দশম শ্রেণী গনিত: দ্বিঘাত করণী – কষে দেখি 9.2
WBBSE Class 10 Maths Kose Dekhi 9.2 | দ্বিঘাত করণী (Quadratic Surds)
(Page 157)
১. (a) $3^{\frac{1}{2}}$ ও $\sqrt{3}$ -এর গুণফল নির্ণয় করি।
সমাধান:
$3^{\frac{1}{2}} \times \sqrt{3}$
$= \sqrt{3} \times \sqrt{3}$
$= 3$
উত্তর: গুণফল 3
(b) $2\sqrt{2}$ -কে কত দিয়ে গুণ করলে 4 পাব লিখি।
সমাধান:
ধরি, $x$ দিয়ে গুণ করতে হবে।
$2\sqrt{2} \times x = 4$
বা, $x = \frac{4}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$
উত্তর: $\sqrt{2}$ দিয়ে গুণ করতে হবে।
(c) $3\sqrt{5}$ এবং $5\sqrt{3}$ -এর গুণফল নির্ণয় করি।
সমাধান:
$= 3\sqrt{5} \times 5\sqrt{3}$
$= (3 \times 5) \times (\sqrt{5} \times \sqrt{3})$
$= 15\sqrt{15}$
উত্তর: $15\sqrt{15}$
(d) $\sqrt{6} \times \sqrt{15} = x\sqrt{10}$ হলে, $x$-এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
$\sqrt{6 \times 15} = x\sqrt{10}$
বা, $\sqrt{90} = x\sqrt{10}$
বা, $\sqrt{9 \times 10} = x\sqrt{10}$
বা, $3\sqrt{10} = x\sqrt{10}$
$\therefore x = 3$
উত্তর: $x$-এর মান 3
(e) $(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3}) = 25-x^2$ একটি সমীকরণ হলে, $x$-এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
বামপক্ষ: $(\sqrt{5})^2 – (\sqrt{3})^2 = 5 – 3 = 2$
শর্তানুসারে,
$2 = 25 – x^2$
বা, $x^2 = 25 – 2$
বা, $x^2 = 23$
বা, $x = \pm \sqrt{23}$
উত্তর: $x = \pm \sqrt{23}$
২. গুণফল নির্ণয় করি:
(a) $\sqrt{7} \times \sqrt{14}$
$= \sqrt{7 \times 14}$
$= \sqrt{7 \times 7 \times 2} = 7\sqrt{2}$
(b) $\sqrt{12} \times 2\sqrt{3}$
$= \sqrt{4 \times 3} \times 2\sqrt{3}$
$= 2\sqrt{3} \times 2\sqrt{3}$
$= 4 \times 3 = 12$
(c) $\sqrt{5} \times \sqrt{15} \times \sqrt{3}$
$= \sqrt{5 \times 15 \times 3}$
$= \sqrt{5 \times 5 \times 3 \times 3}$
$= 5 \times 3 = 15$
(d) $\sqrt{2}(3+\sqrt{5})$
$= 3\sqrt{2} + \sqrt{10}$
(e) $(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})$
$= (\sqrt{2})^2 – (\sqrt{3})^2$
$= 2 – 3 = -1$
(f) $(2\sqrt{3}+3\sqrt{2})(4\sqrt{2}+\sqrt{5})$
$= 2\sqrt{3}(4\sqrt{2}+\sqrt{5}) + 3\sqrt{2}(4\sqrt{2}+\sqrt{5})$
$= 8\sqrt{6} + 2\sqrt{15} + 12 \times 2 + 3\sqrt{10}$
$= 8\sqrt{6} + 2\sqrt{15} + 24 + 3\sqrt{10}$
(g) $(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)(2-\sqrt{3})(4+2\sqrt{3})$
$= \{(\sqrt{3})^2 – 1^2\} \times (2-\sqrt{3}) \times 2(2+\sqrt{3})$
$= (3-1) \times 2 \times (2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})$
$= 2 \times 2 \times (2^2 – (\sqrt{3})^2)$
$= 4 \times (4-3) = 4 \times 1 = 4$
৩. (a) $\sqrt{5}$-এর করণী নিরসক উৎপাদক $\sqrt{x}$ হলে, $x$-এর ক্ষুদ্রতম মান কত হবে? (যেখানে $x$ একটি পূর্ণসংখ্যা)
উত্তর: $\sqrt{5} \times \sqrt{5} = 5$ (মূলদ সংখ্যা)। তাই ক্ষুদ্রতম মান $x = 5$।
(b) $3\sqrt{2} \div 3$-এর মান নির্ণয় করি।
উত্তর: $\frac{3\sqrt{2}}{3} = \sqrt{2}$
(c) $7 \div \sqrt{48}$-এর হরের করণী নিরসন করতে হরকে ন্যূনতম কত দিয়ে গুণ করতে হবে?
সমাধান: $\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$।
এখানে অমূলদ অংশ $\sqrt{3}$, তাই $\sqrt{3}$ দিয়ে গুণ করতে হবে।
উত্তর: $\sqrt{3}$
(d) $(\sqrt{5}+2)$-এর করণী নিরসক উৎপাদক নির্ণয় করি যা করণীটির অনুবন্ধী করণী।
উত্তর: অনুবন্ধী করণী হলো $(2-\sqrt{5})$।
(কারণ যোগফল: $2+\sqrt{5}+2-\sqrt{5}=4$ এবং গুণফল: $4-5=-1$, উভয়ই মূলদ)।
(e) $(\sqrt{5}+\sqrt{2}) \div \sqrt{7} = \frac{1}{7}(\sqrt{35}+a)$ হলে, $a$-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
বামপক্ষ $= \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{7}} \times \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{35}+\sqrt{14}}{7} = \frac{1}{7}(\sqrt{35}+\sqrt{14})$
তুলনা করে পাই, $a = \sqrt{14}$।
(f) $\frac{5}{\sqrt{3}-2}$-এর হরের একটি করণী নিরসক উৎপাদক লিখি যা অনুবন্ধী করণী নয়।
উত্তর: $\sqrt{3}+2$ (এটি করণী নিরসক উৎপাদক, কিন্তু অনুবন্ধী নয় কারণ এদের যোগফল $2\sqrt{3}$ যা অমূলদ)।
৪. $(9-4\sqrt{5})$ ও $(-2-\sqrt{7})$ মিশ্র দ্বিঘাত করণীদ্বয়ের অনুবন্ধী করণীদ্বয় লিখি।
সমাধান:
- $(9-4\sqrt{5})$-এর অনুবন্ধী করণী: $9+4\sqrt{5}$
- $(-2-\sqrt{7})$-এর অনুবন্ধী করণী: $-2+\sqrt{7}$
৫. নীচের মিশ্র দ্বিঘাত করণীর 2টি করে করণী নিরসক উৎপাদক লিখি:
- (i) $\sqrt{5}+\sqrt{2}$ → উৎপাদকগুলি: $(\sqrt{5}-\sqrt{2})$ এবং $(\sqrt{2}-\sqrt{5})$
- (ii) $13+\sqrt{6}$ → উৎপাদকগুলি: $(13-\sqrt{6})$ এবং $(-13-\sqrt{6})$
- (iii) $\sqrt{8}-3$ → উৎপাদকগুলি: $(-\sqrt{8}-3)$ এবং $(\sqrt{8}+3)$
- (iv) $\sqrt{17}-\sqrt{15}$ → উৎপাদকগুলি: $(\sqrt{17}+\sqrt{15})$ এবং $(-\sqrt{17}-\sqrt{15})$
৬. হরের করণী নিরসন করি:
(i) $\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$
সমাধান:
$= \frac{(2\sqrt{3}+3\sqrt{2}) \times \sqrt{6}}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}}$
$= \frac{2\sqrt{18}+3\sqrt{12}}{6}$
$= \frac{2(3\sqrt{2}) + 3(2\sqrt{3})}{6}$
$= \frac{6\sqrt{2}+6\sqrt{3}}{6}$
$= \sqrt{2}+\sqrt{3}$
(ii) $\frac{\sqrt{2}-1+\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$
সমাধান:
$= \frac{(\sqrt{2}-1+\sqrt{6})\sqrt{5}}{5}$
$= \frac{\sqrt{10}-\sqrt{5}+\sqrt{30}}{5}$
(iii) $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$
সমাধান:
$= \frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}$
$= \frac{(\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3} + 1}{3-1}$
$= \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3}$
(iv) $\frac{3+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$
সমাধান:
$= \frac{(3+\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{(\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3})}$
$= \frac{3\sqrt{7}+3\sqrt{3}+\sqrt{35}+\sqrt{15}}{7-3}$
$= \frac{3\sqrt{7}+3\sqrt{3}+\sqrt{35}+\sqrt{15}}{4}$
(v) $\frac{3\sqrt{2}+1}{2\sqrt{5}-1}$
সমাধান:
$= \frac{(3\sqrt{2}+1)(2\sqrt{5}+1)}{(2\sqrt{5}-1)(2\sqrt{5}+1)}$
$= \frac{6\sqrt{10}+3\sqrt{2}+2\sqrt{5}+1}{(2\sqrt{5})^2 – 1^2}$
$= \frac{6\sqrt{10}+3\sqrt{2}+2\sqrt{5}+1}{20-1}$
$= \frac{6\sqrt{10}+3\sqrt{2}+2\sqrt{5}+1}{19}$
(vi) $\frac{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}$
সমাধান:
$= \frac{(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})^2}{(3\sqrt{2})^2-(2\sqrt{3})^2}$
$= \frac{18 + 12 + 2(3\sqrt{2})(2\sqrt{3})}{18-12}$
$= \frac{30 + 12\sqrt{6}}{6}$
$= 5 + 2\sqrt{6}$
৭. প্রথমটিকে দ্বিতীয়টি দিয়ে ভাগ করে ভাজককে মূলদ সংখ্যায় পরিণত করি।
(i) $3\sqrt{2}+\sqrt{5}, \sqrt{2}+1$
সমাধান:
$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}+1} = \frac{(3\sqrt{2}+\sqrt{5})(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}$
$= \frac{3(2) – 3\sqrt{2} + \sqrt{10} – \sqrt{5}}{2-1}$
$= 6 – 3\sqrt{2} + \sqrt{10} – \sqrt{5}$
(ii) $2\sqrt{3}-\sqrt{2}, \sqrt{2}-\sqrt{3}$
সমাধান:
$\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$
$= \frac{2\sqrt{6} + 2(3) – 2 – \sqrt{6}}{2-3}$
$= \frac{\sqrt{6} + 4}{-1}$
$= -(4+\sqrt{6})$
(iii) $3+\sqrt{6}, \sqrt{3}+\sqrt{2}$
সমাধান:
$\frac{3+\sqrt{6}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \sqrt{3}$
৮. মান নির্ণয় করি:
(i) $\frac{2\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1} – \frac{4\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}-1}$
সমাধান:
$= \frac{(2\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1) – (4\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)}$
$= \frac{(10-2\sqrt{5}+\sqrt{5}-1) – (20+4\sqrt{5}-\sqrt{5}-1)}{5-1}$
$= \frac{(9-\sqrt{5}) – (19+3\sqrt{5})}{4}$
$= \frac{9-\sqrt{5}-19-3\sqrt{5}}{4}$
$= \frac{-10-4\sqrt{5}}{4}$
$= \frac{-2(5+2\sqrt{5})}{4} = -\frac{5+2\sqrt{5}}{2}$
(ii) $\frac{8+3\sqrt{2}}{3+\sqrt{5}} – \frac{8-3\sqrt{2}}{3-\sqrt{5}}$
সমাধান:
$= \frac{(8+3\sqrt{2})(3-\sqrt{5}) – (8-3\sqrt{2})(3+\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}$
লব (Numerator):
$(24 – 8\sqrt{5} + 9\sqrt{2} – 3\sqrt{10}) – (24 + 8\sqrt{5} – 9\sqrt{2} – 3\sqrt{10})$
$= 24 – 24 – 8\sqrt{5} – 8\sqrt{5} + 9\sqrt{2} + 9\sqrt{2} – 3\sqrt{10} + 3\sqrt{10}$
$= -16\sqrt{5} + 18\sqrt{2}$
হর (Denominator): $9-5 = 4$
$\therefore \text{মান} = \frac{18\sqrt{2}-16\sqrt{5}}{4}$
$= \frac{2(9\sqrt{2}-8\sqrt{5})}{4}$
$= \frac{9\sqrt{2}-8\sqrt{5}}{2}$
শেয়ার