দশম শ্রেণী গনিত – ত্রিকোণমিতিক অনুপাত কষে দেখি 23.2
WBBSE Class 10 Maths Kose Dekhi 23.2 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Part 1)
(Page 302 | Q-1 to Q-4)
১. আমাদের বাড়ির জানালায় একটি মই ভূমির সঙ্গে $60^\circ$ কোণে রাখা আছে। মইটি $2\sqrt{3}$ মিটার লম্বা হলে, আমাদের ওই জানালাটি ভূমি থেকে কত উপরে আছে ছবি এঁকে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, জানালার উচ্চতা (লম্ব) = $h$ মিটার।
মইয়ের দৈর্ঘ্য (অতিভুজ) = $2\sqrt{3}$ মিটার।
ভূমির সঙ্গে কোণ = $60^\circ$।
আমরা জানি,
$\sin 60^\circ = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}}$
বা, $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{2\sqrt{3}}$
বা, $2h = \sqrt{3} \times 2\sqrt{3}$
বা, $2h = 2 \times 3 = 6$
বা, $h = 3$
উত্তর: জানালাটি ভূমি থেকে 3 মিটার উপরে আছে।
২. ABC সমকোণী ত্রিভুজের $\angle B$ সমকোণ। $AB = 8\sqrt{3}$ সেমি. এবং BC = 8 সেমি. হলে, $\angle ACB$ ও $\angle BAC$-এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
১. $\angle ACB$-এর সাপেক্ষে:
লম্ব $AB = 8\sqrt{3}$ সেমি এবং ভূমি $BC = 8$ সেমি।
$\tan \angle ACB = \frac{AB}{BC} = \frac{8\sqrt{3}}{8} = \sqrt{3}$
আমরা জানি, $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$
$\therefore \angle ACB = 60^\circ$
২. $\angle BAC$-এর মান:
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$।
$\angle BAC = 180^\circ – (90^\circ + 60^\circ) = 180^\circ – 150^\circ = 30^\circ$
উত্তর: $\angle ACB = 60^\circ$ এবং $\angle BAC = 30^\circ$।
৩. ABC সমকোণী ত্রিভুজের $\angle B = 90^\circ, \angle A = 30^\circ$ এবং AC = 20 সেমি.। BC এবং AB বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
[attachment_0](attachment)
সমাধান:
অতিভুজ $AC = 20$ সেমি।
১. BC (লম্ব) নির্ণয়:
$\sin 30^\circ = \frac{BC}{AC}$
বা, $\frac{1}{2} = \frac{BC}{20}$
বা, $2BC = 20 \Rightarrow BC = 10$ সেমি।
২. AB (ভূমি) নির্ণয়:
$\cos 30^\circ = \frac{AB}{AC}$
বা, $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AB}{20}$
বা, $2AB = 20\sqrt{3} \Rightarrow AB = 10\sqrt{3}$ সেমি।
উত্তর: BC = 10 সেমি এবং AB = $10\sqrt{3}$ সেমি।
৪. PQR সমকোণী ত্রিভুজের $\angle Q = 90^\circ, \angle R = 45^\circ$; যদি $PR = 3\sqrt{2}$ মিটার হয়, তাহলে PQ ও QR বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধান:
১. PQ (লম্ব) নির্ণয়:
$\sin 45^\circ = \frac{PQ}{PR}$
বা, $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{PQ}{3\sqrt{2}}$
বা, $PQ = 3$ মিটার।
২. QR (ভূমি) নির্ণয়:
$\cos 45^\circ = \frac{QR}{PR}$
বা, $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{QR}{3\sqrt{2}}$
বা, $QR = 3$ মিটার।
উত্তর: PQ = 3 মিটার এবং QR = 3 মিটার।
৫. মান নির্ণয় করি:
(i) $\sin^2 45^\circ – \text{cosec}^2 60^\circ + \sec^2 30^\circ$
সমাধান:
$$= \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 – \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2$$
$$= \frac{1}{2} – \frac{4}{3} + \frac{4}{3}$$
$$= \frac{1}{2}$$
(ii) $\sec^2 45^\circ – \cot^2 45^\circ – \sin^2 30^\circ – \sin^2 60^\circ$
সমাধান:
$$= (\sqrt{2})^2 – (1)^2 – \left(\frac{1}{2}\right)^2 – \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$$
$$= 2 – 1 – \frac{1}{4} – \frac{3}{4}$$
$$= 1 – \left(\frac{1+3}{4}\right) = 1 – 1 = 0$$
(iii) $3\tan^2 45^\circ – \sin^2 60^\circ – \frac{1}{3}\cot^2 30^\circ – \frac{1}{8}\sec^2 45^\circ$
সমাধান:
$$= 3(1)^2 – \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 – \frac{1}{3}(\sqrt{3})^2 – \frac{1}{8}(\sqrt{2})^2$$
$$= 3 – \frac{3}{4} – \frac{1}{3}(3) – \frac{1}{8}(2)$$
$$= 3 – \frac{3}{4} – 1 – \frac{1}{4}$$
$$= 2 – \left(\frac{3}{4} + \frac{1}{4}\right) = 2 – 1 = 1$$
(iv) $\frac{1}{3}\cot^2 30^\circ + 3\sin^2 60^\circ – 2\text{cosec}^2 60^\circ – \frac{3}{4}\tan^2 30^\circ$
সমাধান:
$$= \frac{1}{3}(\sqrt{3})^2 + 3\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 – 2\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 – \frac{3}{4}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2$$
$$= 1 + \frac{9}{4} – \frac{8}{3} – \frac{1}{4}$$
$$= 1 + \left(\frac{9}{4} – \frac{1}{4}\right) – \frac{8}{3}$$
$$= 1 + 2 – \frac{8}{3} = 3 – \frac{8}{3} = \frac{9-8}{3} = \frac{1}{3}$$
(v) $\frac{\frac{1}{3}\cos 30^\circ}{\frac{1}{2}\sin 45^\circ} + \frac{\tan 60^\circ}{\cos 30^\circ}$
সমাধান:
$$= \frac{\frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}}} + \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$$
$$= \frac{\frac{\sqrt{3}}{6}}{\frac{1}{2\sqrt{2}}} + \sqrt{3} \times \frac{2}{\sqrt{3}}$$
$$= \frac{\sqrt{3}}{6} \times 2\sqrt{2} + 2$$
$$= \frac{\sqrt{6}}{3} + 2$$
(vi) $\cot^2 30^\circ – 2\cos^2 60^\circ – \frac{3}{4}\sec^2 45^\circ – 4\sin^2 30^\circ$
সমাধান:
$$= (\sqrt{3})^2 – 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 – \frac{3}{4}(\sqrt{2})^2 – 4\left(\frac{1}{2}\right)^2$$
$$= 3 – 2\left(\frac{1}{4}\right) – \frac{3}{4}(2) – 4\left(\frac{1}{4}\right)$$
$$= 3 – \frac{1}{2} – \frac{3}{2} – 1$$
$$= 2 – \left(\frac{1+3}{2}\right) = 2 – 2 = 0$$
(vii) $\sec^2 60^\circ – \cot^2 30^\circ – \frac{2\tan 30^\circ \text{cosec} 60^\circ}{1+\tan^2 30^\circ}$
সমাধান:
$$= (2)^2 – (\sqrt{3})^2 – \frac{2 \times \frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{2}{\sqrt{3}}}{1 + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2}$$
$$= 4 – 3 – \frac{\frac{4}{3}}{1 + \frac{1}{3}}$$
$$= 1 – \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3}} = 1 – 1 = 0$$
(viii) $\frac{\tan 60^\circ – \tan 30^\circ}{1 + \tan 60^\circ \tan 30^\circ} + \cos 60^\circ \cos 30^\circ + \sin 60^\circ \sin 30^\circ$
সমাধান:
$$= \frac{\sqrt{3} – \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + \sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}}} + \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{2}$$
$$= \frac{\frac{3-1}{\sqrt{3}}}{1 + 1} + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}$$
$$= \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{2} + \frac{2\sqrt{3}}{4}$$
$$= \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$= \frac{2 + 3}{2\sqrt{3}} = \frac{5}{2\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{6}$$
(ix) $\frac{1-\sin^2 30^\circ}{1+\sin^2 45^\circ} \times \frac{\cos^2 60^\circ + \cos^2 30^\circ}{\text{cosec}^2 90^\circ – \cot^2 90^\circ} \div (\sin 60^\circ \tan 30^\circ)$
সমাধান:
$$= \frac{1 – \left(\frac{1}{2}\right)^2}{1 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} \times \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}{(1)^2 – (0)^2} \div \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$$
$$= \frac{1 – \frac{1}{4}}{1 + \frac{1}{2}} \times \frac{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}{1} \div \frac{1}{2}$$
$$= \frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{2}} \times 1 \times 2$$
$$= \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} \times 2 = 1$$
৬. দেখাই যে,
(i) $\sin^2 45^\circ + \cos^2 45^\circ = 1$
বামপক্ষ $$= \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।
(ii) $\cos 60^\circ = \cos^2 30^\circ – \sin^2 30^\circ$
বামপক্ষ $= \frac{1}{2}$
ডানপক্ষ $$= \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 – \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} – \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$
$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।
(iii) $\frac{2\tan 30^\circ}{1-\tan^2 30^\circ} = \sqrt{3}$
বামপক্ষ $$= \frac{2 \times \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 – \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1 – \frac{1}{3}} = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{3}{2} = \sqrt{3}$$ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।
(iv) $\sqrt{\frac{1+\cos 30^\circ}{1-\cos 30^\circ}} = \sec 60^\circ + \tan 60^\circ$
বামপক্ষ $$= \sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}} = \sqrt{\frac{\frac{2+\sqrt{3}}{2}}{\frac{2-\sqrt{3}}{2}}} = \sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}$$
লব ও হরের অনুবন্ধী দিয়ে গুণ করে পাই:
$$= \sqrt{\frac{(2+\sqrt{3})^2}{(2)^2-(\sqrt{3})^2}} = 2+\sqrt{3}$$
ডানপক্ষ $= 2 + \sqrt{3}$।
$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।
(v) $\frac{2\tan^2 30^\circ}{1-\tan^2 30^\circ} + \sec^2 45^\circ – \cot^2 45^\circ = \sec 60^\circ$
বামপক্ষ $$= \frac{2\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2}{1-\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} + (\sqrt{2})^2 – 1^2$$
$$= \frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}} + 2 – 1 = 1 + 1 = 2$$
ডানপক্ষ $= \sec 60^\circ = 2$।
$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।
(vi) $\tan \frac{\pi}{4} \sin \frac{\pi}{3} \tan \frac{\pi}{6} \tan^2 \frac{\pi}{3} = 1\frac{1}{2}$
বামপক্ষ $$= 1 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{\sqrt{3}} \times (\sqrt{3})^2$$
$$= \frac{1}{2} \times 3 = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$$ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।
(vii) $\sin \frac{\pi}{3} \tan \frac{\pi}{6} + \sin \frac{\pi}{2} \cos \frac{\pi}{3} = 2\sin^2 \frac{\pi}{4}$
বামপক্ষ $$= \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{\sqrt{3}} + 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$
ডানপক্ষ $$= 2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = 2 \times \frac{1}{2} = 1$$
$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।
৭. x-এর মান নির্ণয় করি:
(i) $x \sin 45^\circ \cos 45^\circ \tan 60^\circ = \tan^2 45^\circ – \cos 60^\circ$
$$x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{3} = 1^2 – \frac{1}{2}$$
$$x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2}$$
$$x = \frac{1}{2} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$
উত্তর: $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$
(ii) $x \sin 60^\circ \cos^2 30^\circ = \frac{\tan^2 45^\circ \sec 60^\circ}{\text{cosec } 60^\circ}$
$$x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1^2 \cdot 2}{\frac{2}{\sqrt{3}}}$$
$$x \cdot \frac{3\sqrt{3}}{8} = \sqrt{3}$$
$$x = \sqrt{3} \times \frac{8}{3\sqrt{3}} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$$
উত্তর: $x = 2\frac{2}{3}$
(iii) $x^2 = \sin^2 30^\circ + 4\cot^2 45^\circ – \sec^2 60^\circ$
$$x^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 4(1)^2 – (2)^2$$
$$x^2 = \frac{1}{4} + 4 – 4$$
$$x^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{2}$$
উত্তর: $x = \pm \frac{1}{2}$
৮. $x \tan 30^\circ + y \cot 60^\circ = 0$ এবং $2x – y \tan 45^\circ = 1$ হলে, x ও y-এর মান হিসাব করি।
১ম সমীকরণ: $$x \frac{1}{\sqrt{3}} + y \frac{1}{\sqrt{3}} = 0 \Rightarrow x+y=0 \Rightarrow x=-y$$
২য় সমীকরণ: $$2x – y(1) = 1 \Rightarrow 2x – y = 1$$
$x=-y$ বসিয়ে পাই:
$$2(-y) – y = 1 \Rightarrow -3y=1 \Rightarrow y=-\frac{1}{3}$$
$$\therefore x = \frac{1}{3}$$
উত্তর: $x = \frac{1}{3}, y = -\frac{1}{3}$
৯. যদি $A=B=45^\circ$ হয়, তবে যাচাই করি:
(i) $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$
বামপক্ষ $= \sin(90^\circ) = 1$
ডানপক্ষ $$= \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$ (প্রমাণিত)।
(ii) $\cos(A+B) = \cos A \cos B – \sin A \sin B$
বামপক্ষ $= \cos(90^\circ) = 0$
ডানপক্ষ $$= \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} – \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} – \frac{1}{2} = 0$$ (প্রমাণিত)।
১০. জ্যামিতিক প্রমাণ:
(i) ABC সমবাহু ত্রিভুজের BD একটি মধ্যমা। প্রমাণ করি যে, $\tan \angle ABD = \cot \angle BAD$।
প্রমাণ: সমবাহু ত্রিভুজে কোণ $60^\circ$। মধ্যমা কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই $\angle ABD = 30^\circ$।
$\angle BAD = 60^\circ$।
বামপক্ষ $= \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$। ডানপক্ষ $= \cot 60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$। (প্রমাণিত)।
(ii) ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে $AB=AC, \angle A=90^\circ$। AD কোণ সমদ্বিখণ্ডক। প্রমাণ: $\frac{\sec \angle ACD}{\sin \angle CAD} = \text{cosec}^2 \angle CAD$।
প্রমাণ: $\angle C = 45^\circ, \angle CAD = 45^\circ$।
বামপক্ষ $$= \frac{\sec 45^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}} = 2$$
ডানপক্ষ $= \text{cosec}^2 45^\circ = (\sqrt{2})^2 = 2$। (প্রমাণিত)।
১১. $0^\circ \le \theta \le 90^\circ$-এর কোন মানের জন্য $2\cos^2 \theta – 3\cos \theta + 1 = 0$ সত্য হবে?
সমাধান:
$$2\cos^2 \theta – 2\cos \theta – \cos \theta + 1 = 0$$
$$(2\cos \theta – 1)(\cos \theta – 1) = 0$$
হয় $\cos \theta = \frac{1}{2} \Rightarrow \theta = 60^\circ$
নতুবা $\cos \theta = 1 \Rightarrow \theta = 0^\circ$
উত্তর: $\theta = 0^\circ, 60^\circ$
শেয়ার