দশম শ্রেণী গনিত: অনুপাত সমানুপাত কষে দেখি 5.3
WBBSE Class 10 Maths Kose Dekhi 5.3 | সমানুপাত (সম্পূর্ণ সমাধান)
(Page 97 | Q-1 to Q-6)
১. $a:b = c:d$ হলে, দেখাই যে,
(i) $(a^2+b^2) : (a^2-b^2) = (ac+bd) : (ac-bd)$
সমাধান:
ধরি, $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$ (যেখানে $k \neq 0$)
$\therefore a = bk, c = dk$
বামপক্ষ (L.H.S) = $\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} = \frac{(bk)^2+b^2}{(bk)^2-b^2} = \frac{b^2k^2+b^2}{b^2k^2-b^2} = \frac{b^2(k^2+1)}{b^2(k^2-1)} = \frac{k^2+1}{k^2-1}$
ডানপক্ষ (R.H.S) = $\frac{ac+bd}{ac-bd} = \frac{(bk)(dk)+bd}{(bk)(dk)-bd} = \frac{bdk^2+bd}{bdk^2-bd} = \frac{bd(k^2+1)}{bd(k^2-1)} = \frac{k^2+1}{k^2-1}$
$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)
(ii) $(a^2+ab+b^2):(a^2-ab+b^2) = (c^2+cd+d^2):(c^2-cd+d^2)$
সমাধান:
বামপক্ষ = $\frac{(bk)^2+(bk)b+b^2}{(bk)^2-(bk)b+b^2} = \frac{b^2k^2+b^2k+b^2}{b^2k^2-b^2k+b^2} = \frac{b^2(k^2+k+1)}{b^2(k^2-k+1)} = \frac{k^2+k+1}{k^2-k+1}$
ডানপক্ষ = $\frac{(dk)^2+(dk)d+d^2}{(dk)^2-(dk)d+d^2} = \frac{d^2k^2+d^2k+d^2}{d^2k^2-d^2k+d^2} = \frac{d^2(k^2+k+1)}{d^2(k^2-k+1)} = \frac{k^2+k+1}{k^2-k+1}$
$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)
(iii) $\sqrt{a^2+c^2} : \sqrt{b^2+d^2} = (pa+qc) : (pb+qd)$
সমাধান:
বামপক্ষ = $\frac{\sqrt{(bk)^2+(dk)^2}}{\sqrt{b^2+d^2}} = \frac{\sqrt{k^2(b^2+d^2)}}{\sqrt{b^2+d^2}} = \frac{k\sqrt{b^2+d^2}}{\sqrt{b^2+d^2}} = k$
ডানপক্ষ = $\frac{p(bk)+q(dk)}{pb+qd} = \frac{k(pb+qd)}{pb+qd} = k$
$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)
২. $x:a = y:b = z:c$ হলে, প্রমাণ করি যে,
(i) $\frac{x^3}{a^2} + \frac{y^3}{b^2} + \frac{z^3}{c^2} = \frac{(x+y+z)^3}{(a+b+c)^2}$
সমাধান:
ধরি, $\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} = k$
$\therefore x=ak, y=bk, z=ck$
বামপক্ষ = $\frac{(ak)^3}{a^2} + \frac{(bk)^3}{b^2} + \frac{(ck)^3}{c^2} = \frac{a^3k^3}{a^2} + \frac{b^3k^3}{b^2} + \frac{c^3k^3}{c^2} = ak^3 + bk^3 + ck^3 = k^3(a+b+c)$
ডানপক্ষ = $\frac{(ak+bk+ck)^3}{(a+b+c)^2} = \frac{[k(a+b+c)]^3}{(a+b+c)^2} = \frac{k^3(a+b+c)^3}{(a+b+c)^2} = k^3(a+b+c)$
$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)
(ii) $\frac{x^3+y^3+z^3}{a^3+b^3+c^3} = \frac{xyz}{abc}$
সমাধান:
বামপক্ষ = $\frac{(ak)^3+(bk)^3+(ck)^3}{a^3+b^3+c^3} = \frac{k^3(a^3+b^3+c^3)}{a^3+b^3+c^3} = k^3$
ডানপক্ষ = $\frac{(ak)(bk)(ck)}{abc} = \frac{k^3(abc)}{abc} = k^3$
$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)
(iii) $(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) = (ax+by+cz)^2$
সমাধান:
বামপক্ষ = $(a^2+b^2+c^2)((ak)^2+(bk)^2+(ck)^2) = (a^2+b^2+c^2)k^2(a^2+b^2+c^2) = k^2(a^2+b^2+c^2)^2$
ডানপক্ষ = $(a(ak)+b(bk)+c(ck))^2 = (k(a^2+b^2+c^2))^2 = k^2(a^2+b^2+c^2)^2$
$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)
৩. $a:b = c:d = e:f$ হলে, প্রমাণ করি যে,
(i) প্রত্যেকটি অনুপাত = $\frac{5a-7c-13e}{5b-7d-13f}$
সমাধান:
ধরি, $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = k$
ডানপক্ষ = $\frac{5(bk)-7(dk)-13(fk)}{5b-7d-13f} = \frac{k(5b-7d-13f)}{5b-7d-13f} = k$
সুতরাং, প্রত্যেকটি অনুপাত = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।
(ii) $(a^2+c^2+e^2)(b^2+d^2+f^2) = (ab+cd+ef)^2$
সমাধান:
বামপক্ষ = $((bk)^2+(dk)^2+(fk)^2)(b^2+d^2+f^2) = k^2(b^2+d^2+f^2)(b^2+d^2+f^2) = k^2(b^2+d^2+f^2)^2$
ডানপক্ষ = $((bk)b+(dk)d+(fk)f)^2 = (k(b^2+d^2+f^2))^2 = k^2(b^2+d^2+f^2)^2$
$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)
৪. যদি $a:b = b:c$ হয়, তবে প্রমাণ করি যে,
(i) $(\frac{a+b}{b+c})^2 = \frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}$
সমাধান:
ধরি, $\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = k \therefore b=ck, a=bk=ck^2$
বামপক্ষ = $(\frac{ck^2+ck}{ck+c})^2 = (\frac{ck(k+1)}{c(k+1)})^2 = (k)^2 = k^2$
ডানপক্ষ = $\frac{(ck^2)^2+(ck)^2}{(ck)^2+c^2} = \frac{c^2k^4+c^2k^2}{c^2k^2+c^2} = \frac{c^2k^2(k^2+1)}{c^2(k^2+1)} = k^2$
$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)
(ii) $a^2b^2c^2(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}) = a^3+b^3+c^3$
সমাধান:
বামপক্ষ = $a^2b^2c^2 \times \frac{1}{a^3} + a^2b^2c^2 \times \frac{1}{b^3} + a^2b^2c^2 \times \frac{1}{c^3}$
$= \frac{b^2c^2}{a} + \frac{a^2c^2}{b} + \frac{a^2b^2}{c}$
$= \frac{(ck)^2c^2}{ck^2} + \frac{(ck^2)^2c^2}{ck} + \frac{(ck^2)^2(ck)^2}{c}$
$= \frac{c^4k^2}{ck^2} + \frac{c^4k^4}{ck} + \frac{c^4k^6}{c}$
$= c^3 + c^3k^3 + c^3k^6$
ডানপক্ষ = $(ck^2)^3 + (ck)^3 + c^3 = c^3k^6 + c^3k^3 + c^3$
$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)
(iii) $\frac{abc(a+b+c)^3}{(ab+bc+ca)^3} = 1$
সমাধান:
বামপক্ষ = $\frac{(ck^2)(ck)(c)(ck^2+ck+c)^3}{((ck^2)(ck)+(ck)(c)+(c)(ck^2))^3}$
$= \frac{c^3k^3 [c(k^2+k+1)]^3}{[c^2k^3+c^2k+c^2k^2]^3}$
$= \frac{c^3k^3 \cdot c^3(k^2+k+1)^3}{[c^2k(k^2+1+k)]^3}$
$= \frac{c^6k^3(k^2+k+1)^3}{c^6k^3(k^2+k+1)^3} = 1$
$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)
৫. $a, b, c, d$ ক্রমিক সমানুপাতী হলে, প্রমাণ করি যে,
(i) $(a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+d^2) = (ab+bc+cd)^2$
সমাধান:
ধরি, $\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d} = k$
$\therefore c=dk, b=ck=dk^2, a=bk=dk^3$
বামপক্ষ = $((dk^3)^2+(dk^2)^2+(dk)^2)((dk^2)^2+(dk)^2+d^2)$
$= d^2k^2(k^4+k^2+1) \cdot d^2(k^4+k^2+1)$
$= d^4k^2(k^4+k^2+1)^2$
ডানপক্ষ = $((dk^3)(dk^2)+(dk^2)(dk)+(dk)d)^2$
$= (d^2k^5+d^2k^3+d^2k)^2$
$= (d^2k(k^4+k^2+1))^2$
$= d^4k^2(k^4+k^2+1)^2$
$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)
(ii) $(b-c)^2+(c-a)^2+(b-d)^2 = (a-d)^2$
সমাধান:
বামপক্ষ = $(dk^2-dk)^2 + (dk-dk^3)^2 + (dk^2-d)^2$
$= d^2k^2(k-1)^2 + d^2k^2(1-k^2)^2 + d^2(k^2-1)^2$
সরল করে পাই, $d^2(k^3-1)^2$
ডানপক্ষ = $(dk^3-d)^2 = d^2(k^3-1)^2$
$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)
৬. (i) যদি $\frac{m}{a} = \frac{n}{b}$ হয়, তবে দেখাই যে, $(m^2+n^2)(a^2+b^2) = (am+bn)^2$
সমাধান:
ধরি, $\frac{m}{a} = \frac{n}{b} = k \therefore m=ak, n=bk$
বামপক্ষ = $((ak)^2+(bk)^2)(a^2+b^2) = k^2(a^2+b^2)(a^2+b^2) = k^2(a^2+b^2)^2$
ডানপক্ষ = $(a(ak)+b(bk))^2 = (k(a^2+b^2))^2 = k^2(a^2+b^2)^2$
$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)
(ii) যদি $\frac{a}{b} = \frac{x}{y}$ হয়, তবে দেখাই যে, $(a+b)(a^2+b^2)x^3 = (x+y)(x^2+y^2)a^3$
সমাধান:
ধরি, $\frac{a}{b} = \frac{x}{y} = k \therefore a=bk, x=yk$
বামপক্ষ = $(bk+b)((bk)^2+b^2)(yk)^3 = b(k+1) \cdot b^2(k^2+1) \cdot y^3k^3 = b^3y^3k^3(k+1)(k^2+1)$
ডানপক্ষ = $(yk+y)((yk)^2+y^2)(bk)^3 = y(k+1) \cdot y^2(k^2+1) \cdot b^3k^3 = b^3y^3k^3(k+1)(k^2+1)$
$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)
(iii) যদি $\frac{x}{lm-n^2} = \frac{y}{mn-l^2} = \frac{z}{nl-m^2}$ হয়, তবে দেখাই যে, $lx+my+nz = 0$
সমাধান:
ধরি, অনুপাতগুলি = $k$
$\therefore x=k(lm-n^2), y=k(mn-l^2), z=k(nl-m^2)$
বামপক্ষ = $l \cdot k(lm-n^2) + m \cdot k(mn-l^2) + n \cdot k(nl-m^2)$
$= k(l^2m – ln^2 + m^2n – ml^2 + n^2l – nm^2)$
$= k(0) = 0$
$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)
(iv) $\frac{x}{b+c-a} = \frac{y}{c+a-b} = \frac{z}{a+b-c}$ হলে, দেখাই যে, $(b-c)x+(c-a)y+(a-b)z = 0$
সমাধান:
ধরি, অনুপাতগুলি = $k$
$x=k(b+c-a), y=k(c+a-b), z=k(a+b-c)$
বামপক্ষ = $k[(b-c)(b+c-a) + (c-a)(c+a-b) + (a-b)(a+b-c)]$
$= k[b^2-c^2-ab+ac + c^2-a^2-bc+ab + a^2-b^2-ac+bc]$
$= k[0] = 0$
$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)
(v) $\frac{x}{y} = \frac{a+2}{a-2}$ হলে, দেখাই যে, $\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} = \frac{4a}{a^2+4}$
সমাধান:
যোগভাগ প্রক্রিয়া করে পাই:
$\frac{x+y}{x-y} = \frac{a+2+a-2}{a+2-a+2} = \frac{2a}{4} = \frac{a}{2}$
উভয় পক্ষ বর্গ করে পাই:
$\frac{(x+y)^2}{(x-y)^2} = \frac{a^2}{4}$
পুনরায় যোগভাগ করে পাই:
$\frac{(x+y)^2+(x-y)^2}{(x+y)^2-(x-y)^2} = \frac{a^2+4}{a^2-4}$
$\frac{2(x^2+y^2)}{4xy} = \frac{a^2+4}{a^2-4}$
এখান থেকে সরাসরি $\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$ পাওয়া কঠিন।
বিকল্প পদ্ধতি:
$\frac{x}{y} = \frac{a+2}{a-2} \Rightarrow \frac{x^2}{y^2} = (\frac{a+2}{a-2})^2 = \frac{a^2+4a+4}{a^2-4a+4}$
ভাগযোগ প্রক্রিয়া (Dividend-Componendo) প্রয়োগ করে:
$\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} = \frac{(a^2+4a+4)-(a^2-4a+4)}{(a^2+4a+4)+(a^2-4a+4)} = \frac{8a}{2(a^2+4)} = \frac{4a}{a^2+4}$ (প্রমাণিত)
(vi) $x = \frac{8ab}{a+b}$ হলে, $(\frac{x+4a}{x-4a} + \frac{x+4b}{x-4b})$-এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
$x = \frac{4a \cdot 2b}{a+b} \Rightarrow \frac{x}{4a} = \frac{2b}{a+b}$
যোগভাগ প্রক্রিয়ায়: $\frac{x+4a}{x-4a} = \frac{2b+a+b}{2b-a-b} = \frac{a+3b}{b-a}$
আবার, $\frac{x}{4b} = \frac{2a}{a+b}$
যোগভাগ প্রক্রিয়ায়: $\frac{x+4b}{x-4b} = \frac{2a+a+b}{2a-a-b} = \frac{3a+b}{a-b}$
প্রদত্ত রাশি = $\frac{a+3b}{b-a} + \frac{3a+b}{a-b} = -\frac{a+3b}{a-b} + \frac{3a+b}{a-b}$
$= \frac{3a+b-a-3b}{a-b} = \frac{2a-2b}{a-b} = \frac{2(a-b)}{a-b} = 2$
উত্তর: 2
৭. (i) $\frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{7}$ হলে, দেখাই যে, $\frac{a+b+c}{c} = 2$
বিস্তারিত সমাধান:
ধরি, $\frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{7} = k$ (যেখানে $k$ একটি ধ্রুবক এবং $k \neq 0$)
অতএব, $a = 3k$, $b = 4k$, $c = 7k$
বামপক্ষ (L.H.S.) $= \frac{a+b+c}{c}$
$= \frac{3k + 4k + 7k}{7k}$ (মান বসিয়ে)
$= \frac{14k}{7k}$
$= 2$
= ডানপক্ষ (R.H.S.)
(প্রমাণিত)
৭. (ii) $\frac{a}{q-r} = \frac{b}{r-p} = \frac{c}{p-q}$ হলে, দেখাই যে, $a+b+c = 0 = pa+qb+rc$
বিস্তারিত সমাধান:
ধরি, $\frac{a}{q-r} = \frac{b}{r-p} = \frac{c}{p-q} = k$
সুতরাং, $a = k(q-r)$, $b = k(r-p)$, $c = k(p-q)$
প্রথম অংশ:
$a+b+c = k(q-r) + k(r-p) + k(p-q)$
$= k(q – r + r – p + p – q)$ ($k$ কমন নিয়ে)
$= k(0)$ (সব কেটে গেল)
$= 0$
দ্বিতীয় অংশ:
$pa+qb+rc = p \cdot k(q-r) + q \cdot k(r-p) + r \cdot k(p-q)$
$= k [p(q-r) + q(r-p) + r(p-q)]$
$= k [pq – pr + qr – qp + rp – rq]$
$= k [0]$ (প্লাস-মাইনাসে সব কেটে গেল)
$= 0$
অতএব, $a+b+c = 0 = pa+qb+rc$ (প্রমাণিত)
৭. (iii) $\frac{ax+by}{a} = \frac{bx-ay}{b}$ হলে, দেখাই যে প্রতিটি অনুপাত $x$-এর সমান।
বিস্তারিত সমাধান:
ধরি, প্রতিটি অনুপাত $\frac{ax+by}{a} = \frac{bx-ay}{b}$
আমরা জানি, সংযোজন প্রক্রিয়া অনুযায়ী: লবগুলিকে কোনো সংখ্যা দিয়ে গুণ করে এবং হরগুলিকে সেই একই সংখ্যা দিয়ে গুণ করে যোগ করলে অনুপাতের মান একই থাকে।
প্রথম অনুপাতের লব ও হরকে $a$ দিয়ে এবং দ্বিতীয় অনুপাতের লব ও হরকে $b$ দিয়ে গুণ করে যোগ করি (যাতে $y$ পদটি অপনয়ন করা যায়):
প্রতিটি অনুপাত $= \frac{a(ax+by) + b(bx-ay)}{a \cdot a + b \cdot b}$
$= \frac{a^2x + aby + b^2x – aby}{a^2 + b^2}$
$= \frac{a^2x + b^2x}{a^2 + b^2}$ ($aby$ কেটে গেল)
$= \frac{x(a^2 + b^2)}{a^2 + b^2}$ ($x$ কমন নিয়ে)
$= x$
(প্রমাণিত)
৮. (i) যদি $\frac{a+b}{b+c} = \frac{c+d}{d+a}$ হয়, তবে প্রমাণ করি যে, $c=a$ অথবা $a+b+c+d=0$
বিস্তারিত সমাধান:
প্রদত্ত: $\frac{a+b}{b+c} = \frac{c+d}{d+a}$
কোণাকুণি গুণ (Cross multiplication) করে পাই,
$(a+b)(d+a) = (b+c)(c+d)$
বা, $ad + a^2 + bd + ab = bc + bd + c^2 + cd$
বা, $a^2 + ad + ab = c^2 + bc + cd$ (উভয় পক্ষ থেকে $bd$ বাদ দিয়ে)
বা, $a^2 – c^2 + ad – cd + ab – bc = 0$ (সব পদ বামপক্ষে এনে)
বা, $(a+c)(a-c) + d(a-c) + b(a-c) = 0$ (উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে)
বা, $(a-c) [a+c+d+b] = 0$ ($(a-c)$ কমন নিয়ে)
দুটি রাশির গুণফল শূন্য হলে, হয় প্রথমটি শূন্য অথবা দ্বিতীয়টি শূন্য।
হয়, $a – c = 0 \Rightarrow a = c$
অথবা, $a + b + c + d = 0$
(প্রমাণিত)
৮. (ii) যদি $\frac{x}{b+c} = \frac{y}{c+a} = \frac{z}{a+b}$ হয়, দেখাই যে, $\frac{a}{y+z-x} = \frac{b}{z+x-y} = \frac{c}{x+y-z}$
বিস্তারিত সমাধান:
ধরি, $\frac{x}{b+c} = \frac{y}{c+a} = \frac{z}{a+b} = k$
$\therefore x = k(b+c), y = k(c+a), z = k(a+b)$
প্রথম পদ:
হর: $y+z-x = k(c+a) + k(a+b) – k(b+c)$
$= k(c+a+a+b-b-c)$
$= k(2a)$
$\therefore \frac{a}{y+z-x} = \frac{a}{2ak} = \frac{1}{2k}$
দ্বিতীয় পদ:
হর: $z+x-y = k(a+b) + k(b+c) – k(c+a)$
$= k(a+b+b+c-c-a)$
$= k(2b)$
$\therefore \frac{b}{z+x-y} = \frac{b}{2bk} = \frac{1}{2k}$
তৃতীয় পদ:
একইভাবে, হর: $x+y-z = k(2c)$
$\therefore \frac{c}{x+y-z} = \frac{c}{2ck} = \frac{1}{2k}$
যেহেতু তিনটি পদেরই মান $\frac{1}{2k}$, তাই তারা পরস্পর সমান।
(প্রমাণিত)
৮. (iii) $\frac{x+y}{3a-b} = \frac{y+z}{3b-c} = \frac{z+x}{3c-a}$ হলে, দেখাই যে, $\frac{x+y+z}{a+b+c} = \frac{ax+by+cz}{a^2+b^2+c^2}$
বিস্তারিত সমাধান:
ধরি প্রদত্ত অনুপাতগুলি $= k$।
বামপক্ষ প্রমাণ:
সংযোজন প্রক্রিয়া (Addendo) প্রয়োগ করে পাই:
প্রতিটি অনুপাত ($k$) $= \frac{(x+y)+(y+z)+(z+x)}{(3a-b)+(3b-c)+(3c-a)}$
$= \frac{2(x+y+z)}{2a+2b+2c}$
$= \frac{2(x+y+z)}{2(a+b+c)} = \frac{x+y+z}{a+b+c}$
সুতরাং, $\frac{x+y+z}{a+b+c} = k$ … (১)
ডানপক্ষ প্রমাণ:
প্রথম অনুপাতের লব ও হরকে $a$, দ্বিতীয়টিকে $b$ এবং তৃতীয়টিকে $c$ দিয়ে গুণ করে সংযোজন প্রক্রিয়া করি:
$k = \frac{a(x+y) + b(y+z) + c(z+x)}{a(3a-b) + b(3b-c) + c(3c-a)}$
$= \frac{ax+ay+by+bz+cz+cx}{3a^2-ab+3b^2-bc+3c^2-ac}$
এখান থেকে সরাসরি মেলানো জটিল। তাই আমরা অন্য পদ্ধতি ব্যবহার করব।
বিকল্প পদ্ধতি:
যেহেতু $\frac{x+y+z}{a+b+c} = k$, তাই $x+y+z = k(a+b+c)$
আবার, $x+y = k(3a-b)$
বিয়োগ করে পাই: $z = (x+y+z) – (x+y) = k(a+b+c) – k(3a-b) = k(b+c-2a+b) = k(-2a+2b+c)$ — এটা জটিল হয়ে যাচ্ছে।
সবচেয়ে সহজ উপায়:
আমরা প্রমাণ করেছি বামপক্ষ $= k$।
এখন ডানপক্ষ $= \frac{ax+by+cz}{a^2+b^2+c^2}$
আমরা লবটিকে সাজাই:
লব $= \frac{1}{2} [2ax+2by+2cz]$
$= \frac{1}{2} [a(z+x+x+y-y-z) + \dots]$ – এই পথেও বড় হবে।
সঠিক ও সহজ পদ্ধতি হলো:
আমরা জানি, $x+y+z = k(a+b+c)$
আবার, $x+y = k(3a-b) \Rightarrow z = k(a+b+c) – k(3a-b) = k(c+2b-2a)$
$y+z = k(3b-c) \Rightarrow x = k(a+b+c) – k(3b-c) = k(a+2c-2b)$
$z+x = k(3c-a) \Rightarrow y = k(a+b+c) – k(3c-a) = k(b+2a-2c)$
এখন ডানপক্ষের লবে $x, y, z$-এর মান বসাই:
$ax+by+cz = a[k(a+2c-2b)] + b[k(b+2a-2c)] + c[k(c+2b-2a)]$
$= k [a^2+2ac-2ab + b^2+2ab-2bc + c^2+2bc-2ac]$
$= k [a^2+b^2+c^2]$ (কাটাকুটির পর)
সুতরাং, ডানপক্ষ $= \frac{k(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2} = k$
$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ = $k$ (প্রমাণিত)
৮. (iv) $\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}$ হলে, দেখাই যে, $\frac{x^2-yz}{a^2-bc} = \frac{y^2-zx}{b^2-ca} = \frac{z^2-xy}{c^2-ab}$
বিস্তারিত সমাধান:
ধরি, $\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} = k$
$\therefore x=ak, y=bk, z=ck$
প্রথম রাশি:
$\frac{x^2-yz}{a^2-bc} = \frac{(ak)^2 – (bk)(ck)}{a^2-bc} = \frac{a^2k^2 – bck^2}{a^2-bc} = \frac{k^2(a^2-bc)}{a^2-bc} = k^2$
দ্বিতীয় রাশি:
$\frac{y^2-zx}{b^2-ca} = \frac{(bk)^2 – (ck)(ak)}{b^2-ca} = \frac{b^2k^2 – ack^2}{b^2-ca} = \frac{k^2(b^2-ca)}{b^2-ca} = k^2$
তৃতীয় রাশি:
$\frac{z^2-xy}{c^2-ab} = \frac{(ck)^2 – (ak)(bk)}{c^2-ab} = \frac{c^2k^2 – abk^2}{c^2-ab} = \frac{k^2(c^2-ab)}{c^2-ab} = k^2$
যেহেতু সবকটি রাশির মান $k^2$, তাই তারা পরস্পর সমান।
(প্রমাণিত)
৯. (i) যদি $\frac{3x+4y}{3u+4v} = \frac{3x-4y}{3u-4v}$ হয়, তবে দেখাই যে $\frac{x}{y} = \frac{u}{v}$
বিস্তারিত সমাধান:
প্রদত্ত: $\frac{3x+4y}{3u+4v} = \frac{3x-4y}{3u-4v}$
একান্তর প্রক্রিয়া (Alternendo) প্রয়োগ করে পাই (অর্থাৎ $x$ যুক্ত পদগুলি একপাশে এবং $u$ যুক্ত পদগুলি অন্যপাশে):
$\frac{3x+4y}{3x-4y} = \frac{3u+4v}{3u-4v}$
এখন যোগভাগ প্রক্রিয়া (Componendo & Dividendo) প্রয়োগ করে পাই:
$\frac{(3x+4y) + (3x-4y)}{(3x+4y) – (3x-4y)} = \frac{(3u+4v) + (3u-4v)}{(3u+4v) – (3u-4v)}$
বা, $\frac{6x}{8y} = \frac{6u}{8v}$
বা, $\frac{x}{y} = \frac{u}{v}$ (উভয় পক্ষ থেকে $\frac{6}{8}$ বাদ দিয়ে)
(প্রমাণিত)
৯. (ii) $(a+b+c+d):(a+b-c-d) = (a-b+c-d):(a-b-c+d)$ হলে, প্রমাণ করি যে, $a:b = c:d$
বিস্তারিত সমাধান:
$\frac{a+b+c+d}{a+b-c-d} = \frac{a-b+c-d}{a-b-c+d}$
যোগভাগ প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে পাই:
$\frac{(a+b+c+d) + (a+b-c-d)}{(a+b+c+d) – (a+b-c-d)} = \frac{(a-b+c-d) + (a-b-c+d)}{(a-b+c-d) – (a-b-c+d)}$
বা, $\frac{2(a+b)}{2(c+d)} = \frac{2(a-b)}{2(c-d)}$
বা, $\frac{a+b}{c+d} = \frac{a-b}{c-d}$
একান্তর প্রক্রিয়া করে পাই:
$\frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d}$
আবার যোগভাগ প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে পাই:
$\frac{(a+b) + (a-b)}{(a+b) – (a-b)} = \frac{(c+d) + (c-d)}{(c+d) – (c-d)}$
বা, $\frac{2a}{2b} = \frac{2c}{2d}$
বা, $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$
বা, $a:b = c:d$ (প্রমাণিত)
১০. (i) $\frac{a^2}{b+c} = \frac{b^2}{c+a} = \frac{c^2}{a+b} = 1$ হলে, দেখাই যে, $\frac{1}{1+a} + \frac{1}{1+b} + \frac{1}{1+c} = 1$
বিস্তারিত সমাধান:
প্রদত্ত: $\frac{a^2}{b+c} = 1 \Rightarrow a^2 = b+c$
$\frac{b^2}{c+a} = 1 \Rightarrow b^2 = c+a$
$\frac{c^2}{a+b} = 1 \Rightarrow c^2 = a+b$
বামপক্ষ $= \frac{1}{1+a} + \frac{1}{1+b} + \frac{1}{1+c}$
কৌশল: হরে $a^2, b^2, c^2$ আনার জন্য প্রথম ভগ্নাংশের লব ও হরকে $a$, দ্বিতীয়টিকে $b$ এবং তৃতীয়টিকে $c$ দিয়ে গুণ করি।
$= \frac{a}{a(1+a)} + \frac{b}{b(1+b)} + \frac{c}{c(1+c)}$
$= \frac{a}{a+a^2} + \frac{b}{b+b^2} + \frac{c}{c+c^2}$
এখন $a^2, b^2, c^2$ এর মান বসাই:
$= \frac{a}{a+(b+c)} + \frac{b}{b+(c+a)} + \frac{c}{c+(a+b)}$
$= \frac{a}{a+b+c} + \frac{b}{a+b+c} + \frac{c}{a+b+c}$
$= \frac{a+b+c}{a+b+c}$ (লসাগু নিয়ে)
$= 1$
= ডানপক্ষ (প্রমাণিত)
১০. (ii) $x^2:(by+cz) = y^2:(cz+ax) = z^2:(ax+by) = 1$ হলে, দেখাই যে, $\frac{a}{a+x} + \frac{b}{b+y} + \frac{c}{c+z} = 1$
বিস্তারিত সমাধান:
প্রদত্ত: $x^2 = by+cz$, $y^2 = cz+ax$, $z^2 = ax+by$
বামপক্ষ $= \frac{a}{a+x} + \frac{b}{b+y} + \frac{c}{c+z}$
কৌশল: হরে $x^2, y^2, z^2$ আনার জন্য প্রথম ভগ্নাংশের লব ও হরকে $x$, দ্বিতীয়টিকে $y$, তৃতীয়টিকে $z$ দিয়ে গুণ করি।
$= \frac{ax}{ax+x^2} + \frac{by}{by+y^2} + \frac{cz}{cz+z^2}$
মান বসিয়ে পাই:
$= \frac{ax}{ax+(by+cz)} + \frac{by}{by+(cz+ax)} + \frac{cz}{cz+(ax+by)}$
$= \frac{ax}{ax+by+cz} + \frac{by}{ax+by+cz} + \frac{cz}{ax+by+cz}$
$= \frac{ax+by+cz}{ax+by+cz}$
$= 1$
= ডানপক্ষ (প্রমাণিত)
১১. (i) $\frac{x}{xa+yb+zc} = \frac{y}{ya+zb+xc} = \frac{z}{za+xb+yc}$ এবং $x+y+z \neq 0$ হলে, দেখাই যে প্রতিটি অনুপাত $\frac{1}{a+b+c}$
বিস্তারিত সমাধান:
সংযোজন প্রক্রিয়া (লবগুলির সমষ্টি / হরগুলির সমষ্টি) প্রয়োগ করে পাই:
প্রতিটি অনুপাত $= \frac{x+y+z}{(xa+yb+zc) + (ya+zb+xc) + (za+xb+yc)}$
$= \frac{x+y+z}{xa+xc+xb + yb+ya+yc + zc+zb+za}$ (সাজিয়ে নিয়ে)
$= \frac{x+y+z}{x(a+b+c) + y(a+b+c) + z(a+b+c)}$ ($x, y, z$ কমন নিয়ে)
$= \frac{x+y+z}{(a+b+c)(x+y+z)}$
$= \frac{1}{a+b+c}$ (যেহেতু $x+y+z \neq 0$)
(প্রমাণিত)
১১. (ii) $\frac{x^2-yz}{a} = \frac{y^2-zx}{b} = \frac{z^2-xy}{c}$ হলে, প্রমাণ করি যে $(a+b+c)(x+y+z) = ax+by+cz$
বিস্তারিত সমাধান:
ধরি অনুপাতগুলি $= k$ (অথবা $\frac{1}{k}$ ধরা যেতে পারে, এখানে $k$ ধরি)।
তাহলে, $a = \frac{x^2-yz}{k}, b = \frac{y^2-zx}{k}, c = \frac{z^2-xy}{k}$
বামপক্ষ $= (a+b+c)(x+y+z)$
$= \frac{1}{k} (x^2-yz + y^2-zx + z^2-xy) (x+y+z)$
$= \frac{1}{k} (x^3+y^3+z^3 – 3xyz)$ (এটি বীজগণিতের সূত্র: $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) = a^3+b^3+c^3-3abc$)
ডানপক্ষ $= ax+by+cz$
$= \frac{x^2-yz}{k} \cdot x + \frac{y^2-zx}{k} \cdot y + \frac{z^2-xy}{k} \cdot z$
$= \frac{1}{k} [x^3-xyz + y^3-xyz + z^3-xyz]$
$= \frac{1}{k} [x^3+y^3+z^3 – 3xyz]$
$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)
১১. (iii) $\frac{a}{y+z} = \frac{b}{z+x} = \frac{c}{x+y}$ হলে, প্রমাণ করি যে $\frac{a(b-c)}{y^2-z^2} = \frac{b(c-a)}{z^2-x^2} = \frac{c(a-b)}{x^2-y^2}$
বিস্তারিত সমাধান:
ধরি, $\frac{a}{y+z} = \frac{b}{z+x} = \frac{c}{x+y} = k$
$\therefore a=k(y+z), b=k(z+x), c=k(x+y)$
এখন, $b-c = k(z+x) – k(x+y) = k(z+x-x-y) = k(z-y) = -k(y-z)$
প্রথম ভগ্নাংশ:
$\frac{a(b-c)}{y^2-z^2} = \frac{k(y+z) \cdot [-k(y-z)]}{(y+z)(y-z)}$
$= \frac{-k^2(y+z)(y-z)}{(y+z)(y-z)} = -k^2$
অনুরূপভাবে, $c-a = k(x-z)$ এবং $a-b = k(y-x)$
দ্বিতীয় ভগ্নাংশ:
$\frac{b(c-a)}{z^2-x^2} = \frac{k(z+x) \cdot k(x-z)}{-(x^2-z^2)} = \frac{k^2(x^2-z^2)}{-(x^2-z^2)} = -k^2$
তৃতীয় ভগ্নাংশ:
$\frac{c(a-b)}{x^2-y^2} = \frac{k(x+y) \cdot k(y-x)}{-(y^2-x^2)} = \frac{-k^2(x^2-y^2)}{x^2-y^2} = -k^2$
যেহেতু তিনটি অংশেরই মান $-k^2$, তাই তারা পরস্পর সমান।
(প্রমাণিত)
১২. (A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):
- (i) $3, 4$ এবং $6$-এর চতুর্থ সমানুপাতী: $\frac{3}{4} = \frac{6}{x} \Rightarrow 3x=24 \Rightarrow x=8$।
উত্তর: (a) 8 - (ii) $8$ এবং $12$-এর তৃতীয় সমানুপাতী: $\frac{8}{12} = \frac{12}{x} \Rightarrow 8x=144 \Rightarrow x=18$।
উত্তর: (c) 18 - (iii) $16$ এবং $25$-এর মধ্যসমানুপাতী: $x = \sqrt{16 \times 25} = \sqrt{400} = 20$।
উত্তর: (c) 20
- (iv) $a$ একটি ধনাত্মক সংখ্যা এবং $a:\frac{27}{64} = \frac{3}{4}:a$ হলে $a^2 = \frac{27}{64} \times \frac{3}{4} = \frac{81}{256} \Rightarrow a = \frac{9}{16}$।
উত্তর: (c) $\frac{9}{16}$
- (v) $2a=3b=4c$। ধরি $= k$। $a=k/2, b=k/3, c=k/4$। অনুপাত $\frac{1}{2}:\frac{1}{3}:\frac{1}{4} = 6:4:3$।
উত্তর: (d) 6:4:3
(B) সত্য/মিথ্যা:
- (i) $ab:c^2, bc:a^2, ca:b^2$ এর
যৌগিক অনুপাত: $(ab \cdot bc \cdot ca) : (c^2 \cdot a^2 \cdot b^2) = a^2b^2c^2 : a^2b^2c^2 = 1:1$। উত্তর: সত্য - (ii) $x^3y, x^2y^2, xy^3$ ক্রমিক সমানুপাতী। পরীক্ষা: $(x^2y^2)^2 = x^4y^4$ এবং প্রান্তীয় পদের গুণফল $x^3y \cdot xy^3 = x^4y^4$। সমান।
উত্তর: সত্য
(C) শূন্যস্থান পূরণ:
- (i) তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী ধনাত্মক সংখ্যার গুণফল 64 হলে, ধরি সংখ্যা তিনটি $a, ar, ar^2$। গুণফল $a^3r^3 = (ar)^3 = 64 \Rightarrow ar = 4$। মধ্যসমানুপাতী ($ar$) হলো 4।
- (ii) $a:2=b:5=c:8$। $a$-এর $50\% = \frac{a}{2}$, $b$-এর $20\% = \frac{b}{5}$, $c$-এর $12.5\% = \frac{c}{8}$। উত্তর: 12.5
- (iii) $(x+2)$ এবং $(x-3)$ এর মধ্যসমানুপাতী $x$ হলে, $x^2 = (x+2)(x-3) \Rightarrow x^2 = x^2-x-6 \Rightarrow x = 6$। উত্তর: 6
১৩. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.):
(i) $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} = \frac{2a-3b+4c}{p}$ হলে, $p$-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} = k$। তাহলে $a=2k, b=3k, c=4k$।
প্রদত্ত রাশিতে বসিয়ে পাই: $k = \frac{2(2k)-3(3k)+4(4k)}{p} = \frac{4k-9k+16k}{p} = \frac{11k}{p}$
অতএব, $k = \frac{11k}{p} \Rightarrow p = 11$
উত্তর: 11
(ii) $\frac{3x-5y}{3x+5y} = \frac{1}{2}$ হলে, $\frac{3x^2-5y^2}{3x^2+5y^2}$-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
বজ্রগুণন করি: $2(3x-5y) = 3x+5y \Rightarrow 6x-10y = 3x+5y \Rightarrow 3x = 15y \Rightarrow x = 5y$
এখন প্রদত্ত রাশিতে $x=5y$ বসাই:
$\frac{3(5y)^2 – 5y^2}{3(5y)^2 + 5y^2} = \frac{75y^2 – 5y^2}{75y^2 + 5y^2} = \frac{70y^2}{80y^2} = \frac{7}{8}$
উত্তর: $\frac{7}{8}$
(iii) $a:b=3:4, x:y=5:7$ হলে $(3ax-by):(4by-7ax)$ কত?
সমাধান:
ধরি $a=3k, b=4k$ এবং $x=5m, y=7m$
রাশিটি $= \frac{3(3k)(5m) – (4k)(7m)}{4(4k)(7m) – 7(3k)(5m)}$
$= \frac{45km – 28km}{112km – 105km} = \frac{17km}{7km} = \frac{17}{7}$
উত্তর: $17:7$
(iv) $x, 12, y, 27$ ক্রমিক সমানুপাতী হলে $x$ ও $y$-এর ধনাত্মক মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
ক্রমিক সমানুপাতী মানে: $\frac{x}{12} = \frac{12}{y} = \frac{y}{27}$
শেষ দুটি অনুপাত থেকে পাই: $\frac{12}{y} = \frac{y}{27} \Rightarrow y^2 = 12 \times 27 = 324 \Rightarrow y = 18$
প্রথম দুটি অনুপাত থেকে পাই: $\frac{x}{12} = \frac{12}{18} \Rightarrow x = \frac{144}{18} = 8$
উত্তর: $x=8, y=18$
(v) $a:b=3:2$ এবং $b:c=3:2$ হলে, $a+b:b+c$ কত?
সমাধান:
দড়ির নিয়ম (Zig-zag method) বা $b$ সমান করে পাই:
$a:b = 3:2 = 9:6$ (3 দিয়ে গুণ)
$b:c = 3:2 = 6:4$ (2 দিয়ে গুণ)
$\therefore a:b:c = 9:6:4$
ধরি $a=9k, b=6k, c=4k$
$\frac{a+b}{b+c} = \frac{9k+6k}{6k+4k} = \frac{15k}{10k} = \frac{3}{2}$
উত্তর: $3:2$
শেয়ার