দশম শ্রেণী গনিত: পিথাগোরাসের উপপাদ্য – কষে দেখি 22
WBBSE Class 10 Maths Kose Dekhi 22 | পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Part 1)
(Page 289 | Q-1 to Q-7)
সূত্র: পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে: $(\text{অতিভুজ})^2 = (\text{লম্ব})^2 + (\text{ভূমি})^2$
১. যদি কোনো ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য দেওয়া থাকে, তবে কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে হিসাব করে লিখি:
(i) 8 সেমি., 15 সেমি. ও 17 সেমি.
সমাধান:
সবচেয়ে বড় বাহু = 17 সেমি।
এখন, $(\text{ছোট বাহু})^2 + (\text{মাঝারি বাহু})^2 = 8^2 + 15^2$
$= 64 + 225 = 289$
আবার, $(\text{বড় বাহু})^2 = 17^2 = 289$
যেহেতু লম্ব ও ভূমির বর্গের সমষ্টি অতিভুজের বর্গের সমান, তাই এটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে।
(ii) 9 সেমি., 11 সেমি. ও 6 সেমি.
সমাধান:
এখানে বড় বাহু 11 সেমি।
ছোট দুই বাহুর বর্গের সমষ্টি = $9^2 + 6^2 = 81 + 36 = 117$
বড় বাহুর বর্গ = $11^2 = 121$
যেহেতু $117 \neq 121$, তাই এটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে না।
২. আমাদের পাড়ার রাস্তায় একটি 15 মিটার লম্বা মই এমনভাবে রাখা আছে যে মইটি ভূমি থেকে 9 মিটার উঁচুতে অবস্থিত মিলিদের জানালা স্পর্শ করেছে। এবার ওই রাস্তার একই বিন্দুতে মইটির পাদদেশ রেখে মইটিকে ঘুরিয়ে এমনভাবে রাখা হলো যে মইটি রাস্তার অপর প্রান্তে অবস্থিত আমাদের জানালা স্পর্শ করল। আমাদের জানালা যদি ভূমি থেকে 12 মিটার উপরে থাকে, তবে পাড়ার ওই রাস্তাটি কত চওড়া হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, রাস্তার দুটি প্রান্ত হলো A এবং E। মইটির পাদদেশ রাস্তার মাঝের বিন্দু C-তে রাখা আছে।
মইটির দৈর্ঘ্য = 15 মিটার।
প্রথম ক্ষেত্র (মিলিদের বাড়ি):
মইটি যখন মিলিদের জানলায় স্পর্শ করে, তখন:
লম্ব (জানলার উচ্চতা) = $AB = 9$ মিটার।
অতিভুজ (মই) = $AC = 15$ মিটার।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী ভূমি (দেওয়াল থেকে মইয়ের গোড়ার দূরত্ব) $BC$:
$BC = \sqrt{(\text{অতিভুজ})^2 – (\text{লম্ব})^2}$
$= \sqrt{15^2 – 9^2}$
$= \sqrt{225 – 81}$
$= \sqrt{144} = 12$ মিটার।
দ্বিতীয় ক্ষেত্র (আমাদের বাড়ি):
মইটি যখন ঘুরিয়ে আমাদের জানলায় স্পর্শ করানো হয়, তখন:
লম্ব (জানলার উচ্চতা) = $DE = 12$ মিটার।
অতিভুজ (মই) = $CD = 15$ মিটার।
ভূমি (দেওয়াল থেকে মইয়ের গোড়ার দূরত্ব) $CE$:
$CE = \sqrt{(\text{অতিভুজ})^2 – (\text{লম্ব})^2}$
$= \sqrt{15^2 – 12^2}$
$= \sqrt{225 – 144}$
$= \sqrt{81} = 9$ মিটার।
রাস্তার মোট চওড়া:
রাস্তাটি হলো $BE$ যা $BC$ এবং $CE$-এর সমষ্টি।
$\therefore$ রাস্তার চওড়া = $BC + CE$
$= 12 + 9$ মিটার
$= 21$ মিটার।
উত্তর: পাড়ার ওই রাস্তাটি 21 মিটার চওড়া।
৩. 10 সেমি. বাহুবিশিষ্ট কোনো রম্বসের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 12 সেমি. হলে, রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
রম্বসের বাহু = 10 সেমি। একটি কর্ণ ($d_1$) = 12 সেমি।
আমরা জানি, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
$\therefore$ অর্ধ-কর্ণ = $\frac{12}{2} = 6$ সেমি।
সমকোণী ত্রিভুজের সূত্রানুসারে অপর অর্ধ-কর্ণ ($x$) হলে:
$x^2 + 6^2 = 10^2$
বা, $x^2 = 100 – 36 = 64$
বা, $x = 8$ সেমি।
$\therefore$ অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = $2 \times 8 = 16$ সেমি।
উত্তর: অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য 16 সেমি।
৪. একটি ত্রিভুজ PQR অঙ্কন করেছি যার $\angle Q$ সমকোণ। QR বাহুর উপর S যে-কোনো একটি বিন্দু হলে, প্রমাণ করি যে, $PS^2 + QR^2 = PR^2 + QS^2$।
প্রমাণ:
১. $\triangle PQR$ সমকোণী, যার $\angle Q = 90^\circ$।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী: $PR^2 = PQ^2 + QR^2$ … (i)
২. আবার $\triangle PQS$ সমকোণী (যেহেতু S বিন্দু QR-এর ওপর এবং $\angle Q = 90^\circ$)।
$\therefore PS^2 = PQ^2 + QS^2$ … (ii)
৩. এখন বামপক্ষ (L.H.S) = $PS^2 + QR^2$
$= (PQ^2 + QS^2) + QR^2$ [(ii) থেকে মান বসিয়ে]
৪. ডানপক্ষ (R.H.S) = $PR^2 + QS^2$
$= (PQ^2 + QR^2) + QS^2$ [(i) থেকে মান বসিয়ে]
দেখা যাচ্ছে বামপক্ষ ও ডানপক্ষ সমান।
$\therefore PS^2 + QR^2 = PR^2 + QS^2$। (প্রমাণিত)
৫. প্রমাণ করি যে, যে-কোনো রম্বসের বাহুগুলির উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের সমষ্টি কর্ণ দুটির উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান হবে।
প্রমাণ:
ধরি ABCD একটি রম্বস যার কর্ণদ্বয় AC এবং BD পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে।
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
$\therefore \triangle AOB$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
$AB^2 = OA^2 + OB^2$
বা, $AB^2 = (\frac{AC}{2})^2 + (\frac{BD}{2})^2$
বা, $AB^2 = \frac{AC^2}{4} + \frac{BD^2}{4}$
বা, $4AB^2 = AC^2 + BD^2$
যেহেতু রম্বসের ৪টি বাহু সমান, তাই $AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = 4AB^2$।
$\therefore AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = AC^2 + BD^2$। (প্রমাণিত)
৬. ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। AD, BC বাহুর উপর লম্ব হলে, প্রমাণ করি যে $AB^2 + BC^2 + CA^2 = 4AD^2$।
প্রমাণ:
$\triangle ABC$ সমবাহু, তাই $AB = BC = CA$।
AD লম্ব BC, তাই D বিন্দু BC-এর মধ্যবিন্দু।
$\therefore BD = \frac{BC}{2} = \frac{AB}{2}$।
সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ABD$ থেকে পাই:
$AB^2 = AD^2 + BD^2$
বা, $AB^2 = AD^2 + (\frac{AB}{2})^2$
বা, $AB^2 = AD^2 + \frac{AB^2}{4}$
বা, $AB^2 – \frac{AB^2}{4} = AD^2$
বা, $\frac{3AB^2}{4} = AD^2$
বা, $3AB^2 = 4AD^2$
বামপক্ষ: $AB^2 + BC^2 + CA^2 = 3AB^2$ (যেহেতু সব বাহু সমান)।
ডানপক্ষ: $4AD^2$।
যেহেতু আমরা পেয়েছি $3AB^2 = 4AD^2$,
$\therefore AB^2 + BC^2 + CA^2 = 4AD^2$। (প্রমাণিত)
৭. একটি সমকোণী ত্রিভুজ ABC অঙ্কন করেছি যার $\angle A$ সমকোণ। AB ও AC বাহুর উপর দুটি বিন্দু যথাক্রমে P ও Q নিলাম। P, Q; B, Q ও C, P যুক্ত করে, প্রমাণ করি যে, $BQ^2 + PC^2 = BC^2 + PQ^2$।
প্রমাণ:
১. $\triangle ABQ$ সমকোণী ($\angle A = 90^\circ$):
$BQ^2 = AB^2 + AQ^2$
২. $\triangle ACP$ সমকোণী ($\angle A = 90^\circ$):
$PC^2 = AC^2 + AP^2$
৩. বামপক্ষ = $BQ^2 + PC^2$
$= (AB^2 + AQ^2) + (AC^2 + AP^2)$
$= (AB^2 + AC^2) + (AQ^2 + AP^2)$
৪. এখন $\triangle ABC$ থেকে পাই: $AB^2 + AC^2 = BC^2$।
এবং $\triangle APQ$ থেকে পাই: $AP^2 + AQ^2 = PQ^2$।
মান বসিয়ে পাই:
$= BC^2 + PQ^2$ = ডানপক্ষ।
$\therefore BQ^2 + PC^2 = BC^2 + PQ^2$। (প্রমাণিত)
৮. ABCD চতুর্ভুজের দুটি কর্ণ পরস্পরকে লম্বভাবে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, $AB^2 + CD^2 = BC^2 + DA^2$।
প্রমাণ:
ধরি কর্ণদ্বয় O বিন্দুতে লম্বভাবে ছেদ করে।
তাহলে $\triangle AOB, \triangle BOC, \triangle COD, \triangle DOA$ প্রত্যেকেই সমকোণী ত্রিভুজ।
বামপক্ষ = $AB^2 + CD^2$
$= (AO^2 + BO^2) + (CO^2 + DO^2)$
ডানপক্ষ = $BC^2 + DA^2$
$= (BO^2 + CO^2) + (DO^2 + AO^2)$
উভয়পক্ষের রাশিগুলি একই (শুধুমাত্র সাজানো ভিন্ন)।
$\therefore AB^2 + CD^2 = BC^2 + DA^2$। (প্রমাণিত)
৯. একটি ত্রিভুজ ABC অঙ্কন করেছি যার উচ্চতা AD; $AB > AC$ হলে প্রমাণ করি যে $AB^2 – AC^2 = BD^2 – CD^2$।
প্রমাণ:
যেহেতু AD উচ্চতা, তাই $\triangle ABD$ ও $\triangle ACD$ সমকোণী।
১. $\triangle ABD$ থেকে পাই: $AB^2 = AD^2 + BD^2$
২. $\triangle ACD$ থেকে পাই: $AC^2 = AD^2 + CD^2$
বামপক্ষ = $AB^2 – AC^2$
$= (AD^2 + BD^2) – (AD^2 + CD^2)$
$= AD^2 + BD^2 – AD^2 – CD^2$
$= BD^2 – CD^2$ = ডানপক্ষ। (প্রমাণিত)
১০. $\triangle ABC$-এর শীর্ষবিন্দু B ও C থেকে AC ও AB ($AC > AB$) বাহু দুটির উপর দুটি লম্ব অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, $AC^2 + BP^2 = AB^2 + CP^2$।
প্রমাণ:
P হলো ত্রিভুজটির লম্ববিন্দু (Orthocenter)।
A, P যুক্ত করে বর্ধিত করলাম যা BC-কে D বিন্দুতে ছেদ করে। যেহেতু P লম্ববিন্দু, তাই $AD \perp BC$।
১. সমকোণী $\triangle ABD$ থেকে: $AB^2 = AD^2 + BD^2$
২. সমকোণী $\triangle ACD$ থেকে: $AC^2 = AD^2 + CD^2$
বিয়োগ করে পাই: $AC^2 – AB^2 = CD^2 – BD^2$ … (i)
৩. আবার ছোট ত্রিভুজ $\triangle PBD$ ও $\triangle PCD$ থেকে পাই:
$BP^2 = PD^2 + BD^2$ এবং $CP^2 = PD^2 + CD^2$
বিয়োগ করে পাই: $CP^2 – BP^2 = CD^2 – BD^2$ … (ii)
৪. (i) ও (ii) তুলনা করে পাই:
$AC^2 – AB^2 = CP^2 – BP^2$
বা, $AC^2 + BP^2 = AB^2 + CP^2$। (প্রমাণিত)
১১. ABC একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার $\angle C$ সমকোণ। D, AB-এর উপর যে-কোনো একটি বিন্দু হলে, প্রমাণ করি যে, $AD^2 + DB^2 = 2CD^2$।
প্রমাণ:
অঙ্কন: C বিন্দু থেকে অতিভুজ AB-এর উপর লম্ব CE অঙ্কন করলাম।
যেহেতু $\triangle ABC$ সমকোণী সমদ্বিবাহু, তাই E হলো AB-এর মধ্যবিন্দু এবং $AE = EB = CE$।
প্রমাণ:
বামপক্ষ = $AD^2 + DB^2$
$= (AE – DE)^2 + (AE + DE)^2$ [ধরি D বিন্দু AE-এর মধ্যে]
$= 2(AE^2 + DE^2)$ [বীজগণিতের সূত্র $(a-b)^2 + (a+b)^2 = 2(a^2+b^2)$]
যেহেতু $AE = CE$, তাই:
$= 2(CE^2 + DE^2)$
আবার সমকোণী $\triangle CED$-এ $CE^2 + DE^2 = CD^2$ (পিথাগোরাস)।
$\therefore$ বামপক্ষ = $2CD^2$। (প্রমাণিত)
১২. ABC ত্রিভুজের $\angle A$ সমকোণ। CD মধ্যমা হলে, প্রমাণ করি যে, $BC^2 = CD^2 + 3AD^2$।
প্রমাণ:
১. $\triangle ABC$ সমকোণী: $BC^2 = AC^2 + AB^2$
যেহেতু D মধ্যমা, তাই D হলো AB-এর মধ্যবিন্দু। $\therefore AB = 2AD$。
$\therefore BC^2 = AC^2 + (2AD)^2 = AC^2 + 4AD^2$ … (i)
২. আবার $\triangle ADC$ সমকোণী:
$CD^2 = AC^2 + AD^2 \Rightarrow AC^2 = CD^2 – AD^2$
৩. (i) নং সমীকরণে $AC^2$-এর মান বসিয়ে পাই:
$BC^2 = (CD^2 – AD^2) + 4AD^2$
$BC^2 = CD^2 + 3AD^2$। (প্রমাণিত)
১৩. ABC ত্রিভুজের অভ্যন্তরস্থ একটি বিন্দু O থেকে BC, CA ও AB বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব যথাক্রমে OX, OY ও OZ হলে প্রমাণ করি যে, $AZ^2 + BX^2 + CY^2 = AY^2 + CX^2 + BZ^2$।
প্রমাণ:
O, A; O, B এবং O, C যুক্ত করা হলো।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই:
$AZ^2 = OA^2 – OZ^2$
$BX^2 = OB^2 – OX^2$
$CY^2 = OC^2 – OY^2$
বামপক্ষ = $AZ^2 + BX^2 + CY^2$
$= (OA^2 – OZ^2) + (OB^2 – OX^2) + (OC^2 – OY^2)$
ডানপক্ষ = $AY^2 + CX^2 + BZ^2$
$= (OA^2 – OY^2) + (OC^2 – OX^2) + (OB^2 – OZ^2)$
বামপক্ষ ও ডানপক্ষের পদগুলি পুনর্বিন্যাস করলে দেখা যায় তারা হুবহু এক।
$\therefore AZ^2 + BX^2 + CY^2 = AY^2 + CX^2 + BZ^2$। (প্রমাণিত)
১৪. RST ত্রিভুজের $\angle S$ সমকোণ। RS ও ST বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে X ও Y; প্রমাণ করি যে, $RY^2 + XT^2 = 5XY^2$।
প্রমাণ:
১. $\triangle RYS$ সমকোণী:
$RY^2 = RS^2 + SY^2 = RS^2 + (\frac{ST}{2})^2 = RS^2 + \frac{ST^2}{4}$
২. $\triangle XST$ সমকোণী:
$XT^2 = XS^2 + ST^2 = (\frac{RS}{2})^2 + ST^2 = \frac{RS^2}{4} + ST^2$
৩. বামপক্ষ = $RY^2 + XT^2$
$= RS^2 + \frac{ST^2}{4} + \frac{RS^2}{4} + ST^2$
$= \frac{5RS^2}{4} + \frac{5ST^2}{4}$
$= \frac{5}{4} (RS^2 + ST^2)$
৪. আবার ছোট সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle XSY$-তে:
$XY^2 = XS^2 + SY^2 = \frac{RS^2}{4} + \frac{ST^2}{4} = \frac{1}{4}(RS^2 + ST^2)$
$\therefore 4XY^2 = RS^2 + ST^2$
৫. ৩ নং ধাপে মান বসিয়ে পাই:
বামপক্ষ = $\frac{5}{4} (4XY^2) = 5XY^2$ = ডানপক্ষ। (প্রমাণিত)
১৫. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):
(i) এক ব্যক্তি একটি স্থান থেকে 24 মিটার পশ্চিমদিকে যান এবং তারপর 10 মিটার উত্তর দিকে যান। যাত্রাস্থান থেকে ব্যক্তির দূরত্ব
- (a) 34 মিটার
- (b) 17 মিটার
- (c) 26 মিটার
- (d) 25 মিটার
সমাধান:
পশ্চিম ও উত্তর দিক পরস্পর লম্ব ($90^\circ$) কোণে থাকে।
$\therefore$ যাত্রাস্থান থেকে দূরত্ব = অতিভুজ
$= \sqrt{(24)^2 + (10)^2}$ মিটার
$= \sqrt{576 + 100}$ মিটার
$= \sqrt{676}$ মিটার = 26 মিটার।
সঠিক উত্তর: (c) 26 মিটার
(ii) ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ এবং $AD \perp BC$ হলে, $AD^2 =$
- (a) $\frac{3}{2} DC^2$
- (b) $2DC^2$
- (c) $3DC^2$
- (d) $4DC^2$
সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা ভূমিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
$\therefore BC = 2DC$। আবার $AC = BC = 2DC$।
সমকোণী $\triangle ADC$ থেকে পাই:
$AD^2 = AC^2 – DC^2$
$= (2DC)^2 – DC^2$
$= 4DC^2 – DC^2 = 3DC^2$
সঠিক উত্তর: (c) $3DC^2$
(iii) ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে AC = BC এবং $AB^2 = 2AC^2$ হলে, $\angle C$-এর পরিমাণ
- (a) $30^\circ$
- (b) $90^\circ$
- (c) $45^\circ$
- (d) $60^\circ$
সমাধান:
$AB^2 = 2AC^2 = AC^2 + AC^2$
যেহেতু $AC = BC$, তাই $AB^2 = AC^2 + BC^2$।
এটি পিথাগোরাসের উপপাদ্য সিদ্ধ করে, যেখানে AB অতিভুজ।
$\therefore$ অতিভুজের বিপরীত কোণ $\angle C = 90^\circ$।
সঠিক উত্তর: (b) $90^\circ$
(iv) 13 মিটার ও 7 মিটার উচ্চ দুটি দণ্ড ভূমিতে লম্বভাবে অবস্থিত এবং তাদের পাদদেশের মধ্যে দূরত্ব 8 মিটার। তাদের শীর্ষদেশের মধ্যে দূরত্ব
- (a) 9 মিটার
- (b) 10 মিটার
- (c) 11 মিটার
- (d) 12 মিটার
সমাধান:
উচ্চতার পার্থক্য (লম্ব) = $13 – 7 = 6$ মিটার।
পাদদেশের দূরত্ব (ভূমি) = 8 মিটার।
শীর্ষদেশের দূরত্ব (অতিভুজ) = $\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ মিটার।
সঠিক উত্তর: (b) 10 মিটার
(v) একটি রম্বসের দুটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 24 সেমি. এবং 10 সেমি. হলে, রম্বসটির পরিসীমা
- (a) 13 সেমি.
- (b) 26 সেমি.
- (c) 52 সেমি.
- (d) 25 সেমি.
সমাধান:
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
অর্ধ-কর্ণ দুটি হলো $\frac{24}{2}=12$ সেমি এবং $\frac{10}{2}=5$ সেমি।
রম্বসের বাহু = $\sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ সেমি।
পরিসীমা = $4 \times 13 = 52$ সেমি।
সঠিক উত্তর: (c) 52 সেমি.
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:
(i) একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যের অনুপাত 3 : 4 : 5 হলে, ত্রিভুজটি সর্বদা সমকোণী ত্রিভুজ হবে।
উত্তর: সত্য।
কারণ: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$।
(ii) 10 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তে কোনো জ্যা কেন্দ্রে সমকোণ উৎপন্ন করলে জ্যাটির দৈর্ঘ্য 5 সেমি. হবে।
উত্তর: মিথ্যা।
কারণ: কেন্দ্রে সমকোণ উৎপন্ন হলে সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ গঠিত হয়। জ্যা (অতিভুজ) = $\sqrt{10^2 + 10^2} = 10\sqrt{2}$ সেমি হওয়ার কথা।
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:
(i) একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুটি বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের ________ সমান।
উত্তর: সমষ্টির (Sum)
(ii) একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য $4\sqrt{2}$ সেমি. হলে, অতিভুজের দৈর্ঘ্য ________ সেমি.।
উত্তর: 8
গণনা: অতিভুজ = $\sqrt{2} \times \text{সমান বাহু} = \sqrt{2} \times 4\sqrt{2} = 4 \times 2 = 8$।
(iii) ABCD আয়তকার চিত্রের AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করে। AB = 12 সেমি., AO = 6.5 সেমি. হলে, BC-এর দৈর্ঘ্য ________ সেমি.।
উত্তর: 5
গণনা: কর্ণ $AC = 2 \times AO = 2 \times 6.5 = 13$ সেমি।
সমকোণী $\triangle ABC$-তে, $BC = \sqrt{AC^2 – AB^2} = \sqrt{13^2 – 12^2} = \sqrt{169 – 144} = \sqrt{25} = 5$ সেমি।
১৬. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) ABC ত্রিভুজের AB = $(2a – 1)$ সেমি., AC = $2\sqrt{2a}$ সেমি. এবং BC = $(2a + 1)$ সেমি. হলে $\angle BAC$-এর মান লিখি।
সমাধান:
আমরা বাহুগুলির বর্গের সম্পর্ক পরীক্ষা করি:
$AB^2 + AC^2 = (2a – 1)^2 + (2\sqrt{2a})^2$
$= (4a^2 – 4a + 1) + 4(2a)$
$= 4a^2 – 4a + 1 + 8a$
$= 4a^2 + 4a + 1$
$= (2a + 1)^2$
$= BC^2$
যেহেতু $AB^2 + AC^2 = BC^2$, তাই ত্রিভুজটি সমকোণী এবং অতিভুজ BC-এর বিপরীত কোণটি সমকোণ।
উত্তর: $\angle BAC = 90^\circ$
(ii) পাশের চিত্রে PQR ত্রিভুজের অভ্যন্তরে O বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে $\angle POR = 90^\circ, OP = 6$ সেমি. এবং $OR = 8$ সেমি.। যদি $PR = 24$ সেমি. এবং $\angle QPR = 90^\circ$ হয়, তাহলে QR বাহুর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।
সমাধান ও বিশ্লেষণ:
দ্রষ্টব্য: পাঠ্যবইয়ের প্রশ্নে একটি ছাপার ভুল (Typo) আছে। প্রশ্নে বলা হয়েছে $PR = 24$ সেমি, যা সম্ভব নয়। কারণ $\triangle POR$ সমকোণী হলে $PR = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ সেমি হওয়ার কথা।
সাধারণত এই ধরনের প্রশ্নে $PQ = 24$ সেমি দেওয়া থাকে। আমরা $PQ = 24$ সেমি ধরেই সমাধানটি করছি।
১. সমকোণী $\triangle POR$ ($\angle POR = 90^\circ$) থেকে পাই:
$PR = \sqrt{OP^2 + OR^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ সেমি।
২. এখন মূল ত্রিভুজ $\triangle PQR$-এ $\angle QPR = 90^\circ$।
ধরি $PQ = 24$ সেমি।
অতিভুজ $QR = \sqrt{PQ^2 + PR^2}$
$= \sqrt{24^2 + 10^2}$
$= \sqrt{576 + 100}$
$= \sqrt{676} = 26$ সেমি।
উত্তর: QR বাহুর দৈর্ঘ্য 26 সেমি (যদি PQ=24 ধরা হয়)।
(iii) ABCD আয়তকার চিত্রের অভ্যন্তরে O বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে OB = 6 সেমি., OD = 8 সেমি. এবং OA = 5 সেমি.। OC-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধান:
আয়তক্ষেত্রের অভ্যন্তরে যে-কোনো বিন্দু O-এর ক্ষেত্রে উপপাদ্যটি হলো:
$OA^2 + OC^2 = OB^2 + OD^2$
বা, $5^2 + OC^2 = 6^2 + 8^2$
বা, $25 + OC^2 = 36 + 64$
বা, $25 + OC^2 = 100$
বা, $OC^2 = 100 – 25 = 75$
বা, $OC = \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}$
উত্তর: OC-এর দৈর্ঘ্য $5\sqrt{3}$ সেমি।
(iv) ABC ত্রিভুজের A বিন্দু থেকে BC বাহুর উপর AD লম্ব BC বাহুর সঙ্গে D বিন্দুতে মিলিত হয়। যদি BD = 8 সেমি., DC = 2 সেমি. এবং AD = 4 সেমি. হয়, তাহলে $\angle BAC$-এর পরিমাপ কত তা লিখি।
সমাধান:
সমকোণী ত্রিভুজের একটি বিশেষ ধর্ম হলো: সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের ওপর লম্ব অঙ্কন করলে, $(\text{লম্ব})^2 = \text{ভূমির দুই অংশের গুণফল}$ হয়।
এখানে আমরা পরীক্ষা করে দেখি:
বামপক্ষ: $AD^2 = 4^2 = 16$।
ডানপক্ষ: $BD \times DC = 8 \times 2 = 16$।
যেহেতু $AD^2 = BD \cdot DC$, তাই এটি সমকোণী ত্রিভুজের শর্ত পূরণ করে।
সুতরাং, A কোণটি সমকোণ।
উত্তর: $\angle BAC = 90^\circ$।
(v) ABC সমকোণী ত্রিভুজের $\angle ABC = 90^\circ, AB = 3$ সেমি., $BC = 4$ সেমি. এবং B বিন্দু থেকে AC বাহুর উপর লম্ব BD যা AC বাহুর সঙ্গে D বিন্দুতে মিলিত হয়। BD-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধান:
সমকোণী ত্রিভুজ ABC-এর অতিভুজ $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$ সেমি।
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র ব্যবহার করে পাই:
$\frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা} = \frac{1}{2} \times \text{অতিভুজ} \times \text{অতিভুজের ওপর লম্ব}$
$\therefore AB \times BC = AC \times BD$
বা, $3 \times 4 = 5 \times BD$
বা, $12 = 5 BD$
বা, $BD = \frac{12}{5} = 2.4$ সেমি।
উত্তর: BD-এর দৈর্ঘ্য 2.4 সেমি।
শেয়ার