দশম শ্রেণী: একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ – কষে দেখি 1.4
WBBSE Class 10 Maths Kose Dekhi 1.4 | একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ
(Page 14 | Q-1, 2, 3)
১. (i) ax^2+bx+c=0 (a \neq 0) দ্বিঘাত সমীকরণের x-এর মান শ্রীধর আচার্যের সূত্র অনুযায়ী কী হবে?
সমাধান (i):
শ্রীধর আচার্যের সূত্র অনুযায়ী, ax^2+bx+c=0 (যেখানে a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং a \neq 0) সমীকরণের দুটি বীজ ( x-এর মান) হলো:
x = \frac{-b \pm \sqrt {\left(b^2 - 4ac\right)}}{2a}(শর্ত: বাস্তব বীজের জন্য নিরূপক, b^2-4ac \ge 0 হতে হবে।)
১. (ii) শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে আমরা কোন্ ধরনের সমীকরণের সমাধান করতে পারি বুঝে লিখি।
সমাধান (ii):
শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে আমরা **একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ** (Quadratic Equations with one variable) অর্থাৎ ax^2+bx+c=0 (যেখানে a \neq 0) আকারের যেকোনো সমীকরণের সমাধান করতে পারি, বিশেষত যেগুলিকে মধ্য-সহগ বিশ্লেষণ (Middle Term Factorization) পদ্ধতিতে সহজে সমাধান করা যায় না।
১. (iii) 5x^2+2x-7=0 সমীকরণে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে x = \frac{k \pm 12}{10} পাওয়া গেলে k-এর মান কী হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান (iii):
প্রদত্ত সমীকরণ: 5x^2+2x-7=0
সমীকরণটিকে ax^2+bx+c=0-এর সাথে তুলনা করে পাই,
a = 5, b = 2, c = -7শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে পাই,
x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}বা, x = \frac{-2 \pm \sqrt{(2)^2 - 4(5)(-7)}}{2(5)}
বা, x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 140}}{10}
বা, x = \frac{-2 \pm \sqrt{144}}{10}
বা, x = \frac{-2 \pm 12}{10}
প্রদত্ত শর্তানুসারে, x = \frac{k \pm 12}{10}
দুটি সমীকরণ তুলনা করে পাই,
উত্তর: k = -2
২. নীচের দ্বিঘাত সমীকরণগুলির বাস্তব বীজ থাকলে শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে নির্ণয় করি।
(শ্রীধর আচার্যের সূত্র: x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} | নিরূপক = b^2-4ac)
(i) 3x^2+11x-4=0
সমাধান (i):
a=3, b=11, c=-4নিরূপক = b^2-4ac = (11)^2 - 4(3)(-4) = 121 + 48 = 169
যেহেতু নিরূপক (169 > 0), সমীকরণটির বাস্তব বীজ আছে।
x = \frac{-11 \pm \sqrt{169}}{2(3)} = \frac{-11 \pm 13}{6}সুতরাং, x = \frac{-11+13}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
অথবা, x = \frac{-11-13}{6} = \frac{-24}{6} = -4
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান x = \frac{1}{3}, -4।
(ii) (x-2)(x+4)+9=0
সমাধান (ii):
বা, x^2+4x-2x-8+9 = 0
বা, x^2+2x+1=0
এখানে, a=1, b=2, c=1
নিরূপক = b^2-4ac = (2)^2 - 4(1)(1) = 4 - 4 = 0
যেহেতু নিরূপক (0 \ge 0), সমীকরণটির বাস্তব বীজ আছে।
x = \frac{-2 \pm \sqrt{0}}{2(1)} = \frac{-2}{2} = -1উত্তর: নির্ণেয় সমাধান x = -1, -1 (দুটি সমান বাস্তব বীজ)।
(iii) (4x-3)^2-2(x+3)=0
সমাধান (iii):
বা, (16x^2-24x+9) - 2x-6 = 0
বা, 16x^2-26x+3=0
এখানে, a=16, b=-26, c=3
নিরূপক = b^2-4ac = (-26)^2 - 4(16)(3) = 676 - 192 = 484
যেহেতু নিরূপক (484 > 0), সমীকরণটির বাস্তব বীজ আছে। (\sqrt{484} = 22)
x = \frac{-(-26) \pm \sqrt{484}}{2(16)} = \frac{26 \pm 22}{32}সুতরাং, x = \frac{26+22}{32} = \frac{48}{32} = \frac{3}{2}
অথবা, x = \frac{26-22}{32} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান x = \frac{3}{2}, \frac{1}{8}।
(iv) 3x^2+2x-1=0
সমাধান (iv):
এখানে, a=3, b=2, c=-1
নিরূপক = b^2-4ac = (2)^2 - 4(3)(-1) = 4 + 12 = 16
যেহেতু নিরূপক (16 > 0), সমীকরণটির বাস্তব বীজ আছে।
x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2(3)} = \frac{-2 \pm 4}{6}সুতরাং, x = \frac{-2+4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
অথবা, x = \frac{-2-4}{6} = \frac{-6}{6} = -1
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান x = \frac{1}{3}, -1।
(v) 3x^2+2x+1=0
সমাধান (v):
এখানে, a=3, b=2, c=1
নিরূপক = b^2-4ac = (2)^2 - 4(3)(1) = 4 - 12 = -8
যেহেতু নিরূপক (-8 < 0), সমীকরণটির কোনো বাস্তব বীজ নেই।
উত্তর: কোনো বাস্তব বীজ নেই।
(vi) 10x^2-x-3=0
সমাধান (vi):
এখানে, a=10, b=-1, c=-3
নিরূপক = b^2-4ac = (-1)^2 - 4(10)(-3) = 1 + 120 = 121
যেহেতু নিরূপক (121 > 0), সমীকরণটির বাস্তব বীজ আছে।
x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{121}}{2(10)} = \frac{1 \pm 11}{20}সুতরাং, x = \frac{1+11}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}
অথবা, x = \frac{1-11}{20} = \frac{-10}{20} = -\frac{1}{2}
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান x = \frac{3}{5}, -\frac{1}{2}।
(vii) 25x^2-30x+7=0
সমাধান (vii):
এখানে, a=25, b=-30, c=7
নিরূপক = b^2-4ac = (-30)^2 - 4(25)(7) = 900 - 700 = 200
যেহেতু নিরূপক (200 > 0), সমীকরণটির বাস্তব বীজ আছে।
x = \frac{-(-30) \pm \sqrt{200}}{2(25)} = \frac{30 \pm \sqrt{100 \times 2}}{50}বা, x = \frac{30 \pm 10\sqrt{2}}{50}
বা, x = \frac{10(3 \pm \sqrt{2})}{50} = \frac{3 \pm \sqrt{2}}{5}
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান x = \frac{3+\sqrt{2}}{5}, \frac{3-\sqrt{2}}{5}।
(viii) (4x-2)^2+6x=25
সমাধান (viii):
বা, (16x^2-16x+4) + 6x - 25 = 0
বা, 16x^2-10x-21=0
এখানে, a=16, b=-10, c=-21
নিরূপক = b^2-4ac = (-10)^2 - 4(16)(-21) = 100 + 1344 = 1444
যেহেতু নিরূপক (1444 > 0), সমীকরণটির বাস্তব বীজ আছে। (\sqrt{1444} = 38)
x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{1444}}{2(16)} = \frac{10 \pm 38}{32}সুতরাং, x = \frac{10+38}{32} = \frac{48}{32} = \frac{3}{2}
অথবা, x = \frac{10-38}{32} = \frac{-28}{32} = -\frac{7}{8}
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান x = \frac{3}{2}, -\frac{7}{8}।
৩. নিম্নলিখিত গাণিতিক সমস্যাগুলি একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণে প্রকাশ করি এবং শ্রীধর আচার্যের সূত্রের প্রয়োগে বা উৎপাদকের সাহায্যে সমাধান করি।
(i) সাথী একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করেছে যার অতিভুজের দৈর্ঘ্য ক্ষুদ্রতম বাহুর দ্বিগুণ অপেক্ষা 6 সেমি. বেশি। যদি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অতিভুজের দৈর্ঘ্য থেকে 2 সেমি. কম হয়, তবে সাথীর আঁকা সমকোণী ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান (i):
ধরি, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য = x সেমি.
অতিভুজের দৈর্ঘ্য = (2x + 6) সেমি.
তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য = (2x + 6) - 2 = (2x + 4) সেমি.
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, (\text{লম্ব})^2 + (\text{ভূমি})^2 = (\text{অতিভুজ})^2
বা, x^2 + (2x + 4)^2 = (2x + 6)^2
বা, x^2 + (4x^2 + 16x + 16) = (4x^2 + 24x + 36)
বা, x^2 + 16x + 16 = 24x + 36
বা, x^2 - 8x - 20 = 0
শ্রীধর আচার্যের সূত্র (a=1, b=-8, c=-20) অনুযায়ী,
নিরূপক = (-8)^2 - 4(1)(-20) = 64 + 80 = 144 (> 0, বাস্তব বীজ আছে)
সুতরাং, x = \frac{8+12}{2} = \frac{20}{2} = 10
অথবা, x = \frac{8-12}{2} = \frac{-4}{2} = -2
যেহেতু বাহুর দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x = 10
ক্ষুদ্রতম বাহু = 10 সেমি.
অতিভুজ = 2(10)+6 = 26 সেমি.
তৃতীয় বাহু = 2(10)+4 = 24 সেমি.
উত্তর: বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য 10 সেমি., 24 সেমি. ও 26 সেমি.।
(ii) যদি দুই অঙ্কের একটি ধনাত্মক সংখ্যাকে উহার এককের ঘরের অঙ্ক দিয়ে গুণ করলে গুণফল 189 হয় এবং দশকের ঘরের অঙ্ক এককের ঘরের অঙ্কের দ্বিগুণ হয়, তবে এককের ঘরের অঙ্কটি নির্ণয় করি।
সমাধান (ii):
ধরি, সংখ্যাটির এককের ঘরের অঙ্ক = x
প্রশ্নানুসারে, দশকের ঘরের অঙ্ক = 2x
সংখ্যাটি = 10 \times (\text{দশকের অঙ্ক}) + (\text{এককের অঙ্ক})
= 10(2x) + x = 20x + x = 21x
শর্তানুসারে, (সংখ্যা) \times (এককের অঙ্ক) = 189
বা, (21x) \times (x) = 189
বা, 21x^2 = 189
বা, x^2 = \frac{189}{21} = 9
বা, x = \pm 3
যেহেতু সংখ্যাটি ধনাত্মক, তার অঙ্কও ধনাত্মক হবে, তাই x = 3
উত্তর: এককের ঘরের অঙ্কটি হল 3।
(iii) সালমার গতিবেগ অনিকের গতিবেগের থেকে 1 মি./সেকেন্ড বেশি। 180 মিটার দৌড়াতে গিয়ে সালমা অনিকের থেকে 2 সেকেন্ড আগে পৌঁছায়। অনিকের গতিবেগ প্রতি সেকেন্ডে কত মিটার হিসাব করে লিখি।
সমাধান (iii):
ধরি, অনিকের গতিবেগ = x মি./সেকেন্ড
তাহলে, সালমার গতিবেগ = (x+1) মি./সেকেন্ড
180 মিটার দৌড়াতে অনিকের সময় লাগে = \frac{180}{x} সেকেন্ড
180 মিটার দৌড়াতে সালমার সময় লাগে = \frac{180}{x+1} সেকেন্ড
শর্তানুসারে, (অনিকের সময়) – (সালমার সময়) = 2 সেকেন্ড
বা, \frac{180}{x} - \frac{180}{x+1} = 2
বা, 180 \left( \frac{(x+1)-x}{x(x+1)} \right) = 2
বা, 180 \left( \frac{1}{x^2+x} \right) = 2
বা, 180 = 2(x^2+x)
বা, 90 = x^2+x
বা, x^2+x-90 = 0
শ্রীধর আচার্যের সূত্র (a=1, b=1, c=-90) অনুযায়ী,
নিরূপক = (1)^2 - 4(1)(-90) = 1 + 360 = 361 (> 0, বাস্তব বীজ আছে)
সুতরাং, x = \frac{-1+19}{2} = \frac{18}{2} = 9
অথবা, x = \frac{-1-19}{2} = \frac{-20}{2} = -10
গতিবেগ ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x = 9
উত্তর: অনিকের গতিবেগ 9 মি./সেকেন্ড।
(iv) আমাদের পাড়ায় একটি বর্গক্ষেত্রাকার পার্ক আছে। ওই পার্কের একটি বাহুর দৈর্ঘ্যের থেকে 5 মিটার বেশি দৈর্ঘ্য… একটি আয়তক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফল ওই বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ অপেক্ষা 78 বর্গ মিটার কম হলে বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান (iv):
ধরি, বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য = x মিটার
বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফল = x^2 বর্গ মিটার
আয়তক্ষেত্রাকার পার্কের দৈর্ঘ্য = (x+5) মিটার
আয়তক্ষেত্রাকার পার্কের প্রস্থ = (x-3) মিটার
আয়তক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফল = (x+5)(x-3) = x^2+2x-15 বর্গ মিটার
শর্তানুসারে, (আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল) = 2 \times (বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল) – 78
বা, x^2+2x-15 = 2x^2 - 78
বা, 2x^2 - x^2 - 2x - 78 + 15 = 0
বা, x^2 - 2x - 63 = 0
উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,
বা, x^2 - 9x + 7x - 63 = 0
বা, x(x-9) + 7(x-9) = 0
বা, (x-9)(x+7) = 0
সুতরাং, x=9 অথবা x=-7
বাহুর দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x = 9
উত্তর: বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য 9 মিটার।
(v) আমাদের গ্রামে প্রলয়বাবু তার আয়তক্ষেত্রাকার জমিতে লাগানোর জন্য মোট 350 টি লঙ্কার চারা কিনলেন। … প্রতি সারিতে যতগুলি চারাগাছ লাগালেন তার থেকে 24 টি করে বেশি চারাগাছ লাগালে আরও 10 টি চারাগাছ অতিরিক্ত থাকত। … সারির সংখ্যা হিসাব করে লিখি।
সমাধান (v):
(দ্রষ্টব্য: প্রশ্নের ভাষায় সামান্য অস্পষ্টতা আছে। “শর্তটি” হলো – “যদি তিনি প্রতি সারিতে সারির সংখ্যা অপেক্ষা 24 টি করে বেশি গাছ লাগাতেন, তাহলে 10 টি চারাগাছ অতিরিক্ত থাকত।” অর্থাৎ 350-10 = 340 টি চারা লাগানো হয়েছে।)
ধরি, সারির সংখ্যা = x
প্রতি সারিতে চারাগাছের সংখ্যা = (x+24)
মোট লাগানো চারাগাছের সংখ্যা = (সারির সংখ্যা) \times (প্রতি সারিতে চারা)
মোট লাগানো চারা = 350 - 10 = 340 টি।
শর্তানুসারে, x(x+24) = 340
বা, x^2+24x-340 = 0
শ্রীধর আচার্যের সূত্র (a=1, b=24, c=-340) অনুযায়ী,
নিরূপক = (24)^2 - 4(1)(-340) = 576 + 1360 = 1936 (> 0, বাস্তব বীজ আছে)
সুতরাং, x = \frac{-24+44}{2} = \frac{20}{2} = 10
অথবা, x = \frac{-24-44}{2} = \frac{-68}{2} = -34
সারির সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x = 10
উত্তর: সারির সংখ্যা 10 টি।
(vi) জোসেফ এবং কুন্তল একটি কারখানায় কাজ করে। জোসেফ একটি জিনিস তৈরি করতে কুন্তলের চেয়ে 5 মিনিট কম সময় নেয়। 6 ঘন্টা কাজ করে জোসেফ, কুন্তলের চেয়ে 6 টি জিনিস বেশি তৈরি করে। কুন্তল ওই সময়ে কটি জিনিস তৈরি করে হিসাব করে লিখি।
সমাধান (vi):
ধরি, কুন্তলের 1 টি জিনিস তৈরি করতে সময় লাগে = x মিনিট
জোসেফের 1 টি জিনিস তৈরি করতে সময় লাগে = (x-5) মিনিট
মোট সময় = 6 ঘন্টা = 6 \times 60 = 360 মিনিট
360 মিনিটে কুন্তল তৈরি করে = \frac{360}{x} টি জিনিস
360 মিনিটে জোসেফ তৈরি করে = \frac{360}{x-5} টি জিনিস
শর্তানুসারে, (জোসেফের তৈরি জিনিস) – (কুন্তলের তৈরি জিনিস) = 6
বা, \frac{360}{x-5} - \frac{360}{x} = 6
বা, 360 \left( \frac{x-(x-5)}{x(x-5)} \right) = 6
বা, 360 \left( \frac{5}{x^2-5x} \right) = 6
বা, 1800 = 6(x^2-5x)
বা, 300 = x^2-5x
বা, x^2-5x-300 = 0
শ্রীধর আচার্যের সূত্র (a=1, b=-5, c=-300) অনুযায়ী,
নিরূপক = (-5)^2 - 4(1)(-300) = 25 + 1200 = 1225 (> 0, বাস্তব বীজ আছে)
সুতরাং, x = \frac{5+35}{2} = \frac{40}{2} = 20
অথবা, x = \frac{5-35}{2} = \frac{-30}{2} = -15
সময় ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x = 20
কুন্তলের 1 টি জিনিস করতে 20 মিনিট সময় লাগে।
সুতরাং, 6 ঘন্টায় (360 মিনিটে) কুন্তল তৈরি করে = \frac{360}{20} = 18 টি জিনিস।
উত্তর: কুন্তল 6 ঘন্টায় 18 টি জিনিস তৈরি করে।
(vii) স্থির জলে একটি নৌকার গতিবেগ 8 কিমি./ঘন্টা। নৌকাটি 5 ঘন্টায় স্রোতের অনুকূলে 15 কিমি. এবং স্রোতের প্রতিকূলে 22 কিমি. গেলে, স্রোতের বেগ কত ছিল হিসাব করে লিখি।
সমাধান (vii):
ধরি, স্রোতের বেগ = x কিমি./ঘন্টা (যেখানে x < 8)
স্থির জলে নৌকার বেগ = 8 কিমি./ঘন্টা
স্রোতের অনুকূলে বেগ = (8+x) কিমি./ঘন্টা
স্রোতের প্রতিকূলে বেগ = (8-x) কিমি./ঘন্টা
অনুকূলে 15 কিমি. যেতে সময় লাগে = \frac{15}{8+x} ঘন্টা
প্রতিকূলে 22 কিমি. যেতে সময় লাগে = \frac{22}{8-x} ঘন্টা
শর্তানুসারে, মোট সময় = 5 ঘন্টা
বা, \frac{15}{8+x} + \frac{22}{8-x} = 5
বা, \frac{15(8-x) + 22(8+x)}{(8+x)(8-x)} = 5
বা, \frac{120 - 15x + 176 + 22x}{64 - x^2} = 5
বা, \frac{296 + 7x}{64 - x^2} = 5
বা, 296 + 7x = 5(64 - x^2)
বা, 296 + 7x = 320 - 5x^2
বা, 5x^2 + 7x + 296 - 320 = 0
বা, 5x^2 + 7x - 24 = 0
শ্রীধর আচার্যের সূত্র (a=5, b=7, c=-24) অনুযায়ী,
নিরূপক = (7)^2 - 4(5)(-24) = 49 + 480 = 529 (> 0, বাস্তব বীজ আছে)
সুতরাং, x = \frac{-7+23}{10} = \frac{16}{10} = 1.6
অথবা, x = \frac{-7-23}{10} = \frac{-30}{10} = -3
স্রোতের বেগ ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x = 1.6
উত্তর: স্রোতের বেগ 1.6 কিমি./ঘন্টা।
(viii) একটি সুপারফাস্ট ট্রেন একটি এক্সপ্রেস ট্রেনের থেকে ঘন্টায় 15 কিমি. বেশি বেগে যায়। … 180 কিমি. দূরে … সুপারফাস্ট ট্রেনটির গতিবেগ ঘন্টায় কত ছিল, নির্ণয় করি।
সমাধান (viii):
ধরি, সুপারফাস্ট ট্রেনের গতিবেগ = x কিমি./ঘন্টা
এক্সপ্রেস ট্রেনের গতিবেগ = (x-15) কিমি./ঘন্টা
দূরত্ব = 180 কিমি.
সুপারফাস্ট ট্রেনের সময় লাগে = \frac{180}{x} ঘন্টা
এক্সপ্রেস ট্রেনের সময় লাগে = \frac{180}{x-15} ঘন্টা
শর্তানুসারে, (এক্সপ্রেস ট্রেনের সময়) – (সুপারফাস্ট ট্রেনের সময়) = 1 ঘন্টা
বা, \frac{180}{x-15} - \frac{180}{x} = 1
বা, 180 \left( \frac{x-(x-15)}{x(x-15)} \right) = 1
বা, 180 \left( \frac{15}{x^2-15x} \right) = 1
বা, 2700 = x^2-15x
বা, x^2-15x-2700 = 0
শ্রীধর আচার্যের সূত্র (a=1, b=-15, c=-2700) অনুযায়ী,
নিরূপক = (-15)^2 - 4(1)(-2700) = 225 + 10800 = 11025 (> 0, বাস্তব বীজ আছে)
সুতরাং, x = \frac{15+105}{2} = \frac{120}{2} = 60
অথবা, x = \frac{15-105}{2} = \frac{-90}{2} = -45
গতিবেগ ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x = 60
উত্তর: সুপারফাস্ট ট্রেনটির গতিবেগ 60 কিমি./ঘন্টা।
(ix) রেহানা বাজারে গিয়ে দেখল … 240 টাকার মাছ ও 240 টাকার ডাল কিনে মোট যে পরিমাণ মাছ ও ডাল পেল তা 280 টাকায় কেনা চালের পরিমাণের সমান। রেহানা প্রতি কিগ্রা. মাছ কী দামে কিনেছিল হিসাব করি।
সমাধান (ix):
ধরি, প্রতি কিগ্রা. মাছের দাম = x টাকা
প্রতি কিগ্রা. ডালের দাম = (x-20) টাকা
প্রতি কিগ্রা. চালের দাম = (x-40) টাকা
(শর্ত: x > 40 হতে হবে, কারণ চালের দাম ধনাত্মক)
240 টাকায় কেনা মাছের পরিমাণ = \frac{240}{x} কিগ্রা.
240 টাকায় কেনা ডালের পরিমাণ = \frac{240}{x-20} কিগ্রা.
280 টাকায় কেনা চালের পরিমাণ = \frac{280}{x-40} কিগ্রা.
শর্তানুসারে, (মাছের পরিমাণ) + (ডালের পরিমাণ) = (চালের পরিমাণ)
বা, \frac{240}{x} + \frac{240}{x-20} = \frac{280}{x-40}
সমীকরণটিকে 40 দিয়ে ভাগ করে পাই,
বা, \frac{6}{x} + \frac{6}{x-20} = \frac{7}{x-40}
বা, 6 \left( \frac{(x-20)+x}{x(x-20)} \right) = \frac{7}{x-40}
বা, 6 \left( \frac{2x-20}{x^2-20x} \right) = \frac{7}{x-40}
বা, 6(2x-20)(x-40) = 7(x^2-20x)
বা, 6(2x^2 - 80x - 20x + 800) = 7x^2 - 140x
বা, 6(2x^2 - 100x + 800) = 7x^2 - 140x
বা, 12x^2 - 600x + 4800 = 7x^2 - 140x
বা, 5x^2 - 460x + 4800 = 0
বা, x^2 - 92x + 960 = 0 (5 দিয়ে ভাগ করে)
শ্রীধর আচার্যের সূত্র (a=1, b=-92, c=960) অনুযায়ী,
নিরূপক = (-92)^2 - 4(1)(960) = 8464 - 3840 = 4624 (> 0, বাস্তব বীজ আছে)
সুতরাং, x = \frac{92+68}{2} = \frac{160}{2} = 80
অথবা, x = \frac{92-68}{2} = \frac{24}{2} = 12
যদি x=12 হয়, তবে চালের দাম (12-40) ঋণাত্মক হবে, যা অসম্ভব।
সুতরাং, x = 80
উত্তর: রেহানা প্রতি কিগ্রা. মাছ 80 টাকায় কিনেছিল।
শেয়ার