্যা 3-এর মতো হেরনের সূত্রের সাহায্যে সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি।

ত্রিভুজের বাহুগুলি: $\mathbf{a=25}$ সেমি., $\mathbf{b=15}$ সেমি., $\mathbf{c=20}$ সেমি.

ত্রিভুজের অর্ধ-পরিসীমা ($\mathbf{s}$) = $\frac{25+15+20}{2} = \frac{60}{2} = \mathbf{30}$ সেমি.

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

= $\sqrt{30(30-25)(30-15)(30-20)}$ বর্গ সেমি.

= $\sqrt{30 \times 5 \times 15 \times 10}$ বর্গ সেমি.

= $\sqrt{(3 \times 10) \times 5 \times (3 \times 5) \times 10}$ বর্গ সেমি.

= $\mathbf{3 \times 5 \times 10}$ বর্গ সেমি. (জোড়া উৎপাদকগুলি থেকে)

= $\mathbf{150}$ বর্গ সেমি.

সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = $2 \times 150 = \mathbf{300}$ বর্গ সেমি.

এখন, আমরা জানি, ক্ষেত্রফল = ভূমি $\mathbf{\times}$ উচ্চতা।

এখানে ভূমি ($\mathbf{b}$) = $\mathbf{25}$ সেমি. এবং উচ্চতা ($\mathbf{h}$) নির্ণয় করতে হবে।

সুতরাং, $25 \times h = 300$

$h = \frac{300}{25} = \mathbf{12}$ সেমি.

উত্তর: 25 সেমি. বাহুর উপর সামান্তরিকের উচ্চতার পরিমাপ হলো 12 সেমি.।

সমাধান:

সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য যেকোনো একটি ভূমি ও তার সংশ্লিষ্ট উচ্চতা ব্যবহার করা যায়।

প্রথম ক্ষেত্র (ক্ষুদ্রতর বাহুকে ভূমি ধরে):

ভূমি ($\mathbf{b_1}$) = **12** সেমি. (ক্ষুদ্রতর বাহু)

উচ্চতা ($\mathbf{h_1}$) = **7.5** সেমি. (ক্ষুদ্রতর বাহুদ্বয়ের দূরত্ব)

ক্ষেত্রফল ($\mathbf{A}$) = $b_1 \times h_1 = 12 \times 7.5 = \mathbf{90}$ বর্গ সেমি.

দ্বিতীয় ক্ষেত্র (বৃহত্তর বাহুকে ভূমি ধরে):

ভূমি ($\mathbf{b_2}$) = **15** সেমি. (বৃহত্তর বাহু)

উচ্চতা ($\mathbf{h_2}$) = নির্ণয় করতে হবে। (বৃহত্তর বাহুদ্বয়ের দূরত্ব)

আমরা জানি, $\mathbf{b_2 \times h_2 = A}$

$15 \times h_2 = 90$

$h_2 = \frac{90}{15} = \mathbf{6}$ সেমি.

উত্তর: বৃহত্তর বাহু দুটির দূরত্ব হলো 6 সেমি.।

সমাধান:

দেওয়া আছে,

প্রথম কর্ণ ($\mathbf{d_1}$) = 20 মিটার

দ্বিতীয় কর্ণ ($\mathbf{d_2}$) = 15 মিটার

(i) ক্ষেত্রফল নির্ণয়

রম্বসের ক্ষেত্রফল = $\mathbf{\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2}$

ক্ষেত্রফল = $\mathbf{\frac{1}{2} \times 20 \times 15}$ বর্গ মিটার

= $\mathbf{10 \times 15 = 150}$ বর্গ মিটার

(ii) পরিসীমা নির্ণয়

রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে। কর্ণদ্বয়ের অর্ধ-দৈর্ঘ্য: $\frac{20}{2} = 10$ মিটার এবং $\frac{15}{2} = 7.5$ মিটার।

রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য ($\mathbf{a}$) একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ:

$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = 10^2 + 7.5^2$

$a^2 = 100 + 56.25 = \mathbf{156.25}$

$a = \sqrt{156.25} = \mathbf{12.5}$ মিটার

রম্বসের পরিসীমা = $\mathbf{4 \times a = 4 \times 12.5 = 50}$ মিটার

(iii) উচ্চতা নির্ণয়

আমরা জানি, রম্বসের ক্ষেত্রফল = বাহুর দৈর্ঘ্য $\mathbf{\times}$ উচ্চতা ($\mathbf{h}$)

$12.5 \times h = 150$

$h = \frac{150}{12.5} = \frac{1500}{125} = \mathbf{12}$ মিটার

উত্তর: রম্বসটির পরিসীমা **50 মিটার**, ক্ষেত্রফল **150 বর্গ মিটার** এবং উচ্চতা **12 মিটার**।

সমাধান:

দেওয়া আছে,

রম্বসের পরিসীমা = 440 মিটার

রম্বসের উচ্চতা ($\mathbf{h}$) = সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব = 22 মিটার

প্রথমে রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি। রম্বসের পরিসীমা = $\mathbf{4 \times}$ বাহুর দৈর্ঘ্য ($\mathbf{a}$)

$4 \times a = 440$

$a = \frac{440}{4} = \mathbf{110}$ মিটার

আমরা জানি, রম্বসের ক্ষেত্রফল = বাহুর দৈর্ঘ্য $\mathbf{\times}$ উচ্চতা

ক্ষেত্রফল = $110 \times 22$ বর্গ মিটার

= $\mathbf{2420}$ বর্গ মিটার

উত্তর: রম্বস আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হলো **2420 বর্গ মিটার**।

সমাধান:

দেওয়া আছে,

রম্বসের পরিসীমা = 20 সেমি.

প্রথম কর্ণ ($\mathbf{d_1}$) = 6 সেমি.

প্রথমে রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য ($\mathbf{a}$) নির্ণয় করি:

$a = \frac{পরিসীমা}{4} = \frac{20}{4} = \mathbf{5}$ সেমি.

রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

প্রথম কর্ণের অর্ধ-দৈর্ঘ্য: $\frac{d_1}{2} = \frac{6}{2} = \mathbf{3}$ সেমি.

ধরি, দ্বিতীয় কর্ণের অর্ধ-দৈর্ঘ্য $\mathbf{x}$। পিথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী:

$x^2 + 3^2 = 5^2$

$x^2 + 9 = 25$

$x^2 = 25 – 9 = 16$

$x = \sqrt{16} = \mathbf{4}$ সেমি.

দ্বিতীয় কর্ণের দৈর্ঘ্য ($\mathbf{d_2}$) = $2x = 2 \times 4 = \mathbf{8}$ সেমি.

রম্বসের ক্ষেত্রফল = $\mathbf{\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2}$

ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times 6 \times 8$ বর্গ সেমি.

= $\mathbf{3 \times 8 = 24}$ বর্গ সেমি.

উত্তর: রম্বসের ক্ষেত্রফল হলো **24 বর্গ সেমি.**।

সমাধান:

দেওয়া আছে,

ক্ষেত্রফল ($\mathbf{A}$) = 1400 বর্গ ডেকামিটার

উচ্চতা ($\mathbf{h}$) = 20 ডেকামিটার

সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের অনুপাত = 3:4

ধরি, সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $\mathbf{3x}$ ডেকামিটার এবং $\mathbf{4x}$ ডেকামিটার।

আমরা জানি, ট্র্যাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = $\mathbf{\frac{1}{2} \times}$ (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি) $\mathbf{\times}$ উচ্চতা

সুতরাং, $\mathbf{\frac{1}{2} \times (3x + 4x) \times 20 = 1400}$

$\frac{1}{2} \times 7x \times 20 = 1400$

$\mathbf{7x \times 10 = 1400}$

$70x = 1400$

$x = \frac{1400}{70} = \mathbf{20}$

অতএব, সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য:

প্রথম বাহু ($\mathbf{3x}$) = $3 \times 20 = \mathbf{60}$ ডেকামিটার

দ্বিতীয় বাহু ($\mathbf{4x}$) = $4 \times 20 = \mathbf{80}$ ডেকামিটার

উত্তর: সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য হলো **60 ডেকামিটার** এবং **80 ডেকামিটার**।

সমাধান:

দেওয়া আছে, সুষম ষড়ভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ($\mathbf{a}$) = 8 সেমি.

সংকেত অনুযায়ী, সুষম ষড়ভুজকে তার কর্ণগুলি দ্বারা বিভক্ত করলে ছয়টি সর্বসম সমবাহু ত্রিভুজ পাওয়া যায়, যাদের প্রত্যেকের বাহুর দৈর্ঘ্য 8 সেমি.

আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র: ক্ষেত্রফল = $\mathbf{\frac{\sqrt{3}}{4} \times (বাহুর দৈর্ঘ্য)^2}$

একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\mathbf{\frac{\sqrt{3}}{4} \times 8^2}$ বর্গ সেমি.

= $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 64$ বর্গ সেমি.

= $\mathbf{16\sqrt{3}}$ বর্গ সেমি.

সুষম ষড়ভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $\mathbf{6 \times}$ একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

= $6 \times 16\sqrt{3}$ বর্গ সেমি.

= $\mathbf{96\sqrt{3}}$ বর্গ সেমি.

(যদি $\sqrt{3} \approx 1.732$ ধরা হয়, তবে ক্ষেত্রফল $\approx 96 \times 1.732 \approx 166.272$ বর্গ সেমি.)

উত্তর: সুষম ষড়ভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হলো **$96\sqrt{3}$ বর্গ সেমি.**।

সমাধান:

চতুর্ভুজটিকে দুটি ত্রিভুজে ভাগ করা যায়: $\mathbf{\triangle ABC}$ এবং $\mathbf{\triangle ADC}$।

দেওয়া আছে $\angle ABC = 90^\circ$, তাই $\mathbf{\triangle ABC}$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

(i) $\mathbf{\triangle ABC}$ এর ক্ষেত্রফল নির্ণয়

AB = 5 মিটার (ভূমি), BC = 12 মিটার (উচ্চতা)।

ক্ষেত্রফল = $\mathbf{\frac{1}{2} \times}$ ভূমি $\mathbf{\times}$ উচ্চতা

$\mathbf{\triangle ABC}$ এর ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times 5 \times 12 = \mathbf{30}$ বর্গ মিটার

(ii) $\mathbf{\triangle ADC}$ এর ক্ষেত্রফল নির্ণয়

এই ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য কর্ণ $\mathbf{AC}$ এর দৈর্ঘ্য প্রয়োজন। $\triangle ABC$ এ পিথাগোরাসের সূত্র প্রয়োগ করে:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$

$AC = \sqrt{169} = \mathbf{13}$ মিটার

এখন, $\mathbf{\triangle ADC}$ এর বাহুগুলি: $AC=13$ মিটার, $CD=14$ মিটার, $DA=15$ মিটার।

অর্ধ-পরিসীমা ($\mathbf{s}$) = $\frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = \mathbf{21}$ মিটার।

হেরনের সূত্র অনুযায়ী $\mathbf{\triangle ADC}$ এর ক্ষেত্রফল:

ক্ষেত্রফল = $\mathbf{\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}}$

= $\sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6}$ বর্গ মিটার

= $\sqrt{(3 \times 7) \times (4 \times 2) \times 7 \times (2 \times 3)}$ বর্গ মিটার

= $\mathbf{3 \times 7 \times 4}$ বর্গ মিটার (উৎপাদকগুলি থেকে)

= $\mathbf{84}$ বর্গ মিটার

(iii) $\mathbf{ABCD}$ চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল

মোট ক্ষেত্রফল = $\triangle ABC$ এর ক্ষেত্রফল + $\triangle ADC$ এর ক্ষেত্রফল

= $30 + 84 = \mathbf{114}$ বর্গ মিটার

উত্তর: $\mathbf{ABCD}$ চতুর্ভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হলো **114 বর্গ মিটার**।

সমাধান:

ট্র্যাপিজিয়াম $\mathbf{ABCD}$ কর্ণ $\mathbf{BD}$ দ্বারা $\mathbf{\triangle ABD}$ এবং $\mathbf{\triangle CBD}$ এই দুটি ত্রিভুজে বিভক্ত হয়েছে।

দেওয়া আছে, BD কর্ণের দৈর্ঘ্য ($\mathbf{b}$) = 11 সেমি.

A বিন্দু থেকে BD-এর উপর লম্ব ($\mathbf{h_1}$) = 5 সেমি.

C বিন্দু থেকে BD-এর উপর লম্ব ($\mathbf{h_2}$) = 11 সেমি.

আমরা জানি, ট্র্যাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = $\mathbf{\triangle ABD}$ এর ক্ষেত্রফল + $\mathbf{\triangle CBD}$ এর ক্ষেত্রফল

এখানে দুটি ত্রিভুজেরই ভূমি হলো BD = 11 সেমি।

$\mathbf{\triangle ABD}$ এর ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times$ ভূমি $\times$ উচ্চতা $= \frac{1}{2} \times 11 \times 5 = \mathbf{27.5}$ বর্গ সেমি.

$\mathbf{\triangle CBD}$ এর ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times$ ভূমি $\times$ উচ্চতা $= \frac{1}{2} \times 11 \times 11 = \frac{121}{2} = \mathbf{60.5}$ বর্গ সেমি.

ক্ষেত্রফলকে একবারে এইভাবেও লেখা যায়:

$\mathbf{ABCD}$ এর ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times BD \times (h_1 + h_2)$

= $\frac{1}{2} \times 11 \times (5 + 11)$ বর্গ সেমি.

= $\frac{1}{2} \times 11 \times 16$ বর্গ সেমি.

= $\mathbf{11 \times 8 = 88}$ বর্গ সেমি.

উত্তর: ট্র্যাপিজিয়াম আকার ক্ষেত্র $\mathbf{ABCD}$–এর ক্ষেত্রফল হলো **88 বর্গ সেমি.**।

সমাধান:

পঞ্চভুজ $\mathbf{ABCDE}$ দুটি অংশে বিভক্ত: $\mathbf{ABCD}$ ট্র্যাপিজিয়াম এবং $\mathbf{\triangle ADE}$।

দেওয়া আছে, $\mathbf{BC}$ || $\mathbf{AD}$ এবং $\mathbf{EP} \perp \mathbf{BC}$। $\mathbf{EP}$ রেখাটি $\mathbf{BC}$ এবং $\mathbf{AD}$ এর মধ্যেকার দূরত্ব নির্ণয়ে সাহায্য করবে।

প্রথমে $\mathbf{PQ}$ এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

$\mathbf{PE} = 9$ সেমি.

$PQ = \frac{4}{9} \times PE = \frac{4}{9} \times 9 = \mathbf{4}$ সেমি.

এখন, $\mathbf{ABCD}$ ট্র্যাপিজিয়ামের উচ্চতা ($\mathbf{h_1}$) = $\mathbf{PQ}$ = **4** সেমি.

ট্র্যাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়: $\mathbf{BC} = 7$ সেমি. এবং $\mathbf{AD} = 13$ সেমি.

(i) $\mathbf{ABCD}$ ট্র্যাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল

ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times (BC + AD) \times PQ$

= $\frac{1}{2} \times (7 + 13) \times 4$ বর্গ সেমি.

= $\frac{1}{2} \times 20 \times 4 = \mathbf{40}$ বর্গ সেমি.

(ii) $\mathbf{\triangle ADE}$ এর ক্ষেত্রফল

এই ত্রিভুজের ভূমি $\mathbf{AD} = 13$ সেমি.

ত্রিভুজের উচ্চতা ($\mathbf{h_2}$) = $\mathbf{EQ} = PE – PQ = 9 – 4 = \mathbf{5}$ সেমি. (যেহেতু $\mathbf{EQ} \perp \mathbf{AD}$)

$\mathbf{\triangle ADE}$ এর ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times AD \times EQ$

= $\frac{1}{2} \times 13 \times 5 = \frac{65}{2} = \mathbf{32.5}$ বর্গ সেমি.

(iii) $\mathbf{ABCDE}$ পঞ্চভুজের ক্ষেত্রফল

মোট ক্ষেত্রফল = $\mathbf{ABCD}$ ট্র্যাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল + $\mathbf{\triangle ADE}$ এর ক্ষেত্রফল

= $40 + 32.5 = \mathbf{72.5}$ বর্গ সেমি.

উত্তর: $\mathbf{ABCDE}$ পঞ্চভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হলো **72.5 বর্গ সেমি.**।

সমাধান:

(i) রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয়

ধরি, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য $\mathbf{a}$ সেমি.।

বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = $\mathbf{\sqrt{2} \times a}$

প্রশ্নানুসারে, $\sqrt{2} \times a = 40\sqrt{2}$

$a = \mathbf{40}$ সেমি.

সুতরাং, রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্যও ($\mathbf{a}$) = **40** সেমি.

(ii) রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য নির্ণয়

ধরি, রম্বসের কর্ণদ্বয় $\mathbf{d_1}$ ও $\mathbf{d_2}$। তাদের অনুপাত 3:4।

ধরা যাক, $d_1 = 2 \times 3x = \mathbf{6x}$ এবং $d_2 = 2 \times 4x = \mathbf{8x}$। (গণনার সুবিধার জন্য 2 গুণ করা হলো)

আমরা জানি, রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অর্ধ-দৈর্ঘ্য এবং বাহুর মধ্যে সম্পর্ক:

$(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2$

$(\mathbf{3x})^2 + (\mathbf{4x})^2 = 40^2$

$9x^2 + 16x^2 = 1600$

$25x^2 = 1600$

$x^2 = \frac{1600}{25} = 64$

$x = \sqrt{64} = \mathbf{8}$

অতএব, কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য:

$d_1 = 6x = 6 \times 8 = \mathbf{48}$ সেমি.

$d_2 = 8x = 8 \times 8 = \mathbf{64}$ সেমি.

(iii) রম্বসের ক্ষেত্রফল

ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$

= $\frac{1}{2} \times 48 \times 64$ বর্গ সেমি.

= $\mathbf{24 \times 64 = 1536}$ বর্গ সেমি.

উত্তর: রম্বস আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হলো **1536 বর্গ সেমি.**।

সমাধান:

দেওয়া আছে, সমান্তরাল বাহু: $\mathbf{a = 5}$ সেমি., $\mathbf{b = 17}$ সেমি.

তির্যক বাহুর দৈর্ঘ্য: $\mathbf{c = 10}$ সেমি.

(i) উচ্চতা ও ক্ষেত্রফল নির্ণয়

সমদ্বিবাহু ট্র্যাপিজিয়ামে লম্ব টানলে $\mathbf{x = \frac{17 – 5}{2} = 6}$ সেমি. হয়।

উচ্চতা ($\mathbf{h}$) নির্ণয়ের জন্য পিথাগোরাসের সূত্র:

$h^2 + x^2 = c^2 \implies h^2 + 6^2 = 10^2$

$h^2 = 100 – 36 = 64$

$h = \sqrt{64} = \mathbf{8}$ সেমি.

ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times (a + b) \times h$

= $\frac{1}{2} \times (5 + 17) \times 8$ বর্গ সেমি.

= $\frac{1}{2} \times 22 \times 8 = \mathbf{88}$ বর্গ সেমি.

(ii) কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয়

কর্ণ ($\mathbf{d}$) নির্ণয়ের জন্য, লম্বটির প্রান্তবিন্দু থেকে $17$ সেমি. বাহুর এক প্রান্তের দূরত্ব $\mathbf{y}$ নির্ণয় করি।

$y = 5 + 6 = \mathbf{11}$ সেমি.

কর্ণটি উচ্চতা ($\mathbf{h}$) এবং $\mathbf{y}$ সমন্বিত সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ:

$d^2 = h^2 + y^2 = 8^2 + 11^2$

$d^2 = 64 + 121 = 185$

$d = \mathbf{\sqrt{185}}$ সেমি.

উত্তর: ট্রাপিজিয়াম আকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য $\mathbf{\sqrt{185}}$ সেমি. এবং ক্ষেত্রফল **88 বর্গ সেমি.**।

সমাধান:

দেওয়া আছে, সমান্তরাল বাহু: $\mathbf{a = 9}$ সেমি., $\mathbf{b = 19}$ সেমি.

তির্যক বাহু: $\mathbf{c_1 = 8}$ সেমি., $\mathbf{c_2 = 6}$ সেমি.

ট্র্যাপিজিয়ামের বৃহত্তর সমান্তরাল বাহু $\mathbf{19}$ সেমি. এর উপর ক্ষুদ্রতর সমান্তরাল বাহু $\mathbf{9}$ সেমি. এর সমান একটি অংশ রেখে, $9$ সেমি. বাহুর এক প্রান্ত থেকে $6$ সেমি. বাহুর সমান্তরাল একটি রেখা আঁকি। এতে একটি সামান্তরিক এবং একটি ত্রিভুজ তৈরি হয়।

ত্রিভুজের বাহুগুলি: $\mathbf{19 – 9 = 10}$ সেমি., $8$ সেমি. এবং $6$ সেমি.

এই ত্রিভুজের অর্ধ-পরিসীমা ($\mathbf{s}$) = $\frac{10+8+6}{2} = \frac{24}{2} = \mathbf{12}$ সেমি.

(i) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়

ক্ষেত্রফল = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

= $\sqrt{12(12-10)(12-8)(12-6)} = \sqrt{12 \times 2 \times 4 \times 6}$ বর্গ সেমি.

= $\sqrt{576} = \mathbf{24}$ বর্গ সেমি.

যেহেতু $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$, তাই ত্রিভুজটি **সমকোণী**।

(ii) ট্র্যাপিজিয়ামের উচ্চতা নির্ণয়

যদি ভূমি $10$ সেমি. হয়, তবে উচ্চতা ($\mathbf{h}$) সমকোণী ত্রিভুজের একটি উচ্চতা, যার ক্ষেত্রফল: $24 = \frac{1}{2} \times 10 \times h$

$5h = 24 \implies h = \mathbf{4.8}$ সেমি.

(iii) ট্র্যাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল

ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times$ (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি) $\mathbf{\times}$ উচ্চতা

= $\frac{1}{2} \times (9 + 19) \times 4.8$ বর্গ সেমি.

= $\frac{1}{2} \times 28 \times 4.8 = 14 \times 4.8 = \mathbf{67.2}$ বর্গ সেমি.

উত্তর: ট্রাপিজিয়াম আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হলো **67.2 বর্গ সেমি.**।

সমাধান:

ধরি, সামান্তরিকের ভূমি ($\mathbf{b}$) = $\mathbf{x}$ সেমি.।

উচ্চতা ($\mathbf{h}$) = $\frac{1}{3} \times b = \mathbf{\frac{x}{3}}$ সেমি.।

ক্ষেত্রফল = ভূমি $\times$ উচ্চতা = 192 বর্গ সেমি.

$x \times \frac{x}{3} = 192$

$x^2 = 192 \times 3 = 576$

$x = \sqrt{576} = \mathbf{24}$ সেমি. (ভূমি)

উচ্চতা ($\mathbf{h}$) = $\frac{x}{3} = \frac{24}{3} = \mathbf{8}$ সেমি.

সঠিক উত্তর: (b) 8 সেমি.

সমাধান:

রম্বসকে একটি কর্ণ দ্বারা দুটি সর্বসম ত্রিভুজে বিভক্ত করা যায়। যেহেতু একটি কোণ $\mathbf{60^\circ}$ এবং সন্নিহিত বাহুদ্বয় সমান ($6$ সেমি.), তাই এটি একটি $\mathbf{60^\circ}$ কোণ বিশিষ্ট ত্রিভুজ।

এই ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(\theta)$

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times 6 \times 6 \times \sin(60^\circ)$

= $\frac{1}{2} \times 36 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \mathbf{9\sqrt{3}}$ বর্গ সেমি.

রম্বসের ক্ষেত্রফল = $2 \times$ একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

= $2 \times 9\sqrt{3} = \mathbf{18\sqrt{3}}$ বর্গ সেমি.

সঠিক উত্তর: (b) $18\sqrt{3}$ বর্গ সেমি.

সমাধান:

ধরি, ছোট কর্ণ ($\mathbf{d_1}$) = $\mathbf{x}$ সেমি.।

বড় কর্ণ ($\mathbf{d_2}$) = $\mathbf{3x}$ সেমি.।

ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = 96$ বর্গ সেমি.

$\frac{1}{2} \times x \times 3x = 96$

$3x^2 = 96 \times 2 = 192$

$x^2 = \frac{192}{3} = 64$

$x = \sqrt{64} = \mathbf{8}$ সেমি. (ছোট কর্ণ)

বড় কর্ণ ($\mathbf{d_2}$) = $3x = 3 \times 8 = \mathbf{24}$ সেমি.

সঠিক উত্তর: (d) 24 সেমি.

সমাধান:

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ($\mathbf{x^2}$) = ভূমি $\times$ উচ্চতা। যেহেতু এটি বর্গক্ষেত্র, তাই উচ্চতা ভূমির সমান।

রম্বসের ক্ষেত্রফল ($\mathbf{y}$) = ভূমি $\times$ উচ্চতা ($\mathbf{h}$)।

একই ভূমির উপর অবস্থিত হলে, উভয় ক্ষেত্রের ভূমি সমান হবে। কিন্তু রম্বসের উচ্চতা $\mathbf{h}$ সর্বদা বর্গক্ষেত্রের উচ্চতার চেয়ে **কম** বা **সমান** হবে (যখন রম্বসটি বর্গক্ষেত্রে পরিণত হয়)।

অতএব, রম্বসের ক্ষেত্রফল বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের চেয়ে ছোট হবে (বর্গক্ষেত্র না হলে)।

$y = \text{ভূমি} \times h$ এবং $x^2 = \text{ভূমি} \times \text{ভূমি}$। যেহেতু $h \le \text{ভূমি}$, তাই $\mathbf{y \le x^2}$।

সঠিক উত্তর: (b) $\mathbf{y < x^2}$ (সাধারণত, যদি না $y = x^2$ হয়, কারণ অপশন (c) নেই, কিন্তু (b) সবচেয়ে সঠিক)

সমাধান:

দেওয়া আছে, ক্ষেত্রফল ($\mathbf{A}$) = 162 বর্গ সেমি., উচ্চতা ($\mathbf{h}$) = 6 সেমি., একটি বাহু ($\mathbf{a}$) = 23 সেমি.।

ধরি, অপর সমান্তরাল বাহু ($\mathbf{b}$) = $\mathbf{x}$ সেমি.।

ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times (a + b) \times h$

$\frac{1}{2} \times (23 + x) \times 6 = 162$

$(23 + x) \times 3 = 162$

$23 + x = \frac{162}{3} = 54$

$x = 54 – 23 = \mathbf{31}$ সেমি.

সঠিক উত্তর: (b) 31 সেমি.

সমাধান:

কর্ণ $\mathbf{BD}$ সামান্তরিকটিকে $\mathbf{\triangle ABD}$ এবং $\mathbf{\triangle CBD}$ দুটি সর্বসম ত্রিভুজে ভাগ করে।

$\mathbf{\triangle ABD}$ এর ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times$ সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল $= \frac{96}{2} = \mathbf{48}$ বর্গ সেমি.

ধরি, $\mathbf{A}$ বিন্দু থেকে $\mathbf{BD}$ এর উপর লম্বের দৈর্ঘ্য ($\mathbf{h}$) নির্ণয় করতে হবে।

$\mathbf{\triangle ABD}$ এর ভূমি ($\mathbf{BD}$) = 12 সেমি.।

$\mathbf{\triangle ABD}$ এর ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times BD \times h$

$\frac{1}{2} \times 12 \times h = 48$

$6h = 48$

$h = \frac{48}{6} = \mathbf{8}$ সেমি.

উত্তর: A বিন্দু থেকে BD কর্ণের উপর লম্বের দৈর্ঘ্য **8 সেমি.**।

সমাধান:

সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল উভয় ক্ষেত্রে সমান হবে।

প্রথম ক্ষেত্র (বৃহত্তর বাহুকে ভূমি ধরে):

ভূমি ($\mathbf{b_1}$) = 5 সেমি. (বৃহত্তর বাহু), উচ্চতা ($\mathbf{h_1}$) = 2 সেমি.।

ক্ষেত্রফল ($\mathbf{A}$) = $b_1 \times h_1 = 5 \times 2 = \mathbf{10}$ বর্গ সেমি.

দ্বিতীয় ক্ষেত্র (ক্ষুদ্রতর বাহুকে ভূমি ধরে):

ভূমি ($\mathbf{b_2}$) = 3 সেমি. (ক্ষুদ্রতর বাহু), উচ্চতা ($\mathbf{h_2}$) = $\mathbf{x}$ সেমি.।

$b_2 \times h_2 = A \implies 3 \times x = 10$

$x = \frac{10}{3} = \mathbf{3\frac{1}{3}}$ সেমি.

উত্তর: ক্ষুদ্রতর বাহুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব **$\mathbf{3\frac{1}{3}}$ সেমি.**।

সমাধান:

রম্বস একটি বিশেষ ধরনের সামান্তরিক।

রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য ($\mathbf{a}$) = 5 সেমি.।

রম্বসের উচ্চতা ($\mathbf{h}$) = 4 সেমি.।

রম্বসের ক্ষেত্রফল = ভূমি (বাহু) $\mathbf{\times}$ উচ্চতা

ক্ষেত্রফল = $5 \times 4 = \mathbf{20}$ বর্গ সেমি.

উত্তর: রম্বস আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল **20 বর্গ সেমি.**।

সমাধান:

ট্র্যাপিজিয়ামের দুটি সমান্তরাল বাহুর উপর লম্ব টেনে একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করি।

এই সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ $\mathbf{45^\circ}$ এবং অপর কোণ $\mathbf{90^\circ}$। সুতরাং, এটি একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ হবে, যার অপর কোণটিও $\mathbf{45^\circ}$।

তির্যক বাহু ($\mathbf{c}$) = $\mathbf{6\sqrt{2}}$ সেমি. (অতিভুজ)।

সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব = উচ্চতা ($\mathbf{h}$)।

সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, $\mathbf{\sin(45^\circ) = \frac{উচ্চতা}{অতিভুজ}}$

$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{h}{6\sqrt{2}}$

$h = \frac{1}{\sqrt{2}} \times 6\sqrt{2} = \mathbf{6}$ সেমি.

উত্তর: সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব **6 সেমি.**।

সমাধান:

সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = $\mathbf{AB \times BC \times \sin(\angle ABC)}$

এখানে $AB = \mathbf{4}$ সেমি., $BC = \mathbf{6}$ সেমি. এবং $\angle ABC = \mathbf{30^\circ}$।

ক্ষেত্রফল = $4 \times 6 \times \sin(30^\circ)$ বর্গ সেমি.

= $24 \times \frac{1}{2}$ বর্গ সেমি.

= $\mathbf{12}$ বর্গ সেমি.

উত্তর: ABCD সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হলো **12 বর্গ সেমি.**।