দশম শ্রেণী গনিত: ত্রিকোণমিতিক অনুপাত – কষে দেখি 23.1

WBBSE Class 10 Maths Kose Dekhi 23.1 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Part 1)

(Page 295)

সূত্রাবলী:
১. $\sin \theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}}$
২. $\cos \theta = \frac{\text{ভূমি}}{\text{অতিভুজ}}$
৩. $\tan \theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}}$
৪. পিথাগোরাসের উপপাদ্য: $(\text{অতিভুজ})^2 = (\text{লম্ব})^2 + (\text{ভূমি})^2$

---

১. একটি সমকোণী ত্রিভুজ ABC এঁকেছি যার অতিভুজ AB = 10 সেমি., ভূমি BC = 8 সেমি. এবং লম্ব AC = 6 সেমি.। $\angle ABC$-এর Sine এবং Tangent-এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান:

এখানে কোণটি হলো $\angle ABC$ (অর্থাৎ B কোণের সাপেক্ষে)।
কোণের বিপরীত বাহু (লম্ব) = AC = 6 সেমি।
কোণ সংলগ্ন বাহু (ভূমি) = BC = 8 সেমি।
অতিভুজ = AB = 10 সেমি।

(i) $\sin \angle ABC = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{AC}{AB} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

(ii) $\tan \angle ABC = \frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}} = \frac{AC}{BC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

উত্তর: Sine-এর মান $\frac{3}{5}$ এবং Tangent-এর মান $\frac{3}{4}$।

---

২. সোমা একটি সমকোণী ত্রিভুজ ABC এঁকেছে যার $\angle ABC = 90^\circ$, AB = 24 সেমি. এবং BC = 7 সেমি.। হিসাব করে $\sin A, \cos A, \tan A$ ও $\text{cosec } A$-এর মান লিখি।

সমাধান:

$\triangle ABC$-এ $\angle B = 90^\circ$।
সুতরাং, অতিভুজ = AC।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{24^2 + 7^2} = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25$ সেমি।

এখন $\angle A$-এর সাপেক্ষে:
লম্ব = BC = 7 সেমি, ভূমি = AB = 24 সেমি, অতিভুজ = AC = 25 সেমি।

$\therefore \sin A = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{7}{25}$

$\therefore \cos A = \frac{\text{ভূমি}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{24}{25}$

$\therefore \tan A = \frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}} = \frac{7}{24}$

$\therefore \text{cosec } A = \frac{1}{\sin A} = \frac{25}{7}$

উত্তর: $\frac{7}{25}, \frac{24}{25}, \frac{7}{24}, \frac{25}{7}$।

---

৩. যদি ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজের $\angle C = 90^\circ$, BC = 21 একক এবং AB = 29 একক হয়, তবে $\sin A, \cos A, \sin B$ ও $\cos B$-এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান:

$\triangle ABC$-এ $\angle C = 90^\circ$। সুতরাং অতিভুজ AB = 29 একক।
ভূমি (বা লম্ব) BC = 21 একক।
অপর বাহু AC = $\sqrt{AB^2 – BC^2} = \sqrt{29^2 – 21^2}$
$= \sqrt{(29+21)(29-21)} = \sqrt{50 \times 8} = \sqrt{400} = 20$ একক।

$\angle A$-এর সাপেক্ষে: লম্ব = BC = 21, ভূমি = AC = 20।
$\sin A = \frac{21}{29}, \quad \cos A = \frac{20}{29}$

$\angle B$-এর সাপেক্ষে: লম্ব = AC = 20, ভূমি = BC = 21।
$\sin B = \frac{20}{29}, \quad \cos B = \frac{21}{29}$

উত্তর: $\sin A=\frac{21}{29}, \cos A=\frac{20}{29}, \sin B=\frac{20}{29}, \cos B=\frac{21}{29}$।

---

৪. যদি $\cos \theta = \frac{7}{25}$ হয়, তাহলে $\theta$ কোণের সকল ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের মান নির্ণয় করি।

সমাধান:

$\cos \theta = \frac{\text{ভূমি}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{7}{25}$
ধরি, ভূমি = $7k$ এবং অতিভুজ = $25k$।
$\therefore$ লম্ব = $\sqrt{(25k)^2 – (7k)^2} = \sqrt{625k^2 – 49k^2} = \sqrt{576k^2} = 24k$।

অন্যান্য অনুপাতগুলি হলো:

• $\sin \theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{24k}{25k} = \frac{24}{25}$
• $\tan \theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}} = \frac{24k}{7k} = \frac{24}{7}$
• $\text{cosec } \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{25}{24}$
• $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \frac{25}{7}$
• $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{7}{24}$

---

৫. যদি $\cot \theta = 2$ হয়, তবে $\tan \theta$ ও $\sec \theta$-এর মান নির্ণয় করি এবং দেখাই যে, $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$।

সমাধান:

$\cot \theta = 2 = \frac{2}{1}$।
$\therefore \tan \theta = \frac{1}{\cot \theta} = \frac{1}{2}$।

আমরা জানি, $\tan \theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}} = \frac{1}{2}$।
ধরি, লম্ব = $1k$ এবং ভূমি = $2k$।
অতিভুজ = $\sqrt{(1k)^2 + (2k)^2} = \sqrt{k^2 + 4k^2} = \sqrt{5}k$।

$\therefore \sec \theta = \frac{\text{অতিভুজ}}{\text{ভূমি}} = \frac{\sqrt{5}k}{2k} = \frac{\sqrt{5}}{2}$।

প্রমাণ:
বামপক্ষ (LHS) = $1 + \tan^2 \theta = 1 + (\frac{1}{2})^2 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$।
ডানপক্ষ (RHS) = $\sec^2 \theta = (\frac{\sqrt{5}}{2})^2 = \frac{5}{4}$।
$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ। (প্রমাণিত)

---

৬. $\cos \theta = 0.6$ হলে, দেখাই যে, $(5\sin \theta – 3\tan \theta) = 0$।

সমাধান:

$\cos \theta = 0.6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$।
অর্থাৎ, ভূমি = $3k$, অতিভুজ = $5k$।
$\therefore$ লম্ব = $\sqrt{(5k)^2 – (3k)^2} = \sqrt{25k^2 – 9k^2} = \sqrt{16k^2} = 4k$।

$\sin \theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{4}{5}$
$\tan \theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}} = \frac{4}{3}$

বামপক্ষ = $5\sin \theta – 3\tan \theta$
$= 5 \times \frac{4}{5} – 3 \times \frac{4}{3}$
$= 4 – 4$
$= 0$ = ডানপক্ষ। (প্রমাণিত)

---

৭. যদি $\cot A = \frac{4}{7.5}$ হয়, তবে $\cos A$ এবং $\text{cosec } A$-এর মান নির্ণয় করি এবং দেখাই যে, $1 + \cot^2 A = \text{cosec}^2 A$।

সমাধান:

$\cot A = \frac{4}{7.5} = \frac{40}{75} = \frac{8}{15}$ [5 দ্বারা কাটাকুটি করে]।
অর্থাৎ, ভূমি = $8k$, লম্ব = $15k$।
অতিভুজ = $\sqrt{(8k)^2 + (15k)^2} = \sqrt{64k^2 + 225k^2} = \sqrt{289k^2} = 17k$।

১. $\cos A = \frac{\text{ভূমি}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{8}{17}$
২. $\text{cosec } A = \frac{\text{অতিভুজ}}{\text{লম্ব}} = \frac{17}{15}$

প্রমাণ:
বামপক্ষ = $1 + \cot^2 A = 1 + (\frac{8}{15})^2 = 1 + \frac{64}{225} = \frac{225 + 64}{225} = \frac{289}{225}$।
ডানপক্ষ = $\text{cosec}^2 A = (\frac{17}{15})^2 = \frac{289}{225}$।
$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ। (প্রমাণিত)

---

৮. যদি $\sin C = \frac{2}{3}$ হয়, তবে $\cos C \times \text{cosec } C$-এর মান হিসাব করে লিখি।

সমাধান:

$\sin C = \frac{2}{3}$।
লম্ব = $2k$, অতিভুজ = $3k$।
$\therefore$ ভূমি = $\sqrt{(3k)^2 – (2k)^2} = \sqrt{9k^2 – 4k^2} = \sqrt{5}k$。

$\cos C = \frac{\text{ভূমি}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$
$\text{cosec } C = \frac{1}{\sin C} = \frac{3}{2}$

প্রদত্ত রাশি = $\cos C \times \text{cosec } C$
$= \frac{\sqrt{5}}{3} \times \frac{3}{2}$
$= \frac{\sqrt{5}}{2}$

উত্তর: $\frac{\sqrt{5}}{2}$।

---

৯. নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা তা যুক্তি সহকারে লিখি:

(i) $\tan A$-এর মান সর্বদা 1 অপেক্ষা বড়।
উত্তর: মিথ্যা।
যুক্তি: $\tan A = \frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}}$। লম্ব ভূমির চেয়ে ছোটও হতে পারে, তাই মান ১-এর কমও হতে পারে। (যেমন $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} < 1$)।

(ii) $\cot A$-এর মান সর্বদা 1 অপেক্ষা ছোটো।
উত্তর: মিথ্যা।
যুক্তি: ভূমি লম্বের চেয়ে বড় হলে মান ১-এর বেশি হবে। (যেমন $\cot 30^\circ = \sqrt{3} > 1$)।

(iii) একটি কোণ $\theta$-এর জন্য $\sin \theta = \frac{4}{3}$ হতে পারে।
উত্তর: মিথ্যা।
যুক্তি: $\sin \theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}}$। সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজ সর্বদা বৃহত্তম বাহু হয়। লব হরের চেয়ে বড় হতে পারে না। অর্থাৎ মান ১-এর বেশি হতে পারে না।

(iv) একটি কোণ $\alpha$-এর জন্য $\sec \alpha = \frac{12}{5}$ হতে পারে।
উত্তর: সত্য।
যুক্তি: $\sec \alpha = \frac{\text{অতিভুজ}}{\text{ভূমি}}$। অতিভুজ (12) ভূমির (5) চেয়ে বড়, যা সম্ভব।

(v) একটি কোণ $\beta$-এর জন্য $\text{cosec } \beta = \frac{5}{13}$ হতে পারে।
উত্তর: মিথ্যা।
যুক্তি: $\text{cosec } \beta = \frac{\text{অতিভুজ}}{\text{লম্ব}}$। অতিভুজ (5) লম্বের (13) চেয়ে ছোট হতে পারে না। এর মান সর্বদা ১ বা তার বেশি হয়।

(vi) একটি কোণ $\theta$-এর জন্য $\cos \theta = \frac{3}{5}$ হতে পারে।
উত্তর: সত্য।
যুক্তি: $\cos \theta = \frac{\text{ভূমি}}{\text{অতিভুজ}}$। ভূমি (3) অতিভুজের (5) চেয়ে ছোট, যা সম্ভব।