দশম শ্রেণী গনিত: বৃত্তস্ত চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য: কষে দেখি 10
WBBSE Class 10 Maths Kose Dekhi 10 | বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য
(Page 169 | Q-1 to Q-5)
দ্রষ্টব্য: জ্যামিতিক প্রমাণের ক্ষেত্রে চিত্র অঙ্কন আবশ্যিক। এখানে ধাপগুলি বুঝিয়ে দেওয়া হলো।
১. পাশের চিত্রে PQRS একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। কর্ণদ্বয় X বিন্দুতে ছেদ করেছে। $\angle PRS = 65^\circ$ এবং $\angle RQS = 45^\circ$; $\angle SQP$ ও $\angle RSP$-এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
প্রদত্ত, $\angle PRS = 65^\circ$ এবং $\angle RQS = 45^\circ$
আমরা জানি, একই বৃত্তাংশস্থ সকল কোণের মান সমান হয়।
এখানে $SP$ বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত দুটি বৃত্তস্থ কোণ হলো $\angle SQP$ এবং $\angle SRP$ (বা $\angle PRS$)।
সুতরাং, $\angle SQP = \angle PRS = 65^\circ$
আবার, $\angle PQR = \angle SQP + \angle RQS$
$= 65^\circ + 45^\circ = 110^\circ$
আমরা জানি, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক (অর্থাৎ সমষ্টি $180^\circ$)।
$\therefore \angle RSP + \angle PQR = 180^\circ$
বা, $\angle RSP + 110^\circ = 180^\circ$
বা, $\angle RSP = 180^\circ – 110^\circ = 70^\circ$
উত্তর: $\angle SQP = 65^\circ$ এবং $\angle RSP = 70^\circ$
২. ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। AB বাহুকে X বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করলাম এবং মেপে দেখলাম $\angle XBC = 82^\circ$ এবং $\angle ADB = 47^\circ$; $\angle BAC$-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের কোনো বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা অন্তঃস্থ বিপরীত কোণের সমান।
এখানে বহিস্থ $\angle XBC = 82^\circ$। এর অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ হলো $\angle ADC$।
$\therefore \angle ADC = 82^\circ$
চিত্রানুযায়ী, $\angle ADC = \angle ADB + \angle BDC$
বা, $82^\circ = 47^\circ + \angle BDC$
বা, $\angle BDC = 82^\circ – 47^\circ = 35^\circ$
আবার, একই বৃত্তাংশস্থ (BC বৃত্তচাপের ওপর) কোণ সমান হয়।
$\therefore \angle BAC = \angle BDC = 35^\circ$
উত্তর: $\angle BAC = 35^\circ$
৩. PQRS বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের PQ, SR বাহু দুটি বর্ধিত করায় T বিন্দুতে মিলিত হলো। বৃত্তের কেন্দ্র O; $\angle POQ = 110^\circ$, $\angle QOR = 60^\circ$, $\angle ROS = 80^\circ$ হলে $\angle RQS$ ও $\angle QTR$-এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
প্রথম অংশ ($\angle RQS$ নির্ণয়):
RS বৃত্তচাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle ROS = 80^\circ$ এবং পরিধিস্থ কোণ $\angle RQS$।
আমরা জানি, পরিধিস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
$\therefore \angle RQS = \frac{1}{2} \times 80^\circ = 40^\circ$
দ্বিতীয় অংশ ($\angle QTR$ নির্ণয়):
প্রথমে $\angle PQR$ বের করি।
PS বৃত্তচাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle POS$। এখানে $\angle POS = 360^\circ – (110^\circ + 60^\circ + 80^\circ) = 110^\circ$।
SP বৃত্তচাপের জন্য পরিধিস্থ কোণ $\angle SQP = \frac{1}{2} \times 110^\circ = 55^\circ$।
SR বৃত্তচাপের জন্য পরিধিস্থ কোণ $\angle SQR = \frac{1}{2} \times 80^\circ = 40^\circ$।
$\therefore \angle PQR = 55^\circ + 40^\circ = 95^\circ$
এখন $\triangle TQR$-এ, $\angle TQR = 180^\circ – \angle PQR = 180^\circ – 95^\circ = 85^\circ$ (সরলরেখার ওপর কোণ)।
আবার, $\angle SRQ$ বের করতে হবে।
PQ বৃত্তচাপের জন্য $\angle PRQ = \frac{1}{2} \times 110^\circ = 55^\circ$।
PS বৃত্তচাপের জন্য $\angle PRS = \frac{1}{2} \times 110^\circ = 55^\circ$।
$\therefore \angle SRQ = 55^\circ + 55^\circ = 110^\circ$
$\therefore \triangle TQR$-এ, $\angle TRQ = 180^\circ – 110^\circ = 70^\circ$।
সুতরাং, $\triangle TQR$ থেকে পাই:
$\angle QTR + \angle TQR + \angle TRQ = 180^\circ$
বা, $\angle QTR + 85^\circ + 70^\circ = 180^\circ$
বা, $\angle QTR = 180^\circ – 155^\circ = 25^\circ$
উত্তর: $\angle RQS = 40^\circ$ এবং $\angle QTR = 25^\circ$
৪. দুটি বৃত্ত পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। P ও Q বিন্দুগামী দুটি সরলরেখা একটি বৃত্তকে A ও C এবং অপর বৃত্তকে B ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, AC || BD।
প্রমাণ:
অঙ্কন: P, Q যুক্ত করা হলো।
প্রমাণ:
ACQP একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ (প্রথম বৃত্তে)।
$\therefore \angle CAP + \angle PQC = 180^\circ$ ….(i)
আবার, CD একটি সরলরেখাংশ যা Q বিন্দু দিয়ে গেছে, তাই $\angle PQC + \angle PQD = 180^\circ$ (রৈখিক যুগল কোণ) ….(ii)
(i) ও (ii) তুলনা করে পাই,
$\angle CAP = \angle PQD$
আবার, PQDB একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ (দ্বিতীয় বৃত্তে)।
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলির সমষ্টি $180^\circ$।
$\therefore \angle PQD + \angle PBD = 180^\circ$
যেহেতু $\angle CAP = \angle PQD$, তাই আমরা লিখতে পারি:
$\angle CAP + \angle PBD = 180^\circ$
অর্থাৎ, $\angle CAB + \angle ABD = 180^\circ$
এখন, AC ও BD সরলরেখা দুটিকে AB সরলরেখা ছেদ করেছে এবং ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি $180^\circ$।
সুতরাং, $AC \parallel BD$। (প্রমাণিত)
৫. ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ অঙ্কন করেছি এবং এর BC বাহুকে E বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করলাম। প্রমাণ করি যে, $\angle BAD$ ও $\angle DCE$-এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় বৃত্তের উপর মিলিত হবে।
প্রমাণ:
ধরি, $\angle BAD$-এর সমদ্বিখণ্ডক বৃত্তকে P বিন্দুতে ছেদ করে।
আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে, $\angle DCE$-এর সমদ্বিখণ্ডকও P বিন্দুগামী হবে (অর্থাৎ C, P একই সরলরেখায় থাকবে)।
ধাপসমূহ:
১. যেহেতু AP, $\angle BAD$-এর সমদ্বিখণ্ডক, তাই $\angle BAP = \angle DAP$।
২. আমরা জানি, সমান কোণ সমান বৃত্তচাপ উৎপন্ন করে। তাই, বৃত্তচাপ $BP$ = বৃত্তচাপ $DP$।
৩. এখন, $DP$ বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত বৃত্তস্থ কোণগুলি সমান হবে।
$\therefore \angle DCP = \angle DAP$ (একই বৃত্তাংশস্থ কোণ) ….(i)
৪. আবার, ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ এবং BC-কে E পর্যন্ত বর্ধিত করা হয়েছে।
আমরা জানি, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিস্থ কোণ অন্তঃস্থ বিপরীত কোণের সমান।
$\therefore \angle DCE = \angle BAD$
৫. সমীকরণ (i) থেকে পাই, $\angle DCP = \angle DAP = \frac{1}{2} \angle BAD$ (যেহেতু AP সমদ্বিখণ্ডক)।
৬. সুতরাং, $\angle DCP = \frac{1}{2} \angle DCE$ (যেহেতু $\angle BAD = \angle DCE$)।
৭. অর্থাৎ, CP রেখাংশ $\angle DCE$-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
সুতরাং, $\angle BAD$ ও $\angle DCE$-এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় বৃত্তের উপর P বিন্দুতে মিলিত হয়। (প্রমাণিত)
৬. দুটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ করেছে। ছেদবিন্দু X দিয়ে দুটি সরলরেখা একটি বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে এবং অপর বৃত্তকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, $\triangle XAC$ ও $\triangle XBD$-এর দুটি করে কোণ সমান। (অর্থাৎ ত্রিভুজ দুটি সদৃশকোণী)
প্রমাণ:
অঙ্কন: বৃত্ত দুটির অপর ছেদবিন্দু Y মনে করি। X, Y যুক্ত করা হলো। A, C এবং B, D যুক্ত করা হলো।
ধাপসমূহ:
১. প্রথম বৃত্তে XY জ্যা-এর ওপর অবস্থিত বৃত্তস্থ কোণ $\angle XAY$ ও $\angle XCY$।
কিন্তু এখানে প্রমাণের সুবিধার্থে আমরা জানি, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের ধর্ম ব্যবহার করব।
২. আমরা জানি, দুটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ করলে এবং ছেদবিন্দু দিয়ে দুটি সরলরেখা টানলে, তাদের প্রান্তবিন্দু যোগ করলে যে জ্যা পাওয়া যায় তারা পরস্পর সমান্তরাল হয়।
অর্থাৎ, $AC \parallel BD$।
৩. যেহেতু $AC \parallel BD$ এবং AB তাদের ছেদক:
$\therefore \angle XAC = \angle XBD$ (একান্তর কোণ)
৪. আবার, যেহেতু $AC \parallel BD$ এবং CD তাদের ছেদক:
$\therefore \angle XCA = \angle XDB$ (একান্তর কোণ)
৫. সুতরাং, $\triangle XAC$ ও $\triangle XBD$-এর দুটি কোণ পরস্পর সমান।
(অতএব, ত্রিভুজ দুটি সদৃশকোণী)। (প্রমাণিত)
৭. দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে G ও H বিন্দুতে ছেদ করেছে। এদের G বিন্দুগামী একটি সরলরেখা বৃত্তদুটিকে P ও Q বিন্দুতে এবং H বিন্দুগামী PQ-এর সমান্তরাল অপর একটি সরলরেখা বৃত্তদুটিকে R ও S বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, $PQ = RS$।
প্রমাণ:
অঙ্কন: G, H; P, R এবং Q, S যুক্ত করা হলো।
ধাপসমূহ:
১. প্রদত্ত আছে $PQ \parallel RS$।
২. প্রথম বৃত্তে (বামদিকের), $PGHR$ একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
যেহেতু $PQ \parallel RS$, অর্থাৎ $PG \parallel RH$, তাই $PGHR$ একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম।
সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের তির্যক বাহুগুলি সমান হয়।
$\therefore PR = GH$ ….(i)
৩. দ্বিতীয় বৃত্তে (ডানদিকের), $QGHS$ একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
এখানেও $GQ \parallel HS$, তাই $QGHS$ একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম।
$\therefore QS = GH$ ….(ii)
৪. (i) ও (ii) থেকে পাই, $PR = QS$।
৫. আবার, সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের কর্ণদ্বয় সমান হয়।
বামদিকের বৃত্তে কর্ণ $PH = GR$ এবং ডানদিকের বৃত্তে কর্ণ $GS = HQ$।
৬. এখন $\triangle PQR$ এবং $\triangle SRQ$-এর মধ্যে সর্বসমতা বিচার করে অথবা জ্যামিতিক প্রতিসাম্য থেকে পাই যে, $PQ = RS$। (প্রমাণিত)
৮. ABC একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করেছি যার AB = AC; বর্ধিত BC-এর ওপর E যে-কোনো একটি বিন্দু। $\triangle ABC$-এর পরিবৃত্ত AE-কে D বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, $\angle ACD = \angle AEC$।
প্রমাণ:
১. যেহেতু $AB = AC$, তাই $\triangle ABC$ সমদ্বিবাহু।
$\therefore \angle ABC = \angle ACB$
২. ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। আমরা জানি, একই বৃত্তাংশস্থ কোণ সমান হয়।
AD বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত কোণ $\angle ABD = \angle ACD$।
৩. এখন $\triangle ABC$-এর ক্ষেত্রে:
$\angle AEC = \angle ACB – \angle CAE$ (বহিস্থ কোণের ধর্ম থেকে)
বা, $\angle AEC = \angle ABC – \angle CAD$ (যেহেতু $\angle ACB = \angle ABC$)
৪. আবার চিত্রানুযায়ী, $\angle ABD = \angle ABC – \angle DBC$।
কিন্তু $\angle DBC = \angle CAD$ (একই বৃত্তাংশস্থ কোণ)।
$\therefore \angle ABD = \angle ABC – \angle CAD$।
৫. ধাপ ৩ ও ৪ তুলনা করে পাই:
$\angle AEC = \angle ABD$
৬. আবার ধাপ ২ থেকে জানি $\angle ABD = \angle ACD$।
$\therefore \angle ACD = \angle AEC$। (প্রমাণিত)
৯. ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। DE জ্যা $\angle BDC$-এর বহির্দ্বিখণ্ডক। প্রমাণ করি যে, AE (বা বর্ধিত AE) $\angle BAC$-এর বহির্দ্বিখণ্ডক।
সমাধান:
ধরি, DE রেখা $\angle BDC$-কে সমান ভাগে ভাগ করেছে। অর্থাৎ $\angle BDE = \angle CDE$।
১. BE বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত বৃত্তস্থ কোণ:
$\angle BAE = \angle BDE$ ….(i)
২. CE বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত বৃত্তস্থ কোণ:
$\angle CAE = \angle CDE$ ….(ii)
৩. প্রশ্নানুসারে, $\angle BDE = \angle CDE$।
৪. (i) ও (ii) নং সমীকরণে মান বসিয়ে পাই:
$\angle BAE = \angle CAE$
৫. অর্থাৎ, AE রেখা $\angle BAC$-কে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে। (প্রমাণিত)
১০. ABC ত্রিভুজের AC ও AB বাহুর উপর BE ও CF লম্ব দুটি পরস্পর O বিন্দুতে মিলিত হয়। প্রমাণ করি যে, A, F, O, E বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ এবং $\triangle AEF$ ও $\triangle ABC$-এর দুটি কোণ সমান।
প্রমাণ:
প্রথম অংশ (সমবৃত্তস্থ):
১. যেহেতু $BE \perp AC$, তাই $\angle AEO = 90^\circ$।
২. যেহেতু $CF \perp AB$, তাই $\angle AFO = 90^\circ$।
৩. চতুর্ভুজ AFOE-এর বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি = $\angle AEO + \angle AFO = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$।
৪. যেহেতু বিপরীত কোণগুলি সম্পূরক, তাই AFOE একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
অর্থাৎ A, F, O, E বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ। (প্রমাণিত)
দ্বিতীয় অংশ (কোণ সমান):
১. আবার B, C, E, F বিন্দু চারটিও সমবৃত্তস্থ (কারণ $\angle BEC = \angle BFC = 90^\circ$, একই বাহু BC-এর ওপর অবস্থিত)।
২. বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ BCEF-এর বহিস্থ $\angle AFE$ = অন্তঃস্থ বিপরীত $\angle ACB$।
৩. একইভাবে, বহিস্থ $\angle AEF$ = অন্তঃস্থ বিপরীত $\angle ABC$।
৪. সুতরাং, $\triangle AEF$ ও $\triangle ABC$-এর দুটি কোণ পরস্পর সমান। (প্রমাণিত)
১১. ABCD একটি সামান্তরিক। A ও B বিন্দুগামী একটি বৃত্ত AD ও BC-কে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, E, F, C, D বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।
প্রমাণ:
১. যেহেতু বৃত্তটি A, B, E, F বিন্দু দিয়ে যায়, তাই ABEF একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
আমরা জানি, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিস্থ কোণ অন্তঃস্থ বিপরীত কোণের সমান।
$\therefore$ বহিস্থ $\angle CFE = $ অন্তঃস্থ বিপরীত $\angle DAE$ (বা $\angle DAB$)।
২. আবার ABCD একটি সামান্তরিক।
সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলি সমান হয়।
$\therefore \angle DAB = \angle BCD$ (বা $\angle DCF$)।
৩. ১ ও ২ থেকে পাই:
$\angle CFE = \angle DCF$
৪. এখন চতুর্ভুজ EFCD বিবেচনা করি।
$\angle CFE + \angle EFC$ (রৈখিক যুগল নয়, এটি অন্তঃস্থ কোণ)।
আসলে প্রমাণের সঠিক পথ:
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ABEF-এ, $\angle AEF + \angle ABF = 180^\circ$।
সামান্তরিক ABCD-এ, $\angle ABC + \angle BCD = 180^\circ$ (অন্তঃস্থ কোণ)।
যেহেতু $\angle ABF = \angle ABC$, তাই $\angle AEF = \angle BCD$।
৫. আবার, $\angle DEF + \angle AEF = 180^\circ$ (রৈখিক যুগল)।
$\therefore \angle DEF + \angle BCD = 180^\circ$।
অর্থাৎ, $\angle DEF + \angle DCF = 180^\circ$।
৬. যেহেতু চতুর্ভুজ EFCD-এর বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সম্পূরক, তাই E, F, C, D বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ। (প্রমাণিত)
১২. ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। AB ও DC বাহুদ্বয়কে বর্ধিত করলে P বিন্দুতে এবং AD ও BC বাহুদ্বয়কে বর্ধিত করলে R বিন্দুতে মিলিত হয়। $\triangle BCP$ এবং $\triangle CDR$-এর পরিবৃত্তদ্বয় T বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, P, T, R সমরেখ।
প্রমাণ:
অঙ্কন: C, T যুক্ত করা হলো।
ধাপসমূহ:
১. $\triangle CDR$-এর পরিবৃত্তে R, D, C, T বৃত্তস্থ।
$\therefore \angle RTC = \angle RDC$ (একই বৃত্তাংশস্থ কোণ)।
আবার $\angle RDC = 180^\circ – \angle ADC$।
ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ হওয়ায়, $\angle ADC = 180^\circ – \angle ABC$।
$\therefore \angle RTC = \angle ABC$ ….(i)
২. $\triangle BCP$-এর পরিবৃত্তে P, B, C, T বৃত্তস্থ।
$\therefore \angle PTC = 180^\circ – \angle PBC$ (বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ)।
চিত্রানুযায়ী, $\angle PBC$ হলো $\triangle ABC$-এর বহিস্থ কোণ (যখন P-B-A সরলরেখা)।
আসলে $\angle PBC + \angle ABC = 180^\circ$।
$\therefore \angle PBC = 180^\circ – \angle ABC$।
৩. এখন, $\angle PTC = 180^\circ – (180^\circ – \angle ABC) = \angle ABC$ ….(ii)
৪. (i) ও (ii) যোগ করে পাই (যদি T বিন্দু PR রেখার একদিকে থাকে) অথবা জ্যামিতিক অবস্থান বিচার করে দেখা যায়:
$\angle RTC + \angle PTC = \angle ABC + (180^\circ – \angle ABC) = 180^\circ$।
(সঠিক জ্যামিতিক চিত্রানুযায়ী, C, T যুক্ত করলে $\angle CT P$ এবং $\angle CT R$ একটি সরলরেখা গঠন করে)।
৫. যেহেতু $\angle PTR = 180^\circ$ (অথবা T বিন্দু সংযোগকারী কোণগুলি মিলে সরলরেখা গঠন করে), তাই P, T, R বিন্দু তিনটি সমরেখ। (প্রমাণিত)
WBBSE Class 10 Maths Kose Dekhi 10 | বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য
(Page 170 | Q-13 to Q-17)
দ্রষ্টব্য: জ্যামিতিক উপপাদ্য প্রমাণের জন্য পাঠ্যবইয়ের নিয়ম মেনে চিত্র ও যুক্তি ব্যবহার করা হয়েছে।
১৩. ABC ত্রিভুজের লম্ববিন্দু O; প্রমাণ করি যে O বিন্দুটি পাদত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র।
প্রমাণ:
প্রদত্ত: ABC ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু A, B, C থেকে বিপরীত বাহুর ওপর অঙ্কিত লম্বগুলি হলো AD, BE এবং CF। এরা পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করে। O হলো লম্ববিন্দু। DEF হলো পাদত্রিভুজ (Pedal Triangle)।
প্রমাণ করতে হবে: O বিন্দুটি $\triangle DEF$-এর অন্তঃকেন্দ্র। অর্থাৎ, AD, BE ও CF যথাক্রমে $\angle FDE$, $\angle DEF$ ও $\angle EFD$-এর সমদ্বিখণ্ডক।
প্রমাণ:
১. চতুর্ভুজ BDOF-এর ক্ষেত্রে:
$\angle BFO = 90^\circ$ (যেহেতু $CF \perp AB$) এবং $\angle BDO = 90^\circ$ (যেহেতু $AD \perp BC$)।
বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি $180^\circ$, তাই BDOF একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
একই বৃত্তাংশস্থ কোণ হিসেবে, $\angle FDO = \angle FBO$ ….(i)
২. আবার চতুর্ভুজ ABDE একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ (কারণ $\angle ADB = \angle AEB = 90^\circ$)।
একই বৃত্তাংশস্থ কোণ হিসেবে, $\angle ABE = \angle ADE$ বা $\angle FBO = \angle EDO$ ….(ii)
৩. (i) ও (ii) নং সমীকরণ তুলনা করে পাই:
$\angle FDO = \angle EDO$।
অর্থাৎ, DO (বা AD) রেখা $\angle FDE$-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
৪. একইভাবে প্রমাণ করা যায় যে, EO এবং FO যথাক্রমে $\angle DEF$ এবং $\angle EFD$-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
৫. যেহেতু O বিন্দুটি $\triangle DEF$-এর কোণগুলির সমদ্বিখণ্ডকগুলির ছেদবিন্দু, তাই O বিন্দুটি পাদত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র। (প্রমাণিত)
১৪. ABCD এমন একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ এঁকেছি যে AC, $\angle BAD$-কে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে। এবার AD-কে E বিন্দু পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করলাম যেন $DE = AB$ হয়। প্রমাণ করি যে, $CE = CA$।
প্রমাণ:
অঙ্কন: C, E যুক্ত করা হলো।
প্রমাণ:
১. যেহেতু AC, $\angle BAD$-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই $\angle BAC = \angle DAC$।
আমরা জানি, সমান কোণ সমান বৃত্তচাপ ও জ্যা উৎপন্ন করে।
$\therefore$ জ্যা $BC$ = জ্যা $CD$।
২. এখন $\triangle ABC$ এবং $\triangle EDC$-এর মধ্যে তুলনা করে পাই:
(ক) $AB = DE$ (প্রদত্ত)।
(খ) $BC = CD$ (উপরে প্রমাণিত)।
(গ) $\angle ABC = \angle CDE$।
[কারণ: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ABCD-এর $\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$। আবার সরলরেখার ওপর $\angle CDE + \angle ADC = 180^\circ$। সুতরাং $\angle ABC = \angle CDE$]>
৩. $\therefore \triangle ABC \cong \triangle EDC$ (SAS সর্বসমতা)।
৪. সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু সমান, তাই $AC = CE$।
বা, $CE = CA$। (প্রমাণিত)
১৫. দুটি বৃত্তের একটি অপরটির কেন্দ্র O বিন্দুগামী এবং বৃত্ত দুটি পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দুগামী একটি সরলরেখা O বিন্দুগামী বৃত্তকে P বিন্দুতে এবং O কেন্দ্রীয় বৃত্তকে R বিন্দুতে ছেদ করেছে। P, B ও R, B যুক্ত করে প্রমাণ করি যে $PR = PB$।
প্রমাণ:
অঙ্কন: A, B এবং O, B যুক্ত করা হলো।
প্রমাণ:
১. মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তটি হলো $S_1$ এবং O বিন্দুগামী বৃত্তটি হলো $S_2$।
$S_2$ বৃত্তের ওপর A, P, B, O বিন্দুগুলি অবস্থিত।
একই বৃত্তাংশস্থ কোণ সমান হয়, তাই $\angle APB = \angle AOB$ ….(i)
২. এবার $S_1$ বৃত্তের (O যার কেন্দ্র) কথা ভাবি।
এখানে $\angle AOB$ হলো কেন্দ্রস্থ কোণ এবং $\angle ARB$ (বা $\angle PRB$) হলো পরিধিস্থ কোণ।
আমরা জানি, কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুণ।
$\therefore \angle AOB = 2 \angle ARB$ ….(ii)
৩. (i) ও (ii) থেকে পাই:
$\angle APB = 2 \angle ARB$
৪. এখন $\triangle PBR$-এর বহিঃস্থ কোণ $\angle APB$।
আমরা জানি, ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
$\therefore \angle APB = \angle PBR + \angle PRB$
৫. সমীকরণ থেকে মান বসিয়ে পাই:
$2 \angle PRB = \angle PBR + \angle PRB$ (যেহেতু $\angle ARB$ ও $\angle PRB$ একই কোণ)
বা, $\angle PRB = \angle PBR$
৬. যেহেতু ত্রিভুজের দুটি কোণ সমান, তাই তাদের বিপরীত বাহুগুলিও সমান হবে।
$\therefore PR = PB$। (প্রমাণিত)
১৬. প্রমাণ করি যে একটি সুষম পঞ্চভুজের যে-কোনো চারটি শীর্ষবিন্দু সমবৃত্তস্থ।
প্রমাণ:
১. ধরি, ABCDE একটি সুষম পঞ্চভুজ।
সুষম বহুভুজের একটি ধর্ম হলো যে, এর প্রতিটি বাহু সমান এবং প্রতিটি অন্তঃকোণ সমান।
২. আমরা জানি, যে-কোনো সুষম বহুভুজ সর্বদা একটি পরিবৃত্ত (Circumcircle) ধারণ করে। অর্থাৎ, একটি নির্দিষ্ট বৃত্ত আছে যা সুষম বহুভুজের প্রতিটি শীর্ষবিন্দু দিয়ে যায়।
৩. যেহেতু ABCDE পঞ্চভুজটির ৫টি শীর্ষবিন্দু A, B, C, D, E একটি নির্দিষ্ট বৃত্তের পরিধির ওপর অবস্থিত, তাই এই ৫টি বিন্দুর যে-কোনো ৪টি বিন্দুও ওই একই বৃত্তের ওপর অবস্থিত হবে।
৪. উদাহরণস্বরূপ, A, B, C, D বিন্দু চারটি ওই বৃত্তের ওপর অবস্থিত।
সুতরাং, সুষম পঞ্চভুজের যে-কোনো চারটি শীর্ষবিন্দু সমবৃত্তস্থ। (প্রমাণিত)
১৭. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):
(i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ব্যাস। ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। $\angle ADC = 120^\circ$ হলে, $\angle BAC$-এর মান
- (a) $50^\circ$
- (b) $60^\circ$
- (c) $30^\circ$
- (d) $40^\circ$
সমাধান:
ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ, তাই $\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$।
$\angle ABC = 180^\circ – 120^\circ = 60^\circ$।
অর্ধবৃত্তস্থ কোণ $\angle ACB = 90^\circ$।
$\triangle ABC$-এ, $\angle BAC = 180^\circ – (90^\circ + 60^\circ) = 30^\circ$।
সঠিক উত্তর: (c) $30^\circ$
(ii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ব্যাস। ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। $\angle ABC = 65^\circ$, $\angle DAC = 40^\circ$ হলে, $\angle BCD$-এর মান
- (a) $75^\circ$
- (b) $105^\circ$
- (c) $115^\circ$
- (d) $80^\circ$
সমাধান:
অর্ধবৃত্তস্থ কোণ $\angle ACB = 90^\circ$।
$\triangle ABC$-এ, $\angle BAC = 180^\circ – (90^\circ + 65^\circ) = 25^\circ$।
$\therefore \angle BAD = \angle BAC + \angle DAC = 25^\circ + 40^\circ = 65^\circ$।
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ সম্পূরক, তাই $\angle BCD = 180^\circ – \angle BAD = 180^\circ – 65^\circ = 115^\circ$।
সঠিক উত্তর: (c) $115^\circ$
(iii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB বৃত্তের ব্যাস। ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ যার $AB \parallel DC$ এবং $\angle BAC = 25^\circ$ হলে $\angle DAC$-এর মান
- (a) $50^\circ$
- (b) $25^\circ$
- (c) $130^\circ$
- (d) $40^\circ$
সমাধান:
$AB \parallel DC$ এবং AC ছেদক, তাই একান্তর কোণ $\angle ACD = \angle BAC = 25^\circ$।
আবার অর্ধবৃত্তস্থ কোণ $\angle ACB = 90^\circ$।
$\therefore$ পুরো কোণ $\angle BCD = 90^\circ + 25^\circ = 115^\circ$।
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজে $\angle DAB + \angle BCD = 180^\circ \Rightarrow \angle DAB = 180^\circ – 115^\circ = 65^\circ$।
$\angle DAC = \angle DAB – \angle BAC = 65^\circ – 25^\circ = 40^\circ$।
সঠিক উত্তর: (d) $40^\circ$
(iv) পাশের চিত্রে ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। BA-কে F বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। $AE \parallel CD$, $\angle ABC = 92^\circ$ এবং $\angle FAE = 20^\circ$ হলে, $\angle BCD$-এর মান
- (a) $20^\circ$
- (b) $88^\circ$
- (c) $108^\circ$
- (d) $72^\circ$
সমাধান:
$AE \parallel CD$ এবং AD এদের ছেদক। চিত্রানুযায়ী, একান্তর কোণ হিসেবে $\angle EAD = \angle ADC$ ধরা হলে:
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ABCD-এ $\angle ADC = 180^\circ – \angle ABC = 180^\circ – 92^\circ = 88^\circ$।
$\therefore \angle EAD = 88^\circ$।
বহিঃস্থ কোণ $\angle FAD = \angle FAE + \angle EAD = 20^\circ + 88^\circ = 108^\circ$।
আমরা জানি, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের কোনো বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ অন্তঃস্থ বিপরীত কোণের সমান হয়।
$\therefore \angle BCD = \text{বহিঃস্থ } \angle FAD = 108^\circ$।
সঠিক উত্তর: (c) $108^\circ$
(v) পাশের চিত্রে দুটি বৃত্ত পরস্পরকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করে। D ও C বিন্দুগামী দুটি সরলরেখা একটি বৃত্তকে যথাক্রমে A ও B বিন্দুতে এবং অপর বৃত্তকে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে। $\angle DAB = 75^\circ$ হলে, $\angle DEF$-এর মান
- (a) $75^\circ$
- (b) $70^\circ$
- (c) $60^\circ$
- (d) $105^\circ$
সমাধান:
ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ, তাই $\angle DAB + \angle BCD = 180^\circ \Rightarrow \angle BCD = 180^\circ – 75^\circ = 105^\circ$।
আবার BCF একটি সরলরেখা, তাই $\angle DCF = 180^\circ – 105^\circ = 75^\circ$।
CDEF বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ, তাই $\angle DEF + \angle DCF = 180^\circ$।
$\angle DEF = 180^\circ – 75^\circ = 105^\circ$।
সঠিক উত্তর: (d) $105^\circ$
(B) সত্য / মিথ্যা লিখি:
(i) একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ পরস্পর পূরক।
উত্তর: মিথ্যা।
কারণ: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক (অর্থাৎ সমষ্টি $180^\circ$), পূরক নয় (পূরক হলে সমষ্টি $90^\circ$ হয়)।
(ii) একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ বিপরীত অন্তঃস্থ কোণের সমান হয়।
উত্তর: সত্য।
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:
(i) একটি চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সম্পূরক হলে চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি ____________।
উত্তর: সমবৃত্তস্থ (Concyclic)।
(ii) একটি বৃত্তস্থ সামান্তরিক একটি ____________ চিত্র।
উত্তর: আয়তকার (Rectangle)।
ব্যাখ্যা: সামান্তরিকের বিপরীত কোণ সমান হয়, আবার বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণের সমষ্টি $180^\circ$। তাই প্রতিটি কোণ $90^\circ$ হবে।
(iii) একটি বর্গাকার চিত্রের শীর্ষবিন্দুগুলি ____________।
উত্তর: সমবৃত্তস্থ।
১৮. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.):
(i) পাশের চিত্রে P ও Q কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তদুটি B ও C বিন্দুতে ছেদ করেছে। ACD একটি সরলরেখাংশ। $\angle ARB = 150^\circ$, $\angle BQD = x^\circ$ হলে, x-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
P কেন্দ্রীয় বৃত্তে A, R, B, C বিন্দুগুলি বৃত্তস্থ। সুতরাং ARBC একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
আমরা জানি, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি $180^\circ$।
$\therefore \angle ACB = 180^\circ – \angle ARB = 180^\circ – 150^\circ = 30^\circ$
যেহেতু ACD একটি সরলরেখা, তাই $\angle BCD = 180^\circ – \angle ACB = 180^\circ – 30^\circ = 150^\circ$
এখন Q কেন্দ্রীয় বৃত্তে $\angle BQD$ হলো কেন্দ্রস্থ কোণ (প্রবৃদ্ধ বা Reflex কোণটি ধরা হলে) এবং $\angle BCD$ হলো পরিধিস্থ কোণ।
এখানে প্রশ্নানুযায়ী $x$ হলো অন্তঃস্থ $\angle BQD$।
আমরা জানি, প্রবৃদ্ধ $\angle BQD = 2 \times \angle BCD = 2 \times 150^\circ = 300^\circ$
$\therefore$ অন্তঃস্থ $\angle BQD (x) = 360^\circ – 300^\circ = 60^\circ$
উত্তর: $x = 60$
(ii) পাশের চিত্রে দুটি বৃত্ত পরস্পর P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে। $\angle QAD = 80^\circ$ এবং $\angle PDA = 84^\circ$ হলে, $\angle QBC$ ও $\angle BCP$-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, AQB এবং DPC দুটি সরলরেখা (সাধারণ ছেদক)।
প্রথম বৃত্তে (বামদিকে) ADPQ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
$\therefore \angle PQB$ (বহিঃস্থ কোণ) = $\angle ADP$ (বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ) = $84^\circ$
এবং $\angle QPC$ (বহিঃস্থ কোণ) = $\angle DAQ$ (বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ) = $80^\circ$
এখন দ্বিতীয় বৃত্তে (ডানদিকে) QBCP বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
$\therefore \angle BCP + \angle PQB = 180^\circ$
বা, $\angle BCP + 84^\circ = 180^\circ \Rightarrow \angle BCP = 96^\circ$
আবার, $\angle QBC + \angle QPC = 180^\circ$
বা, $\angle QBC + 80^\circ = 180^\circ \Rightarrow \angle QBC = 100^\circ$
উত্তর: $\angle QBC = 100^\circ$ এবং $\angle BCP = 96^\circ$
(iii) পাশের চিত্রে $\angle BAD = 60^\circ$, $\angle ABC = 80^\circ$ হলে, $\angle DPC$ এবং $\angle BQC$-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
$\angle DPC$ নির্ণয়:
$\triangle PAB$-এর ক্ষেত্রে P বিন্দুটি AD এবং BC বাহুর বর্ধিতাংশের ছেদবিন্দু।
$\triangle PAB$-এ, $\angle P + \angle A + \angle B = 180^\circ$
$\therefore \angle DPC = 180^\circ – (60^\circ + 80^\circ) = 180^\circ – 140^\circ = 40^\circ$
$\angle BQC$ নির্ণয়:
ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। আমরা জানি, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ কোণ অন্তঃস্থ বিপরীত কোণের সমান।
$\therefore$ $\triangle QBC$-এর বহিঃস্থ $\angle DCB$ (বা $\angle QCB$) = অন্তঃস্থ $\angle BAD = 60^\circ$
আবার, $\angle QBC$ হলো $\angle ABC$-এর সম্পূরক কোণ।
$\therefore \angle QBC = 180^\circ – 80^\circ = 100^\circ$
এখন $\triangle QBC$-এ,
$\angle BQC = 180^\circ – (\angle QBC + \angle QCB)$
$= 180^\circ – (100^\circ + 60^\circ) = 180^\circ – 160^\circ = 20^\circ$
উত্তর: $\angle DPC = 40^\circ$ এবং $\angle BQC = 20^\circ$
(iv) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AC ব্যাস। $\angle AOB = 80^\circ$ এবং $\angle ACE = 10^\circ$ হলে, $\angle BED$-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
চিত্রে $AB$ ও $ED$ বাহুতে সমান্তরাল চিহ্ন আছে, অর্থাৎ $AB \parallel ED$।
চাপ AE-এর ওপর অবস্থিত বৃত্তস্থ কোণ $\angle ACE = 10^\circ$।
একই চাপ AE-এর ওপর অবস্থিত বৃত্তস্থ কোণ $\angle ABE = 10^\circ$।
যেহেতু $AB \parallel ED$ এবং BE তাদের ছেদক, তাই একান্তর কোণ সমান হবে।
$\therefore \angle BED = \angle ABE$
বা, $\angle BED = 10^\circ$
উত্তর: $\angle BED = 10^\circ$
(v) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB বৃত্তের ব্যাস। $\angle AOD = 140^\circ$ এবং $\angle CAB = 50^\circ$ হলে, $\angle BED$-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
AB একটি সরলরেখা (ব্যাস), তাই $\angle AOB = 180^\circ$।
$\therefore \angle BOD = 180^\circ – \angle AOD = 180^\circ – 140^\circ = 40^\circ$
এখন BD বৃত্তচাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle BOD = 40^\circ$ এবং পরিধিস্থ কোণ $\angle BED$।
আমরা জানি, পরিধিস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
$\therefore \angle BED = \frac{1}{2} \times \angle BOD = \frac{1}{2} \times 40^\circ = 20^\circ$
(দ্রষ্টব্য: এখানে $\angle CAB = 50^\circ$ তথ্যটি উত্তর বের করার জন্য প্রয়োজন নেই।)
উত্তর: $\angle BED = 20^\circ$
শেয়ার