দশম শ্রেণী গনিত: ত্রিকোণমিতিক অনুপাত কষে দেখি 23.3
WBBSE Class 10 Maths Kose Dekhi 23.3 | ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলী (Part 1: Q1-Q3)
(Page 311 | Q-1 to Q-3)
সূত্রাবলী:
১. $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$
২. $\sec^2 \theta – \tan^2 \theta = 1$
৩. $\text{cosec}^2 \theta – \cot^2 \theta = 1$
১. (i) $\sin \theta = \frac{4}{5}$ হলে, $\frac{\text{cosec} \theta}{1 + \cot \theta}$-এর মান নির্ণয় করে লিখি।
ধাপ ১: $\sin \theta$ থেকে অন্য অনুপাতগুলি বের করা
দেওয়া আছে, $\sin \theta = \frac{4}{5}$।
আমরা জানি, $\text{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{1}{4/5} = \frac{5}{4}$।
আবার, $\cos \theta = \sqrt{1 – \sin^2 \theta} = \sqrt{1 – (\frac{4}{5})^2}$
$= \sqrt{1 – \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{25-16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$।
$\therefore \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$।
ধাপ ২: প্রদত্ত রাশিতে মান বসানো
প্রদত্ত রাশি $= \frac{\text{cosec} \theta}{1 + \cot \theta}$
$$= \frac{\frac{5}{4}}{1 + \frac{3}{4}}$$
$$= \frac{\frac{5}{4}}{\frac{4+3}{4}}$$ (নিচে ল.সা.গু করে)
$$= \frac{\frac{5}{4}}{\frac{7}{4}}$$
$$= \frac{5}{4} \times \frac{4}{7} = \frac{5}{7}$$
উত্তর: নির্ণেয় মান $\frac{5}{7}$।
১. (ii) যদি $\tan \theta = \frac{3}{4}$ হয়, তবে দেখাই যে $\sqrt{\frac{1-\sin \theta}{1+\sin \theta}} = \frac{1}{2}$।
ধাপ ১: $\tan \theta$ থেকে $\sin \theta$ নির্ণয়
$\tan \theta = \frac{3}{4} = \frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}}$।
ধরি, লম্ব $= 3k$ এবং ভূমি $= 4k$।
$\therefore \text{অতিভুজ} = \sqrt{(\text{লম্ব})^2 + (\text{ভূমি})^2} = \sqrt{(3k)^2 + (4k)^2} = \sqrt{9k^2 + 16k^2} = \sqrt{25k^2} = 5k$।
সুতরাং, $\sin \theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{3k}{5k} = \frac{3}{5}$।
ধাপ ২: বামপক্ষে মান বসানো
বামপক্ষ (L.H.S) $= \sqrt{\frac{1-\sin \theta}{1+\sin \theta}}$
$$= \sqrt{\frac{1 – \frac{3}{5}}{1 + \frac{3}{5}}}$$
$$= \sqrt{\frac{\frac{5-3}{5}}{\frac{5+3}{5}}}$$
$$= \sqrt{\frac{2/5}{8/5}} = \sqrt{\frac{2}{8}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$$
ডানপক্ষ (R.H.S) $= \frac{1}{2}$।
$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ। (প্রমাণিত)
১. (iii) $\tan \theta = 1$ হলে, $\frac{8\sin \theta + 5\cos \theta}{\sin^3 \theta – 2\cos^3 \theta + 7\cos \theta}$-এর মান নির্ণয় করি।
ধাপ ১: $\theta$-এর মান বের করা
$\tan \theta = 1$
আমরা জানি, $\tan 45^\circ = 1$
$\therefore \theta = 45^\circ$।
সুতরাং, $\sin \theta = \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$ এবং $\cos \theta = \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
ধাপ ২: রাশিতে মান বসানো
প্রদত্ত রাশি $= \frac{8(\frac{1}{\sqrt{2}}) + 5(\frac{1}{\sqrt{2}})}{(\frac{1}{\sqrt{2}})^3 – 2(\frac{1}{\sqrt{2}})^3 + 7(\frac{1}{\sqrt{2}})}$
লব $= \frac{8}{\sqrt{2}} + \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{13}{\sqrt{2}}$
হর $= \frac{1}{2\sqrt{2}} – \frac{2}{2\sqrt{2}} + \frac{7}{\sqrt{2}}$
হর $= \frac{1 – 2 + 14}{2\sqrt{2}}$ (ল.সা.গু $2\sqrt{2}$ নিয়ে)
হর $= \frac{13}{2\sqrt{2}}$
ধাপ ৩: চূড়ান্ত গণনা
রাশিটি $= \frac{\frac{13}{\sqrt{2}}}{\frac{13}{2\sqrt{2}}}$
$$= \frac{13}{\sqrt{2}} \times \frac{2\sqrt{2}}{13} = 2$$
উত্তর: নির্ণেয় মান 2।
২. (i) $\text{cosec } \theta$ এবং $\tan \theta$-কে $\sin \theta$-এর মাধ্যমে প্রকাশ করি।
সমাধান:
- আমরা জানি, $\text{cosec } \theta$ হলো $\sin \theta$-এর বিপরীত।$\therefore \text{cosec } \theta = \frac{1}{\sin \theta}$
- আমরা জানি, $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$।আবার, $\cos \theta = \sqrt{1 – \sin^2 \theta}$।
$\therefore \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\sqrt{1 – \sin^2 \theta}}$
২. (ii) $\text{cosec } \theta$ এবং $\tan \theta$-কে $\cos \theta$-এর মাধ্যমে লিখি।
সমাধান:
- $\text{cosec } \theta = \frac{1}{\sin \theta}$।যেহেতু $\sin \theta = \sqrt{1 – \cos^2 \theta}$
$\therefore \text{cosec } \theta = \frac{1}{\sqrt{1 – \cos^2 \theta}}$
- $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$।লবের $\sin \theta$-কে $\cos \theta$-তে পরিবর্তন করে পাই:
$\tan \theta = \frac{\sqrt{1 – \cos^2 \theta}}{\cos \theta}$
৩. (i) $\sec \theta + \tan \theta = 2$ হলে, $(\sec \theta – \tan \theta)$-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
আমরা জানি ত্রিকোণমিতিক অভেদ:
$\sec^2 \theta – \tan^2 \theta = 1$
বীজগণিতের সূত্র $a^2 – b^2 = (a+b)(a-b)$ প্রয়োগ করে পাই:
$(\sec \theta + \tan \theta)(\sec \theta – \tan \theta) = 1$
মান বসিয়ে পাই:
$2 \times (\sec \theta – \tan \theta) = 1$
বা, $\sec \theta – \tan \theta = \frac{1}{2}$
উত্তর: $\frac{1}{2}$
৩. (ii) $\text{cosec } \theta – \cot \theta = \sqrt{2} – 1$ হলে, $(\text{cosec } \theta + \cot \theta)$-এর মান লিখি।
সমাধান:
আমরা জানি:
$\text{cosec}^2 \theta – \cot^2 \theta = 1$
বা, $(\text{cosec } \theta + \cot \theta)(\text{cosec } \theta – \cot \theta) = 1$
বা, $(\text{cosec } \theta + \cot \theta)(\sqrt{2} – 1) = 1$
বা, $\text{cosec } \theta + \cot \theta = \frac{1}{\sqrt{2} – 1}$
হর থেকে করণী নিরসন করে পাই:
$= \frac{1(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} – 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 – 1} = \sqrt{2} + 1$
উত্তর: $\sqrt{2} + 1$
৩. (iii) $\sin \theta + \cos \theta = 1$ হলে, $\sin \theta \times \cos \theta$-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
প্রদত্ত: $\sin \theta + \cos \theta = 1$
উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই:
$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (1)^2$
বা, $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta = 1$ [সূত্র: $(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab$]
আমরা জানি, $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$।
$\therefore 1 + 2\sin \theta \cos \theta = 1$
বা, $2\sin \theta \cos \theta = 1 – 1$
বা, $2\sin \theta \cos \theta = 0$
বা, $\sin \theta \cos \theta = 0$
উত্তর: 0
৩. (iv) $\tan \theta + \cot \theta = 2$ হলে, $(\tan \theta – \cot \theta)$-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
আমরা জানি, $(a – b)^2 = (a + b)^2 – 4ab$
$\therefore (\tan \theta – \cot \theta)^2 = (\tan \theta + \cot \theta)^2 – 4\tan \theta \cot \theta$
মান বসিয়ে পাই:
$= (2)^2 – 4(1)$ [কারণ $\tan \theta \cdot \cot \theta = 1$]
$= 4 – 4 = 0$
$\therefore \tan \theta – \cot \theta = \sqrt{0} = 0$
উত্তর: 0
৩. (v) $\sin \theta – \cos \theta = \frac{7}{13}$ হলে, $\sin \theta + \cos \theta$-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
আমরা জানি বীজগণিতের সূত্র: $(a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2+b^2)$
এখানে $a = \sin \theta, b = \cos \theta$ ধরলে:
$(\sin \theta + \cos \theta)^2 + (\sin \theta – \cos \theta)^2 = 2(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)$
মান বসিয়ে পাই:
$(\sin \theta + \cos \theta)^2 + (\frac{7}{13})^2 = 2(1)$ [কারণ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$]
বা, $(\sin \theta + \cos \theta)^2 + \frac{49}{169} = 2$
বা, $(\sin \theta + \cos \theta)^2 = 2 – \frac{49}{169}$
বা, $(\sin \theta + \cos \theta)^2 = \frac{338 – 49}{169} = \frac{289}{169}$
বা, $\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{\frac{289}{169}} = \frac{17}{13}$
উত্তর: $\frac{17}{13}$
৩. (vi) $\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2}$ হলে, $(\sin \theta + \cos \theta)$-এর মান লিখি।
সমাধান:
$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta$
$= 1 + 2(\frac{1}{2})$ [মান বসিয়ে]
$= 1 + 1 = 2$
$\therefore \sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2}$
উত্তর: $\sqrt{2}$
৩. (vii) $\sec \theta – \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ হলে, $\sec \theta$ এবং $\tan \theta$ উভয়ের মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
আমরা জানি, $\sec^2 \theta – \tan^2 \theta = 1$
বা, $(\sec \theta + \tan \theta)(\sec \theta – \tan \theta) = 1$
বা, $(\sec \theta + \tan \theta) \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 1$
$\therefore \sec \theta + \tan \theta = \sqrt{3}$ … (i)
এবং প্রদত্ত আছে, $\sec \theta – \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ … (ii)
(i) ও (ii) যোগ করে পাই:
$2\sec \theta = \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3+1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$
$\therefore \sec \theta = \frac{2}{\sqrt{3}}$
(i) থেকে (ii) বিয়োগ করে পাই:
$2\tan \theta = \sqrt{3} – \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3-1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$
$\therefore \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$
উত্তর: $\sec \theta = \frac{2}{\sqrt{3}}$ এবং $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
৩. (viii) $\text{cosec } \theta + \cot \theta = \sqrt{3}$ হলে, $\text{cosec } \theta$ এবং $\cot \theta$ উভয়ের মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
আমরা জানি, $\text{cosec}^2 \theta – \cot^2 \theta = 1$
বা, $(\text{cosec } \theta + \cot \theta)(\text{cosec } \theta – \cot \theta) = 1$
বা, $\sqrt{3} (\text{cosec } \theta – \cot \theta) = 1$
$\therefore \text{cosec } \theta – \cot \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ … (ii)
এবং প্রদত্ত, $\text{cosec } \theta + \cot \theta = \sqrt{3}$ … (i)
(i) ও (ii) যোগ করে পাই:
$2\text{cosec } \theta = \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$
$\therefore \text{cosec } \theta = \frac{2}{\sqrt{3}}$
(i) থেকে (ii) বিয়োগ করে পাই:
$2\cot \theta = \sqrt{3} – \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$
$\therefore \cot \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$
উত্তর: $\text{cosec } \theta = \frac{2}{\sqrt{3}}$ এবং $\cot \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
৩. (ix) $\frac{\sin \theta + \cos \theta}{\sin \theta – \cos \theta} = 7$ হলে, $\tan \theta$-এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
যোগভাগ প্রক্রিয়া (Componendo and Dividendo) প্রয়োগ করে পাই:
$$\frac{(\sin \theta + \cos \theta) + (\sin \theta – \cos \theta)}{(\sin \theta + \cos \theta) – (\sin \theta – \cos \theta)} = \frac{7 + 1}{7 – 1}$$
বা, $\frac{2\sin \theta}{2\cos \theta} = \frac{8}{6}$
বা, $\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{4}{3}$
বা, $\tan \theta = \frac{4}{3}$
উত্তর: $\frac{4}{3}$
৩. (x) $\frac{\text{cosec } \theta + \sin \theta}{\text{cosec } \theta – \sin \theta} = \frac{5}{3}$ হলে, $\sin \theta$-এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
যোগভাগ প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে পাই:
$$\frac{(\text{cosec } \theta + \sin \theta) + (\text{cosec } \theta – \sin \theta)}{(\text{cosec } \theta + \sin \theta) – (\text{cosec } \theta – \sin \theta)} = \frac{5 + 3}{5 – 3}$$
বা, $\frac{2\text{cosec } \theta}{2\sin \theta} = \frac{8}{2}$
বা, $\frac{\text{cosec } \theta}{\sin \theta} = 4$
বা, $\frac{1/\sin \theta}{\sin \theta} = 4$ [যেহেতু $\text{cosec } \theta = 1/\sin \theta$]
বা, $\frac{1}{\sin^2 \theta} = 4$
বা, $\sin^2 \theta = \frac{1}{4}$
বা, $\sin \theta = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$
উত্তর: $\frac{1}{2}$
৩. (xi) $\sec \theta + \cos \theta = \frac{5}{2}$ হলে, $(\sec \theta – \cos \theta)$-এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
আমরা জানি, $(a-b)^2 = (a+b)^2 – 4ab$।
$\therefore (\sec \theta – \cos \theta)^2 = (\sec \theta + \cos \theta)^2 – 4\sec \theta \cos \theta$
$= (\frac{5}{2})^2 – 4(1)$ [কারণ $\sec \theta \cdot \cos \theta = 1$]
$= \frac{25}{4} – 4 = \frac{25 – 16}{4} = \frac{9}{4}$
$\therefore \sec \theta – \cos \theta = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$
উত্তর: $\frac{3}{2}$
৩. (xii) $5\sin^2 \theta + 4\cos^2 \theta = \frac{9}{2}$ সম্পর্ক থেকে $\tan \theta$-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
$5\sin^2 \theta + 4\cos^2 \theta = 4.5$
বা, $4\sin^2 \theta + \sin^2 \theta + 4\cos^2 \theta = 4.5$ [ $5\sin^2 \theta$-কে ভেঙে ]
বা, $\sin^2 \theta + 4(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 4.5$
বা, $\sin^2 \theta + 4(1) = 4.5$
বা, $\sin^2 \theta = 4.5 – 4 = 0.5 = \frac{1}{2}$
আবার, $\cos^2 \theta = 1 – \sin^2 \theta = 1 – \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$\therefore \tan^2 \theta = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{1/2}{1/2} = 1$
বা, $\tan \theta = \sqrt{1} = 1$
উত্তর: 1
৩. (xiii) $\tan^2 \theta + \cot^2 \theta = \frac{10}{3}$ হলে, $\tan \theta + \cot \theta$ এবং $\tan \theta – \cot \theta$-এর মান নির্ণয় করি এবং সেখান থেকে $\tan \theta$-এর মান হিসাব করি।
সমাধান:
মান ১: $(\tan \theta + \cot \theta)^2 = \tan^2 \theta + \cot^2 \theta + 2\tan \theta \cot \theta$
$= \frac{10}{3} + 2(1) = \frac{16}{3}$
$\therefore \tan \theta + \cot \theta = \sqrt{\frac{16}{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$ … (i)
মান ২: $(\tan \theta – \cot \theta)^2 = \tan^2 \theta + \cot^2 \theta – 2\tan \theta \cot \theta$
$= \frac{10}{3} – 2 = \frac{4}{3}$
$\therefore \tan \theta – \cot \theta = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ … (ii)
$\tan \theta$ নির্ণয়:
(i) ও (ii) যোগ করে পাই:
$2\tan \theta = \frac{4}{\sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}}$
বা, $\tan \theta = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$
উত্তর: $\frac{4}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}}$ এবং $\sqrt{3}$।
৩. (xiv) $\sec^2 \theta + \tan^2 \theta = \frac{13}{12}$ হলে, $(\sec^4 \theta – \tan^4 \theta)$-এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
রাশিটি হলো $a^4 – b^4$ আকারের।
$\sec^4 \theta – \tan^4 \theta = (\sec^2 \theta)^2 – (\tan^2 \theta)^2$
$= (\sec^2 \theta + \tan^2 \theta)(\sec^2 \theta – \tan^2 \theta)$
মান বসিয়ে পাই:
$= \frac{13}{12} \times 1$ [যেহেতু $\sec^2 \theta – \tan^2 \theta = 1$]
$= \frac{13}{12}$
উত্তর: $\frac{13}{12}$
৪. (i) PQR ত্রিভুজে $\angle Q$ সমকোণ। $PR = \sqrt{5}$ এবং $PQ – RQ = 1$ হলে, $\cos P – \cos R$-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
এখানে অতিভুজ $PR = \sqrt{5}$।
$\cos P = \frac{\text{ভূমি}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{PQ}{PR}$
$\cos R = \frac{\text{ভূমি}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{RQ}{PR}$ (R কোণের সাপেক্ষে RQ ভূমি)
$\therefore \cos P – \cos R = \frac{PQ}{PR} – \frac{RQ}{PR} = \frac{PQ – RQ}{PR}$
মান বসিয়ে পাই: $\frac{1}{\sqrt{5}}$
উত্তর: $\frac{1}{\sqrt{5}}$
৪. (ii) XYZ ত্রিভুজে $\angle Y$ সমকোণ। $XY = 2\sqrt{3}$ এবং $XZ – YZ = 2$ হলে, $(\sec X – \tan X)$-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
পিথাগোরাস উপপাদ্য: $XZ^2 – YZ^2 = XY^2$
বা, $(XZ – YZ)(XZ + YZ) = (2\sqrt{3})^2 = 12$
বা, $2(XZ + YZ) = 12 \Rightarrow XZ + YZ = 6$
এখন, $XZ + YZ = 6$ এবং $XZ – YZ = 2$।
যোগ করে পাই: $2XZ = 8 \Rightarrow XZ = 4$।
বিয়োগ করে পাই: $2YZ = 4 \Rightarrow YZ = 2$।
এখন, $\sec X = \frac{XZ}{XY} = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$
$\tan X = \frac{YZ}{XY} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$\therefore \sec X – \tan X = \frac{2}{\sqrt{3}} – \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
উত্তর: $\frac{1}{\sqrt{3}}$
৫. সম্পর্কগুলি থেকে ‘$\theta$’ অপনয়ন করি:
(i) $x = 2\sin \theta, y = 3\cos \theta$
সমাধান:
$\sin \theta = \frac{x}{2}$ এবং $\cos \theta = \frac{y}{3}$
আমরা জানি, $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$
$\therefore (\frac{x}{2})^2 + (\frac{y}{3})^2 = 1$
বা, $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$
(ii) $5x = 3\sec \theta, y = 3\tan \theta$
সমাধান:
$\sec \theta = \frac{5x}{3}$ এবং $\tan \theta = \frac{y}{3}$
আমরা জানি, $\sec^2 \theta – \tan^2 \theta = 1$
$\therefore (\frac{5x}{3})^2 – (\frac{y}{3})^2 = 1$
বা, $\frac{25x^2}{9} – \frac{y^2}{9} = 1 \Rightarrow 25x^2 – y^2 = 9$
৬. প্রমাণ করি:
(i) $\sin \alpha = \frac{5}{13}$ হলে, $\tan \alpha + \sec \alpha = 1.5$
সমাধান:
$\cos \alpha = \sqrt{1 – (\frac{5}{13})^2} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$
$\tan \alpha = \frac{5/13}{12/13} = \frac{5}{12}$
$\sec \alpha = \frac{13}{12}$
বামপক্ষ = $\frac{5}{12} + \frac{13}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} = 1.5$ (প্রমাণিত)।
(v) $\frac{\sin \theta}{x} = \frac{\cos \theta}{y}$ হলে, $\sin \theta – \cos \theta = \frac{x-y}{\sqrt{x^2+y^2}}$
সমাধান:
ধরি, $\frac{\sin \theta}{x} = \frac{\cos \theta}{y} = k$
$\therefore \sin \theta = kx, \cos \theta = ky$
আমরা জানি, $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \Rightarrow k^2x^2 + k^2y^2 = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$
বামপক্ষ = $kx – ky = k(x-y) = \frac{x-y}{\sqrt{x^2+y^2}}$ (প্রমাণিত)।
(vi) $(1+4x^2)\cos A = 4x$ হলে, $\text{cosec } A + \cot A = \frac{1+2x}{1-2x}$
সমাধান:
$\cos A = \frac{4x}{1+4x^2}$। ভূমি = $4x$, অতিভুজ = $1+4x^2$
লম্ব = $\sqrt{(1+4x^2)^2 – (4x)^2} = \sqrt{1 + 8x^2 + 16x^4 – 16x^2} = \sqrt{(1-4x^2)^2} = 1-4x^2$
বামপক্ষ = $\frac{1+4x^2}{1-4x^2} + \frac{4x}{1-4x^2} = \frac{1+4x^2+4x}{1-4x^2} = \frac{(1+2x)^2}{(1+2x)(1-2x)} = \frac{1+2x}{1-2x}$ (প্রমাণিত)।
৭. যদি $x = a\sin \theta$ এবং $y = b\tan \theta$ হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে $\frac{a^2}{x^2} – \frac{b^2}{y^2} = 1$
সমাধান:
$\sin \theta = \frac{x}{a} \Rightarrow \text{cosec } \theta = \frac{a}{x}$
$\tan \theta = \frac{y}{b} \Rightarrow \cot \theta = \frac{b}{y}$
আমরা জানি, $\text{cosec}^2 \theta – \cot^2 \theta = 1$
$\therefore (\frac{a}{x})^2 – (\frac{b}{y})^2 = 1 \Rightarrow \frac{a^2}{x^2} – \frac{b^2}{y^2} = 1$ (প্রমাণিত)।
৮. যদি $\sin \theta + \sin^2 \theta = 1$ হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে $\cos^2 \theta + \cos^4 \theta = 1$
সমাধান:
প্রদত্ত, $\sin \theta = 1 – \sin^2 \theta = \cos^2 \theta$
বামপক্ষ = $\cos^2 \theta + (\cos^2 \theta)^2$
$= \cos^2 \theta + (\sin \theta)^2$ [যেহেতু $\cos^2 \theta = \sin \theta$]
$= \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ (প্রমাণিত)।
৯. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):
(i) যদি $3x = \text{cosec}\alpha$ এবং $\frac{3}{x} = \cot\alpha$ হয়, তাহলে $3(x^2 – \frac{1}{x^2})$-এর মান
- (a) $\frac{1}{27}$
- (b) $\frac{1}{81}$
- (c) $\frac{1}{3}$
- (d) $\frac{1}{9}$
সমাধান:
দেওয়া আছে, $3x = \text{cosec}\alpha \Rightarrow x = \frac{\text{cosec}\alpha}{3}$
এবং $\frac{3}{x} = \cot\alpha \Rightarrow \frac{1}{x} = \frac{\cot\alpha}{3}$
এখন, $3(x^2 – \frac{1}{x^2}) = 3\left[ \left(\frac{\text{cosec}\alpha}{3}\right)^2 – \left(\frac{\cot\alpha}{3}\right)^2 \right]$
$$= 3\left[ \frac{\text{cosec}^2\alpha}{9} – \frac{\cot^2\alpha}{9} \right]$$
$$= \frac{3}{9} (\text{cosec}^2\alpha – \cot^2\alpha)$$
$$= \frac{1}{3} \times 1 = \frac{1}{3}$$
সঠিক উত্তর: (c) $\frac{1}{3}$
(ii) যদি $2x = \sec A$ এবং $\frac{2}{x} = \tan A$ হয়, তাহলে $2(x^2 – \frac{1}{x^2})$-এর মান
- (a) $\frac{1}{2}$
- (b) $\frac{1}{4}$
- (c) $\frac{1}{8}$
- (d) $\frac{1}{16}$
সমাধান:
$x = \frac{\sec A}{2}$ এবং $\frac{1}{x} = \frac{\tan A}{2}$
$\therefore 2(x^2 – \frac{1}{x^2}) = 2\left[ \frac{\sec^2 A}{4} – \frac{\tan^2 A}{4} \right]$
$$= \frac{2}{4} (\sec^2 A – \tan^2 A) = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$$
সঠিক উত্তর: (a) $\frac{1}{2}$
(iii) $\tan\alpha + \cot\alpha = 2$ হলে, $(\tan^{13}\alpha + \cot^{13}\alpha)$-এর মান
- (a) 1
- (b) 0
- (c) 2
- (d) কোনটিই নয়
সমাধান:
$\tan\alpha + \frac{1}{\tan\alpha} = 2$
বা, $\tan^2\alpha – 2\tan\alpha + 1 = 0$
বা, $(\tan\alpha – 1)^2 = 0 \Rightarrow \tan\alpha = 1$
$\therefore \cot\alpha = 1$
মান $= (1)^{13} + (1)^{13} = 1 + 1 = 2$
সঠিক উত্তর: (c) 2
(iv) যদি $\sin\theta – \cos\theta = 0$ $(0^\circ \le \theta \le 90^\circ)$ এবং $\sec\theta + \text{cosec}\theta = x$ হয়, তাহলে x-এর মান
- (a) 1
- (b) 2
- (c) $\sqrt{2}$
- (d) $2\sqrt{2}$
সমাধান:
$\sin\theta = \cos\theta \Rightarrow \tan\theta = 1 \Rightarrow \theta = 45^\circ$
$x = \sec 45^\circ + \text{cosec} 45^\circ = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
সঠিক উত্তর: (d) $2\sqrt{2}$
(v) $2\cos 3\theta = 1$ হলে, $\theta$-এর মান
- (a) $10^\circ$
- (b) $15^\circ$
- (c) $20^\circ$
- (d) $30^\circ$
সমাধান:
$\cos 3\theta = \frac{1}{2} = \cos 60^\circ$
$\Rightarrow 3\theta = 60^\circ \Rightarrow \theta = 20^\circ$
সঠিক উত্তর: (c) $20^\circ$
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:
(i) যদি $0^\circ \le \alpha < 90^\circ$ হয়, তাহলে $(\sec^2\alpha + \cos^2\alpha)$-এর সর্বনিম্ন মান 2।
উত্তর: সত্য।
ব্যাখ্যা: আমরা জানি, $a^2 + b^2 = (a-b)^2 + 2ab$।
$\sec^2\alpha + \cos^2\alpha = (\sec\alpha – \cos\alpha)^2 + 2\sec\alpha\cos\alpha = (\sec\alpha – \cos\alpha)^2 + 2$।
বর্গরাশির মান ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই সর্বনিম্ন মান 2 (যখন $\sec\alpha = \cos\alpha$, অর্থাৎ $\alpha = 0^\circ$)।
(ii) $(\cos0^\circ \times \cos1^\circ \times \cos2^\circ \times \dots \times \cos90^\circ)$-এর মান 1।
উত্তর: মিথ্যা।
ব্যাখ্যা: রাশিটিতে $\cos 90^\circ$ আছে, যার মান 0। তাই পুরো গুণফলটি 0 হবে।
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:
(i) $(\frac{4}{\sec^2\theta} + \frac{1}{1+\cot^2\theta} + 3\sin^2\theta)$-এর মান ________।
সমাধান:
$= 4\cos^2\theta + \frac{1}{\text{cosec}^2\theta} + 3\sin^2\theta$
$= 4\cos^2\theta + \sin^2\theta + 3\sin^2\theta$
$= 4\cos^2\theta + 4\sin^2\theta = 4(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = 4 \times 1 = 4$
উত্তর: 4
(ii) $\sin(\theta – 30^\circ) = \frac{1}{2}$ হলে, $\cos\theta$-এর মান ________।
সমাধান:
$\sin(\theta – 30^\circ) = \sin 30^\circ \Rightarrow \theta – 30^\circ = 30^\circ \Rightarrow \theta = 60^\circ$
$\therefore \cos\theta = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$
উত্তর: $\frac{1}{2}$
(iii) $\cos^2\theta – \sin^2\theta = \frac{1}{2}$ হলে, $\cos^4\theta – \sin^4\theta$-এর মান ________।
সমাধান:
$\cos^4\theta – \sin^4\theta = (\cos^2\theta)^2 – (\sin^2\theta)^2$
$= (\cos^2\theta + \sin^2\theta)(\cos^2\theta – \sin^2\theta)$
$= 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
উত্তর: $\frac{1}{2}$
১০. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) যদি $r\cos\theta = 2\sqrt{3}$, $r\sin\theta = 2$ এবং $0^\circ < \theta < 90^\circ$ হয়, তাহলে r এবং $\theta$-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ দুটি ভাগ করে পাই:
$\frac{r\sin\theta}{r\cos\theta} = \frac{2}{2\sqrt{3}} \Rightarrow \tan\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$\therefore \theta = 30^\circ$
এখন $\theta$-এর মান বসিয়ে পাই:
$r\sin 30^\circ = 2 \Rightarrow r \times \frac{1}{2} = 2 \Rightarrow r = 4$
উত্তর: $r = 4$ এবং $\theta = 30^\circ$।
(ii) যদি $\sin A + \sin B = 2$ হয়, যেখানে $0^\circ \le A \le 90^\circ$ এবং $0^\circ \le B \le 90^\circ$, তাহলে $(\cos A + \cos B)$-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
$\sin A$ এবং $\sin B$-এর সর্বোচ্চ মান 1।
যেহেতু দুটির সমষ্টি 2, তাই অবশ্যই $\sin A = 1$ এবং $\sin B = 1$ হতে হবে।
$\therefore A = 90^\circ$ এবং $B = 90^\circ$
এখন, $\cos A + \cos B = \cos 90^\circ + \cos 90^\circ = 0 + 0 = 0$
উত্তর: 0
(iii) যদি $0^\circ < \theta < 90^\circ$ হয়, তাহলে $(9\tan^2\theta + 4\cot^2\theta)$-এর সর্বনিম্ন মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
$9\tan^2\theta + 4\cot^2\theta = (3\tan\theta)^2 + (2\cot\theta)^2$
$= (3\tan\theta – 2\cot\theta)^2 + 2 \cdot 3\tan\theta \cdot 2\cot\theta$
$= (3\tan\theta – 2\cot\theta)^2 + 12$ [যেহেতু $\tan\theta \cdot \cot\theta = 1$]
কোনো পূর্ণবর্গ রাশির সর্বনিম্ন মান 0।
$\therefore$ নির্ণেয় সর্বনিম্ন মান $= 0 + 12 = 12$।
উত্তর: 12
(iv) $(\sin^6\alpha + \cos^6\alpha + 3\sin^2\alpha \cos^2\alpha)$-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
মনে করি $\sin^2\alpha = a$ এবং $\cos^2\alpha = b$। তাহলে $a+b=1$।
প্রদত্ত রাশি: $a^3 + b^3 + 3ab$
$= (a+b)^3 – 3ab(a+b) + 3ab$
$= (1)^3 – 3ab(1) + 3ab$
$= 1 – 3ab + 3ab = 1$
উত্তর: 1
(v) যদি $\text{cosec}^2\theta = 2\cot\theta$ এবং $0^\circ < \theta < 90^\circ$ হয়, তাহলে $\theta$-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
আমরা জানি, $\text{cosec}^2\theta = 1 + \cot^2\theta$
$\therefore 1 + \cot^2\theta = 2\cot\theta$
বা, $\cot^2\theta – 2\cot\theta + 1 = 0$
বা, $(\cot\theta – 1)^2 = 0$
বা, $\cot\theta = 1 = \cot 45^\circ$
$\therefore \theta = 45^\circ$
উত্তর: $45^\circ$
WBBSE Class 10 Maths Kose Dekhi 23 | ত্রিকোণমিতি FAQ
১. ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলী (Trigonometric Identities) মনে রাখার সহজ উপায় কী?
মূলত ৩টি প্রধান অভেদ মনে রাখলেই বাকিগুলো বের করা যায়:
১. $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
২. $\sec^2\theta – \tan^2\theta = 1$
৩. $\text{cosec}^2\theta – \cot^2\theta = 1$
এখান থেকে পক্ষান্তর করে অন্য মানগুলো (যেমন $\sin^2\theta = 1 – \cos^2\theta$) সহজেই বের করা যায়।
২. $\sin\theta$ বা $\cos\theta$-এর মান কি ১-এর বেশি হতে পারে?
না। সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজ সবসময় লম্ব বা ভূমির চেয়ে বড় হয়। যেহেতু $\sin\theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}}$ এবং $\cos\theta = \frac{\text{ভূমি}}{\text{অতিভুজ}}$, তাই এদের মান সর্বদা ১ বা ১-এর কম হয়। কিন্তু $\tan\theta$ বা $\cot\theta$-এর মান যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে।
৩. কখন ‘যোগ-ভাগ’ (Componendo and Dividendo) প্রক্রিয়া ব্যবহার করব?
যখন প্রশ্নে $\frac{a+b}{a-b} = \frac{c}{d}$ আকারের সমীকরণ থাকে, তখন যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া ব্যবহার করলে অঙ্কটি খুব দ্রুত সমাধান করা যায়। যেমন: $\frac{\sin\theta + \cos\theta}{\sin\theta – \cos\theta} = 7$ থাকলে যোগ-ভাগ করলে সরাসরি $\tan\theta$ বা $\cot\theta$-এর মান পাওয়া যায়।
৪. $\sec\theta + \tan\theta$ দেওয়া থাকলে $\sec\theta – \tan\theta$ কীভাবে বের করব?
আমরা জানি $\sec^2\theta – \tan^2\theta = 1$। একে উৎপাদকে ভাঙলে পাই $(\sec\theta + \tan\theta)(\sec\theta – \tan\theta) = 1$। অর্থাৎ, এদের একটির মান দেওয়া থাকলে অপরটি হবে তার ‘অনোন্যক’ (Reciprocal)। যেমন $\sec\theta + \tan\theta = x$ হলে, $\sec\theta – \tan\theta = \frac{1}{x}$ হবে।
৫. মান নির্ণয়ের অঙ্কে $0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ$ টেবিলটি মনে রাখার কৌশল কী?
শুধুমাত্র $\sin$-এর মানগুলি ($0, \frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1$) মনে রাখলে বাকি সব বের করা যায়।
– $\cos$ হলো $\sin$-এর উল্টো ক্রম।
– $\tan = \frac{\sin}{\cos}$।
– বাকিরা এদের উল্টো (Reciprocal)।
৬. অপনয়ন (Elimination) করার অঙ্কে কী কৌশল অবলম্বন করব?
অপনয়নের অঙ্কে সাধারণত $\theta$ বর্জিত সম্পর্ক তৈরি করতে হয়। এর জন্য প্রদত্ত সমীকরণ থেকে $\sin, \cos, \tan$ ইত্যাদির মান বের করে তাদের বর্গের যোগফল বা বিয়োগফল (অভেদ অনুযায়ী) ব্যবহার করতে হয়। যেমন $x = a\cos\theta, y = b\sin\theta$ থাকলে, $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ করা হয়।
শেয়ার