নবম শ্রেণি গনিত: সূচকের নিয়মাবলী কষে দেখি 2

1. (i) $(\sqrt[5]{8})^{\frac{5}{2}} \times (16)^{-\frac{3}{2}}$

সমাধান (i):

সহজ ব্যাখ্যা: 8 এবং 16-কে 2-এর সূচক আকারে লিখে সূচকের নিয়ম $(a^m)^n = a^{mn}$ এবং $a^m \times a^n = a^{m+n}$ প্রয়োগ করে সরল করা হয়েছে।

প্রদত্ত রাশি $= (\sqrt[5]{8})^{\frac{5}{2}}(16)^{-\frac{3}{2}}$
$= (8^{\frac{1}{5}})^{\frac{5}{2}} \times (2^4)^{-\frac{3}{2}}$
$= (2^3)^{\frac{1}{5} \times \frac{5}{2}} \times 2^{4 \times (-\frac{3}{2})}$
$= 2^{\frac{3}{2}} \times 2^{-6}$
$= 2^{\frac{3}{2} – 6}$
$= 2^{\frac{3 – 12}{2}}$
$= 2^{-\frac{9}{2}}$

উত্তর: $2^{-\frac{9}{2}}$

1. (ii) $[\{(125)^{-2} \times (16)^{-\frac{3}{2}}\}^{-\frac{1}{6}}]$

সমাধান (ii):

সহজ ব্যাখ্যা: 125 এবং 16-কে যথাক্রমে $5^3$ এবং $2^4$ বসিয়ে সব সূচক গুণ করা হয়েছে।

প্রদত্ত রাশি $= [\{(125)^{-2} \times (16)^{-\frac{3}{2}}\}^{-\frac{1}{6}}]$
$= [\{(5^3)^{-2} \times (2^4)^{-\frac{3}{2}}\}^{-\frac{1}{6}}]$
$= [\{5^{-6} \times 2^{-6}\}^{-\frac{1}{6}}]$
$= [(5 \times 2)^{-6}]^{-\frac{1}{6}}$
$= (10)^{-6 \times (-\frac{1}{6})}$
$= 10$

উত্তর: 10

1. (iii) $4^{\frac{1}{3}} \times [2^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{1}{2}}] \div 9^{\frac{1}{4}}$

সমাধান (iii):

সহজ ব্যাখ্যা: 4 ও 9-কে 2 ও 3-এর সূচক আকারে লিখে 2 এবং 3-এর সূচকগুলিকে আলাদাভাবে যোগ ও বিয়োগ করা হয়েছে।

প্রদত্ত রাশি $= (2^2)^{\frac{1}{3}} \times 2^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{1}{2}} \div (3^2)^{\frac{1}{4}}$
$= 2^{\frac{2}{3}} \times 2^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{1}{2}} \div 3^{\frac{1}{2}}$
$= (2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}) \times (3^{\frac{1}{2} – \frac{1}{2}})$
$= 2^1 \times 3^0$
$= 2$

উত্তর: 2

2. (i) $(8a^{3}\div27x^{-3})^{\frac{2}{3}}\times(64a^{3}\div27x^{-3})^{\frac{-2}{3}}$

সমাধান (i):

সহজ ব্যাখ্যা: $A^m B^{-m} = (\frac{A}{B})^m$ সূত্র ব্যবহার করে সরল করা হয়েছে।

প্রদত্ত রাশি $= (\frac{8a^3}{27x^{-3}})^{\frac{2}{3}} \times (\frac{64a^3}{27x^{-3}})^{-\frac{2}{3}}$
$= ((\frac{2a}{3x^{-1}})^3)^{\frac{2}{3}} \times ((\frac{4a}{3x^{-1}})^3)^{-\frac{2}{3}}$
$= (\frac{2ax}{3})^{2} \times (\frac{4ax}{3})^{-2}$
$= (\frac{2ax}{3})^2 \times (\frac{3}{4ax})^2$
$= (\frac{2ax}{3} \times \frac{3}{4ax})^2$
$= (\frac{1}{2})^2$
$= \frac{1}{4}$

উত্তর: $\frac{1}{4}$

2. (ii) $[\{(x^{-5})^{\frac{2}{3}}\}^{\frac{-3}{10}}]$

সমাধান (ii):

সহজ ব্যাখ্যা: সব সূচকগুলিকে $(a^m)^n = a^{mn}$ সূত্র অনুযায়ী গুণ করা হয়েছে।

প্রদত্ত রাশি $= x^{-5 \times \frac{2}{3} \times (-\frac{3}{10})}$
$= x^{\frac{30}{30}}$
$= x^1$
$= x$

উত্তর: x

2. (iii) $[\{(2^{-1})^{-1}\}^{-1}]^{-1}$

সমাধান (iii):

সহজ ব্যাখ্যা: চারটি (-1)-কে গুণ করলে 1 হয়।

প্রদত্ত রাশি $= 2^{(-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1)}$
$= 2^{1}$
$= 2$

উত্তর: 2

2. (iv) $\sqrt[3]{a^{-2}}.b\times\sqrt[3]{b^{-2}}.c\times\sqrt[3]{c^{-2}}.a$

সমাধান (iv):

সহজ ব্যাখ্যা: $\sqrt[3]{A} = A^{\frac{1}{3}}$ বসিয়ে একই ভিত্তি $a, b, c$-এর সূচকগুলিকে যোগ করা হয়েছে।

প্রদত্ত রাশি $= (a^{-2})^{\frac{1}{3}} b^1 \times (b^{-2})^{\frac{1}{3}} c^1 \times (c^{-2})^{\frac{1}{3}} a^1$
$= a^{-\frac{2}{3}} b^1 \times b^{-\frac{2}{3}} c^1 \times c^{-\frac{2}{3}} a^1$
$= a^{-\frac{2}{3} + 1} \times b^{1 – \frac{2}{3}} \times c^{1 – \frac{2}{3}}$
$= a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} c^{\frac{1}{3}}$
$= (abc)^{\frac{1}{3}}$
$= \sqrt[3]{abc}$

উত্তর: $\sqrt[3]{abc}$

2. (v) $(\frac{4^{m+\frac{1}{4}}\times\sqrt{2.2^{m}}}{2.\sqrt{2^{-m}}})^{\frac{1}{m}}$

সমাধান (v):

সহজ ব্যাখ্যা: সব রাশিকে ভিত্তি 2-এর সূচক আকারে লিখে সূচকগুলির যোগ-বিয়োগ করে চূড়ান্ত সূচক $\frac{1}{m}$ দ্বারা গুণ করা হয়েছে। হরে $2\sqrt{2^{-m}}$ আছে, যা $2^{1-\frac{m}{2}}$ হবে।

প্রদত্ত রাশি $= (\frac{(2^2)^{m+\frac{1}{4}} \times (2^{1+m})^{\frac{1}{2}}}{2^1 \cdot (2^{-m})^{\frac{1}{2}}})^{\frac{1}{m}}$
$= (\frac{2^{2m + \frac{1}{2}} \times 2^{\frac{1}{2} + \frac{m}{2}}}{2^{1 – \frac{m}{2}}})^{\frac{1}{m}}$

লবের সূচকগুলির যোগফল: $2m + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{m}{2} = 2m + 1 + \frac{m}{2}$
হরের সূচকগুলির যোগফল: $1 – \frac{m}{2}$

$= (2^{(2m + 1 + \frac{m}{2}) – (1 – \frac{m}{2})})^{\frac{1}{m}}$
$= (2^{2m + 1 + \frac{m}{2} – 1 + \frac{m}{2}})^{\frac{1}{m}}$
$= (2^{2m + m})^{\frac{1}{m}}$
$= (2^{3m})^{\frac{1}{m}}$
$= 2^{3m \times \frac{1}{m}}$
$= 8$

উত্তর: 8

2. (vi) $9^{-3}\times\frac{16^{\frac{1}{4}}}{6^{-2}}\times(\frac{1}{27})^{-\frac{4}{3}}$

সমাধান (vi):

সহজ ব্যাখ্যা: সব সংখ্যাকে 2 ও 3-এর মৌলিক সূচক আকারে লিখে সূচক যোগ-বিয়োগ করা হয়েছে।

প্রদত্ত রাশি $= (3^2)^{-3} \times \frac{(2^4)^{\frac{1}{4}}}{(2 \times 3)^{-2}} \times (3^{-3})^{-\frac{4}{3}}$
$= 3^{-6} \times \frac{2^1}{2^{-2} \times 3^{-2}} \times 3^4$
$= 2^{1 – (-2)} \times 3^{-6 + 4 – (-2)}$
$= 2^{3} \times 3^{0}$
$= 8$

উত্তর: 8

2. (vii) $(\frac{x^{a}}{x^{b}})^{a^{2}+ab+b^{2}}\times(\frac{x^{b}}{x^{c}})^{b^{2}+bc+c^{2}}\times(\frac{x^{c}}{x^{a}})^{c^{2}+ca+a^{2}}$

সমাধান (vii):

সহজ ব্যাখ্যা: $A^m \div A^n = A^{m-n}$ এবং $A^3-B^3$ এর সূত্র ব্যবহার করে সব সূচক যোগ করলে শূন্য হয়।

বাম পক্ষ (L.H.S.) $= (x^{a-b})^{a^2+ab+b^2} \times (x^{b-c})^{b^2+bc+c^2} \times (x^{c-a})^{c^2+ca+a^2}$
$= x^{(a^3-b^3) + (b^3-c^3) + (c^3-a^3)}$
$= x^0$
$= 1$

উত্তর: 1

3. (i) $5^{\frac{1}{2}}, 10^{\frac{1}{4}}, 6^{\frac{1}{3}}$

সমাধান (i):

সহজ ব্যাখ্যা: সূচকগুলির হর (2, 4, 3) এর ল.সা.গু. (12) ব্যবহার করে প্রতিটি সংখ্যাকে $()^{\frac{1}{12}}$ আকারে প্রকাশ করে ভিত্তিগুলির তুলনা করা হয়েছে।

$5^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{6}{12}} = (5^6)^{\frac{1}{12}} = (15625)^{\frac{1}{12}}$
$10^{\frac{1}{4}} = 10^{\frac{3}{12}} = (10^3)^{\frac{1}{12}} = (1000)^{\frac{1}{12}}$
$6^{\frac{1}{3}} = 6^{\frac{4}{12}} = (6^4)^{\frac{1}{12}} = (1296)^{\frac{1}{12}}$

ভিত্তিগুলির তুলনা করে পাই: $1000 < 1296 < 15625$

উত্তর: $10^{\frac{1}{4}}, 6^{\frac{1}{3}}, 5^{\frac{1}{2}}$

3. (ii) $3^{\frac{1}{3}}, 2^{\frac{1}{2}}, 8^{\frac{1}{4}}$

সমাধান (ii):

সহজ ব্যাখ্যা: $8=2^3$ বসিয়ে সূচকগুলির হরগুলির ল.সা.গু. (12) ব্যবহার করে $()^{\frac{1}{12}}$ আকারে প্রকাশ করে ভিত্তিগুলির তুলনা করা হয়েছে।

$3^{\frac{1}{3}} = (3^4)^{\frac{1}{12}} = (81)^{\frac{1}{12}}$
$2^{\frac{1}{2}} = (2^6)^{\frac{1}{12}} = (64)^{\frac{1}{12}}$
$8^{\frac{1}{4}} = (2^3)^{\frac{1}{4}} = (2^9)^{\frac{1}{12}} = (512)^{\frac{1}{12}}$

উত্তর: $2^{\frac{1}{2}}, 3^{\frac{1}{3}}, 8^{\frac{1}{4}}$

3. (iii) $2^{60}, 3^{48}, 4^{36}, 5^{24}$

সমাধান (iii):

সহজ ব্যাখ্যা: সূচকগুলির গ.সা.গু. (12) ব্যবহার করে প্রতিটি সংখ্যাকে $()^{12}$ আকারে প্রকাশ করে ভিত্তিগুলির তুলনা করা হয়েছে।

$2^{60} = (2^5)^{12} = (32)^{12}$
$3^{48} = (3^4)^{12} = (81)^{12}$
$4^{36} = (4^3)^{12} = (64)^{12}$
$5^{24} = (5^2)^{12} = (25)^{12}$

উত্তর: $5^{24}, 2^{60}, 4^{36}, 3^{48}$

4. (i) $(\frac{a^q}{a^r})^p \times (\frac{a^r}{a^p})^q \times (\frac{a^p}{a^q})^r = 1$

সমাধান (i):

সহজ ব্যাখ্যা: $A^m \div A^n = A^{m-n}$ এবং $A^0=1$ সূত্র ব্যবহার করে সূচকগুলির যোগফল শূন্য দেখানো হয়েছে।

বাম পক্ষ (L.H.S.) $= (a^{q-r})^p \times (a^{r-p})^q \times (a^{p-q})^r$
$= a^{pq-pr + qr-pq + rp-rq}$
$= a^0$
$= 1$

উত্তর: বাম পক্ষ = ডান পক্ষ (প্রমাণিত)

4. (ii) $(\frac{x^m}{x^n})^{m+n} \times (\frac{x^n}{x^l})^{n+l} \times (\frac{x^l}{x^m})^{l+m} = 1$

সমাধান (ii):

সহজ ব্যাখ্যা: $(A-B)(A+B) = A^2-B^2$ সূত্র ব্যবহার করে সূচকগুলির যোগফল শূন্য দেখানো হয়েছে।

বাম পক্ষ (L.H.S.) $= (x^{m-n})^{m+n} \times (x^{n-l})^{n+l} \times (x^{l-m})^{l+m}$
$= x^{m^2-n^2} \times x^{n^2-l^2} \times x^{l^2-m^2}$
$= x^{(m^2-n^2) + (n^2-l^2) + (l^2-m^2)}$
$= 1$

উত্তর: বাম পক্ষ = ডান পক্ষ (প্রমাণিত)

4. (iii) $(\frac{x^m}{x^n})^{m+n-l} \times (\frac{x^n}{x^l})^{n+l-m} \times (\frac{x^l}{x^m})^{l+m-n} = 1$

সমাধান (iii):

সহজ ব্যাখ্যা: সূচকগুলিকে গুণ করে যোগ করা হয়েছে। গুণফলগুলি একে অপরের সাথে কেটে যাওয়ায় যোগফল শূন্য হয়।

বাম পক্ষ (L.H.S.) $= (x^{m-n})^{m+n-l} \times (x^{n-l})^{n+l-m} \times (x^{l-m})^{l+m-n}$

সূচকগুলির গুণফল:
* $(m-n)(m+n-l) = m^2-n^2-lm+ln$
* $(n-l)(n+l-m) = n^2-l^2-mn+lm$
* $(l-m)(l+m-n) = l^2-m^2-nl+mn$

বাম পক্ষ $= x^{(m^2-n^2-lm+ln) + (n^2-l^2-mn+lm) + (l^2-m^2-nl+mn)}$
$= x^0$
$= 1$

উত্তর: বাম পক্ষ = ডান পক্ষ (প্রমাণিত)

4. (iv) $(a^{\frac{1}{x-y}})^{\frac{1}{x-z}} \times (a^{\frac{1}{y-z}})^{\frac{1}{y-x}} \times (a^{\frac{1}{z-x}})^{\frac{1}{z-y}} = 1$

সমাধান (iv):

সহজ ব্যাখ্যা: $y-x = -(x-y)$ বসিয়ে সূচকগুলির ল.সা.গু. করা হয়েছে। যোগফল শূন্য হয়।

বাম পক্ষ (L.H.S.) $= a^{\frac{1}{(x-y)(x-z)}} \times a^{\frac{1}{(y-z)(y-x)}} \times a^{\frac{1}{(z-x)(z-y)}}$
$= a^{\frac{1}{(x-y)(x-z)}} \times a^{-\frac{1}{(x-y)(y-z)}} \times a^{-\frac{1}{(z-x)(y-z)}}$

সূচকগুলির যোগফল: $\frac{1}{(x-y)(x-z)} – \frac{1}{(x-y)(y-z)} – \frac{1}{(z-x)(y-z)}$
$= \frac{(y-z) – (x-z) – (-(x-y))}{(x-y)(y-z)(z-x)}$
$= 0$

সুতরাং, বাম পক্ষ $= a^0$
$= 1$

উত্তর: বাম পক্ষ = ডান পক্ষ (প্রমাণিত)

5. $x+z=2y$ এবং $b^2=ac$ হলে, দেখাই যে, $a^{y-z}b^{z-x}c^{x-y}=1$

সমাধান:

সহজ ব্যাখ্যা: $b^2=ac$ থেকে $b$-এর মান $a^{\frac{1}{2}}c^{\frac{1}{2}}$ বামপক্ষে বসিয়ে দেওয়া হয়েছে। এরপর $x+z=2y$ সম্পর্ক ব্যবহার করে $a$ ও $c$ এর সূচক শূন্য প্রমাণ করে গুণফল 1 দেখানো হয়েছে।

দেওয়া আছে: (i) $x+z=2y$ এবং (ii) $b^2=ac$

(ii) থেকে পাই, $b = (ac)^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}} c^{\frac{1}{2}}$

বাম পক্ষ (L.H.S.) $= a^{y-z}b^{z-x}c^{x-y}$

$= a^{y-z} \times (a^{\frac{1}{2}} c^{\frac{1}{2}})^{z-x} \times c^{x-y}$

$= a^{y-z} \times a^{\frac{z-x}{2}} \times c^{\frac{z-x}{2}} \times c^{x-y}$

$= a^{(y-z) + (\frac{z-x}{2})} \times c^{(\frac{z-x}{2}) + (x-y)}$

$a$-এর সূচককে সরল করি:

$(y-z) + \frac{z-x}{2} = \frac{2y-2z+z-x}{2} = \frac{2y-x-z}{2}$

(i) থেকে $2y = x+z$ বসিয়ে পাই: $\frac{(x+z)-x-z}{2} = \frac{0}{2} = 0$

$c$-এর সূচককে সরল করি:

$\frac{z-x}{2} + (x-y) = \frac{z-x+2x-2y}{2} = \frac{x+z-2y}{2}$

(i) থেকে $x+z = 2y$ বসিয়ে পাই: $\frac{2y-2y}{2} = \frac{0}{2} = 0$

সুতরাং, বাম পক্ষ $= a^0 \times c^0$

$= 1$

উত্তর: বাম পক্ষ = ডান পক্ষ (প্রমাণিত)

6. $a=xy^{p-1}, b=xy^{q-1}, c=xy^{r-1}$ হলে, দেখাই যে, $a^{q-r}b^{r-p}c^{p-q}=1$

সমাধান:

সহজ ব্যাখ্যা: $a, b, c$ এর মান বসিয়ে $x$ এবং $y$ এর সূচকগুলিকে আলাদাভাবে যোগ করা হয়েছে। উভয় সূচকের যোগফল শূন্য হয়।

বাম পক্ষ (L.H.S.) $= a^{q-r}b^{r-p}c^{p-q}$

$= (xy^{p-1})^{q-r} \times (xy^{q-1})^{r-p} \times (xy^{r-1})^{p-q}$

$x$ ও $y$ এর সূচক আলাদা করি:
$= [x^{q-r} \times x^{r-p} \times x^{p-q}] \times [y^{(p-1)(q-r)} \times y^{(q-1)(r-p)} \times y^{(r-1)(p-q)}]$

$x$-এর সূচকগুলির যোগফল:
$x^{(q-r) + (r-p) + (p-q)} = x^0 = 1$

$y$-এর সূচকগুলির যোগফল:
$y^{(pq-pr-q+r) + (qr-qp-r+p) + (rp-rq-p+q)} = y^0 = 1$

সুতরাং, বাম পক্ষ $= 1 \times 1$

$= 1$

উত্তর: বাম পক্ষ = ডান পক্ষ (প্রমাণিত)

7. $x^{\frac{1}{a}} = y^{\frac{1}{b}} = z^{\frac{1}{c}}$ এবং $xyz=1$ হলে, দেখাই যে, $a+b+c=0$

সমাধান:

সহজ ব্যাখ্যা: $x^{\frac{1}{a}}=k$ ধরে $x, y, z$ এর মান $k$ এর সূচক আকারে বের করা হয়েছে। $xyz=1$ সমীকরণে মান বসিয়ে $a+b+c=0$ সরাসরি প্রমাণ করা হয়েছে।

ধরি, $x^{\frac{1}{a}}=y^{\frac{1}{b}}=z^{\frac{1}{c}} = k$

সূচকের নিয়ম অনুসারে:
$x = k^a$, $y = k^b$, $z = k^c$

দেওয়া আছে: $xyz = 1$

$x, y, z$-এর মান বসিয়ে পাই:
বা, $k^a \times k^b \times k^c = 1$

বা, $k^{a + b + c} = k^0$

সূচকগুলিকে সমান করে পাই:
$a + b + c = 0$

উত্তর: প্রমাণিত

8. $a^x=b^y=c^z$ এবং $abc=1$ হলে, দেখাই যে, $xy+yz+zx=0$

সমাধান:

সহজ ব্যাখ্যা: $a^x=k$ ধরে $a, b, c$ এর মান $k$ এর সূচক আকারে বের করা হয়েছে। $abc=1$ সমীকরণে মান বসিয়ে $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0$ প্রমাণ করার পর ভগ্নাংশের যোগ করে $xy+yz+zx=0$ দেখানো হয়েছে।

ধরি, $a^x=b^y=c^z = k$

তাহলে: $a = k^{\frac{1}{x}}$, $b = k^{\frac{1}{y}}$, $c = k^{\frac{1}{z}}$

দেওয়া আছে: $abc = 1$

$a, b, c$-এর মান বসিয়ে পাই:
বা, $k^{\frac{1}{x}} \times k^{\frac{1}{y}} \times k^{\frac{1}{z}} = 1$

বা, $k^{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} = k^0$

সূচকগুলিকে সমান করে পাই:
বা, $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0$

বাম পক্ষকে ভগ্নাংশের যোগ করলে পাই:
বা, $\frac{yz + xz + xy}{xyz} = 0$

বা, $xy + yz + zx = 0$

উত্তর: প্রমাণিত

9. (i) $49^x=7^3$

সমাধান (i):

সহজ ব্যাখ্যা: প্রথমে 49-কে 7-এর সূচক আকারে লেখা হয়েছে। এরপর উভয় পক্ষের ভিত্তি (7) সমান হওয়ায় সূচকগুলিকে সমান করে $x$-এর মান নির্ণয় করা হয়েছে।

$49^x = 7^3$

বা, $(7^2)^x = 7^3$

বা, $7^{2x} = 7^3$

বা, $2x = 3$

বা, $x = \frac{3}{2}$

উত্তর: $x = \frac{3}{2}$

9. (ii) $2^{x+2}+2^{x-1}=9$

সমাধান (ii):

সহজ ব্যাখ্যা: $2^{x+2} = 2^x \cdot 2^2$ এবং $2^{x-1} = 2^x \cdot 2^{-1}$ আকারে লিখে $2^x$ কমন নিয়ে $x$-এর মান নির্ণয় করা হয়েছে।

$2^{x+2} + 2^{x-1} = 9$

বা, $2^x \cdot 2^2 + 2^x \cdot 2^{-1} = 9$

বা, $2^x (4 + \frac{1}{2}) = 9$

বা, $2^x (\frac{9}{2}) = 9$

বা, $2^x = 2^1$

বা, $x = 1$

উত্তর: $x = 1$

9. (iii) $2^{x+1}+2^{x+2}=48$

সমাধান (iii):

সহজ ব্যাখ্যা: $2^x$ কমন নিয়ে বাম পক্ষকে সরল করা হয়েছে। এরপর 48-কে 2-এর সূচক আকারে প্রকাশ করে $x$-এর মান নির্ণয় করা হয়েছে।

$2^{x+1} + 2^{x+2} = 48$

বা, $ 2^{x}\cdot 2^{1} + 2^{x}\cdot2^{2} = 48$

বা, $2^x (2 + 4) = 48$

বা, $2^x (6) = 48$

বা, $2^x = 8$

বা, $2^x = 2^3$

বা, $x = 3$

উত্তর: $x = 3$

9. (iv) $2^{4x} \cdot 4^{3x-1} = \frac{4^{2x}}{2^{3x}}$

সমাধান (iv):

সহজ ব্যাখ্যা: সব রাশিকে ভিত্তি 2-তে পরিবর্তন করে উভয় পক্ষের সূচকগুলি সমান করে $x$-এর মান নির্ণয় করা হয়েছে।

$2^{4x} \cdot (2^2)^{3x-1} = \frac{(2^2)^{2x}}{2^{3x}}$

বা, $2^{4x + 6x – 2} = 2^{4x – 3x}$

বা, $2^{10x – 2} = 2^x$

বা, $10x – 2 = x$

বা, $9x = 2$

বা, $x = \frac{2}{9}$

উত্তর: $x = \frac{2}{9}$

9. (v) $9\times81^{x}=27^{2-x}$

সমাধান (v):

সহজ ব্যাখ্যা: সব রাশিকে ভিত্তি 3-তে পরিবর্তন করে সূচকগুলিকে সমান করা হয়েছে।

$9 \times 81^x = 27^{2-x}$

বা, $3^2 \times (3^4)^x = (3^3)^{2-x}$

বা, $3^{2 + 4x} = 3^{6 – 3x}$

বা, $2 + 4x = 6 – 3x$

বা, $7x = 4$

বা, $x = \frac{4}{7}$

উত্তর: $x = \frac{4}{7}$

9. (vi) $2^{5x+4}+2^{9}=2^{10}$

সমাধান (vi):

সহজ ব্যাখ্যা: $2^9$ কে ডান পক্ষে নিয়ে $2^{10} = 2^9 \cdot 2^1$ ব্যবহার করে $2^9$ কমন নিয়ে $x$-এর মান নির্ণয় করা হয়েছে।

$2^{5x+4} = 2^{10} – 2^9$

বা, $2^{5x+4} = 2^9 (2 – 1)$

বা, $2^{5x+4} = 2^9$

বা, $5x + 4 = 9$

বা, $5x = 5$

বা, $x = 1$

উত্তর: $x = 1$

9. (vii) $6^{2x+4}=3^{3x}.2^{x+8}$

সমাধান (vii):

সহজ ব্যাখ্যা: $6^{2x+4}$ কে $2^{2x+4} \cdot 3^{2x+4}$ আকারে লিখে 2 এবং 3-এর সূচকগুলিকে সমীকরণের উভয় পক্ষে সমান করে $x$-এর মান নির্ণয় করা হয়েছে।

$2^{2x+4} \cdot 3^{2x+4} = 3^{3x} \cdot 2^{x+8}$

বা, $\frac{2^{2x+4}}{2^{x+8}} = \frac{3^{3x}}{3^{2x+4}}$

বা, $2^{(2x+4) – (x+8)} = 3^{(3x) – (2x+4)}$

বা, $2^{x-4} = 3^{x-4}$

বা, $x – 4 = 0$

বা, $x = 4$

উত্তর: $x = 4$

10. (i) $(0.243)^{0.2}\times(10)^{0.6}$ -এর মান

সমাধান (i):

$(0.243)^{0.2}\times(10)^{0.6}$

সহজ ব্যাখা সমস্ত রাশিকে $\mathbf{3}$ এবং $\mathbf{10}$ এর ঘাত রূপে লেখা হলো এবং যোগ-বিয়োগ করা হলো।

$ (0.243)^{0.2}\times10^{0.6}$

$ = (0.243)^{0.2}\times10^{0.6} $

$=(\frac{243}{1000})^{0.2}\times10^{0.6} $

$=(\frac{243}{1000})^\frac{2}{10}\times10^\frac{6}{10} $

$=(\frac{3^5}{10^3})^\frac{2}{10}\times10^\frac{6}{10} $

$=\frac{3^{5\times\frac{2}{10}}}{10^{3\times\frac{2}{10}}}\times10^{\frac{6}{10}}$

$=\frac{3^{1}}{10^{\frac{6}{10}}}\times10^{\frac{6}{10}}$

$=\ 3^{1}$
$= 3$

10. (ii) $2^{\frac{1}{2}}\times2^{-\frac{1}{2}}\times(16)^{\frac{1}{2}}$ -এর মান

সমাধান (ii):

সহজ ব্যাখ্যা: প্রথম দুটি পদ $\mathbf{2^{\frac{1}{2}}\times2^{-\frac{1}{2}}}$ এর সূচক যোগ করলে $0$ হয়। শেষ পদটিকে $(4^2)^{\frac{1}{2}}$ করে সরল করা হয়েছে।

প্রদত্ত রাশি $= 2^{\frac{1}{2} – \frac{1}{2}} \times (16)^{\frac{1}{2}}$

$= 2^0 \times 4$

$= 1 \times 4$

$= 4$

উত্তর: (c) 4

10. (iii) $4^{x}=8^{3}$ হলে, $x$-এর মান

সমাধান (iii):

সহজ ব্যাখ্যা: 4 এবং 8-কে ভিত্তি 2-তে পরিবর্তন করে সূচকগুলিকে সমান করা হয়েছে।

$4^x = 8^3$

বা, $(2^2)^x = (2^3)^3$

বা, $2^{2x} = 2^9$

বা, $2x = 9$

বা, $x = \frac{9}{2}$

উত্তর: (b) $\frac{9}{2}$

10. (iv) $20^{-x}=\frac{1}{7}$ হলে, $(20)^{2x}$-এর মান

সমাধান (iv):

সহজ ব্যাখ্যা: $20^{-x}=\frac{1}{7}$ থেকে $20^x = 7$ লেখা হয়েছে। এরপর $(20)^{2x}$ কে $(20^x)^2$ আকারে লেখা হয়েছে।

$20^{-x} = \frac{1}{7}$

বা, $20^x = 7$

নির্ণেয় মান: $(20)^{2x}$

$= (20^x)^2$

$= (7)^2$

$= 49$

উত্তর: (c) 49

10. (v) $4\times5^{x}=500$ হলে, $x^{x}$-এর মান

সমাধান (v):

সহজ ব্যাখ্যা: প্রথমে সমীকরণ থেকে $x$-এর মান নির্ণয় করা হয়েছে, এবং তারপর $x^x$-এর মান নির্ণয় করা হয়েছে।

$4 \times 5^x = 500$

বা, $5^x = 125$

বা, $5^x = 5^3$

বা, $x = 3$

নির্ণেয় মান: $x^x$

$= 3^3$

$= 27$

উত্তর: (d) 27

11. (i) $(27)^x = (81)^y$ হলে, $x:y$ কত হয় লিখি।

সমাধান (i):

সহজ ব্যাখ্যা: 27 এবং 81-কে ভিত্তি 3-তে পরিবর্তন করে সূচকগুলিকে সমান করা হয়েছে। এরপর $x$ এবং $y$-এর অনুপাত নির্ণয় করা হয়েছে।

$(27)^x = (81)^y$

বা, $(3^3)^x = (3^4)^y$

বা, $3^{3x} = 3^{4y}$

বা, $3x = 4y$

বা, $\frac{x}{y} = \frac{4}{3}$

উত্তর: $x:y = 4:3$

11. (ii) $(5^{5}+0.01)^{2}-(5^{5}-0.01)^{2}=5^{x}$ হলে, $x$-এর মান কত হিসাব করে লিখি।

সমাধান (ii):

সহজ ব্যাখ্যা: বীজগাণিতিক সূত্র $a^2 – b^2 = 4ab$ ব্যবহার করে সরল করা হয়েছে এবং $\frac{1}{25} = 5^{-2}$ লেখা হয়েছে।

$(5^5+0.01)^2 – (5^5-0.01)^2 = 5^x$

বা, $4 \times 5^5 \times 0.01 = 5^x$

বা, $4 \times 5^5 \times \frac{1}{100} = 5^x$

বা, $\frac{1}{25} \times 5^5 = 5^x$

বা, $5^{-2} \times 5^5 = 5^x$

বা, $5^{5-2} = 5^x$

বা, $5^3 = 5^x$

বা, $x = 3$

উত্তর: $x = 3$

11. (iii) $3\times27^{x}=9^{x+4}$ হলে, $x$-এর মান কত হিসাব করে লিখি।

সমাধান (iii):

সহজ ব্যাখ্যা: সব রাশিকে ভিত্তি 3-তে পরিবর্তন করে সূচকগুলিকে সমান করা হয়েছে।

$3 \times 27^x = 9^{x+4}$

বা, $3^1 \times (3^3)^x = (3^2)^{x+4}$

বা, $3^{1 + 3x} = 3^{2x + 8}$

বা, $1 + 3x = 2x + 8$

বা, $x = 7$

উত্তর: $x = 7$

11. (iv) $\sqrt[3]{(\frac{1}{64})^{\frac{1}{2}}}$ -এর মান কত হিসাব করে লিখি।

সমাধান (iv):

সহজ ব্যাখ্যা: $\sqrt[3]{A} = A^{\frac{1}{3}}$ সূত্র ব্যবহার করে এবং $64 = 2^6$ বসিয়ে সূচক গুণ করা হয়েছে।

প্রদত্ত রাশি $= ((\frac{1}{64})^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}}$

$= (\frac{1}{64})^{\frac{1}{6}}$

$= (\frac{1}{2^6})^{\frac{1}{6}}$

$= \frac{1}{2}$

উত্তর: $\frac{1}{2}$

11. (v) $3^{3^{3}}$ ও $(3^{3})^{3}$ -এর মধ্যে কোনটি বৃহত্তর যুক্তিসহ লিখি।

সমাধান (v):

সহজ ব্যাখ্যা: প্রথম রাশিতে সূচকটি $3^3 = 27$, এবং দ্বিতীয় রাশিতে সূচকটি $3 \times 3 = 9$ হয়। ভিত্তি (3) সমান হওয়ায়, বড় সূচকযুক্ত রাশিটি বৃহত্তর হবে।

**প্রথম রাশি:** $3^{3^3} = 3^{27}$

**দ্বিতীয় রাশি:** $(3^3)^3 = 3^{3 \times 3} = 3^9$

যেহেতু $27 > 9$, তাই $3^{27} > 3^9$

উত্তর: $3^{3^{3}}$ রাশিটি বৃহত্তর। যুক্তি: $3^{3^{3}} = 3^{27}$ এবং $(3^3)^3 = 3^9$, যেখানে $27 > 9$।