দশম শ্রেণী গনিত: বৃত্তস্থ কোন সম্পর্কিত উপপাদ্য – কষে দেখি 7.2
কষে দেখি ৭.২ : সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
১৩. (i) থেকে (v) পর্যন্ত সমাধান
(i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র, AC ব্যাস এবং জ্যা DE || ব্যাস AC। ∠CBD = 60° হলে, ∠CDE-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
- ধাপ ১: যেহেতু AC বৃত্তের ব্যাস, আমরা জানি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ হয়।
∴ ∠ABC = 90°।
- ধাপ ২: চিত্র অনুযায়ী, ∠ABC কোণটি দুটি অংশে বিভক্ত: ∠ABD এবং ∠CBD।
সুতরাং, ∠ABD + ∠CBD = 90°
বা, ∠ABD + 60° = 90°
∴ ∠ABD = 30°।
- ধাপ ৩: আমরা জানি, একই বৃত্তাংশস্থ সকল কোণের মান সমান।
এখানে বৃত্তচাপ AD-এর ওপর অবস্থিত দুটি কোণ হলো ∠ABD এবং ∠ACD।
∴ ∠ACD = ∠ABD = 30°।
- ধাপ ৪: প্রশ্নে দেওয়া আছে DE || AC এবং DC তাদের ছেদক।
সুতরাং, একান্তর কোণগুলো সমান হবে।
∴ ∠CDE = একান্তর ∠ACD = 30°।
উত্তর: ∠CDE = 30°
(ii) পাশের চিত্রে ∠PQR-এর সমদ্বিখণ্ডক QS; ∠SQR = 35° এবং ∠PRQ = 32° হলে, ∠QSR-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
- ধাপ ১: যেহেতু QS হলো ∠PQR-এর সমদ্বিখণ্ডক এবং ∠SQR = 35°।
সুতরাং, পুরো কোণ ∠PQR = 2 × 35° = 70°।
- ধাপ ২: ΔPQR-এর ক্ষেত্রে ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180°।
∠QPR = 180° – (∠PQR + ∠PRQ)
= 180° – (70° + 32°) = 180° – 102° = 78°।
- ধাপ ৩: চিত্রে PQRS একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ হলেও আমাদের দরকার একই বৃত্তাংশস্থ কোণ।
বৃত্তচাপ QR-এর ওপর অবস্থিত দুটি বৃত্তস্থ কোণ হলো ∠QPR এবং ∠QSR।
আমরা জানি, একই বৃত্তাংশস্থ কোণ সমান হয়।
∴ ∠QSR = ∠QPR = 78°।
উত্তর: ∠QSR = 78°
(iii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ব্যাস। AB ও CD জ্যা। ∠ADC = 50° হলে, ∠CAD-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
- ধাপ ১: যেহেতু AB বৃত্তের ব্যাস, তাই অর্ধবৃত্তস্থ কোণ ∠ADB = 90°।
- ধাপ ২: চিত্র অনুযায়ী ∠ADB কোণটি ∠ADC এবং ∠CDB-এর সমষ্টি (অথবা ∠ADC কোণটি ∠ADB-এর অংশ, বিন্দুর অবস্থানের ওপর ভিত্তি করে)।
চিত্রে D বিন্দুটি নিচে এবং C বিন্দুটি উপরে অবস্থিত। আমরা B, D যুক্ত করলে ∠ADB = 90° পাই।
প্রদত্ত ∠ADC = 50°।
সুতরাং, অবশিষ্ট কোণ ∠CDB = 90° – 50° = 40°।
- ধাপ ৩: এখন বৃত্তচাপ BC-এর দিকে লক্ষ করি।
একই বৃত্তাংশস্থ কোণ (BC চাপের ওপর) হলো ∠CAB (বা ∠CAD) এবং ∠CDB।
সুতরাং, ∠CAD = ∠CDB।
∴ ∠CAD = 40°।
উত্তর: ∠CAD = 40°
(iv) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB = AC; ∠ABC = 32° হলে, ∠BDC-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
- ধাপ ১: ΔABC-এ AB = AC, অর্থাৎ এটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
সুতরাং, ভূমির কোণদ্বয় সমান: ∠ACB = ∠ABC = 32°।
- ধাপ ২: ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180°।
∴ ∠BAC = 180° – (32° + 32°) = 180° – 64° = 116°।
- ধাপ ৩: চিত্রে ABDC একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
আমরা জানি, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলোর সমষ্টি 180° হয়।
∴ ∠BDC + ∠BAC = 180°
বা, ∠BDC + 116° = 180°
বা, ∠BDC = 180° – 116° = 64°।
উত্তর: ∠BDC = 64°
(v) পাশের চিত্রে BX ও CY যথাক্রমে ∠ABC ও ∠ACB-এর সমদ্বিখণ্ডক। AB = AC এবং BY = 4 সেমি হলে, AX-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধান:
- ধাপ ১: ΔABC-এ AB = AC, তাই ∠ABC = ∠ACB।
উভয় কোণের অর্ধাংশও সমান হবে। অর্থাৎ ∠B/2 = ∠C/2।
- ধাপ ২: CY হলো ∠ACB-এর সমদ্বিখণ্ডক।
বৃত্তস্থ কোণের ধর্ম অনুযায়ী, কোণের সমদ্বিখণ্ডক বিপরীত বৃত্তচাপকে সমান ভাগে ভাগ করে।
সুতরাং, ∠ACY = ∠BCY ⇒ চাপ AY = চাপ BY।
আমরা জানি, সমান চাপের জ্যা-এর দৈর্ঘ্য সমান হয়।
∴ জ্যা AY = জ্যা BY। যেহেতু BY = 4 সেমি, তাই AY = 4 সেমি।
- ধাপ ৩: একইভাবে, BX হলো ∠ABC-এর সমদ্বিখণ্ডক।
তাই ∠ABX = ∠CBX ⇒ চাপ AX = চাপ CX ⇒ জ্যা AX = জ্যা CX।
- ধাপ ৪: যেহেতু পুরো ত্রিভুজটি প্রতিসম (AB=AC এবং কোণগুলো সমান), তাই জ্যা AX এবং জ্যা AY-এর দৈর্ঘ্য সমান হবে।
কারণ ∠ABX (যা চাপ AX তৈরি করে) এবং ∠ACY (যা চাপ AY তৈরি করে) পরস্পর সমান (∠B/2 = ∠C/2)।
∴ AX = AY = 4 সেমি।
উত্তর: AX = 4 সেমি
শেয়ার