গনিত দশম: বিভিন্ন ঘন বস্তু সংক্রান্ত সমস্যা – কষে দেখি 19
WBBSE Class 10 Maths Kose Dekhi 19 | বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা (Part 1)
(Page 265 | Q-1 to Q-6)
১. আনোয়ারদের বাড়ির সামনে একটি নিরেট লোহার স্তম্ভ আছে যার নীচের অংশ লম্ব বৃত্তাকার চোঙ আকৃতির এবং উপরের অংশ শঙ্কু আকৃতির। এদের ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 20 সেমি., চোঙাকৃতি অংশের উচ্চতা 2.8 মিটার এবং শঙ্কু আকৃতি অংশের উচ্চতা 42 সেমি। 1 ঘন সেমি. লোহার ওজন 7.5 গ্রাম হলে, লোহার স্তম্ভের ওজন কত হবে তা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
স্তম্ভটির ব্যাস = 20 সেমি $\therefore$ ব্যাসার্ধ ($r$) = 10 সেমি।
চোঙাকৃতি অংশ:
উচ্চতা ($h_1$) = 2.8 মিটার = 280 সেমি।
আয়তন = $\pi r^2 h_1 = \frac{22}{7} \times 10^2 \times 280 = \frac{22}{7} \times 100 \times 280 = 88000$ ঘন সেমি।
শঙ্কু আকৃতি অংশ:
উচ্চতা ($h_2$) = 42 সেমি।
আয়তন = $\frac{1}{3} \pi r^2 h_2 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 100 \times 42 = 22 \times 100 \times 2 = 4400$ ঘন সেমি।
মোট আয়তন = $88000 + 4400 = 92400$ ঘন সেমি।
মোট ওজন = $92400 \times 7.5$ গ্রাম
$= 693000$ গ্রাম
$= 693$ কিগ্রা।
উত্তর: লোহার স্তম্ভের ওজন 693 কিগ্রা।
২. একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা 20 সেমি. এবং তির্যক উচ্চতা 25 সেমি.। শঙ্কুটির সমান আয়তনবিশিষ্ট একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা 15 সেমি. হলে, চোঙটির ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
শঙ্কুর উচ্চতা ($h_1$) = 20 সেমি, তির্যক উচ্চতা ($l$) = 25 সেমি।
ব্যাসার্ধ ($r_1$) = $\sqrt{l^2 – h_1^2} = \sqrt{25^2 – 20^2} = \sqrt{625 – 400} = \sqrt{225} = 15$ সেমি।
শঙ্কুর আয়তন = $\frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1 = \frac{1}{3} \pi (15)^2 \times 20 = 1500\pi$ ঘন সেমি।
ধরি, চোঙের ব্যাসার্ধ = $r_2$ সেমি। চোঙের উচ্চতা ($h_2$) = 15 সেমি।
চোঙের আয়তন = $\pi r_2^2 h_2 = \pi r_2^2 \times 15$।
শর্তানুসারে,
$\pi r_2^2 \times 15 = 1500\pi$
বা, $15 r_2^2 = 1500$
বা, $r_2^2 = 100 \Rightarrow r_2 = 10$ সেমি।
চোঙের ব্যাস = $2 \times 10 = 20$ সেমি।
উত্তর: চোঙটির ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 20 সেমি।
৩. 24 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি পাত্রে কিছু জল আছে। 6 সেমি. দৈর্ঘ্যের ভূমিতলের ব্যাস ও 4 সেমি উচ্চতাবিশিষ্ট 60 টি নিরেট শঙ্কু আকৃতির লোহার টুকরো ওই জলে সম্পূর্ণভাবে নিমজ্জিত করলে, জলতলের উচ্চতা কতটা বৃদ্ধি পাবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
চোঙাকৃতি পাত্রের ব্যাসার্ধ ($R$) = 12 সেমি।
প্রতিটি শঙ্কুর ব্যাসার্ধ ($r$) = 3 সেমি এবং উচ্চতা ($h$) = 4 সেমি।
60টি শঙ্কুর মোট আয়তন = $60 \times \frac{1}{3} \pi r^2 h$
$= 20 \pi (3)^2 (4) = 20 \pi \times 9 \times 4 = 720\pi$ ঘন সেমি।
ধরি, জলতলের উচ্চতা বৃদ্ধি পাবে $H$ সেমি।
অপসারিত জলের আয়তন = বৃদ্ধি পাওয়া জলের আয়তন = $\pi R^2 H = \pi (12)^2 H = 144\pi H$।
শর্তানুসারে,
$144\pi H = 720\pi$
বা, $H = \frac{720}{144} = 5$ সেমি।
উত্তর: জলতলের উচ্চতা 5 সেমি বৃদ্ধি পাবে।
৪. একই দৈর্ঘ্যের ভূমিতলের ব্যাসার্ধ এবং একই উচ্চতাবিশিষ্ট একটি নিরেট শঙ্কু ও একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 5:8 হলে, উহাদের ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতার অনুপাত নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, ব্যাসার্ধ = $r$ এবং উচ্চতা = $h$। শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা $l = \sqrt{h^2+r^2}$।
শঙ্কুর বক্রতল : চোঙের বক্রতল = $5:8$
$\frac{\pi rl}{2\pi rh} = \frac{5}{8}$
বা, $\frac{l}{2h} = \frac{5}{8}$
বা, $\frac{l}{h} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$
বা, $4l = 5h$
উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই:
$16l^2 = 25h^2$
বা, $16(h^2+r^2) = 25h^2$
বা, $16h^2 + 16r^2 = 25h^2$
বা, $16r^2 = 9h^2$
বা, $\frac{r^2}{h^2} = \frac{9}{16}$
বা, $\frac{r}{h} = \frac{3}{4}$
উত্তর: ব্যাসার্ধ ও উচ্চতার অনুপাত 3:4।
৫. 8 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি নিরেট লোহার গোলককে গলিয়ে 1 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের কয়টি নিরেট গুলি পাওয়া যাবে হিসাব করে দেখি।
সমাধান:
বড় গোলকের ব্যাসার্ধ ($R$) = 8 সেমি।
ছোট গুলির ব্যাস = 1 সেমি $\therefore$ ব্যাসার্ধ ($r$) = 0.5 সেমি বা $\frac{1}{2}$ সেমি।
গুলির সংখ্যা = $\frac{\text{বড় গোলকের আয়তন}}{\text{প্রতিটি গুলির আয়তন}}$
$= \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{\frac{4}{3}\pi r^3}$
$= \left(\frac{R}{r}\right)^3 = \left(\frac{8}{0.5}\right)^3 = (16)^3 = 4096$
উত্তর: 4096 টি গুলি পাওয়া যাবে।
৬. একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার লোহার দণ্ডের ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 32 সেমি. এবং দৈর্ঘ্য 35 সেমি.। দণ্ডটি গলিয়ে 8 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ ও 28 সেমি. উচ্চতাবিশিষ্ট কতগুলি নিরেট শঙ্কু তৈরি করা যাবে তা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
লোহার দণ্ড (চোঙ)-এর ব্যাসার্ধ ($R$) = 32 সেমি, উচ্চতা ($H$) = 35 সেমি।
শঙ্কুর ব্যাসার্ধ ($r$) = 8 সেমি, উচ্চতা ($h$) = 28 সেমি।
শঙ্কুর সংখ্যা = $\frac{\text{চোঙের আয়তন}}{\text{শঙ্কুর আয়তন}}$
$= \frac{\pi R^2 H}{\frac{1}{3} \pi r^2 h}$
$= \frac{3 \times 32 \times 32 \times 35}{8 \times 8 \times 28}$
$= 3 \times 4 \times 4 \times \frac{35}{28}$
$= 48 \times \frac{5}{4} = 12 \times 5 = 60$
উত্তর: 60 টি শঙ্কু তৈরি করা যাবে।
৭. 4.2 ডেসিমি. দৈর্ঘ্যের ধারবিশিষ্ট একটি নিরেট কাঠের ঘনক থেকে সবচেয়ে কম কাঠ নষ্ট করে যে নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু পাওয়া যাবে তার আয়তন নির্ণয় করি।
সমাধান:
ঘনক থেকে সবচেয়ে বড় শঙ্কু কেটে নিলে:
শঙ্কুর ব্যাস = ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = 4.2 ডেসিমি।
$\therefore$ ব্যাসার্ধ ($r$) = 2.1 ডেসিমি।
শঙ্কুর উচ্চতা ($h$) = ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = 4.2 ডেসিমি।
শঙ্কুর আয়তন = $\frac{1}{3} \pi r^2 h$
$= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (2.1)^2 \times 4.2$
$= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 4.41 \times 4.2$
$= 22 \times 0.21 \times 4.2$ [কাটাকুটি করে]
$= 19.404$ ঘন ডেসিমি।
উত্তর: শঙ্কুটির আয়তন 19.404 ঘন ডেসিমি।
৮. একটি নিরেট গোলক ও একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান ও তাদের ঘনফলও সমান হলে, চোঙটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতার অনুপাত হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, উভয়ের ব্যাসার্ধ = $r$ এবং চোঙের উচ্চতা = $h$।
শর্তানুসারে, গোলকের আয়তন = চোঙের আয়তন
$\frac{4}{3} \pi r^3 = \pi r^2 h$
বা, $\frac{4}{3} r = h$ [উভয়পক্ষ থেকে $\pi r^2$ ভাগ করে]
বা, $\frac{r}{h} = \frac{3}{4}$
উত্তর: ব্যাসার্ধ ও উচ্চতার অনুপাত 3:4।
৯. 6.6 ডেসিমি. দীর্ঘ, 4.2 ডেসিমি. প্রশস্থ এবং 1.4 ডেসিমি. পুরু একটি তামার নিরেট আয়তঘনাকার টুকরো গলিয়ে 2.1 ডেসিমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের কয়টি নিরেট গোলক ঢালাই করা যাবে এবং প্রতিটি গোলকে কত ঘন ডেসিমি. ধাতু থাকবে হিসাব করে দেখি।
সমাধান:
আয়তঘনাকার টুকরোর আয়তন = $6.6 \times 4.2 \times 1.4$ ঘন ডেসিমি।
প্রতিটি গোলকের ব্যাস 2.1 ডেসিমি $\therefore$ ব্যাসার্ধ ($r$) = 1.05 ডেসিমি = $\frac{21}{20}$ ডেসিমি।
প্রতিটি গোলকের আয়তন = $\frac{4}{3} \pi r^3$
$= \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (\frac{21}{20})^3 = 4.851$ ঘন ডেসিমি।
গোলকের সংখ্যা = $\frac{\text{আয়তঘনের আয়তন}}{\text{প্রতিটি গোলকের আয়তন}}$
$= \frac{6.6 \times 4.2 \times 1.4}{4.851} = 8$
উত্তর: 8 টি গোলক এবং প্রতিটি গোলকে 4.851 ঘন ডেসিমি ধাতু থাকবে।
১০. 4.2 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি সোনার নিরেট গোলক পিটিয়ে 2.8 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ড তৈরি করা হলে, দণ্ডটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধান:
গোলকের ব্যাসার্ধ ($r_1$) = 4.2 সেমি।
দণ্ডের (চোঙ) ব্যাসার্ধ ($r_2$) = $\frac{2.8}{2} = 1.4$ সেমি।
ধরি দণ্ডের দৈর্ঘ্য = $h$ সেমি।
শর্তানুসারে,
$\pi r_2^2 h = \frac{4}{3} \pi r_1^3$
বা, $(1.4)^2 h = \frac{4}{3} (4.2)^3$
বা, $1.96 h = \frac{4}{3} \times 74.088$
বা, $h = \frac{98.784}{1.96} = 50.4$
উত্তর: দণ্ডটির দৈর্ঘ্য 50.4 সেমি।
১১. 6 ডেসিমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের একটি নিরেট রৌপ্য গোলক গলিয়ে 1 ডেসিমি. লম্বা একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ড তৈরি করা হলে, দণ্ডটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
গোলকের ব্যাসার্ধ ($R$) = 3 ডেসিমি।
দণ্ডের দৈর্ঘ্য ($h$) = 1 ডেসিমি। ধরি ব্যাসার্ধ = $r$।
শর্তানুসারে,
$\pi r^2 h = \frac{4}{3} \pi R^3$
বা, $r^2 \times 1 = \frac{4}{3} (3)^3$
বা, $r^2 = \frac{4}{3} \times 27 = 36$
বা, $r = 6$ ডেসিমি।
ব্যাসের দৈর্ঘ্য = $2 \times 6 = 12$ ডেসিমি।
উত্তর: দণ্ডটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 12 ডেসিমি।
১২. একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডের প্রস্থচ্ছেদের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 3.2 ডেসিমি.। সেই দণ্ডটি গলিয়ে 21টি নিরেট গোলক তৈরি করা হলো। গোলকগুলির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য যদি 8 সেমি. হয়, তবে দণ্ডটির দৈর্ঘ্য কত ছিল তা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
দণ্ডের ব্যাসার্ধ ($R$) = 3.2 ডেসিমি = 32 সেমি। ধরি দৈর্ঘ্য = $H$ সেমি।
প্রতিটি গোলকের ব্যাসার্ধ ($r$) = 8 সেমি।
শর্তানুসারে,
$\pi R^2 H = 21 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
বা, $(32)^2 H = 28 \times (8)^3$
বা, $1024 H = 28 \times 512$
বা, $H = \frac{28 \times 512}{1024} = \frac{28}{2} = 14$ সেমি।
উত্তর: দণ্ডটির দৈর্ঘ্য 14 সেমি বা 1.4 ডেসিমি
১৩. 21 ডেসিমি. দীর্ঘ, 11 ডেসিমি. প্রশস্ত এবং 6 ডেসিমি. গভীর একটি চৌবাচ্চা অর্ধেক জলপূর্ণ আছে। এখন সেই চৌবাচ্চায় যদি 21 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের 100টি লোহার গোলক সম্পূর্ণ ডুবিয়ে দেওয়া হয়, তবে জলতল কত ডেসিমি. উঠবে তা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
গোলকের ব্যাস 21 সেমি = 2.1 ডেসিমি $\therefore$ ব্যাসার্ধ ($r$) = 1.05 ডেসিমি।
100টি গোলকের মোট আয়তন = $100 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$= 100 \times \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (1.05)^3 = 485.1$ ঘন ডেসিমি।
ধরি জলতল $h$ ডেসিমি উঠবে।
অপসারিত জলের আয়তন = চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ $\times$ উচ্চতা বৃদ্ধি
$= 21 \times 11 \times h = 231h$ ঘন ডেসিমি।
শর্তানুসারে,
$231h = 485.1$
বা, $h = \frac{485.1}{231} = 2.1$ ডেসিমি।
উত্তর: জলতল 2.1 ডেসিমি উঠবে।
১৪. সমান ভূমিতলের ব্যাস এবং সমান উচ্চতাবিশিষ্ট একটি নিরেট শঙ্কু, একটি নিরেট অর্ধগোলক এবং একটি নিরেট চোঙের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি ব্যাসার্ধ = $r$ এবং উচ্চতা = $h$।
অর্ধগোলকের ক্ষেত্রে উচ্চতা মানেই ব্যাসার্ধ, অর্থাৎ $h = r$।
সুতরাং সবার উচ্চতা $r$ ধরতে হবে।
শঙ্কুর আয়তন : অর্ধগোলকের আয়তন : চোঙের আয়তন
$= \frac{1}{3}\pi r^2 h : \frac{2}{3}\pi r^3 : \pi r^2 h$
$= \frac{1}{3}\pi r^3 : \frac{2}{3}\pi r^3 : \pi r^3$ [$h=r$ বসিয়ে]
$= \frac{1}{3} : \frac{2}{3} : 1$
$= 1 : 2 : 3$ [3 দিয়ে গুণ করে]
উত্তর: অনুপাত 1:2:3।
১৫. 1 সেমি. পুরু সিসার পাতের তৈরি একটি ফাঁপা গোলকের বাইরের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 6 সেমি.। গোলকটি গলিয়ে 2 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ড তৈরি করা হলে, দণ্ডটির দৈর্ঘ্য কত হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ফাঁপা গোলকের বহির্ব্যাসার্ধ ($R$) = 6 সেমি।
অন্তঃব্যাসার্ধ ($r$) = $6 – 1 = 5$ সেমি।
সিসার আয়তন = $\frac{4}{3} \pi (R^3 – r^3) = \frac{4}{3} \pi (6^3 – 5^3) = \frac{4}{3} \pi (216 – 125) = \frac{4}{3} \pi (91)$।
দণ্ডের ব্যাসার্ধ = 2 সেমি। ধরি দৈর্ঘ্য = $h$।
শর্তানুসারে,
$\pi (2)^2 h = \frac{4}{3} \pi (91)$
বা, $4h = \frac{364}{3}$
বা, $h = \frac{91}{3} = 30.33$ সেমি (প্রায়)।
উত্তর: দণ্ডটির দৈর্ঘ্য $30\frac{1}{3}$ সেমি।
১৬. 2 মিটার লম্বা একটি আয়তঘনাকার কাঠের লগের প্রস্থচ্ছেদ বর্গাকার এবং তার প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 14 ডেসিমি.। সবচেয়ে কম কাঠ নষ্ট করে ওই লগটিকে যদি একটি লম্ব বৃত্তাকার গুঁড়িতে পরিণত করা যায়, তবে তাতে কত ঘন মিটার কাঠ থাকবে এবং কত ঘন মিটার কাঠ নষ্ট হবে হিসাব করি।
সমাধান:
লগের দৈর্ঘ্য = 2 মিটার। প্রস্থচ্ছেদের বাহু = 14 ডেসিমি = 1.4 মিটার।
লম্ব বৃত্তাকার গুঁড়ি (চোঙ)-এর ব্যাস হবে 1.4 মিটার। ব্যাসার্ধ ($r$) = 0.7 মিটার।
গুঁড়ির আয়তন = $\pi r^2 h = \frac{22}{7} \times (0.7)^2 \times 2 = 3.08$ ঘন মিটার।
মূল লগের আয়তন = $1.4 \times 1.4 \times 2 = 3.92$ ঘন মিটার।
কাঠ নষ্ট হবে = $3.92 – 3.08 = 0.84$ ঘন মিটার।
উত্তর: গুঁড়িতে 3.08 ঘন মিটার কাঠ থাকবে এবং 0.84 ঘন মিটার কাঠ নষ্ট হবে।
১৭. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) MCQ:
(i) r একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি নিরেট গোলককে গলিয়ে r একক উচ্চতার একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু তৈরি করা হলো। শঙ্কুটির ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য
সমাধান: $\frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{1}{3}\pi R^2 r \Rightarrow 4r^2 = R^2 \Rightarrow R = 2r$।
সঠিক উত্তর: (a) 2r একক
(ii) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুকে গলিয়ে একই দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হলো যার উচ্চতা 5 সেমি.। শঙ্কুটির উচ্চতা
সমাধান: $\frac{1}{3}\pi r^2 h = \pi r^2 (5) \Rightarrow \frac{h}{3} = 5 \Rightarrow h = 15$।
সঠিক উত্তর: (b) 15 সেমি.
(iii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক এবং উচ্চতা 2r একক। চোঙটির মধ্যে সর্ববৃহৎ যে গোলকটি রাখা যাবে তার ব্যাসের দৈর্ঘ্য
সমাধান: চোঙের ব্যাস $2r$ এবং উচ্চতা $2r$। তাই সর্বোচ্চ গোলকের ব্যাসও $2r$ হবে।
সঠিক উত্তর: (b) 2r একক
(iv) r একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি নিরেট অর্ধগোলক থেকে সর্ববৃহৎ যে নিরেট শঙ্কু কেটে নেওয়া যাবে তার আয়তন
সমাধান: শঙ্কুর উচ্চতা হবে $r$ এবং ব্যাসার্ধ হবে $r$। আয়তন = $\frac{1}{3}\pi r^2(r) = \frac{1}{3}\pi r^3$।
সঠিক উত্তর: (d) $\frac{\pi r^3}{3}$ ঘন একক
(v) x একক দৈর্ঘ্যের ধারবিশিষ্ট একটি নিরেট ঘনক থেকে সর্ববৃহৎ একটি নিরেট গোলক কেটে নেওয়া হলে, গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য
সমাধান: গোলকের ব্যাস = ঘনকের বাহু = $x$।
সঠিক উত্তর: (a) x একক
(B) সত্য/মিথ্যা:
(i) দুটি একই ধরনের নিরেট অর্ধগোলক যাদের ভূমিতলের ব্যাসার্ধ r একক এবং তা ভূমি বরাবর জোড়া হলে, মিলিত ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হবে $6\pi r^2$ বর্গ একক।
উত্তর: মিথ্যা। (কারণ জোড়া লাগালে এটি একটি পূর্ণ গোলক হয়ে যাবে, যার ক্ষেত্রফল $4\pi r^2$)।
(ii) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক এবং উচ্চতা h একক এবং তির্যক উচ্চতা l একক। শঙ্কুটির ভূমিতলকে একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ভূমিতল বরাবর জুড়ে দেওয়া হলো। যদি চোঙের ও শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতা একই হয় তবে মিলিত ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $(\pi rl + 2\pi rh + 2\pi r^2)$ বর্গ একক।
উত্তর: মিথ্যা।
ব্যাখ্যা: যখন শঙ্কু ও চোঙের ভূমি জুড়ে দেওয়া হয়, তখন মাঝখানের বৃত্তাকার অংশটি ঢাকা পড়ে যায়।
মিলিত ঘনবস্তুর সমগ্রতল = শঙ্কুর বক্রতল ($\pi rl$) + চোঙের বক্রতল ($2\pi rh$) + চোঙের অপর প্রান্তের ভূমিতল ($\pi r^2$)।
সঠিক সূত্রটি হলো: $\pi rl + 2\pi rh + \pi r^2$। প্রশ্নে $2\pi r^2$ দেওয়া আছে, তাই এটি মিথ্যা।
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:
(i) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ ও দুটি অর্ধগোলকের ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান। দুটি অর্ধগোলককে চোঙটির দুটি সমতলে আটকে দেওয়া হলে নতুন ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = একটি অর্ধগোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল + ________ বক্রতলের ক্ষেত্রফল + অপর অর্ধগোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল।
উত্তর: চোঙের (Cylinder)।
(ii) একমুখ কাটা একটি পেনসিলের আকার শঙ্কু ও ________ সমন্বয়।
উত্তর: চোঙের (Cylinder)।
(iii) একটি নিরেট গোলককে গলিয়ে একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হলো। গোলক ও চোঙের আয়তন ________।
উত্তর: সমান (Equal)।
১৮. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুকে গলিয়ে একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হলো। উভয়ের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান। যদি শঙ্কুর উচ্চতা 15 সেমি. হয়, তাহলে নিরেট চোঙের উচ্চতা কত হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, উভয়ের ব্যাসার্ধ = $r$ সেমি। শঙ্কুর উচ্চতা = 15 সেমি।
ধরি, চোঙের উচ্চতা = $h$ সেমি।
শর্তানুসারে, শঙ্কুর আয়তন = চোঙের আয়তন
$\frac{1}{3} \pi r^2 (15) = \pi r^2 h$
বা, $5 = h$ [উভয়পক্ষ থেকে $\pi r^2$ বাদ দিয়ে এবং $15/3 = 5$]
উত্তর: নিরেট চোঙের উচ্চতা 5 সেমি।
(ii) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু এবং একটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান এবং আয়তন সমান। গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য এবং শঙ্কুর উচ্চতার অনুপাত কত তা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, উভয়ের ব্যাসার্ধ = $r$ একক। শঙ্কুর উচ্চতা = $h$ একক।
শর্তানুসারে, শঙ্কুর আয়তন = গোলকের আয়তন
$\frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{4}{3} \pi r^3$
বা, $h = 4r$ [উভয়পক্ষ থেকে $\frac{1}{3}\pi r^2$ ভাগ করে]
আমাদের বের করতে হবে: গোলকের ব্যাস : শঙ্কুর উচ্চতা
$= 2r : h$
$= 2r : 4r$ [$h=4r$ বসিয়ে]
$= 1 : 2$
দ্রষ্টব্য: প্রশ্নে যদি “শঙ্কুর উচ্চতা ও গোলকের ব্যাসের অনুপাত” চায় তবে উত্তর হবে 2:1। কিন্তু প্রশ্নে “গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য এবং শঙ্কুর উচ্চতার অনুপাত” চাওয়া হয়েছে, তাই 1:2।
উত্তর: অনুপাত 1:2।
(iii) সমান দৈর্ঘ্যের ব্যাস এবং সমান উচ্চতাবিশিষ্ট নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ, নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু এবং নিরেট গোলকের আয়তনের অনুপাত কত তা লিখি।
সমাধান:
সবার ব্যাস সমান, তাই ব্যাসার্ধ সমান ($r$)।
গোলকের উচ্চতা তার ব্যাসের সমান হয়, অর্থাৎ $h = 2r$।
তাই চোঙ ও শঙ্কুর উচ্চতাও হবে $h = 2r$।
চোঙের আয়তন : শঙ্কুর আয়তন : গোলকের আয়তন
$= \pi r^2 h : \frac{1}{3} \pi r^2 h : \frac{4}{3} \pi r^3$
$= \pi r^2 (2r) : \frac{1}{3} \pi r^2 (2r) : \frac{4}{3} \pi r^3$ [$h=2r$ বসিয়ে]
$= 2\pi r^3 : \frac{2}{3} \pi r^3 : \frac{4}{3} \pi r^3$
$= 2 : \frac{2}{3} : \frac{4}{3}$ [$\pi r^3$ বাদ দিয়ে]
$= 6 : 2 : 4$ [পুরো অনুপাতকে 3 দিয়ে গুণ করে]
$= 3 : 1 : 2$
উত্তর: আয়তনের অনুপাত 3:1:2।
(iv) একটি ঘনবস্তুর নীচের অংশ অর্ধগোলক আকারের এবং উপরের অংশ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকারের। যদি দুটি অংশের তলের ক্ষেত্রফল সমান হয়, তাহলে ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য এবং শঙ্কুর উচ্চতার অনুপাত হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি ব্যাসার্ধ = $r$ এবং শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা = $l$।
শর্তানুসারে, অর্ধগোলকের বক্রতল = শঙ্কুর বক্রতল (প্রশ্নানুযায়ী তলের ক্ষেত্রফল বলতে বক্রতল বোঝানো হয়েছে)
$2\pi r^2 = \pi rl$
বা, $2r = l$
আমরা জানি, $l^2 = h^2 + r^2$
বা, $(2r)^2 = h^2 + r^2$
বা, $4r^2 = h^2 + r^2$
বা, $h^2 = 3r^2$
বা, $h = \sqrt{3}r$
নির্ণেয় অনুপাত (ব্যাসার্ধ : উচ্চতা)
$= r : h$
$= r : \sqrt{3}r$
$= 1 : \sqrt{3}$
উত্তর: ব্যাসার্ধ ও উচ্চতার অনুপাত $1 : \sqrt{3}$।
(v) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু, ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য একটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের সমান। গোলকের আয়তন শঙ্কুর আয়তনের দ্বিগুণ হলে, শঙ্কুর উচ্চতা এবং ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত তা লিখি।
সমাধান:
ধরি, উভয়ের ব্যাসার্ধ = $r$। শঙ্কুর উচ্চতা = $h$।
শর্তানুসারে, গোলকের আয়তন = $2 \times$ শঙ্কুর আয়তন
$\frac{4}{3} \pi r^3 = 2 \times (\frac{1}{3} \pi r^2 h)$
বা, $\frac{4}{3} r = \frac{2}{3} h$ [উভয়পক্ষ থেকে $\pi r^2$ বাদ দিয়ে]
বা, $4r = 2h$
বা, $2r = h$ বা $h = 2r$
নির্ণেয় অনুপাত (উচ্চতা : ব্যাসার্ধ)
$= h : r$
$= 2r : r$
$= 2 : 1$
উত্তর: উচ্চতা ও ব্যাসার্ধের অনুপাত 2:1।
শেয়ার