দশম শ্রেণী গনিত: অনুপাত সমানুপাত কষে দেখি – 5.2
WBBSE Class 10 Maths Kose Dekhi 5.2 | সমানুপাত (সম্পূর্ণ সমাধান)
(Page 87 | Q-1 to Q-10)
১. নিম্নলিখিত সমানুপাতে x-এর মান নির্ণয় করি:
(i) $10:35::x:42$
সমাধান:
$\frac{10}{35} = \frac{x}{42}$
বা, $35 \times x = 10 \times 42$
বা, $x = \frac{10 \times 42}{35}$
বা, $x = \frac{2 \times 6}{1} = 12$
উত্তর: $x = 12$
(ii) $x:50::3:2$
সমাধান:
$\frac{x}{50} = \frac{3}{2}$
বা, $2x = 3 \times 50$
বা, $x = \frac{150}{2} = 75$
উত্তর: $x = 75$
২. নিম্নলিখিত রাশিগুলির চতুর্থ সমানুপাতী নির্ণয় করি:
(i) $\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}$
সমাধান:
ধরি, চতুর্থ সমানুপাতী $x$।
$\frac{1}{3} : \frac{1}{4} :: \frac{1}{5} : x$
বা, $\frac{1/3}{1/4} = \frac{1/5}{x}$
বা, $\frac{4}{3} = \frac{1}{5x}$
বা, $20x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{20}$
উত্তর: $\frac{3}{20}$
(ii) 9.6 কিগ্রা., 7.6 কিগ্রা., 28.8 কিগ্রা.
সমাধান:
ধরি, চতুর্থ সমানুপাতী $x$ কিগ্রা.।
$\frac{9.6}{7.6} = \frac{28.8}{x}$
বা, $x = \frac{7.6 \times 28.8}{9.6} = 7.6 \times 3 = 22.8$
উত্তর: 22.8 কিগ্রা.
(iii) $x^2y, y^2z, z^2x$
সমাধান:
ধরি, চতুর্থ সমানুপাতী $p$।
$\frac{x^2y}{y^2z} = \frac{z^2x}{p}$
বা, $\frac{x^2}{yz} = \frac{z^2x}{p}$
বা, $p \times x^2 = yz \times z^2x$
বা, $p = \frac{xyz^3}{x^2} = \frac{yz^3}{x}$
উত্তর: $\frac{yz^3}{x}$
(iv) $(p-q), (p^2-q^2), (p^2-pq+q^2)$
সমাধান:
ধরি, চতুর্থ সমানুপাতী $x$।
$\frac{p-q}{p^2-q^2} = \frac{p^2-pq+q^2}{x}$
বা, $\frac{p-q}{(p-q)(p+q)} = \frac{p^2-pq+q^2}{x}$
বা, $\frac{1}{p+q} = \frac{p^2-pq+q^2}{x}$
বা, $x = (p+q)(p^2-pq+q^2) = p^3+q^3$
উত্তর: $p^3+q^3$
৩. নিম্নলিখিত রাশিগুলির তৃতীয় সমানুপাতী নির্ণয় করি:
(i) 5, 10
সমাধান:
ধরি, তৃতীয় সমানুপাতী $x$।
$5 : 10 :: 10 : x$
বা, $\frac{5}{10} = \frac{10}{x}$
বা, $5x = 100 \Rightarrow x = 20$
উত্তর: 20
(ii) 0.24, 0.6
সমাধান:
ধরি, তৃতীয় সমানুপাতী $x$।
$\frac{0.24}{0.6} = \frac{0.6}{x}$
বা, $0.24x = 0.36$
বা, $x = \frac{0.36}{0.24} = \frac{36}{24} = 1.5$
উত্তর: 1.5
(iii) $p^3q^2, q^2r$
সমাধান:
ধরি, তৃতীয় সমানুপাতী $x$।
$\frac{p^3q^2}{q^2r} = \frac{q^2r}{x}$
বা, $\frac{p^3}{r} = \frac{q^2r}{x}$
বা, $p^3x = q^2r^2$
বা, $x = \frac{q^2r^2}{p^3}$
উত্তর: $\frac{q^2r^2}{p^3}$
(iv) $(x-y)^2, (x^2-y^2)^2$
সমাধান:
ধরি, তৃতীয় সমানুপাতী $k$।
$\frac{(x-y)^2}{(x^2-y^2)^2} = \frac{(x^2-y^2)^2}{k}$
বা, $k = \frac{[(x^2-y^2)^2]^2}{(x-y)^2} = \frac{(x^2-y^2)^4}{(x-y)^2}$
বা, $k = \frac{[(x-y)(x+y)]^4}{(x-y)^2} = \frac{(x-y)^4(x+y)^4}{(x-y)^2} = (x-y)^2(x+y)^4$
উত্তর: $(x-y)^2(x+y)^4$
৪. নিম্নলিখিত ধনাত্মক রাশিগুলির মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় করি:
(i) 5 এবং 80
সমাধান:
মধ্যসমানুপাতী = $\sqrt{5 \times 80} = \sqrt{400} = 20$
উত্তর: 20
(ii) 8.1 এবং 2.5
সমাধান:
মধ্যসমানুপাতী = $\sqrt{8.1 \times 2.5} = \sqrt{\frac{81}{10} \times \frac{25}{10}} = \sqrt{\frac{2025}{100}} = \frac{45}{10} = 4.5$
উত্তর: 4.5
(iii) $x^3y$ এবং $xy^3$
সমাধান:
মধ্যসমানুপাতী = $\sqrt{x^3y \times xy^3} = \sqrt{x^4y^4} = x^2y^2$
উত্তর: $x^2y^2$
(iv) $(x-y)^2$ এবং $(x+y)^2$
সমাধান:
মধ্যসমানুপাতী = $\sqrt{(x-y)^2 (x+y)^2} = (x-y)(x+y) = x^2-y^2$
উত্তর: $x^2-y^2$
৫. যদি a:b এবং c:d এই অনুপাত দুটি পরস্পর বিপরীতমুখী সম্পর্ক প্রকাশ করে, তবে তাদের ব্যস্ত অনুপাতগুলি কী সম্পর্ক প্রকাশ করে লিখি।
সমাধান:
যেহেতু $a:b$ এবং $c:d$ পরস্পর বিপরীতমুখী (অর্থাৎ $a:b :: d:c$ বা $\frac{a}{b} = \frac{d}{c}$), তাই তাদের ব্যস্ত অনুপাতগুলি হলো যথাক্রমে $b:a$ এবং $d:c$।
আমরা জানি $\frac{a}{b} = \frac{d}{c}$ হলে $\frac{b}{a} = \frac{c}{d}$ হয়।
সুতরাং, ব্যস্ত অনুপাত দুটিও পরস্পর বিপরীতমুখী সম্পর্ক প্রকাশ করবে।
উত্তর: তারাও পরস্পর বিপরীতমুখী সম্পর্ক প্রকাশ করে (বা তারা সমানুপাতী হয়)।
৬. তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যা দিয়ে কটি ক্রমিক সমানুপাত গঠন করা যাবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যা, যেমন $a, b, c$ হলে $\frac{a}{b} = \frac{b}{c}$।
এই একই সংখ্যাগুলি দিয়ে উল্টো ক্রমে সাজালে $c, b, a$ পাওয়া যায়, যেখানে $\frac{c}{b} = \frac{b}{a}$। এটিও একটি ক্রমিক সমানুপাত।
উত্তর: 2 টি ক্রমিক সমানুপাত গঠন করা যাবে।
৭. 5 টি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যার প্রথমটি 2 এবং দ্বিতীয়টি 6 হলে, পঞ্চমটি নির্ণয় করি।
সমাধান:
প্রথম পদ ($a$) = 2, দ্বিতীয় পদ ($b$) = 6।
সাধারণ অনুপাত ($r$) = $\frac{6}{2} = 3$।
যেহেতু সংখ্যাগুলি ক্রমিক সমানুপাতী, তারা গুণোত্তর প্রগতিতে (GP) আছে।
পঞ্চম পদ = $a \times r^4 = 2 \times (3)^4 = 2 \times 81 = 162$
উত্তর: পঞ্চম সংখ্যাটি 162।
৮. 6, 15, 20 ও 43-এর প্রত্যেকটির সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফলগুলি সমানুপাতী হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, $x$ যোগ করতে হবে।
শর্তানুসারে, $\frac{6+x}{15+x} = \frac{20+x}{43+x}$
বা, $(6+x)(43+x) = (15+x)(20+x)$
বা, $258 + 6x + 43x + x^2 = 300 + 15x + 20x + x^2$
বা, $258 + 49x = 300 + 35x$
বা, $49x – 35x = 300 – 258$
বা, $14x = 42$
বা, $x = 3$
উত্তর: 3 যোগ করতে হবে।
৯. 23, 30, 57 এবং 78-এর প্রত্যেকটি থেকে কত বিয়োগ করলে বিয়োগফলগুলি সমানুপাতী হবে নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, $x$ বিয়োগ করতে হবে।
শর্তানুসারে, $\frac{23-x}{30-x} = \frac{57-x}{78-x}$
বা, $(23-x)(78-x) = (30-x)(57-x)$
বা, $1794 – 23x – 78x + x^2 = 1710 – 30x – 57x + x^2$
বা, $1794 – 101x = 1710 – 87x$
বা, $1794 – 1710 = 101x – 87x$
বা, $84 = 14x$
বা, $x = \frac{84}{14} = 6$
উত্তর: 6 বিয়োগ করতে হবে।
১০. p, q, r, s-এর প্রত্যেকটি থেকে কত বিয়োগ করলে বিয়োগফলগুলি সমানুপাতী হবে নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, $x$ বিয়োগ করতে হবে।
শর্তানুসারে, $\frac{p-x}{q-x} = \frac{r-x}{s-x}$
বা, $(p-x)(s-x) = (q-x)(r-x)$
বা, $ps – px – sx + x^2 = qr – qx – rx + x^2$
বা, $ps – x(p+s) = qr – x(q+r)$
বা, $x(q+r) – x(p+s) = qr – ps$
বা, $x(q+r-p-s) = qr – ps$
বা, $x = \frac{qr – ps}{q+r-p-s}$
উত্তর: $\frac{qr – ps}{q+r-p-s}$ বিয়োগ করতে হবে।
শেয়ার