দশম শ্রেণী: একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ – কষে দেখি 1.1
WBBSE Class 10 Maths Kose Dekhi 1.1 | একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ
(Page 4 | Q-1 to Q-6)
১. নীচের বহুপদী সংখ্যামালাগুলির মধ্যে কোনটি/কোনগুলি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা বুঝে লিখি।
(i) x^2-7x+2
(ii) 7x^5-x(x+2)
(iii) 2x(x+5)+1
(iv) 2x-1
সমাধান:
(i) x^2-7x+2: এটি একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা, কারণ x-এর সর্বোচ্চ ঘাত 2।
(ii) 7x^5-x(x+2) = 7x^5-x^2-2x: এটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয়, কারণ x-এর সর্বোচ্চ ঘাত 5।
(iii) 2x(x+5)+1 = 2x^2+10x+1: এটি একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা, কারণ x-এর সর্বোচ্চ ঘাত 2।
(iv) 2x-1: এটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয় (এটি রৈখিক), কারণ x-এর সর্বোচ্চ ঘাত 1।
উত্তর: (i) এবং (iii) হল দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা।
২. নীচের সমীকরণগুলির কোনটি ax^2+bx+c=0, যেখানে a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং a \neq 0, আকারে লেখা যায় তা লিখি।
(i) x+\frac{1}{x}=6, (x \neq 0)
(ii) x+\frac{3}{x}=x^2, (x \neq 0)
(iii) x^2-6\sqrt{x}+2=0
(iv) (x-2)^2=x^2-4x+4
সমাধান:
(i) x+\frac{1}{x}=6
বা, \frac{x^2+1}{x}=6
বা, x^2+1=6x
বা, x^2-6x+1=0
এটি ax^2+bx+c=0 আকারের (যেখানে a=1, b=-6, c=1 এবং a \neq 0)।
(ii) x+\frac{3}{x}=x^2
বা, \frac{x^2+3}{x}=x^2
বা, x^2+3=x^3
বা, x^3-x^2-3=0
এটি ax^2+bx+c=0 আকারে লেখা যায় না (কারণ সর্বোচ্চ ঘাত 3)।
(iii) x^2-6\sqrt{x}+2=0
এই সমীকরণটিতে \sqrt{x} অর্থাৎ x^{1/2} রয়েছে। এটি বহুপদী সংখ্যামালা নয়, তাই সমীকরণটিকে ax^2+bx+c=0 আকারে লেখা যায় না।
(iv) (x-2)^2=x^2-4x+4
বা, x^2-4x+4=x^2-4x+4
বা, 0=0
এটি একটি অভেদ, একে ax^2+bx+c=0 (a \neq 0) আকারে লেখা যায় না।
উত্তর: শুধুমাত্র (i)-কে ax^2+bx+c=0 (a \neq 0) আকারে লেখা যায়।
৩. x^6-x^3-2=0 সমীকরণটি চলের কোন্ ঘাতের সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ তা নির্ণয় করি।
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ: x^6-x^3-2=0
বা, (x^3)^2 - (x^3) - 2 = 0
যদি y = x^3 ধরা হয়, তবে সমীকরণটি দাঁড়ায়:
y^2 - y - 2 = 0এটি y-এর একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
উত্তর: অতএব, সমীকরণটি x^3-এর ঘাতের সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
৪. (i) (a-2)x^2+3x+5=0 সমীকরণটি a-এর কোন্ মানের জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না তা নির্ণয় করি।
সমাধান (i):
প্রদত্ত সমীকরণ: (a-2)x^2+3x+5=0
সমীকরণটি দ্বিঘাত হবে না যদি x^2-এর সহগ শূন্য হয়।
অর্থাৎ, a-2=0
বা, a=2
উত্তর: a=2-এর জন্য সমীকরণটি দ্বিঘাত হবে না।
৪. (ii) \frac{x}{4-x}=\frac{1}{3x}, (x \neq 0, x \neq 4)-কে ax^2+bx+c=0 (a \neq 0) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করলে x-এর সহগ কত হবে তা নির্ণয় করি।
সমাধান (ii):
প্রদত্ত সমীকরণ: \frac{x}{4-x}=\frac{1}{3x}
বা, x(3x) = 1(4-x) (কোণাকুণি গুণ করে)
বা, 3x^2 = 4-x
বা, 3x^2+x-4=0
এই সমীকরণটি ax^2+bx+c=0-এর সাথে তুলনা করলে x-এর সহগ (b) হয় 1।
উত্তর: x-এর সহগ হল 1।
৪. (iii) 3x^2+7x+23=(x+4)(x+3)+2-কে ax^2+bx+c=0 (a \neq 0) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করি।
সমাধান (iii):
প্রদত্ত সমীকরণ: 3x^2+7x+23=(x+4)(x+3)+2
বা, 3x^2+7x+23 = (x^2+3x+4x+12)+2
বা, 3x^2+7x+23 = x^2+7x+14
বা, (3x^2-x^2) + (7x-7x) + (23-14) = 0
বা, 2x^2 + 0x + 9 = 0
উত্তর: নির্ণেয় সমীকরণটি হল 2x^2+9=0।
৪. (iv) (x+2)^3=x(x^2-1) সমীকরণটিকে ax^2+bx+c=0 (a \neq 0) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করি এবং x^2, x ও x^0-এর সহগ লিখি।
সমাধান (iv):
প্রদত্ত সমীকরণ: (x+2)^3=x(x^2-1)
বা, x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3 = x^3-x
বা, x^3+6x^2+12x+8 = x^3-x
বা, (x^3-x^3) + 6x^2 + (12x+x) + 8 = 0
বা, 6x^2+13x+8=0
এটি ax^2+bx+c=0 আকারের।
উত্তর:
দ্বিঘাত সমীকরণ: 6x^2+13x+8=0
x^2-এর সহগ = 6
x-এর সহগ = 13
x^0 (ধ্রুবক পদ)-এর সহগ = 8
৫. নীচের বিবৃতিগুলি থেকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি।
(i) 42-কে এমন দুটি অংশে বিভক্ত করি যাতে এক অংশ অপর অংশের বর্গের সমান হয়।
সমাধান (i):
ধরি, একটি অংশ x!
তাহলে অপর অংশটি 42-x!
প্রশ্নানুসারে, একটি অংশ অপর অংশের বর্গের সমান।
42-x = x^2বা, x^2+x-42=0
উত্তর: নির্ণেয় সমীকরণটি হল x^2+x-42=0!
(ii) দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার গুণফল 143।
সমাধান (ii):
ধরি, প্রথম ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যাটি x!
তাহলে দ্বিতীয় ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যাটি x+2!
প্রশ্নানুসারে, সংখ্যা দুটির গুণফল 143।
x(x+2) = 143বা, x^2+2x = 143
বা, x^2+2x-143 = 0
উত্তর: নির্ণেয় সমীকরণটি হল x^2+2x-143=0!
(iii) দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 313।
সমাধান (iii):
ধরি, প্রথম ক্রমিক সংখ্যাটি x!
তাহলে দ্বিতীয় ক্রমিক সংখ্যাটি x+1!
প্রশ্নানুসারে, সংখ্যা দুটির বর্গের সমষ্টি 313।
x^2 + (x+1)^2 = 313বা, x^2 + (x^2+2x+1) = 313
বা, 2x^2+2x+1 = 313
বা, 2x^2+2x-312 = 0
বা, x^2+x-156 = 0 (সমীকরণটিকে 2 দিয়ে ভাগ করে)
উত্তর: নির্ণেয় সমীকরণটি হল x^2+x-156=0!
৬. নীচের বিবৃতিগুলি থেকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি।
(i) একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 মিটার এবং তার দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা 3 মিটার বেশি।
সমাধান (i):
ধরি, আয়তাকার ক্ষেত্রটির প্রস্থ = x মিটার।
প্রশ্নানুসারে, দৈর্ঘ্য = (x+3) মিটার।
আমরা জানি, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
(\text{দৈর্ঘ্য})^2 + (\text{প্রস্থ})^2 = (\text{কর্ণ})^2বা, (x+3)^2 + x^2 = 15^2
বা, (x^2 + 6x + 9) + x^2 = 225
বা, 2x^2 + 6x + 9 - 225 = 0
বা, 2x^2 + 6x - 216 = 0
বা, x^2 + 3x - 108 = 0 (2 দিয়ে ভাগ করে)
উত্তর: নির্ণেয় সমীকরণটি হল x^2 + 3x - 108 = 0।
(ii) এক ব্যক্তি 80 টাকায় কয়েক কিগ্রা. চিনি ক্রয় করলেন। যদি ওই টাকায় তিনি আরও 4 কিগ্রা. চিনি বেশি পেতেন, তবে তার কিগ্রা. প্রতি চিনির দাম 1 টাকা কম হতো।
সমাধান (ii):
ধরি, ওই ব্যক্তি 80 টাকায় x কিগ্রা. চিনি ক্রয় করলেন।
তাহলে, প্রতি কিগ্রা. চিনির দাম = \frac{80}{x} টাকা।
যদি ওই টাকায় তিনি আরও 4 কিগ্রা. চিনি বেশি পেতেন, অর্থাৎ চিনির পরিমাণ হতো (x+4) কিগ্রা.।
তাহলে, প্রতি কিগ্রা. চিনির দাম হতো = \frac{80}{x+4} টাকা।
প্রশ্নানুসারে, নতুন দাম আগের দামের থেকে 1 টাকা কম।
\frac{80}{x} - \frac{80}{x+4} = 1বা, 80 \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+4} \right) = 1
বা, 80 \left( \frac{(x+4)-x}{x(x+4)} \right) = 1
বা, 80 \left( \frac{4}{x^2+4x} \right) = 1
বা, 320 = x^2+4x
বা, x^2+4x-320 = 0
উত্তর: নির্ণেয় সমীকরণটি হল x^2+4x-320 = 0।
(iii) দুটি স্টেশনের মধ্যে দূরত্ব 300 কিমি.। একটি ট্রেন প্রথম স্টেশন থেকে সমবেগে দ্বিতীয় স্টেশনে গেল। ট্রেনটির গতিবেগ ঘন্টায় 5 কিমি. বেশি হলে ট্রেনটির দ্বিতীয় স্টেশনে যেতে 2 ঘন্টা কম সময় লাগত।
সমাধান (iii):
ধরি, ট্রেনটির সমবেগ = x কিমি./ঘন্টা।
দুটি স্টেশনের মধ্যে দূরত্ব = 300 কিমি.।
প্রথম ক্ষেত্রে, 300 কিমি. যেতে সময় লাগে = \frac{300}{x} ঘন্টা।
ট্রেনটির গতিবেগ ঘন্টায় 5 কিমি. বেশি হলে, নতুন গতিবেগ = (x+5) কিমি./ঘন্টা।
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, 300 কিমি. যেতে সময় লাগে = \frac{300}{x+5} ঘন্টা।
প্রশ্নানুসারে, দ্বিতীয় ক্ষেত্রে সময় 2 ঘন্টা কম লাগে।
\frac{300}{x} - \frac{300}{x+5} = 2বা, 300 \left( \frac{(x+5)-x}{x(x+5)} \right) = 2
বা, 300 \left( \frac{5}{x^2+5x} \right) = 2
বা, 1500 = 2(x^2+5x)
বা, 1500 = 2x^2+10x
বা, 2x^2+10x-1500 = 0
বা, x^2+5x-750 = 0 (2 দিয়ে ভাগ করে)
উত্তর: নির্ণেয় সমীকরণটি হল x^2+5x-750 = 0।
(iv) একজন ঘড়ি বিক্রেতা একটি ঘড়ি ক্রয় করে 336 টাকায় বিক্রি করলেন। তিনি যত টাকায় ঘড়িটি ক্রয় করেছিলেন, শতকরা তত টাকা তাঁর লাভ হলো।
সমাধান (iv):
ধরি, ঘড়ি বিক্রেতা ঘড়িটি x টাকায় ক্রয় করেছিলেন।
অর্থাৎ, ক্রয়মূল্য = x টাকা।
বিক্রয়মূল্য = 336 টাকা।
লাভ = (বিক্রয়মূল্য – ক্রয়মূল্য) = (336-x) টাকা।
প্রশ্নানুসারে, শতকরা লাভ = ক্রয়মূল্যের সমান = x%।
আমরা জানি, শতকরা লাভ = \frac{\text{মোট লাভ}}{\text{ক্রয়মূল্য}} \times 100
x = \frac{336-x}{x} \times 100বা, x^2 = 100(336-x)
বা, x^2 = 33600 - 100x
বা, x^2+100x-33600 = 0
উত্তর: নির্ণেয় সমীকরণটি হল x^2+100x-33600 = 0।
(v) স্রোতের বেগ ঘন্টায় 2 কিমি. হলে, রতনমাঝির স্রোতের অনুকূলে 21 কিমি. গিয়ে ওই দূরত্ব ফিরে আসতে 10 ঘন্টা সময় লাগে।
সমাধান (v):
ধরি, স্থির জলে রতনমাঝির নৌকার বেগ = x কিমি./ঘন্টা।
স্রোতের বেগ = 2 কিমি./ঘন্টা।
স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ = (x+2) কিমি./ঘন্টা।
স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ = (x-2) কিমি./ঘন্টা।
স্রোতের অনুকূলে 21 কিমি. যেতে সময় লাগে = \frac{21}{x+2} ঘন্টা।
স্রোতের প্রতিকূলে 21 কিমি. ফিরে আসতে সময় লাগে = \frac{21}{x-2} ঘন্টা।
প্রশ্নানুসারে, মোট সময় লাগে 10 ঘন্টা।
\frac{21}{x+2} + \frac{21}{x-2} = 10বা, 21 \left( \frac{(x-2)+(x+2)}{(x+2)(x-2)} \right) = 10
বা, 21 \left( \frac{2x}{x^2-4} \right) = 10
বা, 42x = 10(x^2-4)
বা, 10x^2-42x-40 = 0
বা, 5x^2-21x-20 = 0 (2 দিয়ে ভাগ করে)
উত্তর: নির্ণেয় সমীকরণটি হল 5x^2-21x-20 = 0।
(vi) আমাদের বাড়ির বাগান পরিষ্কার করতে মহিম অপেক্ষা মজিদের 3 ঘন্টা বেশি সময় লাগে। তারা উভয়ে একসঙ্গে কাজটি 2 ঘন্টায় শেষ করতে পারে।
সমাধান (vi):
ধরি, মহিমের একা কাজটি করতে x ঘন্টা সময় লাগে।
যেহেতু মহিম অপেক্ষা মজিদের 3 ঘন্টা বেশি সময় লাগে, তাই মজিদের একা কাজটি করতে (x-3) ঘন্টা সময় লাগে।
মহিম 1 ঘন্টায় করে = \frac{1}{x} অংশ কাজ।
মজিদ 1 ঘন্টায় করে = \frac{1}{x-3} অংশ কাজ।
তারা দুজনে 1 ঘন্টায় একসঙ্গে করে = \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x-3} \right) অংশ কাজ।
আবার, তারা দুজনে একসঙ্গে সম্পূর্ণ কাজটি 2 ঘন্টায় শেষ করে।
সুতরাং, তারা দুজনে 1 ঘন্টায় করে \frac{1}{2} অংশ কাজ।
প্রশ্নানুসারে,
\frac{1}{x} + \frac{1}{x-3} = \frac{1}{2}বা, \frac{(x-3)+x}{x(x-3)} = \frac{1}{2}
বা, \frac{2x-3}{x^2-3x} = \frac{1}{2}
বা, 2(2x-3) = 1(x^2-3x)
বা, 4x-6 = x^2-3x
বা, x^2-3x-4x+6 = 0
বা, x^2-7x+6 = 0
উত্তর: নির্ণেয় সমীকরণটি হল x^2-7x+6 = 0।
(vii) দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্কটি দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেক্ষা 6 বেশি এবং অঙ্কদ্বয়ের গুণফল সংখ্যাটির চেয়ে 12 কম।
সমাধান (vii):
ধরি, দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্ক = x
প্রশ্নানুসারে, একক স্থানীয় অঙ্ক = x+6
সংখ্যাটি = 10 \times (\text{দশক স্থানীয় অঙ্ক}) + (\text{একক স্থানীয় অঙ্ক})
সংখ্যাটি = 10x + (x+6) = 11x+6
অঙ্কদ্বয়ের গুণফল = x(x+6) = x^2+6x
প্রশ্নানুসারে, অঙ্কদ্বয়ের গুণফল সংখ্যাটির চেয়ে 12 কম।
x^2+6x = (11x+6) - 12বা, x^2+6x = 11x - 6
বা, x^2+6x-11x+6 = 0
বা, x^2-5x+6 = 0
উত্তর: নির্ণেয় সমীকরণটি হল x^2-5x+6 = 0।
(viii) 45 মিটার দীর্ঘ ও 40 মিটার প্রশস্ত একটি আয়তাকার খেলার মাঠের বাইরের চারিপাশে সমান চওড়া একটি রাস্তা আছে এবং ওই রাস্তার ক্ষেত্রফল 450 বর্গ মিটার।
সমাধান (viii):
আয়তাকার খেলার মাঠের দৈর্ঘ্য = 45 মিটার, প্রস্থ = 40 মিটার।
ধরি, মাঠের বাইরের চারিপাশে সমান চওড়া রাস্তাটি x মিটার।
রাস্তা সহ আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য = 45 + x + x = (45+2x) মিটার।
রাস্তা সহ আয়তাকার মাঠের প্রস্থ = 40 + x + x = (40+2x) মিটার।
রাস্তা সহ আয়তাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = (45+2x)(40+2x) বর্গ মিটার।
শুধু খেলার মাঠের ক্ষেত্রফল = 45 \times 40 = 1800 বর্গ মিটার।
রাস্তার ক্ষেত্রফল = (রাস্তা সহ মাঠের ক্ষেত্রফল) – (শুধু মাঠের ক্ষেত্রফল)
প্রশ্নানুসারে, রাস্তার ক্ষেত্রফল = 450 বর্গ মিটার।
(45+2x)(40+2x) - 1800 = 450বা, 45(40+2x) + 2x(40+2x) - 1800 = 450
বা, 1800 + 90x + 80x + 4x^2 - 1800 = 450
বা, 4x^2 + 170x = 450
বা, 4x^2 + 170x - 450 = 0
বা, 2x^2 + 85x - 225 = 0 (2 দিয়ে ভাগ করে)
উত্তর: নির্ণেয় সমীকরণটি হল 2x^2 + 85x - 225 = 0।
শেয়ার