নবম শ্রেণী গনিত: কষে দেখি 1.2 WBBSE
. 📘 নবম শ্রেণি – গণিত:
কষে দেখি : 1.2 – বাস্তব সংখ্যা
পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ নবম শ্রেণী (WBBSE)
প্রশ্ন ১: নীচের বক্তব্যের কোনটি সত্য ও কোনটি মিথ্যা লিখি:
(i) দুটি মূলদ সংখ্যার সমষ্টি সর্বদা মূলদ সংখ্যা হবে।
সমাধান: **(T)** (সত্য)
যুক্তি: মূলদ সংখ্যাগুলি যোগের ক্ষেত্রে আবদ্ধ। যেমন: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$ (মূলদ সংখ্যা)।
(ii) দুটি অমূলদ সংখ্যার সমষ্টি সর্বদা অমূলদ সংখ্যা হবে।
সমাধান: **(F)** (মিথ্যা)
যুক্তি: যেমন: $\sqrt{2}$ একটি অমূলদ সংখ্যা। $(- \sqrt{2})$-ও একটি অমূলদ সংখ্যা। কিন্তু এদের যোগফল: $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$, যা একটি **মূলদ সংখ্যা**।
(iii) দুটি মূলদ সংখ্যার গুণফল সর্বদা মূলদ সংখ্যা হবে।
সমাধান: **(T)** (সত্য)
যুক্তি: মূলদ সংখ্যাগুলি গুণের ক্ষেত্রে আবদ্ধ। যেমন: $\frac{2}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$ (মূলদ সংখ্যা)।
(iv) দুটি অমূলদ সংখ্যার গুণফল সর্বদা মূলদ সংখ্যা হবে।
সমাধান: **(F)** (মিথ্যা)
যুক্তি: যেমন: $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ (অমূলদ সংখ্যা)। তবে $\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$ (মূলদ সংখ্যা)। যেহেতু সর্বদা মূলদ সংখ্যা হয় না, তাই বিবৃতিটি মিথ্যা।
(v) প্রতিটি মূলদ সংখ্যাই বাস্তব সংখ্যা।
সমাধান: **(T)** (সত্য)
যুক্তি: বাস্তব সংখ্যা হলো মূলদ সংখ্যা এবং অমূলদ সংখ্যার সেট। তাই সকল মূলদ সংখ্যাই বাস্তব সংখ্যা।
(vi) প্রতিটি বাস্তব সংখ্যাই অমূলদ সংখ্যা।
সমাধান: **(F)** (মিথ্যা)
যুক্তি: $\mathbf{5}$ একটি বাস্তব সংখ্যা, কিন্তু এটি অমূলদ সংখ্যা নয়, এটি মূলদ সংখ্যা।
✅ সঠিক উত্তর: (i) (T), (ii) (F), (iii) (T), (iv) (F), (v) (T), (vi) (F)
প্রশ্ন ২: অমূলদ সংখ্যা বলতে কী বুঝি? ৪টি অমূলদ সংখ্যা লিখি।
সমাধান:
অমূলদ সংখ্যা (Irrational Number):
যে সকল সংখ্যাকে $\mathbf{\frac{p}{q}}$ আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে $\mathbf{p}$ ও $\mathbf{q}$ পূর্ণ সংখ্যা এবং $\mathbf{q \neq 0}$, তাদের অমূলদ সংখ্যা বলা হয়।
অন্যভাবে বলা যায়: যে সকল সংখ্যার দশমিক বিস্তার **অসীম (Non-terminating)** এবং **অনাবৃত (Non-recurring)**, সেই সকল সংখ্যাই হলো অমূলদ সংখ্যা।
উদাহরণ: $4$টি অমূলদ সংখ্যা হলো:
- $\mathbf{\sqrt{3}}$
- $\mathbf{\pi}$ (পাই)
- $\mathbf{e}$ (ই)
- $\mathbf{0.101101110…}$
✅ অমূলদ সংখ্যার সংজ্ঞা ও ৪টি উদাহরণ দেওয়া হলো।
প্রশ্ন ৩: নীচের সংখ্যাগুলির মধ্যে কোনটি মূলদ এবং কোনটি অমূলদ সংখ্যা লিখি:
সমাধান:
ধাপ ১: বর্গমূল বা ঘনমূল নির্ণয় করে সরলতম আকারে প্রকাশ করা।
(i) $\sqrt{9}$
$$\sqrt{9} = 3 = \frac{3}{1}$$
যেহেতু $\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা গেল, তাই এটি **মূলদ সংখ্যা**।
(ii) $\sqrt{225}$
$$\sqrt{225} = 15 = \frac{15}{1}$$
এটি **মূলদ সংখ্যা**।
(iii) $\sqrt{7}$
$\sqrt{7}$-এর মান একটি অসীম ও অনাবৃত দশমিক সংখ্যা। এটিকে $\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায় না। তাই এটি **অমূলদ সংখ্যা**।
(iv) $\sqrt{50}$
$$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$$
যেহেতু এখানে অমূলদ সংখ্যা $\sqrt{2}$ উপস্থিত, তাই এটি **অমূলদ সংখ্যা**।
(v) $\sqrt{100}$
$$\sqrt{100} = 10 = \frac{10}{1}$$
এটি **মূলদ সংখ্যা**।
(vi) $-\sqrt{81}$
$$-\sqrt{81} = -9 = \frac{-9}{1}$$
এটি **মূলদ সংখ্যা**।
(vii) $\sqrt{42}$
$\sqrt{42}$-এর মান একটি অসীম ও অনাবৃত দশমিক সংখ্যা। তাই এটি **অমূলদ সংখ্যা**।
(viii) $\sqrt{29}$
$\sqrt{29}$-এর মান একটি অসীম ও অনাবৃত দশমিক সংখ্যা। তাই এটি **অমূলদ সংখ্যা**।
(ix) $-\sqrt{1000}$
$$-\sqrt{1000} = -\sqrt{100 \times 10} = -10\sqrt{10}$$
যেহেতু এখানে অমূলদ সংখ্যা $\sqrt{10}$ উপস্থিত, তাই এটি **অমূলদ সংখ্যা**।
✅ মূলদ সংখ্যা: $\sqrt{9}, \sqrt{225}, \sqrt{100}, -\sqrt{81}$।
✅ অমূলদ সংখ্যা: $\sqrt{7}, \sqrt{50}, \sqrt{42}, \sqrt{29}, -\sqrt{1000}$।
প্রশ্ন ৪: সংখ্যারেখায় $\sqrt{5}$ স্থাপন করি।
প্রশ্ন ৫: সংখ্যারেখায় $\sqrt{3}$ স্থাপন করি।
সমাধান:
অমূলদ সংখ্যাগুলিকে সংখ্যারেখায় স্থাপন করার জন্য পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করা হয়।
৪. $\sqrt{5}$ স্থাপন:
ধাপ ১: পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ
আমরা $\sqrt{5}$-কে এমন দুটি পূর্ণবর্গ সংখ্যার যোগফল আকারে প্রকাশ করি যাতে $a^2 + b^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$ হয়।
$$\mathbf{5 = 2^2 + 1^2}$$
অর্থাৎ, একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি (Base) $2$ একক এবং উচ্চতা (Perpendicular) $1$ একক হলে, অতিভুজ (Hypotenuse) হবে $\sqrt{5}$ একক।
ধাপ ২: অঙ্কন পদ্ধতি
- একটি সংখ্যারেখায় $O$ বিন্দুতে $0$ এবং $A$ বিন্দুতে $2$ চিহ্নিত করি। সুতরাং $OA = 2$ একক।
- $A$ বিন্দুতে $OA$-এর উপর $AB$ লম্ব অঙ্কন করি, যেখানে $AB = 1$ একক।
- $O$ ও $B$ যোগ করি। এখন $OAB$ সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ $OB = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$ একক।
- $O$ কে কেন্দ্র করে এবং $OB$-এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ অঙ্কন করি যা সংখ্যারেখাকে $P$ বিন্দুতে ছেদ করে।
সুতরাং, $P$ বিন্দুটিই হলো $\mathbf{\sqrt{5}}$ এর অবস্থান।
—
৫. $\sqrt{3}$ স্থাপন:
$\sqrt{3}$ সরাসরি স্থাপন করা কঠিন। এটি স্থাপনের জন্য প্রথমে $\sqrt{2}$ স্থাপন করতে হয়।
ধাপ ১: $\sqrt{2}$ স্থাপন
$$2 = 1^2 + 1^2$$
$O$ বিন্দুতে $0$ এবং $C$ বিন্দুতে $1$ চিহ্নিত করি। $C$ বিন্দুতে $1$ একক উচ্চতার লম্ব $CD$ অঙ্কন করি। $OD$ যোগ করলে $OD = \sqrt{2}$ একক। $O$ থেকে $OD$ ব্যাসার্ধ নিয়ে সংখ্যারেখায় $\sqrt{2}$ বিন্দুটি চিহ্নিত করি।
ধাপ ২: $\sqrt{3}$ স্থাপন
$$(\sqrt{3})^2 = (\sqrt{2})^2 + 1^2$$
এখন $D$ বিন্দুতে $OD$-এর উপর $DE$ লম্ব অঙ্কন করি, যেখানে $\mathbf{DE = 1}$ একক। $O$ ও $E$ যোগ করি। এখন $ODE$ সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ $OE = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{2+1} = \mathbf{\sqrt{3}}$ একক।
$O$ কে কেন্দ্র করে $OE$-এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ অঙ্কন করি যা সংখ্যারেখাকে $Q$ বিন্দুতে ছেদ করে।
সুতরাং, $Q$ বিন্দুটিই হলো $\mathbf{\sqrt{3}}$ এর অবস্থান।
✅ উপরে বর্ণিত জ্যামিতিক পদ্ধতিতে $\sqrt{5}$ ও $\sqrt{3}$ সংখ্যারেখায় স্থাপন করা হলো।
প্রশ্ন ৬: একই সংখ্যারেখায় $\sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{7}, -\sqrt{6}, -\sqrt{11}$ স্থাপন করি।
সমাধান:
এটি হল **থিওডোরাসের কুণ্ডলী (Spiral of Theodorus)** পদ্ধতির মাধ্যমে অমূলদ সংখ্যাগুলিকে ক্রমান্বয়ে স্থাপন করা।
ধাপ ১: $\sqrt{5}$ স্থাপন (যেমনটি প্রশ্ন ৪-এ করা হয়েছে)
ভূমি $2$ একক ও উচ্চতা $1$ একক নিয়ে অতিভুজ $OB = \sqrt{5}$ অঙ্কন করা হলো।
ধাপ ২: $\sqrt{6}$ স্থাপন
$$\mathbf{(\sqrt{6})^2 = (\sqrt{5})^2 + 1^2}$$
$B$ বিন্দুতে $OB$-এর উপর $BC$ লম্ব অঙ্কন করি, যেখানে $\mathbf{BC = 1}$ একক। $O$ ও $C$ যোগ করি। এখন $OBC$ সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ $OC = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + 1^2} = \mathbf{\sqrt{6}}$ একক।
$O$ কে কেন্দ্র করে $OC$ ব্যাসার্ধ নিয়ে সংখ্যারেখায় ধনাত্মক দিকে $\sqrt{6}$ এবং ঋণাত্মক দিকে $\mathbf{-\sqrt{6}}$ বিন্দু চিহ্নিত করি।
ধাপ ৩: $\sqrt{7}$ স্থাপন
$$\mathbf{(\sqrt{7})^2 = (\sqrt{6})^2 + 1^2}$$
$C$ বিন্দুতে $OC$-এর উপর $CD$ লম্ব অঙ্কন করি, যেখানে $\mathbf{CD = 1}$ একক। $OD$ যোগ করি। অতিভুজ $OD = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + 1^2} = \mathbf{\sqrt{7}}$ একক।
$O$ কে কেন্দ্র করে $OD$ ব্যাসার্ধ নিয়ে সংখ্যারেখায় $\sqrt{7}$ বিন্দু চিহ্নিত করি।
ধাপ ৪: $\sqrt{11}$ স্থাপন
$$\mathbf{(\sqrt{11})^2 = (\sqrt{10})^2 + 1^2}$$
ক্রমাগত এই পদ্ধতি অনুসরণ করে $\sqrt{8}, \sqrt{9}(=3), \sqrt{10}$ স্থাপন করার পর, $\sqrt{10}$ দৈর্ঘ্যের উপর $1$ একক লম্ব টেনে অতিভুজ $\mathbf{OE = \sqrt{11}}$ স্থাপন করা যায়।
$O$ কে কেন্দ্র করে $OE$ ব্যাসার্ধ নিয়ে সংখ্যারেখায় $\mathbf{-\sqrt{11}}$ বিন্দু চিহ্নিত করি।
✅ উপরোক্ত ক্রমানুসারে (থিওডোরাসের কুণ্ডলী ব্যবহার করে) একই সংখ্যারেখায় $\sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{7}, -\sqrt{6}, -\sqrt{11}$ স্থাপন করা হলো।
শেয়ার