দশম শ্রেণী গনিত: বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি 3.2
WBBSE Class 10 Maths Kose Dekhi 3.2 | বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য
(Page 65 | Q-1 to Q-6)
দ্রষ্টব্য: এই অধ্যায়ের অঙ্কগুলি সমাধানের জন্য মূল সূত্রটি হলো পিথাগোরাসের উপপাদ্য: (অতিভুজ)² = (লম্ব)² + (ভূমি)²। এখানে, অতিভুজ = ব্যাসার্ধ ($r$), লম্ব = কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর দূরত্ব ($d$), এবং ভূমি = জ্যা-এর অর্ধেক দৈর্ঘ্য ($a/2$)।
(সাধারণ চিত্র: একটি বৃত্তের কেন্দ্র $O$, জ্যা $AB$, এবং কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর ওপর লম্ব $OM$। তাহলে $\triangle OMA$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ।)
১. $O$ কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি. এবং $AB$ একটি জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 8 সেমি.। $O$ বিন্দু থেকে $AB$ জ্যা-এর দূরত্ব হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
দেওয়া আছে,
- বৃত্তের ব্যাসার্ধ ($r$) = 5 সেমি.
- জ্যা-এর দৈর্ঘ্য ($AB$) = 8 সেমি.
আমরা জানি, কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
সুতরাং, অর্ধ-জ্যা = $\frac{8}{2} = 4$ সেমি.
ধরি, $O$ বিন্দু থেকে জ্যা-এর দূরত্ব = $x$ সেমি.
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
$x^2 + 4^2 = 5^2$
বা, $x^2 + 16 = 25$
বা, $x^2 = 25 – 16 = 9$
বা, $x = \sqrt{9} = 3$
উত্তর: $O$ বিন্দু থেকে $AB$ জ্যা-এর দূরত্ব 3 সেমি.।
২. $O$ কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 26 সেমি.। $O$ বিন্দু থেকে $PQ$ জ্যা-এর দূরত্ব 5 সেমি.। $PQ$ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
দেওয়া আছে,
- বৃত্তের ব্যাস = 26 সেমি. $\therefore$ ব্যাসার্ধ ($r$) = $\frac{26}{2} = 13$ সেমি.
- কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর দূরত্ব = 5 সেমি.
ধরি, জ্যা-এর অর্ধেক দৈর্ঘ্য = $x$ সেমি.
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
$x^2 + 5^2 = 13^2$
বা, $x^2 + 25 = 169$
বা, $x^2 = 169 – 25 = 144$
বা, $x = \sqrt{144} = 12$
সুতরাং, $PQ$ জ্যা-এর মোট দৈর্ঘ্য = $2 \times 12 = 24$ সেমি.
উত্তর: $PQ$ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 24 সেমি.।
৩. $O$ কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের $PQ$ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 4 সেমি. এবং $O$ বিন্দু থেকে $PQ$-এর দূরত্ব 2.1 সেমি.। বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
দেওয়া আছে,
- জ্যা ($PQ$) = 4 সেমি. $\therefore$ অর্ধ-জ্যা = $\frac{4}{2} = 2$ সেমি.
- কেন্দ্র থেকে দূরত্ব = 2.1 সেমি.
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = $r$ সেমি.
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
$r^2 = (2)^2 + (2.1)^2$
বা, $r^2 = 4 + 4.41$
বা, $r^2 = 8.41$
বা, $r = \sqrt{8.41} = 2.9$
সুতরাং, ব্যাসার্ধ 2.9 সেমি.
অতএব, ব্যাসের দৈর্ঘ্য = $2 \times 2.9 = 5.8$ সেমি.
উত্তর: বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 5.8 সেমি.।
৪. $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তে 6 সেমি. ও 8 সেমি. দৈর্ঘ্যের দুটি জ্যা। যদি ছোটো দৈর্ঘ্যের জ্যাটির বৃত্তের কেন্দ্র থেকে দূরত্ব 4 সেমি. হয়, তাহলে অপর জ্যাটির কেন্দ্র থেকে দূরত্ব কত তা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
১ম ক্ষেত্র (ছোট জ্যা):
জ্যা = 6 সেমি., অর্ধ-জ্যা = 3 সেমি.। দূরত্ব = 4 সেমি.।
ব্যাসার্ধ ($r$) = $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ সেমি.
যেহেতু একই বৃত্ত, তাই ব্যাসার্ধ সর্বদা সমান ($r=5$)।
২য় ক্ষেত্র (বড় জ্যা):
জ্যা = 8 সেমি., অর্ধ-জ্যা = 4 সেমি.। ব্যাসার্ধ = 5 সেমি.।
ধরি, দূরত্ব = $x$ সেমি.
$x^2 + 4^2 = 5^2$
বা, $x^2 + 16 = 25$
বা, $x^2 = 9 \implies x = 3$
উত্তর: অপর জ্যাটির কেন্দ্র থেকে দূরত্ব 3 সেমি.।
৫. যদি কোনো বৃত্তের একটি জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 48 সেমি. এবং কেন্দ্র থেকে ওই জ্যা-এর দূরত্ব 7 সেমি. হয়, তবে ওই বৃত্তের কেন্দ্র থেকে যে জ্যা-এর দূরত্ব 20 সেমি., সেই জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত হবে তা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
১ম অংশ (ব্যাসার্ধ নির্ণয়):
জ্যা = 48 সেমি., অর্ধ-জ্যা = 24 সেমি.। দূরত্ব = 7 সেমি.।
ব্যাসার্ধ ($r$) = $\sqrt{24^2 + 7^2} = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25$ সেমি.
২য় অংশ (নতুন জ্যা-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয়):
কেন্দ্র থেকে দূরত্ব = 20 সেমি.। ব্যাসার্ধ = 25 সেমি.।
ধরি, নতুন জ্যা-এর অর্ধেক দৈর্ঘ্য = $y$ সেমি.
$y^2 + 20^2 = 25^2$
বা, $y^2 + 400 = 625$
বা, $y^2 = 225 \implies y = 15$
সুতরাং, নতুন জ্যা-এর মোট দৈর্ঘ্য = $2 \times 15 = 30$ সেমি.
উত্তর: সেই জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 30 সেমি.।
৬. পাশের $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তের ছবিতে $OP \perp AB$; $AB=6$ সেমি. এবং $PC=2$ সেমি. হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
দেওয়া আছে, $AB = 6$ সেমি.। যেহেতু $OP \perp AB$, তাই $P$, $AB$-এর মধ্যবিন্দু।
সুতরাং, $AP = \frac{6}{2} = 3$ সেমি.
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = $r$ সেমি.।
চিত্রানুযায়ী, $OC$ হলো বৃত্তের ব্যাসার্ধ, তাই $OC = r$।
দেওয়া আছে $PC = 2$ সেমি., তাই $OP = OC – PC = r – 2$ সেমি.।
এখন সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle OAP$ থেকে পাই (অতিভুজ $OA$ হলো ব্যাসার্ধ $r$),
$OA^2 = OP^2 + AP^2$
বা, $r^2 = (r-2)^2 + 3^2$
বা, $r^2 = r^2 – 4r + 4 + 9$
বা, $4r = 13$
বা, $r = \frac{13}{4} = 3.25$
উত্তর: বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 3.25 সেমি.।
জ্যামিতিক প্রমাণ ও প্রয়োগ (Questions 7-15)
৭. একটি সরলরেখা দুটি এককেন্দ্রীয় বৃত্তের একটিকে $A$ ও $B$ বিন্দুতে এবং অপরটিকে $C$ ও $D$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। যুক্তি দিয়ে প্রমাণ করি যে $AC = DB$
সমাধান:
প্রদত্ত: $O$ কেন্দ্রীয় দুটি এককেন্দ্রীয় বৃত্ত। একটি সরলরেখা তাদের যথাক্রমে $A, B$ এবং $C, D$ বিন্দুতে ছেদ করেছে।
অঙ্কন: কেন্দ্র $O$ থেকে ওই সরলরেখার ওপর $OM$ লম্ব অঙ্কন করলাম।
প্রমাণ:
যেহেতু $OM$ লম্ব জ্যা $CD$-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে (ছোট বৃত্তের ক্ষেত্রে),
$\therefore CM = MD$ … (i)
আবার, $OM$ লম্ব জ্যা $AB$-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে (বড় বৃত্তের ক্ষেত্রে),
$\therefore AM = MB$ … (ii)
(ii) থেকে (i) বিয়োগ করে পাই,
$AM – CM = MB – MD$
বা, $AC = DB$ (প্রমাণিত)
৮. প্রমাণ করি, কোনো বৃত্তের দুটি পরস্পরচ্ছেদী জ্যা পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করতে পারে না, যদি না উভয়ই বৃত্তের ব্যাস হয়।
সমাধান:
ধরি, $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তের দুটি জ্যা $AB$ ও $CD$ পরস্পরকে $P$ বিন্দুতে ছেদ করেছে।
যদি $P$ বিন্দু $O$ বিন্দুর সাথে মিলে যায় (অর্থাৎ ছেদবিন্দুটি কেন্দ্র হয়), তবে জ্যা দুটি ব্যাস হবে এবং পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করবে।
কিন্তু যদি তারা ব্যাস না হয় এবং $P$ বিন্দু কেন্দ্র না হয়:
ধরি, $AB$ জ্যা $CD$-কে এবং $CD$ জ্যা $AB$-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
তাহলে, $P$ হলো $AB$-এর মধ্যবিন্দু $\Rightarrow OP \perp AB \Rightarrow \angle OPA = 90^\circ$
আবার, $P$ হলো $CD$-এর মধ্যবিন্দু $\Rightarrow OP \perp CD \Rightarrow \angle OPC = 90^\circ$
একই বিন্দু $P$-তে $OP$ রেখাংশ দুটি ভিন্ন সরলরেখার ওপর লম্ব হতে পারে না (যদি না তারা একই সরলরেখা হয়)।
সুতরাং, ব্যাস ছাড়া অন্য কোনো জ্যা পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করতে পারে না। (প্রমাণিত)
৯. $X$ ও $Y$ কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত পরস্পরকে $A$ ও $B$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। $XY$-এর মধ্যবিন্দু $S$-এর সঙ্গে $A$ বিন্দু যুক্ত করলাম এবং $A$ বিন্দু দিয়ে $SA$-এর ওপর লম্ব অঙ্কন করলাম যা বৃত্ত দুটিকে $P$ ও $Q$ বিন্দুতে ছেদ করল। প্রমাণ করি যে $PA = AQ$।
সমাধান:
অঙ্কন: $X$ ও $Y$ থেকে $PQ$-এর ওপর যথাক্রমে $XM$ ও $YN$ লম্ব টানলাম।
প্রমাণ:
যেহেতু $XM \perp PQ$, তাই $M$, $PA$-এর মধ্যবিন্দু। $\therefore PA = 2MA$
যেহেতু $YN \perp PQ$, তাই $N$, $AQ$-এর মধ্যবিন্দু। $\therefore AQ = 2AN$
আবার, $SA \perp PQ$ এবং $XM \perp PQ$ এবং $YN \perp PQ$। সুতরাং $XM, SA, YN$ পরস্পর সমান্তরাল।
যেহেতু $S$, $XY$-এর মধ্যবিন্দু এবং সমান্তরাল রেখাগুলি ছেদক থেকে সমান অংশ ছিন্ন করে, তাই $A$ হবে $MN$-এর মধ্যবিন্দু।
$\therefore MA = AN$
$\Rightarrow 2MA = 2AN$
$\Rightarrow PA = AQ$ (প্রমাণিত)
১০. $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তের 10 সেমি. ও 24 সেমি. দৈর্ঘ্যের দুটি সমান্তরাল জ্যা $AB$ এবং $CD$ কেন্দ্রের বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত। যদি $AB$ ও $CD$-জ্যা দুটির মধ্যে দূরত্ব 17 সেমি. হয়, তবে হিসাব করে বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য লিখি।
সমাধান:
ধরি, ব্যাসার্ধ = $r$ সেমি.।
$AB = 10$ সেমি. $\therefore$ অর্ধ-জ্যা = 5 সেমি.।
$CD = 24$ সেমি. $\therefore$ অর্ধ-জ্যা = 12 সেমি.।
ধরি, কেন্দ্র থেকে $AB$ জ্যা-এর দূরত্ব $x$ সেমি.।
যেহেতু জ্যা দুটির মোট দূরত্ব 17 সেমি. এবং তারা বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত, তাই কেন্দ্র থেকে $CD$ জ্যা-এর দূরত্ব $(17-x)$ সেমি.।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
$r^2 = x^2 + 5^2$ … (i)
$r^2 = (17-x)^2 + 12^2$ … (ii)
শর্তানুসারে,
$x^2 + 25 = (17-x)^2 + 144$
$x^2 + 25 = 289 – 34x + x^2 + 144$
$34x = 289 + 144 – 25$
$34x = 408$
$x = \frac{408}{34} = 12$
(i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
$r^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$
$\therefore r = \sqrt{169} = 13$
উত্তর: বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 13 সেমি.।
১১. দুটি বৃত্তের কেন্দ্র $P$ এবং $Q$; বৃত্ত দুটি $A$ এবং $B$ বিন্দুতে ছেদ করে। $A$ বিন্দু দিয়ে $PQ$ সরলরেখাংশের সমান্তরাল সরলরেখা বৃত্ত দুটিকে $C$ ও $D$ বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, $CD = 2PQ$
সমাধান:
অঙ্কন: $P$ ও $Q$ থেকে $CD$-এর ওপর যথাক্রমে $PM$ ও $QN$ লম্ব টানলাম।
প্রমাণ:
যেহেতু $CD \parallel PQ$ এবং $PM, QN$ উভয়েই $CD$-এর ওপর লম্ব, তাই $PMNQ$ একটি আয়তক্ষেত্র।
$\therefore MN = PQ$
আবার, $PM \perp AC$ (জ্যা), তাই $M$, $AC$-এর মধ্যবিন্দু। $\therefore AC = 2AM$
$QN \perp AD$ (জ্যা), তাই $N$, $AD$-এর মধ্যবিন্দু। $\therefore AD = 2AN$
চিত্রানুযায়ী, $CD = CA + AD$ (যদি কেন্দ্রদ্বয় বিপরীত দিকে থাকে) বা সাধারণত এই ক্ষেত্রে $CD$ একটি ছেদক যা পুরোটা জুড়ে থাকে।
আসলে, $M$ হলো $CA$-এর মধ্যবিন্দু নয়, $C$ ও $A$ পরিধিতে অবস্থিত। $P$ কেন্দ্র থেকে লম্ব $M$ জ্যা $CA$-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। অর্থাৎ $CM=MA$।
একইভাবে $Q$ কেন্দ্র থেকে লম্ব $N$ জ্যা $AD$-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। অর্থাৎ $AN=ND$।
$\therefore CD = CA + AD = 2MA + 2AN = 2(MA + AN) = 2MN$
যেহেতু $MN = PQ$,
$\therefore CD = 2PQ$ (প্রমাণিত)
১২. একটি বৃত্তের $AB$ ও $AC$ জ্যা দুটি সমান। প্রমাণ করি যে, $\angle BAC$-এর সমদ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী।
সমাধান:
ধরি, $O$ বৃত্তের কেন্দ্র। $AB$ ও $AC$ দুটি সমান জ্যা।
আমরা $\triangle OAB$ এবং $\triangle OAC$ তুলনা করি:
1. $OA = OA$ (সাধারণ বাহু)
2. $OB = OC$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
3. $AB = AC$ (প্রদত্ত)
$\therefore \triangle OAB \cong \triangle OAC$ (S-S-S শর্তানুসারে)
$\therefore \angle OAB = \angle OAC$
অর্থাৎ, $OA$ রেখাংশ $\angle BAC$-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
যেহেতু $OA$ কেন্দ্র $O$ বিন্দুগামী, তাই $\angle BAC$-এর সমদ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী। (প্রমাণিত)
১৩. একটি বৃত্তের দুটি পরস্পরচ্ছেদী জ্যা-এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখণ্ডক যদি কেন্দ্রগামী হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে, জ্যা দুটি সমান।
সমাধান:
(এটি ১২ নং উপপাদ্যের বিপরীত)।
কেন্দ্র থেকে জ্যা দুটির ওপর লম্ব অঙ্কন করে দুটি সর্বসম ত্রিভুজ (R-H-S শর্তে) পাওয়া যাবে। সেখান থেকে প্রমাণ করা যায় যে কেন্দ্র থেকে জ্যা দুটির দূরত্ব সমান। আর কেন্দ্র থেকে দূরত্ব সমান হলে জ্যা দুটির দৈর্ঘ্যও সমান হবে।
১৪. প্রমাণ করি, একটি বৃত্তে দুটি জ্যা-এর মধ্যে যে জ্যাটি কেন্দ্রের নিকটবর্তী সেটির দৈর্ঘ্য অপর জ্যা-টির দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর।
সংকেত: পিথাগোরাসের উপপাদ্য $r^2 = d^2 + (l/2)^2$ ব্যবহার করে দেখা যায়, দূরত্ব ($d$) কমলে জ্যা-এর দৈর্ঘ্য ($l$) বাড়ে।
১৫. একটি বৃত্তের ভিতর যে-কোনো বিন্দু দিয়ে ক্ষুদ্রতম জ্যা কোনটি হবে তা প্রমাণ করে লিখি।
উত্তর: বৃত্তের ভিতর কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুগামী জ্যাগুলির মধ্যে যে জ্যাটি ওই বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসের ওপর লম্ব, সেটিই হবে ক্ষুদ্রতম জ্যা।
১৬. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):
(i) $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তের $AB$ ও $CD$ জ্যা দুটির দৈর্ঘ্য সমান। $\angle AOB = 60^\circ$ হলে, $\angle COD$-এর মান
সমাধান: সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা কেন্দ্রে সমান কোণ উৎপন্ন করে।
উত্তর: (c) $60^\circ$
(ii) একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 13 সেমি. এবং বৃত্তের একটি জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 10 সেমি.। বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর দূরত্ব
সমাধান: অর্ধ-জ্যা = 5 সেমি.। দূরত্ব = $\sqrt{13^2 – 5^2} = \sqrt{169-25} = \sqrt{144} = 12$ সেমি.।
উত্তর: (b) 12 সেমি.
(iii) $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তের $AB$ ও $CD$ দুটি সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা। $O$ বিন্দু থেকে $AB$ জ্যা-এর দূরত্ব 4 সেমি. হলে, $CD$ জ্যা-এর দূরত্ব
সমাধান: সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী হয়।
উত্তর: (b) 4 সেমি.
(iv) $AB$ ও $CD$ দুটি সমান্তরাল জ্যা-এর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 16 সেমি.। বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 10 সেমি. হলে, জ্যা দুটির মধ্যে দূরত্ব
সমাধান: যেহেতু জ্যা দুটির দৈর্ঘ্য সমান, তারা কেন্দ্রের বিপরীত পাশে সমদূরবর্তী হবে।
অর্ধ-জ্যা = 8 সেমি.। কেন্দ্র থেকে দূরত্ব = $\sqrt{10^2 – 8^2} = 6$ সেমি.।
মোট দূরত্ব = $6 + 6 = 12$ সেমি.।
উত্তর: (a) 12 সেমি.
(v) দুটি সমকেন্দ্রীয় বৃত্তের কেন্দ্র $O$; একটি সরলরেখা একটি বৃত্তকে $A$ ও $B$ বিন্দুতে এবং অপর বৃত্তকে $C$ ও $D$ বিন্দুতে ছেদ করে। $AC = 5$ সেমি. হলে $BD$-এর দৈর্ঘ্য
সমাধান: ৭ নং উপপাদ্য অনুযায়ী $AC = BD$।
উত্তর: (b) 5 সেমি.
(B) সত্য / মিথ্যা লিখি:
- (i) তিনটি সমরেখ বিন্দু দিয়ে যায় এরকম একটি বৃত্ত অঙ্কন করা যায়। — মিথ্যা (অসমরেখ হতে হবে)।
- (ii) $ABCDA$ ও $ABCEA$ বৃত্ত দুটি একই বৃত্ত। — সত্য (কারণ তিনটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী একটাই বৃত্ত হয়)।
- (iii) $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তের $AB$ এবং $AC$ জ্যা দুটি $OA$ ব্যাসার্ধের বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত হলে, $\angle OAB = \angle OAC$। — সত্য (সর্বসম ত্রিভুজ থেকে প্রমাণিত)।
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:
- (i) $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তে $PQ$ ও $RS$ জ্যা দুটির দৈর্ঘ্যের অনুপাত 1:1 হলে, $\angle POQ : \angle ROS =$ 1:1 (সমান জ্যা সমান কোণ তৈরি করে)।
- (ii) বৃত্তের কোনো জ্যা-এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক ওই বৃত্তের কেন্দ্রগামী।
১৭. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) 10 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের দুটি সমান বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ করে এবং তাদের সাধারণ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 12 সেমি.। বৃত্ত দুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করি।
সমাধান:
[attachment_0](attachment)
সাধারণ জ্যা = 12 সেমি. $\therefore$ অর্ধ-জ্যা = 6 সেমি.।
ব্যাসার্ধ = 10 সেমি.।
একটি বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর দূরত্ব = $\sqrt{10^2 – 6^2} = \sqrt{100-36} = \sqrt{64} = 8$ সেমি.।
যেহেতু বৃত্ত দুটি সমান, অপরটির ক্ষেত্রেও দূরত্ব একই হবে।
কেন্দ্রদ্বয়ের মোট দূরত্ব = $8 + 8 = 16$ সেমি.।
উত্তর: 16 সেমি.
(ii) 5 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তে $AB$ এবং $AC$ দুটি সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা। বৃত্তের কেন্দ্র $ABC$ ত্রিভুজের বাইরে অবস্থিত। $AB = AC = 6$ সেমি. হলে, $BC$ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, কেন্দ্র $O$। $OA$ ব্যাসার্ধ $BC$ জ্যা-কে লম্বভাবে সমদ্বিখণ্ডিত করে (ধরি $M$ বিন্দুতে)।
পিথাগোরাসের সূত্র ও জ্যামিতিক ধর্ম ব্যবহার করে পাওয়া যায় (বিস্তারিত ক্যালকুলেশন):
যদি $OM = x$ হয়, তবে $MC = \sqrt{25-x^2}$। আবার $\triangle AMC$ থেকে $6^2 – MC^2 = AM^2 = (5+x)^2$ [যেহেতু কেন্দ্র ত্রিভুজের বাইরে] এভাবে সমাধান করে $BC$-এর মান বের করা যায়।
সহজ সূত্র: $BC = 2 \times \frac{AB \times AC \times \sqrt{4r^2 – AB^2}}{2r \times AB}$ নয়, জ্যামিতিক পদ্ধতিতে করে পাই:
$BC = 9.6$ সেমি.।
উত্তর: 9.6 সেমি.
(iii) $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তে $AB$ ও $CD$ জ্যা দুটির দৈর্ঘ্য সমান। $\angle AOB = 60^\circ$ এবং $CD = 6$ সেমি. হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত তা নির্ণয় করি।
সমাধান:
যেহেতু জ্যা সমান, তাই $\angle COD = \angle AOB = 60^\circ$।
$\triangle COD$-এ $OC=OD$ (ব্যাসার্ধ) এবং একটি কোণ $60^\circ$, তাই এটি একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
সুতরাং, ব্যাসার্ধ $OC = CD = 6$ সেমি.।
উত্তর: 6 সেমি.
(iv) $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তের ভিতর $P$ যে-কোনো একটি বিন্দু। বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি. এবং $OP = 3$ সেমি. হলে, $P$ বিন্দুগামী যে জ্যাটির দৈর্ঘ্য ন্যূনতম তা নির্ণয় করি।
সমাধান:
ন্যূনতম দৈর্ঘ্যের জ্যাটি $OP$-এর ওপর লম্ব হবে।
এখানে, অতিভুজ (ব্যাসার্ধ) = 5, লম্ব ($OP$) = 3।
ভূমি (অর্ধ-জ্যা) = $\sqrt{5^2 – 3^2} = 4$ সেমি.।
মোট জ্যা-এর দৈর্ঘ্য = $2 \times 4 = 8$ সেমি.।
উত্তর: 8 সেমি.
(v) $P$ ও $Q$ কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত $A$ ও $B$ বিন্দুতে ছেদ করে। $A$ বিন্দু দিয়ে $PQ$-এর সমান্তরাল সরলরেখা বৃত্তদুটিকে যথাক্রমে $C$ ও $D$ বিন্দুতে ছেদ করে। $PQ = 5$ সেমি. হলে, $CD$-এর দৈর্ঘ্য কত তা নির্ণয় করি।
সমাধান:
১১ নং প্রশ্নের প্রমাণ অনুযায়ী, $CD = 2 \times PQ$।
$CD = 2 \times 5 = 10$ সেমি.।
উত্তর: 10 সেমি.
শেয়ার