দশম শ্রেণী গনিত: লম্ব বৃত্তকার চোঙ – কষে দেখি 8
WBBSE Class 10 Maths Kose Dekhi 8 | লম্ব বৃত্তাকার চোঙ (Right Circular Cylinder)
(Page 146 | Q-1 to Q-9)
১. পাশের চিত্রের ঘনবস্তুটি দেখি ও নীচের প্রশ্নের উত্তর লিখি।
সমাধান:
- (i) ছবির ঘনবস্তুটির 3 টি তল। (১টি বক্রতল ও ২টি সমতল)।
- (ii) ছবির ঘনবস্তুটির 1 টি বক্রতল ও 2 টি সমতল।
২. আমার বাড়ির 5টি ঘনবস্তুর নাম লিখি যাদের আকার লম্ব বৃত্তাকার চোঙ।
সমাধান:
- জলের পাইপ (Water Pipe)
- টিউবলাইট (Tube light)
- কাঁচের গ্লাস (Glass)
- পেন্সিল ব্যাটারি (Battery)
- গ্যাস সিলিন্ডার (Gas Cylinder) বা ড্রাম
৩. স্টিলের পাতলা চাদর দিয়ে তৈরি ঢাকনাউদ্ধ একটি ড্রামের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 28 সেমি.। ড্রামটি তৈরি করতে যদি 2816 বর্গ সেমি. চাদর লাগে, তবে ড্রামটির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
প্রদত্ত, ড্রামের ব্যাস = 28 সেমি.।
সুতরাং, ব্যাসার্ধ ($r$) = $\frac{28}{2} = 14$ সেমি.।
ধরি, ড্রামটির উচ্চতা = $h$ সেমি.।
যেহেতু ড্রামটি ঢাকনাযুক্ত, তাই এটি সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হবে।
শর্তানুসারে,
$2\pi r(h + r) = 2816$
বা, $2 \times \frac{22}{7} \times 14 \times (h + 14) = 2816$
বা, $88 \times (h + 14) = 2816$
বা, $h + 14 = \frac{2816}{88} = 32$
বা, $h = 32 – 14 = 18$
উত্তর: ড্রামটির উচ্চতা 18 সেমি.।
৪. একটি ঘরের বারান্দায় 5.6 ডেসিমি. ব্যাসের এবং 2.5 মিটার লম্বা দুটি লম্ব বৃত্তাকার পিলার ঢালাই করতে কত ঘন ডেসিমি. মশলা লাগবে হিসাব করে লিখি। প্রতি বর্গ মিটার 125 টাকা হিসাবে পিলারের দুটি প্লাস্টার করতে কত খরচ হবে হিসাব করি।
সমাধান:
প্রথম অংশ (মশলার পরিমাণ):
পিলারের ব্যাস = 5.6 ডেসিমি. $\therefore$ ব্যাসার্ধ ($r$) = 2.8 ডেসিমি.।
উচ্চতা ($h$) = 2.5 মিটার = 25 ডেসিমি.।
একটি পিলারের আয়তন = $\pi r^2h$
$= \frac{22}{7} \times (2.8)^2 \times 25$ ঘন ডেসিমি.
$= \frac{22}{7} \times 7.84 \times 25 = 616$ ঘন ডেসিমি.
দুটি পিলারের মোট আয়তন = $616 \times 2 = 1232$ ঘন ডেসিমি.।
সুতরাং, 1232 ঘন ডেসিমি. মশলা লাগবে।
দ্বিতীয় অংশ (প্লাস্টারের খরচ):
প্লাস্টার হবে বক্রতলে এবং খরচ প্রতি বর্গমিটারে দেওয়া আছে।
ব্যাসার্ধ ($r$) = 2.8 ডেসিমি. = 0.28 মিটার।
উচ্চতা ($h$) = 2.5 মিটার।
দুটি পিলারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = $2 \times (2\pi rh)$
$= 2 \times 2 \times \frac{22}{7} \times 0.28 \times 2.5$
$= 4 \times 22 \times 0.04 \times 2.5$
$= 8.8$ বর্গ মিটার।
মোট খরচ = $8.8 \times 125 = 1100$ টাকা।
উত্তর: 1232 ঘন ডেসিমি. মশলা লাগবে এবং প্লাস্টার করতে 1100 টাকা খরচ হবে।
৫. 2.8 ডেসিমি. দৈর্ঘ্যের অন্তর্ব্যাসবিশিষ্ট এবং 7.5 ডেসিমি. লম্বা একটি জ্বালানি গ্যাস সিলিন্ডারে 15.015 কিগ্রা. গ্যাস থাকলে, প্রতি ঘন ডেসিমি. গ্যাসের ওজন হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ ($r$) = $\frac{2.8}{2} = 1.4$ ডেসিমি.।
উচ্চতা ($h$) = 7.5 ডেসিমি.।
সিলিন্ডারের আয়তন = $\pi r^2h$
$= \frac{22}{7} \times (1.4)^2 \times 7.5$
$= \frac{22}{7} \times 1.96 \times 7.5$
$= 22 \times 0.28 \times 7.5 = 46.2$ ঘন ডেসিমি.।
46.2 ঘন ডেসিমি. গ্যাসের ওজন 15.015 কিগ্রা.
$\therefore$ 1 ঘন ডেসিমি. গ্যাসের ওজন = $\frac{15.015}{46.2}$ কিগ্রা.
$= 0.325$ কিগ্রা. = 325 গ্রাম।
উত্তর: প্রতি ঘন ডেসিমি. গ্যাসের ওজন 325 গ্রাম।
৬. সমান ব্যাস ও সমান উচ্চতাবিশিষ্ট তিনটি জারের প্রথমটির $\frac{2}{3}$ অংশ, দ্বিতীয়টির $\frac{5}{6}$ অংশ এবং তৃতীয়টির $\frac{7}{9}$ অংশ লঘু সালফিউরিক অ্যাসিডে পূর্ণ ছিল। ওই তিনটি জারের অ্যাসিড যদি 2.1 ডেসিমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের একটি জারে রাখা হয়, তবে জারে অ্যাসিডের উচ্চতা 4.1 ডেসিমি. হয়। প্রথম তিনটি জারের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 1.4 ডেসিমি. হলে, তাদের উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, ছোট তিনটি জারের প্রতিটির উচ্চতা $h$ ডেসিমি.।
ছোট জারের ব্যাসার্ধ ($r$) = $\frac{1.4}{2} = 0.7$ ডেসিমি.।
তিনটি জার থেকে প্রাপ্ত মোট অ্যাসিডের আয়তন:
$= \pi (0.7)^2 h \times (\frac{2}{3} + \frac{5}{6} + \frac{7}{9})$
$= \pi (0.49) h \times (\frac{12+15+14}{18})$
$= \pi \times 0.49 \times h \times \frac{41}{18}$
বড় জারের ব্যাসার্ধ ($R$) = $\frac{2.1}{2} = 1.05$ ডেসিমি.।
বড় জারে অ্যাসিডের আয়তন = $\pi (1.05)^2 \times 4.1$
শর্তানুসারে,
$\pi \times 0.49 \times h \times \frac{41}{18} = \pi \times 1.1025 \times 4.1$
বা, $h = \frac{1.1025 \times 4.1 \times 18}{0.49 \times 41}$
বা, $h = \frac{1.1025 \times 18}{0.49 \times 10}$
বা, $h = 4.05$
উত্তর: ছোট তিনটি জারের উচ্চতা 4.05 ডেসিমি.।
৭. একমুখ খোলা একটি লম্ব বৃত্তাকার পাত্রের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 2002 বর্গ সেমি.। পাত্রটির ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 14 সেমি. হলে, পাত্রটিতে কত লিটার জল ধরবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ব্যাসার্ধ ($r$) = $\frac{14}{2} = 7$ সেমি.।
যেহেতু পাত্রটি একমুখ খোলা, তাই সমগ্রতল = ভূমির ক্ষেত্রফল + বক্রতল।
শর্তানুসারে,
$\pi r^2 + 2\pi rh = 2002$
বা, $\pi r (r + 2h) = 2002$
বা, $\frac{22}{7} \times 7 (7 + 2h) = 2002$
বা, $22(7 + 2h) = 2002$
বা, $7 + 2h = 91$
বা, $2h = 84 \Rightarrow h = 42$ সেমি.।
জলের পরিমাণ (আয়তন) = $\pi r^2h$
$= \frac{22}{7} \times 7^2 \times 42$
$= 22 \times 7 \times 42 = 6468$ ঘন সেমি.।
লিটারে প্রকাশ: $\frac{6468}{1000} = 6.468$ লিটার।
উত্তর: পাত্রটিতে 6.468 লিটার জল ধরবে।
৮. যদি 14 সেমি. ব্যাসের পাইপযুক্ত একটি পাম্পসেট মিনিটে 2500 মিটার জল সেচ করতে পারে, তাহলে ওই পাম্পটি 1 ঘন্টায় কত কিলোলিটার জল সেচ করবে, হিসাব করে লিখি। [1 লিটার = 1 ঘন ডেসিমি.]
সমাধান:
পাইপের ব্যাসার্ধ ($r$) = $\frac{14}{2} = 7$ সেমি. = 0.7 ডেসিমি.।
জলের গতিবেগ = 2500 মি./মিনিট = 25000 ডেসিমি./মিনিট।
1 মিনিটে নির্গত জলের আয়তন = $\pi r^2 \times \text{গতিবেগ}$
$= \frac{22}{7} \times (0.7)^2 \times 25000$
$= 22 \times 0.07 \times 25000$
$= 38500$ ঘন ডেসিমি. বা লিটার।
1 ঘন্টায় (60 মিনিটে) নির্গত জল = $38500 \times 60 = 23,10,000$ লিটার।
কিলোলিটারে প্রকাশ: $\frac{2310000}{1000} = 2310$ কিলোলিটার।
উত্তর: পাম্পটি 1 ঘন্টায় 2310 কিলোলিটার জল সেচ করবে।
৯. 7 সেমি. ব্যাসের একটি লম্বা গ্যাসজারে কিছু জল আছে। ওই জলে যদি 5.6 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের 5 সেমি. লম্বা একটি নিরেট লোহার লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি টুকরো সম্পূর্ণ ডোবানো হয়, তবে জলতল কতটুকু উপরে উঠবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, জলতল $h$ সেমি. উপরে উঠবে।
গ্যাসজারের ব্যাসার্ধ ($R$) = $\frac{7}{2} = 3.5$ সেমি.।
অপসারিত জলের আয়তন = $\pi (3.5)^2 h$
লোহার টুকরোটির ব্যাসার্ধ ($r$) = $\frac{5.6}{2} = 2.8$ সেমি.।
লোহার টুকরোটির আয়তন = $\pi (2.8)^2 \times 5$
আর্কিমিডিসের নীতি অনুযায়ী,
$\pi (3.5)^2 h = \pi (2.8)^2 \times 5$
বা, $12.25 h = 7.84 \times 5$
বা, $h = \frac{39.2}{12.25}$
বা, $h = 3.2$
উত্তর: জলতল 3.2 সেমি. উপরে উঠবে।
১০. একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি স্তম্ভের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 264 বর্গ মিটার এবং আয়তন 924 ঘন মিটার হলে, ওই স্তম্ভের ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, স্তম্ভের ভূমির ব্যাসার্ধ = $r$ মিটার এবং উচ্চতা = $h$ মিটার।
শর্তানুসারে,
বক্রতলের ক্ষেত্রফল, $2\pi rh = 264$ … (i)
আয়তন, $\pi r^2h = 924$ … (ii)
(ii) নং সমীকরণকে (i) নং সমীকরণ দিয়ে ভাগ করে পাই,
$\frac{\pi r^2h}{2\pi rh} = \frac{924}{264}$
বা, $\frac{r}{2} = 3.5$
বা, $r = 7$
এখন (i) নং সমীকরণে $r$-এর মান বসিয়ে পাই,
$2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times h = 264$
বা, $44h = 264$
বা, $h = \frac{264}{44} = 6$
$\therefore$ ভূমির ব্যাসার্ধ ($r$) = 7 মি.
$\therefore$ ভূমির ব্যাস ($2r$) = $7 \times 2 = 14$ মি. এবং উচ্চতা = 6 মি.।
উত্তর: স্তম্ভের ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 14 মিটার এবং উচ্চতা 6 মিটার।
১১. 9 মিটার উচ্চতাবিশিষ্ট একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি ট্যাঙ্ক জলপূর্ণ আছে। 6 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের একটি পাইপ দিয়ে মিনিটে 225 মিটার বেগে জল বের হয়। 36 মিনিটে ট্যাঙ্কটির সমস্ত জল বেরিয়ে গেলে ট্যাঙ্কটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ট্যাঙ্কটির উচ্চতা ($H$) = 9 মিটার।
ধরি, ট্যাঙ্কটির ব্যাসার্ধ = $R$ মিটার।
পাইপের ব্যাস = 6 সেমি. = 0.06 মিটার।
$\therefore$ পাইপের ব্যাসার্ধ ($r$) = $\frac{0.06}{2} = 0.03$ মিটার।
পাইপ দিয়ে নির্গত জলের গতিবেগ = 225 মি./মিনিট।
1 মিনিটে পাইপ দিয়ে জল বের হয় = $\pi r^2 \times 225$ ঘন মিটার।
36 মিনিটে জল বের হয় = $\pi (0.03)^2 \times 225 \times 36$ ঘন মিটার।
শর্তানুসারে, ট্যাঙ্কের আয়তন = মোট নির্গত জলের আয়তন
$\pi R^2 H = \pi (0.03)^2 \times 225 \times 36$
বা, $R^2 \times 9 = 0.0009 \times 8100$
বা, $R^2 \times 9 = 7.29$
বা, $R^2 = \frac{7.29}{9} = 0.81$
বা, $R = \sqrt{0.81} = 0.9$ মিটার।
$\therefore$ ট্যাঙ্কের ব্যাস ($2R$) = $0.9 \times 2 = 1.8$ মিটার।
উত্তর: ট্যাঙ্কটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 1.8 মিটার।
১২. সমান ঘনত্বের একটি লম্ব বৃত্তাকার কাঠের গুড়ির বক্রতলের ক্ষেত্রফল 440 বর্গ ডেসিমি.। 1 ঘন ডেসিমি. কাঠের ওজন 1.5 কিগ্রা. এবং গুড়িটির ওজন 9.24 কুইন্টাল হলে, গুড়িটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, গুড়িটির ব্যাসার্ধ = $r$ ডেসিমি. এবং উচ্চতা = $h$ ডেসিমি.।
গুড়িটির মোট ওজন = 9.24 কুইন্টাল = 924 কিগ্রা.।
1 ঘন ডেসিমি. কাঠের ওজন 1.5 কিগ্রা.।
$\therefore$ গুড়িটির আয়তন = $\frac{924}{1.5} = 616$ ঘন ডেসিমি.।
শর্তানুসারে,
বক্রতলের ক্ষেত্রফল, $2\pi rh = 440$ … (i)
আয়তন, $\pi r^2h = 616$ … (ii)
(ii) $\div$ (i) করে পাই,
$\frac{\pi r^2h}{2\pi rh} = \frac{616}{440}$
বা, $\frac{r}{2} = 1.4$
বা, $r = 2.8$
(i) নং এ মান বসিয়ে পাই,
$2 \times \frac{22}{7} \times 2.8 \times h = 440$
বা, $17.6 h = 440$
বা, $h = \frac{440}{17.6} = 25$
$\therefore$ ব্যাস ($2r$) = $2.8 \times 2 = 5.6$ ডেসিমি. এবং উচ্চতা = 25 ডেসিমি.।
উত্তর: গুড়িটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 5.6 ডেসিমি. এবং উচ্চতা 25 ডেসিমি.।
১৩. দুই মুখ খোলা একটি লম্ব বৃত্তাকার লোহার পাইপের মুখের বহির্ব্যাসের দৈর্ঘ্য 30 সেমি. এবং অন্তর্ব্যাসের দৈর্ঘ্য 26 সেমি. এবং পাইপটির দৈর্ঘ্য 14.7 মিটার। প্রতি বর্গ ডেসিমি. 2.25 টাকা হিসাবে ওই পাইপটির সমগ্রতলে আলকাতরা প্রলেপ দিতে কত খরচ হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
পাইপটির উচ্চতা ($h$) = 14.7 মি. = 147 ডেসিমি.।
বহির্ব্যাস = 30 সেমি. = 3 ডেসিমি. $\therefore$ বহির্ব্যাসার্ধ ($R$) = 1.5 ডেসিমি.।
অন্তর্ব্যাস = 26 সেমি. = 2.6 ডেসিমি. $\therefore$ অন্তর্ব্যাসার্ধ ($r$) = 1.3 ডেসিমি.।
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল (ভেতর ও বাইরের বক্রতল + দুটি প্রান্তের বলয়):
$= 2\pi h(R + r) + 2\pi(R^2 – r^2)$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 147 (1.5 + 1.3) + 2 \times \frac{22}{7} (1.5^2 – 1.3^2)$
$= 44 \times 21 \times 2.8 + \frac{44}{7} (2.25 – 1.69)$
$= 2587.2 + \frac{44}{7} \times 0.56$
$= 2587.2 + 3.52$
$= 2590.72$ বর্গ ডেসিমি.।
মোট খরচ = $2590.72 \times 2.25 = 5829.12$ টাকা।
উত্তর: আলকাতরা প্রলেপ দিতে মোট 5829.12 টাকা খরচ হবে।
১৪. একটি দুই মুখ খোলা লোহার লম্ব বৃত্তাকার ফাঁপা চোঙের উচ্চতা 2.8 মিটার। চোঙটির অন্তর্ব্যাসের দৈর্ঘ্য 4.6 ডেসিমি. এবং চোঙটি 84.48 ঘন ডেসিমি. লোহা দিয়ে তৈরি হলে, চোঙটির বহির্ব্যাসের দৈর্ঘ্য কত হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
উচ্চতা ($h$) = 2.8 মি. = 28 ডেসিমি.।
অন্তর্ব্যাস = 4.6 ডেসিমি. $\therefore$ অন্তর্ব্যাসার্ধ ($r$) = 2.3 ডেসিমি.।
লোহার আয়তন = 84.48 ঘন ডেসিমি.।
ধরি, বহির্ব্যাসার্ধ = $R$ ডেসিমি.।
ফাঁপা চোঙের আয়তনের সূত্র:
$\pi h (R^2 – r^2) = 84.48$
বা, $\frac{22}{7} \times 28 (R^2 – 2.3^2) = 84.48$
বা, $88 (R^2 – 5.29) = 84.48$
বা, $R^2 – 5.29 = \frac{84.48}{88} = 0.96$
বা, $R^2 = 0.96 + 5.29 = 6.25$
বা, $R = \sqrt{6.25} = 2.5$
$\therefore$ বহির্ব্যাসার্ধ 2.5 ডেসিমি.।
বহির্ব্যাস ($2R$) = $2.5 \times 2 = 5$ ডেসিমি.।
উত্তর: চোঙটির বহির্ব্যাসের দৈর্ঘ্য 5 ডেসিমি.।
১৫. একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা তার ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ। যদি উচ্চতা ব্যাসার্ধের 6 গুণ হতো, তবে চোঙটির আয়তন 539 ঘন ডেসিমি. বেশি হতো। চোঙটির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, চোঙটির ভূমির ব্যাসার্ধ = $r$ ডেসিমি.।
প্রথম ক্ষেত্রে উচ্চতা, $h_1 = 2r$ ডেসিমি.।
প্রথম ক্ষেত্রে আয়তন, $V_1 = \pi r^2 (2r) = 2\pi r^3$ ঘন ডেসিমি.।
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে উচ্চতা, $h_2 = 6r$ ডেসিমি.।
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে আয়তন, $V_2 = \pi r^2 (6r) = 6\pi r^3$ ঘন ডেসিমি.।
শর্তানুসারে,
$V_2 – V_1 = 539$
বা, $6\pi r^3 – 2\pi r^3 = 539$
বা, $4\pi r^3 = 539$
বা, $4 \times \frac{22}{7} \times r^3 = 539$
বা, $r^3 = \frac{539 \times 7}{4 \times 22}$
বা, $r^3 = \frac{49 \times 7}{4 \times 2} = \frac{343}{8}$
বা, $r = \sqrt[3]{\frac{343}{8}} = \frac{7}{2} = 3.5$
$\therefore$ ব্যাসার্ধ 3.5 ডেসিমি.।
উচ্চতা ($h$) = $2r = 2 \times 3.5 = 7$ ডেসিমি.।
উত্তর: চোঙটির উচ্চতা 7 ডেসিমি.।
১৬. ফায়ার ব্রিগেডের কোনো একটি দল একটি গুদামঘরে আগুন নেভানোর জন্য 2 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের তিনটি হোস পাইপ দিয়ে মিনিটে 420 মিটার বেগে জল স্প্রে করে 40 মিনিটে আগুন নেভালো। যদি চৌবাচ্চাটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 2.8 মিটার এবং দৈর্ঘ্য 6 মিটার হয়, তবে (i) আগুন নেভাতে কত জল খরচ হয়েছে এবং (ii) চৌবাচ্চায় আর কত জল অবশিষ্ট আছে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
(i) জলের খরচ নির্ণয়:
হোস পাইপের ব্যাসার্ধ ($r$) = $\frac{2}{2} = 1$ সেমি. = 0.1 ডেসিমি.।
জলের গতিবেগ = 420 মি./মিনিট = 4200 ডেসিমি./মিনিট।
1টি পাইপ দিয়ে 1 মিনিটে জল বের হয় = $\pi r^2 \times \text{বেগ}$
$= \frac{22}{7} \times (0.1)^2 \times 4200$
$= 22 \times 0.01 \times 600 = 132$ ঘন ডেসিমি. বা লিটার।
3টি পাইপ দিয়ে 1 মিনিটে জল বের হয় = $132 \times 3 = 396$ লিটার।
40 মিনিটে মোট জল খরচ হয়েছে = $396 \times 40 = 15840$ লিটার।
(ii) অবশিষ্ট জলের পরিমাণ নির্ণয়:
চৌবাচ্চার ব্যাসার্ধ ($R$) = $\frac{2.8}{2} = 1.4$ মিটার = 14 ডেসিমি.।
চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য ($H$) = 6 মিটার = 60 ডেসিমি.।
চৌবাচ্চার মোট আয়তন = $\pi R^2 H$
$= \frac{22}{7} \times (14)^2 \times 60$
$= 22 \times 28 \times 60 = 36960$ লিটার।
অবশিষ্ট জল = মোট জল – খরচ হওয়া জল
$= 36960 – 15840 = 21120$ লিটার।
উত্তর: (i) আগুন নেভাতে 15840 লিটার জল খরচ হয়েছে এবং (ii) চৌবাচ্চায় 21120 লিটার জল অবশিষ্ট আছে।
১৭. 17.5 সেমি. ব্যাসের 4টি লম্ব বৃত্তাকার পিলারের চারপাশে 3.5 সেমি. পুরু বালি-সিমেন্টের প্লাস্টার করতে হবে।
সমাধান:
(i) প্রতিটি পিলারের উচ্চতা 3 মিটার হলে, কত ঘন ডেসিমি. মশলা লাগবে?
পিলারের ব্যাসার্ধ ($r$) = $\frac{17.5}{2} = 8.75$ সেমি. = 0.875 ডেসিমি.।
প্লাস্টারের পুরুত্ব = 3.5 সেমি. = 0.35 ডেসিমি.।
প্লাস্টারসহ ব্যাসার্ধ ($R$) = $0.875 + 0.35 = 1.225$ ডেসিমি.।
উচ্চতা ($h$) = 3 মিটার = 30 ডেসিমি.।
1টি পিলারে মশলার আয়তন = $\pi h (R^2 – r^2)$
$= \frac{22}{7} \times 30 \times [(1.225)^2 – (0.875)^2]$
$= \frac{660}{7} \times (1.225 + 0.875)(1.225 – 0.875)$
$= \frac{660}{7} \times 2.1 \times 0.35$
$= 660 \times 0.3 \times 0.35 = 69.3$ ঘন ডেসিমি.।
4টি পিলারের মোট মশলা = $69.3 \times 4 = 277.2$ ঘন ডেসিমি.।
(ii) প্লাস্টারের মশলায় বালি ও সিমেন্টের অনুপাত 4:1 হলে, কত ঘন ডেসিমি. সিমেন্ট প্রয়োজন?
মোট মশলা = 277.2 ঘন ডেসিমি.।
সিমেন্টের আনুপাতিক ভাগহার = $\frac{1}{4+1} = \frac{1}{5}$।
সিমেন্টের পরিমাণ = $277.2 \times \frac{1}{5} = 55.44$ ঘন ডেসিমি.।
উত্তর: (i) 277.2 ঘন ডেসিমি. মশলা লাগবে এবং (ii) 55.44 ঘন ডেসিমি. সিমেন্ট প্রয়োজন।
১৮. একটি লম্ব বৃত্তাকার ফাঁপা চোঙের বহির্ব্যাসের দৈর্ঘ্য 16 সেমি. এবং অন্তর্ব্যাসের দৈর্ঘ্য 12 সেমি.। চোঙটির উচ্চতা 36 সেমি.। চোঙটিকে গলিয়ে 2 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাস ও 6 সেমি. দৈর্ঘ্যের কতগুলি নিরেট চোঙ তৈরি করা যাবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ফাঁপা চোঙের ক্ষেত্রে:
বহির্ব্যাসার্ধ ($R$) = $\frac{16}{2} = 8$ সেমি.।
অন্তর্ব্যাসার্ধ ($r$) = $\frac{12}{2} = 6$ সেমি.।
উচ্চতা ($H$) = 36 সেমি.।
আয়তন = $\pi H (R^2 – r^2)$
$= \pi \times 36 \times (8^2 – 6^2)$
$= 36\pi (64 – 36) = 36\pi \times 28$ ঘন সেমি.।
ছোট নিরেট চোঙের ক্ষেত্রে:
ব্যাসার্ধ ($r_1$) = $\frac{2}{2} = 1$ সেমি.।
উচ্চতা ($h_1$) = 6 সেমি.।
একটি ছোট চোঙের আয়তন = $\pi (1)^2 \times 6 = 6\pi$ ঘন সেমি.।
নির্ণেয় চোঙের সংখ্যা = $\frac{\text{ফাঁপা চোঙের আয়তন}}{\text{একটি ছোট চোঙের আয়তন}}$
$= \frac{36\pi \times 28}{6\pi}$
$= 6 \times 28 = 168$ টি।
উত্তর: 168 টি নিরেট চোঙ তৈরি করা যাবে।
১৯. (A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):
(i) দুটি লম্ব বৃত্তাকার নিরেট চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2:3 এবং উচ্চতার অনুপাত 5:3 হলে, তাদের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত
সমাধান:
বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = $(r_1 \times h_1) : (r_2 \times h_2)$
$= (2 \times 5) : (3 \times 3)$
$= 10 : 9$
উত্তর: (c) 10:9
(ii) দুটি লম্ব বৃত্তাকার নিরেট চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2:3 এবং উচ্চতার অনুপাত 5:3 হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত
সমাধান:
আয়তনের অনুপাত = $(r_1^2 \times h_1) : (r_2^2 \times h_2)$
$= (2^2 \times 5) : (3^2 \times 3)$
$= (4 \times 5) : (9 \times 3)$
$= 20 : 27$
উত্তর: (b) 20:27
(iii) দুটি লম্ব বৃত্তাকার নিরেট চোঙের আয়তন সমান এবং তাদের উচ্চতার অনুপাত 1:2 হলে, তাদের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত
সমাধান:
$\pi r_1^2 h_1 = \pi r_2^2 h_2$
বা, $\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{h_2}{h_1} = \frac{2}{1}$
বা, $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{2}{1}} = \frac{\sqrt{2}}{1}$
উত্তর: (b) $\sqrt{2}:1$
(iv) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য অর্ধেক এবং উচ্চতা দ্বিগুণ হলে, চোঙটির আয়তন হবে পূর্বের চোঙের আয়তনের
সমাধান:
পূর্বের আয়তন $V = \pi r^2h$
নতুন আয়তন $V_1 = \pi (\frac{r}{2})^2 \times 2h = \pi \frac{r^2}{4} \times 2h = \frac{1}{2} \pi r^2h = \frac{1}{2} V$
উত্তর: (c) অর্ধেক
(v) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ এবং উচ্চতা অর্ধেক করা হলে, বক্রতলের ক্ষেত্রফল পূর্বের চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের
সমাধান:
পূর্বের বক্রতল $A = 2\pi rh$
নতুন বক্রতল $A_1 = 2\pi (2r) (\frac{h}{2}) = 2\pi rh = A$
উত্তর: (a) সমান
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:
(i) একটি লম্ব চোঙাকৃতি ড্রামের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য $r$ সেমি. এবং উচ্চতা $h$ সেমি.। ড্রামের অর্ধেক জলপূর্ণ থাকলে, জলের আয়তন হবে $\pi r^2h$ ঘন সেমি.।
উত্তর: মিথ্যা (সঠিক উত্তর হবে $\frac{1}{2}\pi r^2h$)
(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2 একক হলে, চোঙটির যে-কোনো উচ্চতার জন্য চোঙটির আয়তন এবং বক্রতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান সমান হবে।
উত্তর: সত্য (কারণ, $\pi (2)^2 h = 4\pi h$ এবং $2\pi (2) h = 4\pi h$)
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:
(i) একটি আয়তক্ষেত্রাকার কাগজের দৈর্ঘ্য $l$ একক এবং প্রস্থ $b$ একক। আয়তক্ষেত্রাকার কাগজটিকে মুড়ে একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হলো যার পরিধি কাগজটির দৈর্ঘ্যের সমান। চোঙটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল _____ বর্গ একক।
উত্তর: $lb$
(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 3 সেমি. এবং উচ্চতা 4 সেমি. হলে, চোঙটির ভিতর সর্বাপেক্ষা লম্বা যে দণ্ড রাখা যাবে তার দৈর্ঘ্য _____ সেমি.।
সমাধান: কর্ণ = $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$
উত্তর: 5
(iii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের আয়তন এবং বক্রতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান সমান হলে, চোঙটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য _____ একক।
সমাধান: $\pi r^2h = 2\pi rh \Rightarrow r = 2 \therefore$ ব্যাস $2r = 4$
উত্তর: 4
২০. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি স্তম্ভের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 264 বর্গ মিটার এবং আয়তন 924 ঘন মিটার হলে, স্তম্ভের ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত লিখি।
সমাধান:
ধরি, ব্যাসার্ধ $r$ এবং উচ্চতা $h$।
$\therefore \frac{\text{আয়তন}}{\text{বক্রতল}} = \frac{\pi r^2h}{2\pi rh} = \frac{924}{264}$
বা, $\frac{r}{2} = 3.5$
বা, $r = 7$
উত্তর: স্তম্ভের ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 7 মিটার।
(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফল $c$ বর্গ একক, ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য $r$ একক এবং আয়তন $v$ ঘন একক হলে, $\frac{cr}{v}$-এর মান কত তা লিখি।
সমাধান:
$c = 2\pi rh$ এবং $v = \pi r^2h$
$\therefore \frac{cr}{v} = \frac{(2\pi rh) \times r}{\pi r^2h} = \frac{2\pi r^2h}{\pi r^2h} = 2$
উত্তর: নির্ণেয় মান 2।
(iii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা 14 সেমি. এবং বক্রতলের ক্ষেত্রফল 264 বর্গ সেমি. হলে, চোঙটির আয়তন কত তা লিখি।
সমাধান:
$2\pi rh = 264$
বা, $2 \times \frac{22}{7} \times r \times 14 = 264$
বা, $88r = 264 \Rightarrow r = 3$ সেমি.।
আয়তন = $\pi r^2h = \frac{22}{7} \times 3^2 \times 14 = 22 \times 9 \times 2 = 396$ ঘন সেমি.।
উত্তর: চোঙটির আয়তন 396 ঘন সেমি.।
(iv) দুটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতার অনুপাত 1:2 এবং ভূমির পরিধির অনুপাত 3:4 হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত কত তা লিখি।
সমাধান:
পরিধির অনুপাত = ব্যাসার্ধের অনুপাত। $\therefore r_1:r_2 = 3:4$
উচ্চতার অনুপাত $h_1:h_2 = 1:2$
আয়তনের অনুপাত = $\frac{\pi r_1^2 h_1}{\pi r_2^2 h_2} = (\frac{r_1}{r_2})^2 \times \frac{h_1}{h_2}$
$= (\frac{3}{4})^2 \times \frac{1}{2} = \frac{9}{16} \times \frac{1}{2} = \frac{9}{32}$
উত্তর: আয়তনের অনুপাত 9:32।
(v) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 50% হ্রাস করা হলো এবং উচ্চতা 50% বৃদ্ধি করা হলো। চোঙটির আয়তনের শতকরা কত পরিবর্তন হবে তা লিখি।
সমাধান:
ধরি, পূর্বে ব্যাসার্ধ $r$ এবং উচ্চতা $h$। আয়তন $V = \pi r^2h$।
বর্তমানে ব্যাসার্ধ = $r/2$ এবং উচ্চতা = $h + h/2 = 3h/2$।
বর্তমান আয়তন $V_1 = \pi (\frac{r}{2})^2 (\frac{3h}{2}) = \pi \frac{r^2}{4} \times \frac{3h}{2} = \frac{3}{8} \pi r^2h = \frac{3}{8}V$।
আয়তন হ্রাস পেল = $V – \frac{3}{8}V = \frac{5}{8}V$
শতকরা হ্রাস = $\frac{\frac{5}{8}V}{V} \times 100 = \frac{500}{8} = 62.5\%$
উত্তর: আয়তন 62.5% হ্রাস পাবে।
শেয়ার