দশম শ্রেণী গনিত: সাদৃশ্যতা কষে দেখি 18.3
WBBSE Class 10 Maths Kose Dekhi 18.3 | সদৃশতা (Similarity)
(Page 253 | Q-1 to Q-11)
১. নীচের কোন ত্রিভুজ জোড়া সদৃশ হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
(i) প্রথম জোড়া ত্রিভুজ (বামদিকের):
প্রথম ত্রিভুজের বাহুগুলি: 2, 3, 2.5
দ্বিতীয় ত্রিভুজের বাহুগুলি: 4, 6, 5
অনুরূপ বাহুগুলির অনুপাত:
$\frac{4}{2} = 2, \quad \frac{6}{3} = 2, \quad \frac{5}{2.5} = 2$
যেহেতু বাহুগুলি সমানুপাতী, তাই ত্রিভুজ জোড়া সদৃশ।
(ii) দ্বিতীয় জোড়া ত্রিভুজ (ডানদিকের):
প্রথম ত্রিভুজে $80^\circ$ কোণ সংলগ্ন বাহুগুলি: 2.5 এবং 4।
দ্বিতীয় ত্রিভুজে $80^\circ$ কোণ সংলগ্ন বাহুগুলি: 5 এবং 6।
অনুপাত: $\frac{5}{2.5} = 2$ কিন্তু $\frac{6}{4} = 1.5$。
যেহেতু কোণ সংলগ্ন বাহুগুলি সমানুপাতী নয়, তাই ত্রিভুজ জোড়া সদৃশ নয়।
২. নীচের ত্রিভুজ জোড়া দেখি ও $\angle A$-এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
$\triangle XYZ$-এর বাহুগুলি: $XY=4.2, YZ=7, XZ=5.2$ এবং $\angle Y = 65^\circ$ (চিত্রে দেওয়া)।
$\triangle ABC$-এর বাহুগুলি: $AB=14, BC=10.4, AC=8.4$।
অনুপাত লক্ষ্য করি:
$\frac{AB}{YZ} = \frac{14}{7} = 2$
$\frac{BC}{XZ} = \frac{10.4}{5.2} = 2$
$\frac{AC}{XY} = \frac{8.4}{4.2} = 2$
যেহেতু তিনটি বাহুই সমানুপাতী, তাই $\triangle ABC \sim \triangle YZX$।
সদৃশ ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ সমান হয়।
এখানে $\angle A$ হলো বাহু BC-এর বিপরীত কোণ।
BC বাহুর অনুরূপ বাহু হলো XZ।
XZ বাহুর বিপরীত কোণ হলো $\angle Y$।
$\therefore \angle A = \angle Y = 65^\circ$।
উত্তর: $\angle A = 65^\circ$
৩. আমাদের মাঠে 6 সেমি দৈর্ঘ্যের একটি কাঠির 4 সেমি দৈর্ঘ্যের ছায়া মাটিতে পড়েছে। ওই একই সময়ে যদি একটি উঁচু টাওয়ারের ছায়ার দৈর্ঘ্য 28 মিটার হয়, তবে টাওয়ারের উচ্চতা কত হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, টাওয়ারের উচ্চতা = $H$ মিটার।
সূর্যের উন্নতি কোণ একই সময়ে সমান থাকে, তাই লাঠি ও তার ছায়া এবং টাওয়ার ও তার ছায়া সদৃশকোণী ত্রিভুজ গঠন করবে।
শর্তানুসারে,
$\frac{\text{কাঠির উচ্চতা}}{\text{কাঠির ছায়া}} = \frac{\text{টাওয়ারের উচ্চতা}}{\text{টাওয়ারের ছায়া}}$
বা, $\frac{6 \text{ সেমি}}{4 \text{ সেমি}} = \frac{H \text{ মিটার}}{28 \text{ মিটার}}$
বা, $\frac{3}{2} = \frac{H}{28}$
বা, $2H = 3 \times 28$
বা, $H = \frac{84}{2} = 42$
উত্তর: টাওয়ারের উচ্চতা 42 মিটার।
৪. প্রমাণ করি যে, কোনো ত্রিভুজের দুটি বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক।
প্রমাণ:
ধরি $\triangle ABC$-এর AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D ও E।
আমাদের প্রমাণ করতে হবে $DE \parallel BC$ এবং $DE = \frac{1}{2}BC$।
যুক্তি:
$\triangle ADE$ এবং $\triangle ABC$-এর মধ্যে:
১. $\frac{AD}{AB} = \frac{1}{2}$ (যেহেতু D মধ্যবিন্দু)
২. $\frac{AE}{AC} = \frac{1}{2}$ (যেহেতু E মধ্যবিন্দু)
৩. $\angle A$ সাধারণ কোণ।
$\therefore \triangle ADE \sim \triangle ABC$ (SAS শর্তানুসারে)।
যেহেতু ত্রিভুজ দুটি সদৃশ:
১. $\angle ADE = \angle ABC$ (অনুরূপ কোণ)। যেহেতু অনুরূপ কোণ সমান, তাই $DE \parallel BC$।
২. $\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB} = \frac{1}{2}$।
$\therefore DE = \frac{1}{2}BC$। (প্রমাণিত)
৫. তিনটি সমবিন্দু সরলরেখাকে দুটি সমান্তরাল সরলরেখা যথাক্রমে A, B, C ও X, Y, Z বিন্দুতে ছেদ করেছে, প্রমাণ করি যে, AB : BC = XY : YZ।
প্রমাণ:
ধরি সমবিন্দু সরলরেখা তিনটি O বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।
সমান্তরাল সরলরেখা দুটি হলো AC ও XZ, অর্থাৎ $AC \parallel XZ$।
১. $\triangle OAB$ এবং $\triangle OXY$ সদৃশ (কারণ $AB \parallel XY$)।
$\therefore \frac{AB}{XY} = \frac{OB}{OY}$ … (i)
২. আবার $\triangle OBC$ এবং $\triangle OYZ$ সদৃশ (কারণ $BC \parallel YZ$)।
$\therefore \frac{BC}{YZ} = \frac{OB}{OY}$ … (ii)
৩. (i) ও (ii) থেকে পাই:
$\frac{AB}{XY} = \frac{BC}{YZ}$
বা, $\frac{AB}{BC} = \frac{XY}{YZ}$ (একান্তরকরণ করে)।
$\therefore AB : BC = XY : YZ$। (প্রমাণিত)
৬. PQRS একটি ট্রাপিজিয়াম অঙ্কন করেছি যার PQ || SR; PR ও QS কর্ণ দুটি O বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, OP : OR = OQ : OS; যদি SR = 2PQ হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে, O বিন্দু কর্ণ দুটির প্রত্যেকটির সমত্রিখণ্ডক বিন্দুর একটি বিন্দু হবে।
প্রমাণ:
১ম অংশ:
$\triangle POQ$ এবং $\triangle SOR$-এর মধ্যে:
$\angle POQ = \angle SOR$ (বিপ্রতীপ কোণ)
$\angle OQP = \angle OSK$ (একান্তর কোণ, যেহেতু $PQ \parallel SR$)
$\therefore \triangle POQ \sim \triangle SOR$।
অনুরূপ বাহুর অনুপাত সমান, তাই $\frac{OP}{OR} = \frac{OQ}{OS} = \frac{PQ}{SR}$।
$\therefore OP : OR = OQ : OS$। (প্রমাণিত)
২য় অংশ:
দেওয়া আছে $SR = 2PQ$ বা $\frac{PQ}{SR} = \frac{1}{2}$।
আমরা পেয়েছি, $\frac{OP}{OR} = \frac{PQ}{SR} = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow OR = 2OP$।
এখন কর্ণ $PR = OP + OR = OP + 2OP = 3OP$।
$\therefore OP = \frac{1}{3} PR$।
অর্থাৎ, O বিন্দু কর্ণ PR-এর সমত্রিখণ্ডক বিন্দুর একটি। একইভাবে OQ = 1/3 QS প্রমাণ করা যায়। (প্রমাণিত)
৭. PQRS একটি সামান্তরিক। S বিন্দুগামী একটি সরলরেখা PQ এবং বর্ধিত RQ-কে যথাক্রমে X ও Y বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, PS : PX = QY : QX = RY : RS।
প্রমাণ:
১. $\triangle PXS$ এবং $\triangle QXY$-এর মধ্যে:
$\angle XPS = \angle XQY$ (একান্তর কোণ, কারণ $PS \parallel RY$)
$\angle PXS = \angle QXY$ (বিপ্রতীপ কোণ)
$\therefore \triangle PXS \sim \triangle QXY$।
সুতরাং, $\frac{PS}{QY} = \frac{PX}{QX} = \frac{SX}{XY}$
বা, $\frac{PS}{PX} = \frac{QY}{QX}$ … (i)
২. আবার $\triangle QXY$ এবং $\triangle RY S$-এর মধ্যে:
$\angle XQY = \angle SRY$ (অনুরূপ কোণ)
$\angle XYQ$ সাধারণ কোণ।
$\therefore \triangle QXY \sim \triangle RY S$।
সুতরাং, $\frac{QY}{RY} = \frac{QX}{RS} \Rightarrow \frac{QY}{QX} = \frac{RY}{RS}$ … (ii)
৩. (i) ও (ii) থেকে পাই:
$\frac{PS}{PX} = \frac{QY}{QX} = \frac{RY}{RS}$
$\therefore PS : PX = QY : QX = RY : RS$। (প্রমাণিত)
৮. দুটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ $\triangle ABC$ ও $\triangle PQR$ সদৃশকোণী। তাদের পরিকেন্দ্র যথাক্রমে X ও Y; BC ও QR অনুরূপ বাহু হলে, প্রমাণ করি যে, BX : QY = BC : QR।
প্রমাণ:
১. যেহেতু $\triangle ABC \sim \triangle PQR$, তাই অনুরূপ বাহু ও কোণগুলি সমানুপাতিক ও সমান।
$\angle A = \angle P$।
২. X হলো $\triangle ABC$-এর পরিকেন্দ্র।
আমরা জানি, কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুণ।
$\therefore \angle BXC = 2\angle A$।
এবং $\triangle BXC$ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ (যেহেতু $XB=XC$ ব্যাসার্ধ)।
৩. একইভাবে, $\triangle QYR$-এ $\angle QYR = 2\angle P$ এবং $YQ=YR$।
যেহেতু $\angle A = \angle P$, তাই $\angle BXC = \angle QYR$।
দুটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষকোণ সমান হলে তারা সদৃশ হয়।
$\therefore \triangle BXC \sim \triangle QYR$।
৪. সদৃশতার ধর্ম অনুযায়ী:
$\frac{BX}{QY} = \frac{BC}{QR}$
$\therefore BX : QY = BC : QR$। (প্রমাণিত)
৯. কোনো বৃত্তের PQ ও RS দুটি জ্যা বৃত্তের অভ্যন্তরে X বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করেছে। P, S ও R, Q যুক্ত করে প্রমাণ করি যে, $\triangle PXS$ ও $\triangle RSQ$ সদৃশকোণী। এর থেকে প্রমাণ করি যে, $PX \cdot XQ = RX \cdot XS$।
প্রমাণ:
১. $\triangle PXS$ এবং $\triangle RXQ$ (প্রশ্নে RSQ লেখা হলেও ক্রম অনুযায়ী RXQ হবে)-এর মধ্যে:
$\angle SPX = \angle QRX$ (একই বৃত্তাংশস্থ কোণ SQ-এর ওপর অবস্থিত)।
$\angle PSX = \angle RQX$ (একই বৃত্তাংশস্থ কোণ PR-এর ওপর অবস্থিত)।
$\angle PXS = \angle RXQ$ (বিপ্রতীপ কোণ)।
$\therefore \triangle PXS$ ও $\triangle RXQ$ সদৃশকোণী। (প্রথম অংশ প্রমাণিত)
২. সদৃশ ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুর অনুপাত সমান:
$\frac{PX}{RX} = \frac{XS}{XQ}$
বজ্রগুণন করে পাই:
$PX \cdot XQ = RX \cdot XS$। (দ্বিতীয় অংশ প্রমাণিত)
বিকল্প বিবৃতি: একেই বলে বৃত্তের জ্যা-এর ছেদিতাংশ সম্পর্কিত উপপাদ্য বা আয়তক্ষেত্রের সমান হওয়ার উপপাদ্য।
১০. একটি সরলরেখার উপর P এবং Q দুটি বিন্দু। P এবং Q বিন্দুতে সরলরেখাটির উপর যথাক্রমে PR এবং QS লম্ব। PS এবং QR পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে। OT, PQ-এর উপর লম্ব। প্রমাণ করি যে, $\frac{1}{OT} = \frac{1}{PR} + \frac{1}{QS}$।
প্রমাণ:
দেওয়া আছে $PR \perp PQ, QS \perp PQ, OT \perp PQ$।
সুতরাং $PR \parallel OT \parallel QS$।
১. $\triangle PQS$-এ $OT \parallel QS$।
সদৃশতার ধর্ম অনুযায়ী, $\triangle POT \sim \triangle PQS$।
$\therefore \frac{OT}{QS} = \frac{PT}{PQ}$ … (i)
২. $\triangle PQR$-এ $OT \parallel PR$।
সদৃশতার ধর্ম অনুযায়ী, $\triangle QOT \sim \triangle QPR$।
$\therefore \frac{OT}{PR} = \frac{QT}{PQ}$ … (ii)
৩. (i) ও (ii) যোগ করে পাই:
$\frac{OT}{QS} + \frac{OT}{PR} = \frac{PT}{PQ} + \frac{QT}{PQ}$
বা, $OT (\frac{1}{QS} + \frac{1}{PR}) = \frac{PT + QT}{PQ}$
বা, $OT (\frac{1}{QS} + \frac{1}{PR}) = \frac{PQ}{PQ} = 1$
বা, $\frac{1}{QS} + \frac{1}{PR} = \frac{1}{OT}$
$\therefore \frac{1}{OT} = \frac{1}{PR} + \frac{1}{QS}$। (প্রমাণিত)
১১. একটি বৃত্তে অন্তলিখিত $\triangle ABC$; বৃত্তের ব্যাস AD এবং AE, BC বাহুর উপর লম্ব যা BC বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, $\triangle AEB$ এবং $\triangle ACD$ সদৃশকোণী। এর থেকে প্রমাণ করি যে, $AB \cdot AC = AE \cdot AD$।
প্রমাণ:
C, D যুক্ত করা হলো।
১. $\triangle AEB$ এবং $\triangle ACD$-এর মধ্যে:
(i) $\angle AEB = 90^\circ$ (প্রদত্ত, লম্ব)।
(ii) $\angle ACD = 90^\circ$ (অর্ধবৃত্তস্থ কোণ, যেহেতু AD ব্যাস)।
$\therefore \angle AEB = \angle ACD$।
(iii) $\angle ABE = \angle ADC$ (একই বৃত্তাংশ AC-এর ওপর অবস্থিত বৃত্তস্থ কোণ)।
যেহেতু দুটি কোণ সমান, তাই অবশিষ্ট কোণও সমান হবে।
$\therefore \triangle AEB$ ও $\triangle ACD$ সদৃশকোণী। (প্রথম অংশ প্রমাণিত)
২. সদৃশ ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু সমানুপাতিক:
অতিভুজ ও লম্বের অনুপাত নিই:
$\frac{AB}{AD} = \frac{AE}{AC}$
বজ্রগুণন করে পাই:
$AB \cdot AC = AE \cdot AD$। (দ্বিতীয় অংশ প্রমাণিত)
শেয়ার