নবম শ্রেণীর গণিত: কষে দেখি 5.6 সহ সমীকরণ বজ্রগুনন পদ্ধতি

1. $8x+5y=11$ এবং $3x-4y=10$

সমাধান:

সহজ ব্যাখ্যা: প্রদত্ত সমীকরণগুলিকে $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ আকারে এনে বজ্রগুণন পদ্ধতিতে সমাধান করা হলো।

সমীকরণ (১): $8x + 5y – 11 = 0$
সমীকরণ (২): $3x – 4y – 10 = 0$

সহগগুলি: $a_1=8, b_1=5, c_1=-11$ এবং $a_2=3, b_2=-4, c_2=-10$

**বজ্রগুণন পদ্ধতি:**
$$\frac{x}{b_1 c_2 – b_2 c_1} = \frac{y}{c_1 a_2 – c_2 a_1} = \frac{1}{a_1 b_2 – a_2 b_1}$$

বা, $\frac{x}{(5)(-10) – (-4)(-11)} = \frac{y}{(-11)(3) – (-10)(8)} = \frac{1}{(8)(-4) – (3)(5)}$
বা, $\frac{x}{-50 – 44} = \frac{y}{-33 + 80} = \frac{1}{-32 – 15}$
বা, $\frac{x}{-94} = \frac{y}{47} = \frac{1}{-47}$

$x$-এর মান: $x = \frac{-94}{-47} = 2$
$y$-এর মান: $y = \frac{47}{-47} = -1$

উত্তর: $x=2, y=-1$।

2. $3x-4y=1$ এবং $4x=3y+6$

সমাধান:

সহজ ব্যাখ্যা: সমীকরণগুলিকে $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ আকারে এনে বজ্রগুণন পদ্ধতিতে সমাধান করা হলো।

সমীকরণ (১): $3x – 4y – 1 = 0$
সমীকরণ (২): $4x – 3y – 6 = 0$

সহগগুলি: $a_1=3, b_1=-4, c_1=-1$ এবং $a_2=4, b_2=-3, c_2=-6$

**বজ্রগুণন পদ্ধতি:**
$$\frac{x}{(-4)(-6) – (-3)(-1)} = \frac{y}{(-1)(4) – (-6)(3)} = \frac{1}{(3)(-3) – (4)(-4)}$$

বা, $\frac{x}{24 – 3} = \frac{y}{-4 + 18} = \frac{1}{-9 + 16}$
বা, $\frac{x}{21} = \frac{y}{14} = \frac{1}{7}$

$x$-এর মান: $x = \frac{21}{7} = 3$
$y$-এর মান: $y = \frac{14}{7} = 2$

উত্তর: $x=3, y=2$।

3. $5x+3y=11$ এবং $2x-7y=-12$

সমাধান:

সহজ ব্যাখ্যা: সমীকরণগুলিকে $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ আকারে এনে বজ্রগুণন পদ্ধতিতে সমাধান করা হলো।

সমীকরণ (১): $5x + 3y – 11 = 0$
সমীকরণ (২): $2x – 7y + 12 = 0$

সহগগুলি: $a_1=5, b_1=3, c_1=-11$ এবং $a_2=2, b_2=-7, c_2=12$

**বজ্রগুণন পদ্ধতি:**
$$\frac{x}{(3)(12) – (-7)(-11)} = \frac{y}{(-11)(2) – (12)(5)} = \frac{1}{(5)(-7) – (2)(3)}$$

বা, $\frac{x}{36 – 77} = \frac{y}{-22 – 60} = \frac{1}{-35 – 6}$
বা, $\frac{x}{-41} = \frac{y}{-82} = \frac{1}{-41}$

$x$-এর মান: $x = \frac{-41}{-41} = 1$
$y$-এর মান: $y = \frac{-82}{-41} = 2$

উত্তর: $x=1, y=2$।

4. $7x-3y-31=0$ এবং $9x-5y-41=0$

সমাধান:

সহজ ব্যাখ্যা: প্রদত্ত সমীকরণ দুটি ইতিমধ্যেই $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ আকারে আছে। বজ্রগুণন পদ্ধতিতে সমাধান করা হলো।

সমীকরণ (১): $7x – 3y – 31 = 0$
সমীকরণ (২): $9x – 5y – 41 = 0$

সহগগুলি: $a_1=7, b_1=-3, c_1=-31$ এবং $a_2=9, b_2=-5, c_2=-41$

**বজ্রগুণন পদ্ধতি:**
$$\frac{x}{(-3)(-41) – (-5)(-31)} = \frac{y}{(-31)(9) – (-41)(7)} = \frac{1}{(7)(-5) – (9)(-3)}$$

বা, $\frac{x}{123 – 155} = \frac{y}{-279 + 287} = \frac{1}{-35 + 27}$
বা, $\frac{x}{-32} = \frac{y}{8} = \frac{1}{-8}$

$x$-এর মান: $x = \frac{-32}{-8} = 4$
$y$-এর মান: $y = \frac{8}{-8} = -1$

উত্তর: $x=4, y=-1$।

5. $\frac{x}{6}-\frac{y}{3}=\frac{x}{12}-\frac{2y}{3}=4$

সমাধান:

সহজ ব্যাখ্যা: তিনটি অংশকে নিয়ে দুটি সরল সমীকরণ গঠন করে $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ আকারে এনে বজ্রগুণন পদ্ধতিতে সমাধান করা হলো।

**সমীকরণ (১) গঠন ($\frac{x}{6}-\frac{y}{3}=4$):** (6 দ্বারা গুণ করে)
$x – 2y = 24$ → $x – 2y – 24 = 0$

**সমীকরণ (২) গঠন ($\frac{x}{12}-\frac{2y}{3}=4$):** (12 দ্বারা গুণ করে)
$x – 8y = 48$ → $x – 8y – 48 = 0$

সহগগুলি: $a_1=1, b_1=-2, c_1=-24$ এবং $a_2=1, b_2=-8, c_2=-48$

**বজ্রগুণন পদ্ধতি:**
$$\frac{x}{(-2)(-48) – (-8)(-24)} = \frac{y}{(-24)(1) – (-48)(1)} = \frac{1}{(1)(-8) – (1)(-2)}$$

বা, $\frac{x}{96 – 192} = \frac{y}{-24 + 48} = \frac{1}{-8 + 2}$
বা, $\frac{x}{-96} = \frac{y}{24} = \frac{1}{-6}$

$x$-এর মান: $x = \frac{-96}{-6} = 16$
$y$-এর মান: $y = \frac{24}{-6} = -4$

উত্তর: $x=16, y=-4$।

6. $\frac{x}{5}+\frac{y}{3}=\frac{x}{4}-\frac{y}{3}-\frac{3}{20}=0$

সমাধান:

সহজ ব্যাখ্যা: তিনটি অংশকে নিয়ে দুটি সরল সমীকরণ গঠন করে $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ আকারে এনে বজ্রগুণন পদ্ধতিতে সমাধান করা হলো।

**সমীকরণ (১) গঠন ($\frac{x}{5}+\frac{y}{3}=0$):** (15 দ্বারা গুণ করে)
$3x + 5y = 0$ → $3x + 5y + 0 = 0$

**সমীকরণ (২) গঠন ($\frac{x}{4}-\frac{y}{3}-\frac{3}{20}=0$):** (60 দ্বারা গুণ করে)
$15x – 20y – 9 = 0$

সহগগুলি: $a_1=3, b_1=5, c_1=0$ এবং $a_2=15, b_2=-20, c_2=-9$

**বজ্রগুণন পদ্ধতি:**
$$\frac{x}{(5)(-9) – (-20)(0)} = \frac{y}{(0)(15) – (-9)(3)} = \frac{1}{(3)(-20) – (15)(5)}$$

বা, $\frac{x}{-45 – 0} = \frac{y}{0 + 27} = \frac{1}{-60 – 75}$
বা, $\frac{x}{-45} = \frac{y}{27} = \frac{1}{-135}$

$x$-এর মান: $x = \frac{-45}{-135} = \frac{1}{3}$
$y$-এর মান: $y = \frac{27}{-135} = -\frac{1}{5}$

উত্তর: $x=\frac{1}{3}, y=-\frac{1}{5}$।

7. $\frac{x+2}{7}+\frac{y-x}{4}=2x-8$ এবং $\frac{2y-3x}{3}+2y=3x+4$

সমাধান:

সহজ ব্যাখ্যা: উভয় সমীকরণকে সরল করে $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ আকারে এনে বজ্রগুণন পদ্ধতিতে সমাধান করা হলো।

**সমীকরণ (১) সরলীকরণ:** (28 দ্বারা গুণ করে)
$4(x+2) + 7(y-x) = 28(2x-8)$
$4x+8 + 7y-7x = 56x – 224$
$-3x + 7y + 8 = 56x – 224$
$59x – 7y – 232 = 0$

**সমীকরণ (২) সরলীকরণ:** (3 দ্বারা গুণ করে)
$2y – 3x + 6y = 3(3x+4)$
$8y – 3x = 9x + 12$
$12x – 8y + 12 = 0$ → $3x – 2y + 3 = 0$ (4 দ্বারা ভাগ করে)

সহগগুলি: $a_1=59, b_1=-7, c_1=-232$ এবং $a_2=3, b_2=-2, c_2=3$

**বজ্রগুণন পদ্ধতি:**
$$\frac{x}{(-7)(3) – (-2)(-232)} = \frac{y}{(-232)(3) – (3)(59)} = \frac{1}{(59)(-2) – (3)(-7)}$$

বা, $\frac{x}{-21 – 464} = \frac{y}{-696 – 177} = \frac{1}{-118 + 21}$
বা, $\frac{x}{-485} = \frac{y}{-873} = \frac{1}{-97}$

$x$-এর মান: $x = \frac{-485}{-97} = 5$
$y$-এর মান: $y = \frac{-873}{-97} = 9$

উত্তর: $x=5, y=9$।

8. $x+5y=36$ এবং $8x-7y=0$

সমাধান:

সহজ ব্যাখ্যা: সমীকরণগুলিকে $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ আকারে এনে বজ্রগুণন পদ্ধতিতে সমাধান করা হলো।

সমীকরণ (১): $x + 5y – 36 = 0$
সমীকরণ (২): $8x – 7y + 0 = 0$

সহগগুলি: $a_1=1, b_1=5, c_1=-36$ এবং $a_2=8, b_2=-7, c_2=0$

**বজ্রগুণন পদ্ধতি:**
$$\frac{x}{(5)(0) – (-7)(-36)} = \frac{y}{(-36)(8) – (0)(1)} = \frac{1}{(1)(-7) – (8)(5)}$$

বা, $\frac{x}{0 – 252} = \frac{y}{-288 – 0} = \frac{1}{-7 – 40}$
বা, $\frac{x}{-252} = \frac{y}{-288} = \frac{1}{-47}$

$x$-এর মান: $x = \frac{-252}{-47} = \frac{252}{47}$
$y$-এর মান: $y = \frac{-288}{-47} = \frac{288}{47}$

উত্তর: $x=\frac{252}{47}, y=\frac{288}{47}$।

9. $\frac{2y-3x}{3}+2y=3x+4$ এবং $13x-12y+15=0$

সমাধান:

সহজ ব্যাখ্যা: প্রথম সমীকরণকে সরল করে $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ আকারে এনে বজ্রগুণন পদ্ধতিতে সমাধান করা হলো।

**সমীকরণ (১) সরলীকরণ:** (3 দ্বারা গুণ করে)
$2y – 3x + 6y = 3(3x + 4)$
$8y – 3x = 9x + 12$
$12x – 8y + 12 = 0$ → $3x – 2y + 3 = 0$ (4 দ্বারা ভাগ করে)

সমীকরণ (২): $13x – 12y + 15 = 0$

সহগগুলি: $a_1=3, b_1=-2, c_1=3$ এবং $a_2=13, b_2=-12, c_2=15$

**বজ্রগুণন পদ্ধতি:**
$$\frac{x}{(-2)(15) – (-12)(3)} = \frac{y}{(3)(13) – (15)(3)} = \frac{1}{(3)(-12) – (13)(-2)}$$

বা, $\frac{x}{-30 + 36} = \frac{y}{39 – 45} = \frac{1}{-36 + 26}$
বা, $\frac{x}{6} = \frac{y}{-6} = \frac{1}{-10}$

$x$-এর মান: $x = \frac{6}{-10} = -\frac{3}{5}$
$y$-এর মান: $y = \frac{-6}{-10} = \frac{3}{5}$

উত্তর: $x=-\frac{3}{5}, y=\frac{3}{5}$।

10. $x+y=2b$ এবং $x-y=2a$

সমাধান:

সহজ ব্যাখ্যা: সমীকরণগুলিকে $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ আকারে এনে বজ্রগুণন পদ্ধতিতে সমাধান করা হলো।

সমীকরণ (১): $x + y – 2b = 0$
সমীকরণ (২): $x – y – 2a = 0$

সহগগুলি: $a_1=1, b_1=1, c_1=-2b$ এবং $a_2=1, b_2=-1, c_2=-2a$

**বজ্রগুণন পদ্ধতি:**
$$\frac{x}{(1)(-2a) – (-1)(-2b)} = \frac{y}{(-2b)(1) – (-2a)(1)} = \frac{1}{(1)(-1) – (1)(1)}$$

বা, $\frac{x}{-2a – 2b} = \frac{y}{-2b + 2a} = \frac{1}{-1 – 1}$
বা, $\frac{x}{-2(a+b)} = \frac{y}{2(a-b)} = \frac{1}{-2}$

$x$-এর মান: $x = \frac{-2(a+b)}{-2} = a+b$
$y$-এর মান: $y = \frac{2(a-b)}{-2} = -(a-b) = b-a$

উত্তর: $x=a+b, y=b-a$।

11. $x-y=2a$ এবং $ax+by=a^{2}+b^{2}$

সমাধান:

সহজ ব্যাখ্যা: সমীকরণগুলিকে $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ আকারে এনে বজ্রগুণন পদ্ধতিতে সমাধান করা হলো।

সমীকরণ (১): $x – y – 2a = 0$
সমীকরণ (২): $ax + by – (a^2+b^2) = 0$

সহগগুলি: $a_1=1, b_1=-1, c_1=-2a$ এবং $a_2=a, b_2=b, c_2=-(a^2+b^2)$

**বজ্রগুণন পদ্ধতি:**
$$\frac{x}{(-1)[-(a^2+b^2)] – (b)(-2a)} = \frac{y}{(-2a)(a) – [-(a^2+b^2)](1)} = \frac{1}{(1)(b) – (a)(-1)}$$

বা, $\frac{x}{a^2+b^2 + 2ab} = \frac{y}{-2a^2 + a^2+b^2} = \frac{1}{b + a}$
বা, $\frac{x}{(a+b)^2} = \frac{y}{b^2 – a^2} = \frac{1}{a+b}$

$x$-এর মান: $x = \frac{(a+b)^2}{a+b} = a+b$
$y$-এর মান: $y = \frac{b^2 – a^2}{a+b} = \frac{(b-a)(b+a)}{a+b} = b-a$

উত্তর: $x=a+b, y=b-a$।

12. $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=2$ এবং $ax-by=a^{2}-b^{2}$

সমাধান:

সহজ ব্যাখ্যা: প্রথম সমীকরণকে সরল করে $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ আকারে এনে বজ্রগুণন পদ্ধতিতে সমাধান করা হলো।

**সমীকরণ (১) সরলীকরণ:** ($ab$ দ্বারা গুণ করে)
$bx + ay = 2ab$ → $bx + ay – 2ab = 0$

সমীকরণ (২): $ax – by – (a^2-b^2) = 0$

সহগগুলি: $a_1=b, b_1=a, c_1=-2ab$ এবং $a_2=a, b_2=-b, c_2=-(a^2-b^2)$

**বজ্রগুণন পদ্ধতি:**
$$\frac{x}{(a)[-(a^2-b^2)] – (-b)(-2ab)} = \frac{y}{(-2ab)(a) – [-(a^2-b^2)](b)} = \frac{1}{(b)(-b) – (a)(a)}$$

বা, $\frac{x}{-a^3+ab^2 – 2ab^2} = \frac{y}{-2a^2b + a^2b-b^3} = \frac{1}{-b^2 – a^2}$
বা, $\frac{x}{-a^3-ab^2} = \frac{y}{-a^2b-b^3} = \frac{1}{-(a^2+b^2)}$
বা, $\frac{x}{-a(a^2+b^2)} = \frac{y}{-b(a^2+b^2)} = \frac{1}{-(a^2+b^2)}$

$x$-এর মান: $x = \frac{-a(a^2+b^2)}{-(a^2+b^2)} = a$
$y$-এর মান: $y = \frac{-b(a^2+b^2)}{-(a^2+b^2)} = b$

উত্তর: $x=a, y=b$।

13. $ax+by=1$ এবং $bx+ay=\frac{2ab}{a^{2}+b^{2}}$

সমাধান:

সহজ ব্যাখ্যা: সমীকরণগুলিকে $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ আকারে এনে বজ্রগুণন পদ্ধতিতে সমাধান করা হলো।

সমীকরণ (১): $ax + by – 1 = 0$
সমীকরণ (২): $bx + ay – \frac{2ab}{a^2+b^2} = 0$

সহগগুলি: $a_1=a, b_1=b, c_1=-1$ এবং $a_2=b, b_2=a, c_2=-\frac{2ab}{a^2+b^2}$

**বজ্রগুণন পদ্ধতি:**
$$\frac{x}{(b)(-\frac{2ab}{a^2+b^2}) – (a)(-1)} = \frac{y}{(-1)(b) – (-\frac{2ab}{a^2+b^2})(a)} = \frac{1}{(a)(a) – (b)(b)}$$

বা, $\frac{x}{-\frac{2ab^2}{a^2+b^2} + a} = \frac{y}{-b + \frac{2a^2b}{a^2+b^2}} = \frac{1}{a^2 – b^2}$

$x$-এর সরলীকরণ:
$\frac{x}{\frac{-2ab^2 + a(a^2+b^2)}{a^2+b^2}} = \frac{1}{a^2 – b^2}$
$\frac{x}{\frac{a^3 + ab^2 – 2ab^2}{a^2+b^2}} = \frac{1}{a^2 – b^2}$
$\frac{x}{\frac{a(a^2 – b^2)}{a^2+b^2}} = \frac{1}{a^2 – b^2}$
$x = \frac{a(a^2 – b^2)}{(a^2+b^2)(a^2 – b^2)} = \frac{a}{a^2+b^2}$

$y$-এর সরলীকরণ:
$\frac{y}{\frac{-b(a^2+b^2) + 2a^2b}{a^2+b^2}} = \frac{1}{a^2 – b^2}$
$\frac{y}{\frac{-a^2b – b^3 + 2a^2b}{a^2+b^2}} = \frac{1}{a^2 – b^2}$
$\frac{y}{\frac{a^2b – b^3}{a^2+b^2}} = \frac{1}{a^2 – b^2}$
$\frac{y}{\frac{b(a^2 – b^2)}{a^2+b^2}} = \frac{1}{a^2 – b^2}$
$y = \frac{b(a^2 – b^2)}{(a^2+b^2)(a^2 – b^2)} = \frac{b}{a^2+b^2}$

উত্তর: $x=\frac{a}{a^2+b^2}, y=\frac{b}{a^2+b^2}$।