দশম শ্রেণী গনিত: গোলক – কষে দেখি 12
WBBSE Class 10 Maths Kose Dekhi 12 | গোলক (Sphere)
(Page 183 | Q-1 to Q-7)
প্রয়োজনীয় সূত্রাবলী:
১. গোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = $4\pi r^2$ বর্গ একক
২. গোলকের আয়তন = $\frac{4}{3}\pi r^3$ ঘন একক
৩. অর্ধগোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = $2\pi r^2$ বর্গ একক
১. একটি গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 10.5 সেমি হলে, তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
গোলকের ব্যাসার্ধ ($r$) = 10.5 সেমি = $\frac{21}{2}$ সেমি।
গোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = $4\pi r^2$
$= 4 \times \frac{22}{7} \times \left(\frac{21}{2}\right)^2$ বর্গ সেমি
$= 4 \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{2} \times \frac{21}{2}$
$= 22 \times 3 \times 21 = 1386$ বর্গ সেমি।
উত্তর: গোলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 1386 বর্গ সেমি।
২. একটি চামড়ার বল তৈরি করতে প্রতি বর্গ সেমি 17.50 টাকা হিসাবে 431.20 টাকা লেগেছে। বলটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
মোট খরচ = 431.20 টাকা এবং প্রতি বর্গ সেমিতে খরচ = 17.50 টাকা।
$\therefore$ বলটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = $\frac{\text{মোট খরচ}}{\text{প্রতি বর্গ সেমিতে খরচ}}$
$= \frac{431.20}{17.50} = \frac{4312}{175} = 24.64$ বর্গ সেমি।
ধরি, বলটির ব্যাসার্ধ = $r$ সেমি।
শর্তানুসারে,
$4\pi r^2 = 24.64$
বা, $4 \times \frac{22}{7} \times r^2 = \frac{2464}{100}$
বা, $r^2 = \frac{2464}{100} \times \frac{1}{4} \times \frac{7}{22}$
বা, $r^2 = \frac{196}{100}$
বা, $r = \sqrt{1.96} = 1.4$
$\therefore$ বলটির ব্যাস = $2 \times 1.4 = 2.8$ সেমি।
উত্তর: বলটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 2.8 সেমি।
৩. স্কুলে শটপুট খেলার জন্য যে বলটি ব্যবহার করা হয় তার ব্যাসের দৈর্ঘ্য 7 সেমি হলে, বলটিতে কত ঘন সেমি লোহা আছে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
বলটির ব্যাস = 7 সেমি।
$\therefore$ ব্যাসার্ধ ($r$) = $\frac{7}{2}$ = 3.5 সেমি।
বলটিতে লোহা আছে (আয়তন) = $\frac{4}{3}\pi r^3$
$= \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}$ ঘন সেমি
$= \frac{11 \times 49}{3} = \frac{539}{3} = 179\frac{2}{3}$ ঘন সেমি।
উত্তর: বলটিতে $179\frac{2}{3}$ ঘন সেমি লোহা আছে।
৪. 28 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট একটি নিরেট গোলক জলে সম্পূর্ণভাবে নিমজ্জিত করলে যে পরিমাণ জল অপসারিত করবে তা নির্ণয় করি।
সমাধান:
গোলকের ব্যাস = 28 সেমি।
$\therefore$ ব্যাসার্ধ ($r$) = $\frac{28}{2} = 14$ সেমি।
আর্কিমিডিসের সূত্রানুসারে, অপসারিত জলের আয়তন গোলকের আয়তনের সমান হবে।
অপসারিত জলের আয়তন = $\frac{4}{3}\pi r^3$
$= \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times 14$
$= \frac{4}{3} \times 22 \times 2 \times 196$
$= \frac{34496}{3} = 11498\frac{2}{3}$ ঘন সেমি।
উত্তর: $11498\frac{2}{3}$ ঘন সেমি জল অপসারিত করবে।
৫. কোনো গোলাকার গ্যাস বেলুন ফোলাবার সময়ে তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 7 সেমি থেকে 21 সেমি হলে বেলুনটির পূর্বের ও পরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয় করি।
সমাধান:
পূর্বের ব্যাসার্ধ ($r_1$) = 7 সেমি।
পরের ব্যাসার্ধ ($r_2$) = 21 সেমি।
পূর্বের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল : পরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
$= 4\pi r_1^2 : 4\pi r_2^2$
$= r_1^2 : r_2^2$
$= (7)^2 : (21)^2$
$= 49 : 441$
$= 1 : 9$
উত্তর: ক্ষেত্রফলের অনুপাত 1 : 9।
৬. অর্ধগোলাকৃতি একটি বাটি তৈরি করতে $127\frac{2}{7}$ বর্গ সেমি পাত লেগেছে। বাটিটির মুখের ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
মনে করি, বাটিটির ব্যাসার্ধ = $r$ সেমি।
যেহেতু বাটিটির মুখ খোলা, তাই এখানে কেবল বক্রতলের ক্ষেত্রফল হিসাব হবে।
শর্তানুসারে,
$2\pi r^2 = 127\frac{2}{7}$
বা, $2 \times \frac{22}{7} \times r^2 = \frac{891}{7}$
বা, $44 r^2 = 891$
বা, $r^2 = \frac{891}{44} = \frac{81}{4} = 20.25$
বা, $r = \sqrt{\frac{81}{4}} = \frac{9}{2} = 4.5$
$\therefore$ বাটিটির মুখের ব্যাস = $2 \times 4.5 = 9$ সেমি।
উত্তর: বাটিটির মুখের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 9 সেমি।
৭. একটি নিরেট লোহার গোলার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2.1 সেমি। ওই গোলাটিতে কত ঘন সেমি লোহা আছে তা হিসাব করে লিখি এবং ওই লোহার গোলার বক্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি।
সমাধান:
ব্যাসার্ধ ($r$) = 2.1 সেমি।
(i) আয়তন নির্ণয়:
গোলাটিতে লোহা আছে = $\frac{4}{3}\pi r^3$
$= \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (2.1)^3$
$= \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times 2.1$
$= 4 \times 22 \times 0.1 \times 0.7 \times 2.1$ [কাটাকুটি করে]
$= 38.808$ ঘন সেমি।
(ii) বক্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয়:
ক্ষেত্রফল = $4\pi r^2$
$= 4 \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1$
$= 4 \times 22 \times 0.3 \times 2.1$
$= 55.44$ বর্গ সেমি।
উত্তর: গোলাটিতে 38.808 ঘন সেমি লোহা আছে এবং বক্রতলের ক্ষেত্রফল 55.44 বর্গ সেমি।
৮. একটি নিরেট সিসার গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 14 সেমি। এই গোলকটি গলিয়ে 3.5 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের কতগুলি নিরেট গোলক তৈরি করা যাবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
বড় গোলকের ব্যাস = 14 সেমি $\therefore$ ব্যাসার্ধ ($R$) = 7 সেমি।
ছোট গোলকের ব্যাসার্ধ ($r$) = 3.5 সেমি = $\frac{7}{2}$ সেমি।
ধরি, $n$ টি ছোট গোলক তৈরি করা যাবে।
$\therefore n = \frac{\text{বড় গোলকের আয়তন}}{\text{প্রতিটি ছোট গোলকের আয়তন}}$
$= \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{\frac{4}{3}\pi r^3} = \left(\frac{R}{r}\right)^3$
$= \left(\frac{7}{3.5}\right)^3 = (2)^3 = 8$
উত্তর: 8টি নিরেট গোলক তৈরি করা যাবে।
৯. 3 সেমি, 4 সেমি ও 5 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের তিনটি নিরেট তামার গোলক গলিয়ে একটি নিরেট বড়ো গোলক তৈরি করা হলো। বড়ো গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, বড় গোলকের ব্যাসার্ধ = $R$ সেমি।
ছোট তিনটি গোলকের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে $r_1=3, r_2=4, r_3=5$।
প্রশ্নানুসারে, বড় গোলকের আয়তন = তিনটি ছোট গোলকের মোট আয়তন
$\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi r_1^3 + \frac{4}{3}\pi r_2^3 + \frac{4}{3}\pi r_3^3$
বা, $R^3 = 3^3 + 4^3 + 5^3$ [উভয়পক্ষ থেকে $\frac{4}{3}\pi$ বর্জন করে]
বা, $R^3 = 27 + 64 + 125$
বা, $R^3 = 216$
বা, $R^3 = (6)^3$
$\therefore R = 6$
উত্তর: বড়ো গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 6 সেমি।
১০. একটি অর্ধগোলাকৃতি গম্বুজের ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 42 ডেসিমি। গম্বুজটির উপরিতল রং করতে প্রতি বর্গ মিটার 35 টাকা হিসাবে কত খরচ পড়বে তা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
গম্বুজের ব্যাস = 42 ডেসিমি = 4.2 মিটার।
$\therefore$ ব্যাসার্ধ ($r$) = $\frac{4.2}{2} = 2.1$ মিটার।
গম্বুজের উপরিতল (বক্রতল) এর ক্ষেত্রফল = $2\pi r^2$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1$ বর্গ মিটার
$= 44 \times 0.3 \times 2.1 = 27.72$ বর্গ মিটার।
প্রতি বর্গ মিটারে খরচ 35 টাকা।
মোট খরচ = $27.72 \times 35 = 970.20$ টাকা।
উত্তর: মোট 970.20 টাকা খরচ পড়বে।
১১. একই ধাতুর পাত থেকে তৈরি দুটি ফাঁপা গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 21 সেমি এবং 17.5 সেমি। গোলকদুটি তৈরি করতে যে পরিমাণ ধাতুর পাত লেগেছে তার অনুপাত নির্ণয় করি।
সমাধান:
পাত লাগার পরিমাণ = গোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ($4\pi r^2$)।
প্রথম গোলকের ব্যাস ($d_1$) = 21 সেমি।
দ্বিতীয় গোলকের ব্যাস ($d_2$) = 17.5 সেমি।
আমরা জানি ব্যাসার্ধের অনুপাত ও ব্যাসের অনুপাত সমান হয়।
ক্ষেত্রফলের অনুপাত = $4\pi (\frac{d_1}{2})^2 : 4\pi (\frac{d_2}{2})^2 = d_1^2 : d_2^2$
$= (21)^2 : (17.5)^2$
$= 441 : 306.25$
$= 44100 : 30625$ [দশমিক তুলে]
$= 1764 : 1225$ [উভয়কে 25 দিয়ে ভাগ করে]
$= 36 : 25$ [উভয়কে 49 দিয়ে ভাগ করে]
উত্তর: ধাতুর পাতের অনুপাত 36 : 25।
১২. একটি ধাতব গোলকের উপরিতল এমনভাবে কেটে নেওয়া হলো যে নতুন গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল আগের গোলকের ঠিক অর্ধেক হয়। কেটে নেওয়া অংশের আয়তনের সঙ্গে অবশিষ্ট গোলকের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, মূল গোলকের ব্যাসার্ধ $R$ একক এবং নতুন (অবশিষ্ট) গোলকের ব্যাসার্ধ $r$ একক।
প্রশ্নানুসারে,
$4\pi r^2 = \frac{1}{2} \times 4\pi R^2$
বা, $r^2 = \frac{R^2}{2} \Rightarrow r = \frac{R}{\sqrt{2}}$
মূল গোলকের আয়তন ($V_1$) = $\frac{4}{3}\pi R^3$
অবশিষ্ট গোলকের আয়তন ($V_2$) = $\frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{R}{\sqrt{2}}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{R^3}{2\sqrt{2}}$
কেটে নেওয়া অংশের আয়তন = $V_1 – V_2 = \frac{4}{3}\pi R^3 – \frac{4}{3}\pi \frac{R^3}{2\sqrt{2}}$
$= \frac{4}{3}\pi R^3 \left(1 – \frac{1}{2\sqrt{2}}\right)$
নির্ণেয় অনুপাত (কেটে নেওয়া অংশ : অবশিষ্ট অংশ)
$= \frac{4}{3}\pi R^3 \left(1 – \frac{1}{2\sqrt{2}}\right) : \frac{4}{3}\pi \frac{R^3}{2\sqrt{2}}$
$= \left(1 – \frac{1}{2\sqrt{2}}\right) : \frac{1}{2\sqrt{2}}$
$= \frac{2\sqrt{2} – 1}{2\sqrt{2}} : \frac{1}{2\sqrt{2}}$
$= (2\sqrt{2} – 1) : 1$
উত্তর: নির্ণেয় অনুপাত $(2\sqrt{2} – 1) : 1$।
১৩. 14 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি ভূগোলকের অক্ষটির বক্রতলে 0.7 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুটি বৃত্তাকার ছিদ্র করা হয়েছে। ভূগোলকটির গোলাকার অংশের ধাতব পাতের ক্ষেত্রফল হিসাব করি।
সমাধান:
ভূগোলকের ব্যাসার্ধ ($R$) = 14 সেমি।
ছিদ্র দুটির ব্যাসার্ধ ($r$) = 0.7 সেমি।
ভূগোলকটির মোট সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = $4\pi R^2$
$= 4 \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 = 2464$ বর্গ সেমি।
ছিদ্র দুটির মোট ক্ষেত্রফল = $2 \times \pi r^2$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 0.7 \times 0.7 = 3.08$ বর্গ সেমি।
ধাতব পাতের ক্ষেত্রফল = $2464 – 3.08 = 2460.92$ বর্গ সেমি।
উত্তর: ধাতব পাতের ক্ষেত্রফল 2460.92 বর্গ সেমি।
১৪. 8 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি নিরেট লোহার গোলককে গলিয়ে 1 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের কয়টি নিরেট গুলি তৈরি করা যাবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
বড় গোলকের ব্যাসার্ধ ($R$) = 8 সেমি।
ছোট গুলির ব্যাসার্ধ ($r$) = 1 সেমি।
গুলির সংখ্যা = $\frac{\text{বড় গোলকের আয়তন}}{\text{ছোট গুলির আয়তন}}$
$= \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{\frac{4}{3}\pi r^3} = \left(\frac{R}{r}\right)^3$
$= \left(\frac{8}{1}\right)^3 = 512$
উত্তর: 512 টি গুলি তৈরি করা যাবে।
১৫. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):
(i) 2r একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট নিরেট গোলকের আয়তন
- (a) $\frac{32\pi r^3}{3}$ ঘন একক
- (b) $\frac{16\pi r^3}{3}$ ঘন একক
- (c) $\frac{8\pi r^3}{3}$ ঘন একক
- (d) $\frac{64\pi r^3}{3}$ ঘন একক
সমাধান:
আয়তন = $\frac{4}{3}\pi (\text{ব্যাসার্ধ})^3 = \frac{4}{3}\pi (2r)^3 = \frac{4}{3}\pi (8r^3) = \frac{32\pi r^3}{3}$ ঘন একক।
সঠিক উত্তর: (a) $\frac{32\pi r^3}{3}$ ঘন একক
(ii) দুটি নিরেট গোলকের আয়তনের অনুপাত 1:8 হলে, তাদের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত
- (a) 1:2
- (b) 1:4
- (c) 1:8
- (d) 1:16
সমাধান:
আয়তনের অনুপাত $r_1^3 : r_2^3 = 1:8 \Rightarrow r_1 : r_2 = 1:2$।
ক্ষেত্রফলের অনুপাত $r_1^2 : r_2^2 = (1)^2 : (2)^2 = 1:4$।
সঠিক উত্তর: (b) 1:4
(iii) 7 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
- (a) $588\pi$ বর্গ সেমি
- (b) $392\pi$ বর্গ সেমি
- (c) $147\pi$ বর্গ সেমি
- (d) $98\pi$ বর্গ সেমি
সমাধান:
নিরেট অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = $3\pi r^2 = 3 \times \pi \times (7)^2 = 3 \times 49\pi = 147\pi$ বর্গ সেমি।
সঠিক উত্তর: (c) $147\pi$ বর্গ সেমি
(iv) দুটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 16:9 হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত
- (a) 64:27
- (b) 4:3
- (c) 27:64
- (d) 3:4
সমাধান:
ক্ষেত্রফলের অনুপাত $r_1^2 : r_2^2 = 16:9 \Rightarrow r_1 : r_2 = 4:3$।
আয়তনের অনুপাত $r_1^3 : r_2^3 = (4)^3 : (3)^3 = 64:27$।
সঠিক উত্তর: (a) 64:27
(v) একটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল ও 3 গুণ আয়তনের সাংখ্যমান সমান হলে, গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য
- (a) 1 একক
- (b) 2 একক
- (c) 3 একক
- (d) 4 একক
সমাধান:
শর্তানুসারে, $4\pi r^2 = 3 \times \frac{4}{3}\pi r^3$
বা, $4\pi r^2 = 4\pi r^3$
বা, $r = 1$
সঠিক উত্তর: (a) 1 একক
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:
(i) একটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ করলে গোলকটির আয়তন দ্বিগুণ হবে।
উত্তর: মিথ্যা।
ব্যাখ্যা: ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ ($2r$) হলে আয়তন হবে $(2)^3 = 8$ গুণ।
(ii) দুটি অর্ধগোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 4:9 হলে, তাদের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত হবে 2:3।
উত্তর: সত্য।
ব্যাখ্যা: $r_1^2 : r_2^2 = 4:9 \Rightarrow r_1 : r_2 = \sqrt{4}:\sqrt{9} = 2:3$।
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:
(i) একটি তলবিশিষ্ট ঘনবস্তুর নাম ________।
উত্তর: গোলক।
(ii) একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমতলের সংখ্যা ________।
উত্তর: 1 টি।
(iii) একটি নিরেট অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2r একক হলে সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ________ $\pi r^2$ বর্গ একক।
উত্তর: 12
ব্যাখ্যা: $3\pi (2r)^2 = 3\pi (4r^2) = 12\pi r^2$।
১৬. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) একটি নিরেট অর্ধগোলকের আয়তন এবং সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান সমান। অর্ধগোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।
সমাধান:
ধরি, ব্যাসার্ধ = $r$ একক।
শর্তানুসারে,
$\frac{2}{3}\pi r^3 = 3\pi r^2$
বা, $\frac{2}{3}r = 3$ [উভয়পক্ষ থেকে $\pi r^2$ বর্জন করে]
বা, $2r = 9$
বা, $r = 4.5$
উত্তর: ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 4.5 একক।
(ii) একটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল একটি নিরেট লম্ববৃত্তাকার চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের সমান। চোঙটির উচ্চতা এবং ব্যাসের দৈর্ঘ্য উভয়েই 12 সেমি। গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।
সমাধান:
চোঙের উচ্চতা ($h$) = 12 সেমি, ব্যাস = 12 সেমি $\therefore$ ব্যাসার্ধ ($R$) = 6 সেমি।
চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = $2\pi Rh = 2\pi (6)(12) = 144\pi$ বর্গ সেমি।
ধরি, গোলকের ব্যাসার্ধ = $r$ সেমি।
শর্তানুসারে,
$4\pi r^2 = 144\pi$
বা, $4r^2 = 144$
বা, $r^2 = 36$
বা, $r = 6$
উত্তর: গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 6 সেমি।
(iii) একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল এবং একটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল সমান। অর্ধগোলক এবং গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত তা লিখি।
সমাধান:
ধরি, অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ = $r_1$ এবং গোলকের ব্যাসার্ধ = $r_2$।
শর্তানুসারে,
$3\pi r_1^2 = 4\pi r_2^2$
বা, $\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{4}{3}$
বা, $\frac{r_1}{r_2} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$
উত্তর: ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত $2 : \sqrt{3}$।
(iv) একটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = S এবং আয়তন = V হলে, $\frac{S^3}{V^2}$-এর মান কত তা লিখি। ($\pi$-এর মান না বসিয়ে)
সমাধান:
আমরা জানি, $S = 4\pi r^2$ এবং $V = \frac{4}{3}\pi r^3$।
$\therefore S^3 = (4\pi r^2)^3 = 64\pi^3 r^6$
এবং $V^2 = (\frac{4}{3}\pi r^3)^2 = \frac{16}{9}\pi^2 r^6$
এখন,
$\frac{S^3}{V^2} = \frac{64\pi^3 r^6}{\frac{16}{9}\pi^2 r^6}$
$= \frac{64\pi^3}{\frac{16}{9}\pi^2}$ [$r^6$ কেটে]
$= 64\pi \times \frac{9}{16}$ [$\pi^3/\pi^2 = \pi$]
$= 4\pi \times 9 = 36\pi$
উত্তর: $\frac{S^3}{V^2} = 36\pi$।
(v) একটি গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি করলে বক্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পায় তা লিখি।
সমাধান:
ধরি, গোলকের ব্যাসার্ধ = $r$ একক।
পূর্বের ক্ষেত্রফল = $4\pi r^2$ বর্গ একক।
ব্যাসার্ধ 50% বৃদ্ধি পেলে নতুন ব্যাসার্ধ = $r + r \times \frac{50}{100} = r + \frac{r}{2} = \frac{3r}{2}$ একক।
নতুন ক্ষেত্রফল = $4\pi \left(\frac{3r}{2}\right)^2 = 4\pi \times \frac{9r^2}{4} = 9\pi r^2$ বর্গ একক।
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = $9\pi r^2 – 4\pi r^2 = 5\pi r^2$ বর্গ একক।
শতকরা বৃদ্ধি = $\frac{\text{বৃদ্ধি}}{\text{পূর্বের ক্ষেত্রফল}} \times 100$
$= \frac{5\pi r^2}{4\pi r^2} \times 100$
$= \frac{5}{4} \times 100 = 5 \times 25 = 125\%$
উত্তর: বক্রতলের ক্ষেত্রফল 125% বৃদ্ধি পায়।
শেয়ার