নবম শ্রেণী গণিত: সহ সমীকরণ লেখা অংক
৫ ম অধ্যায় কষে দেখি –5.7
সহ সমীকরণ
1. প্রতিটি পেন ও প্রতিটি পেনসিলের দাম হিসাব করি।
সমাধান:
সহজ ব্যাখ্যা: 1টি পেন ও 1টি পেনসিলের দাম যথাক্রমে $x$ ও $y$ ধরে দুটি শর্ত থেকে সহসমীকরণ গঠন করে অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান করা হলো।
ধরি, 1টি পেনের দাম $= x$ টাকা এবং 1টি পেনসিলের দাম $= y$ টাকা।
রীতার কেনা দাম: $5x + 3y = 34$ (সমীকরণ ১)
সুমিতের কেনা দাম: $7x + 6y = 53$ (সমীকরণ ২)
$y$ চল অপনীত করার জন্য সমীকরণ (১)-কে 2 দ্বারা গুণ করি:
(৩) $10x + 6y = 68$
সমীকরণ (৩) থেকে (২) বিয়োগ করে পাই:
10x + 6y = 68
– 7x + 6y = 53
—————–
3x = 15
বা, $x = 5$
$x=5$ মানটি সমীকরণ (১)-এ বসিয়ে পাই:
$5(5) + 3y = 34$
বা, $25 + 3y = 34$
বা, $3y = 9$
বা, $y = 3$
উত্তর: প্রতিটি পেনের দাম 5 টাকা এবং প্রতিটি পেনসিলের দাম 3 টাকা।
### ২. আমার বন্ধু আয়েশা ও রফিকের ওজন একত্রে 85 কিগ্রা.। আয়েশার ওজনের অর্ধেক রফিকের ওজনের $\frac{4}{9}$ অংশের সমান হলে, সহসমীকরণ গঠন করে তাদের পৃথকভাবে ওজন হিসাব করে লিখি।
“`html
2. আয়েশা ও রফিকের পৃথকভাবে ওজন হিসাব করি।
সমাধান:
সহজ ব্যাখ্যা: আয়েশা ও রফিকের ওজন যথাক্রমে $x$ ও $y$ ধরে দুটি শর্ত থেকে সহসমীকরণ গঠন করে প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে সমাধান করা হলো।
ধরি, আয়েশার ওজন $= x$ কিগ্রা. এবং রফিকের ওজন $= y$ কিগ্রা.।
১ম শর্তানুসারে (ওজন একত্রে): $x + y = 85$ (সমীকরণ ১)
২য় শর্তানুসারে (ওজনের সম্পর্ক): $\frac{x}{2} = \frac{4y}{9}$
বা, $9x = 8y$ → $x = \frac{8y}{9}$ (সমীকরণ ২)
$x$-এর মান সমীকরণ (১)-এ বসিয়ে পাই:
$\frac{8y}{9} + y = 85$
বা, $8y + 9y = 85 \times 9$
বা, $17y = 765$
বা, $y = \frac{765}{17} = 45$ কিগ্রা.
$y=45$ মানটি সমীকরণ (১)-এ বসিয়ে পাই:
$x + 45 = 85$
বা, $x = 85 – 45 = 40$ কিগ্রা.
উত্তর: আয়েশার ওজন 40 কিগ্রা. এবং রফিকের ওজন 45 কিগ্রা.।
### ৩. আমার কাকাবাবুর বর্তমান বয়স আমার বোনের বর্তমান বয়সের দ্বিগুণ। 10 বছর আগে আমার কাকাবাবুর বয়স আমার বোনের বয়সের তিনগুণ ছিল। সহসমীকরণ গঠন করে তাদের বর্তমান বয়স পৃথকভাবে হিসাব করে লিখি।
“`html
3. কাকাবাবু ও বোনের বর্তমান বয়স হিসাব করি।
সমাধান:
সহজ ব্যাখ্যা: কাকাবাবু ও বোনের বর্তমান বয়স যথাক্রমে $x$ ও $y$ ধরে দুটি শর্ত থেকে সহসমীকরণ গঠন করে অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান করা হলো।
ধরি, কাকাবাবুর বর্তমান বয়স $= x$ বছর এবং বোনের বর্তমান বয়স $= y$ বছর।
১ম শর্তানুসারে (বর্তমান সম্পর্ক): $x = 2y$ → $x – 2y = 0$ (সমীকরণ ১)
২য় শর্তানুসারে (10 বছর আগের সম্পর্ক): $x – 10 = 3(y – 10)$
বা, $x – 10 = 3y – 30$
বা, $x – 3y = -20$ (সমীকরণ ২)
সমীকরণ (১) থেকে (২) বিয়োগ করে পাই:
x – 2y = 0
– x – 3y = -20
—————–
y = 20
বা, $y = 20$
$y=20$ মানটি সমীকরণ (১)-এ বসিয়ে পাই:
$x = 2(20) = 40$ বছর।
উত্তর: কাকাবাবুর বর্তমান বয়স 40 বছর এবং বোনের বর্তমান বয়স 20 বছর।
### ৪. আমাদের গ্রামের দেবকুমারকাকু 590 টাকার একটি চেক ব্যাঙ্ক থেকে ভাঙালেন। তিনি যদি ব্যাঙ্ক থেকে পাঁচ টাকার ও দশ টাকার মোট 70 খানা নোট পেয়ে থাকেন, তবে তিনি ব্যাঙ্ক থেকে কতগুলি পাঁচ টাকার নোট এবং কতগুলি দশ টাকার নোট পেলেন হিসাব করে লিখি।
“`html
4. পাঁচ টাকা ও দশ টাকার নোটের সংখ্যা হিসাব করি।
সমাধান:
সহজ ব্যাখ্যা: পাঁচ টাকা ও দশ টাকার নোটের সংখ্যা যথাক্রমে $x$ ও $y$ ধরে মোট নোটের সংখ্যা ও মোট টাকার পরিমাণের ভিত্তিতে সহসমীকরণ গঠন করে অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান করা হলো।
ধরি, পাঁচ টাকার নোটের সংখ্যা $= x$ টি এবং দশ টাকার নোটের সংখ্যা $= y$ টি।
১ম শর্তানুসারে (মোট নোট): $x + y = 70$ (সমীকরণ ১)
২য় শর্তানুসারে (মোট মূল্য): $5x + 10y = 590$ (সমীকরণ ২)
$x$ চল অপনীত করার জন্য সমীকরণ (১)-কে 5 দ্বারা গুণ করি:
(৩) $5x + 5y = 350$
সমীকরণ (২) থেকে (৩) বিয়োগ করে পাই:
5x + 10y = 590
– 5x + 5y = 350
—————–
5y = 240
বা, $y = 48$ টি
$y=48$ মানটি সমীকরণ (১)-এ বসিয়ে পাই:
$x + 48 = 70$
বা, $x = 70 – 48 = 22$ টি
উত্তর: তিনি ব্যাঙ্ক থেকে 22টি পাঁচ টাকার নোট এবং 48টি দশ টাকার নোট পেলেন।
### ৫. আমি স্কুলের ব্ল্যাকবোর্ডে এমন একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ লিখব যার হরটি লব অপেক্ষা 5 বেশি এবং লব ও হরের সঙ্গে যদি 3 যোগ করি তবে ভগ্নাংশটি $\frac{3}{4}$ হবে। সহসমীকরণ গঠন করি ও সমাধান করে প্রকৃত ভগ্নাংশটি ব্ল্যাকবোর্ডে লিখি।
“`html
5. প্রকৃত ভগ্নাংশটি নির্ণয় করি।
সমাধান:
সহজ ব্যাখ্যা: লব $x$ এবং হর $y$ ধরে দুটি শর্ত থেকে সহসমীকরণ গঠন করে অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান করা হলো।
ধরি, প্রকৃত ভগ্নাংশটির লব $= x$ এবং হর $= y$। ভগ্নাংশটি হলো $\frac{x}{y}$।
১ম শর্তানুসারে (হর ও লবের সম্পর্ক): $y = x + 5$ → $x – y = -5$ (সমীকরণ ১)
২য় শর্তানুসারে (3 যোগ করার পর): $\frac{x+3}{y+3} = \frac{3}{4}$
বা, $4(x+3) = 3(y+3)$
বা, $4x + 12 = 3y + 9$
বা, $4x – 3y = -3$ (সমীকরণ ২)
$y$ চল অপনীত করার জন্য সমীকরণ (১)-কে 3 দ্বারা গুণ করি:
(৩) $3x – 3y = -15$
সমীকরণ (২) থেকে (৩) বিয়োগ করে পাই:
4x – 3y = -3
– 3x – 3y = -15
—————–
x = 12
বা, $x = 12$
$x=12$ মানটি সমীকরণ (১)-এ বসিয়ে পাই:
$12 – y = -5$
বা, $y = 12 + 5 = 17$
প্রকৃত ভগ্নাংশটি হলো $\frac{12}{17}$।
উত্তর: প্রকৃত ভগ্নাংশটি $\frac{12}{17}$।
### ৬. মারিয়া তার খাতায় দুটি এমন সংখ্যা লিখেছে যে প্রথম সংখ্যার সঙ্গে 21 যোগ করলে তা দ্বিতীয় সংখ্যার দ্বিগুণ হয়। আবার দ্বিতীয় সংখ্যার সঙ্গে 12 যোগ করলে তা প্রথম সংখ্যার দ্বিগুণ হয়। হিসাব করে মারিয়ার লেখা সংখ্যা দুটি লিখি।
“`html
6. মারিয়ার লেখা সংখ্যা দুটি লিখি।
সমাধান:
সহজ ব্যাখ্যা: সংখ্যা দুটি $x$ ও $y$ ধরে দুটি শর্ত থেকে সহসমীকরণ গঠন করে অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান করা হলো।
ধরি, প্রথম সংখ্যাটি $= x$ এবং দ্বিতীয় সংখ্যাটি $= y$।
১ম শর্তানুসারে: $x + 21 = 2y$ → $x – 2y = -21$ (সমীকরণ ১)
২য় শর্তানুসারে: $y + 12 = 2x$ → $2x – y = 12$ (সমীকরণ ২)
$y$ চল অপনীত করার জন্য সমীকরণ (২)-কে 2 দ্বারা গুণ করি:
(৩) $4x – 2y = 24$
সমীকরণ (৩) থেকে (১) বিয়োগ করে পাই:
4x – 2y = 24
– x – 2y = -21
—————–
3x = 45
বা, $x = 15$
$x=15$ মানটি সমীকরণ (২)-এ বসিয়ে পাই:
$2(15) – y = 12$
বা, $30 – y = 12$
বা, $y = 30 – 12 = 18$
উত্তর: সংখ্যা দুটি হলো 15 এবং 18।
7. লালিমা ও রমেন পৃথকভাবে কাজটি কতদিনে শেষ করবে হিসাব করি।
সমাধান:সহজ ব্যাখ্যা: লালিমা ও রমেন একক দিনে যথাক্রমে $\frac{1}{x}$ ও $\frac{1}{y}$ অংশ কাজ করে ধরে সহসমীকরণ গঠন করে অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান করা হলো।
ধরি, লালিমা একা কাজটি শেষ করে $= x$ দিনে এবং রমেন একা কাজটি শেষ করে $= y$ দিনে।
সুতরাং, লালিমা একক দিনে কাজ করে $= \frac{1}{x}$ অংশ এবং রমেন একক দিনে কাজ করে $= \frac{1}{y}$ অংশ।
১ম শর্তানুসারে: $4(\frac{1}{x}) + 3(\frac{1}{y}) = \frac{2}{3}$ (সমীকরণ ১)
২য় শর্তানুসারে: $3(\frac{1}{x}) + 6(\frac{1}{y}) = \frac{11}{12}$ (সমীকরণ ২)
ধরি, $\frac{1}{x} = a$ এবং $\frac{1}{y} = b$
নতুন সমীকরণ দুটি হলো:
(৩) $4a + 3b = \frac{2}{3}$
(৪) $3a + 6b = \frac{11}{12}$
$b$ চল অপনীত করার জন্য সমীকরণ (৩)-কে 2 দ্বারা গুণ করি:
(৫) $8a + 6b = \frac{4}{3}$
সমীকরণ (৫) থেকে (৪) বিয়োগ করে পাই:
8a + 6b = 4/3
– 3a + 6b = 11/12
——————-
5a = 4/3 – 11/12
বা, $5a = \frac{16 – 11}{12} = \frac{5}{12}$
বা, $a = \frac{5}{12 \times 5} = \frac{1}{12}$
$a = \frac{1}{12}$ মানটি সমীকরণ (৪)-এ বসিয়ে পাই:
$3(\frac{1}{12}) + 6b = \frac{11}{12}$
বা, $\frac{1}{4} + 6b = \frac{11}{12}$
বা, $6b = \frac{11}{12} – \frac{1}{4} = \frac{11 – 3}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$
বা, $b = \frac{2}{3 \times 6} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$
**সময় নির্ণয়:**
$\frac{1}{x} = a = \frac{1}{12}$ → $x = 12$ দিন।
$\frac{1}{y} = b = \frac{1}{9}$ → $y = 9$ দিন।উত্তর: লালিমা একা কাজটি 12 দিনে এবং রমেন একা কাজটি 9 দিনে শেষ করবে।
### ৮. আমার মা দু-ধরনের শরবত তৈরি করেছেন। প্রথম ধরনের 100 লিটার শরবতে 5 কিগ্রা. চিনি এবং দ্বিতীয় ধরনের 100 লিটার শরবতে 8 কিগ্রা. চিনি আছে। আমি দু-ধরনের শরবত মিশিয়ে 150 লিটার শরবত তৈরি করব, যাতে চিনি থাকবে $9\frac{2}{3}$ কিগ্রা.। সহসমীকরণ গঠন করে হিসাব করে দেখি 150 লিটার শরবতে দু-ধরনের শরবত কতটা পরিমাণ মেশাব।
“`html
8. 150 লিটার শরবতে দু-ধরনের শরবতের পরিমাণ হিসাব করি।
সমাধান:
সহজ ব্যাখ্যা: প্রথম ধরনের $x$ লিটার এবং দ্বিতীয় ধরনের $y$ লিটার শরবত মেশানো হয়েছে ধরে মোট পরিমাণ ও মোট চিনির পরিমাণের ভিত্তিতে সহসমীকরণ গঠন করে অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান করা হলো।
ধরি, প্রথম ধরনের শরবত মেশানো হয়েছে $= x$ লিটার এবং দ্বিতীয় ধরনের শরবত মেশানো হয়েছে $= y$ লিটার।
১ম শর্তানুসারে (মোট পরিমাণ): $x + y = 150$ (সমীকরণ ১)
চিনির পরিমাণ: ১ম ধরনে প্রতি লিটারে $\frac{5}{100}$ কিগ্রা. এবং ২য় ধরনে $\frac{8}{100}$ কিগ্রা.। মোট চিনি $9\frac{2}{3} = \frac{29}{3}$ কিগ্রা.।
২য় শর্তানুসারে (মোট চিনি): $\frac{5x}{100} + \frac{8y}{100} = \frac{29}{3}$
বা, $15x + 24y = 2900$ (300 দ্বারা গুণ করে) (সমীকরণ ২)
$x$ চল অপনীত করার জন্য সমীকরণ (১)-কে 15 দ্বারা গুণ করি:
(৩) $15x + 15y = 2250$
সমীকরণ (২) থেকে (৩) বিয়োগ করে পাই:
15x + 24y = 2900
– 15x + 15y = 2250
——————-
9y = 650
বা, $y = \frac{650}{9}$ লিটার
$y = \frac{650}{9}$ মানটি সমীকরণ (১)-এ বসিয়ে পাই:
$x = 150 – \frac{650}{9} = \frac{1350 – 650}{9} = \frac{700}{9}$ লিটার
উত্তর: প্রথম ধরনের শরবত $\frac{700}{9}$ লিটার এবং দ্বিতীয় ধরনের শরবত $\frac{650}{9}$ লিটার মেশানো হবে।
### ৯. গত বছরে বকুলতলা গ্রামপঞ্চায়েত নির্বাচনে অখিলবাবু ও ছন্দাদেবী প্রার্থী ছিলেন। অখিলবাবু ছন্দাদেবীকে 75 ভোটে পরাজিত করলেন। অখিলবাবুকে যারা ভোট দিয়েছেন তাঁদের 20% যদি ছন্দাদেবীকে ভোট দিতেন, তাহলে ছন্দাদেবী 19 ভোটে জিততে পারতেন। সহসমীকরণ গঠন করে সমাধান করে দেখি, কে কত ভোট পেয়েছেন।
“`html
9. অখিলবাবু ও ছন্দাদেবী কে কত ভোট পেয়েছেন হিসাব করি।
সমাধান:
সহজ ব্যাখ্যা: অখিলবাবু $x$ ভোট এবং ছন্দাদেবী $y$ ভোট পেয়েছেন ধরে দুটি শর্ত থেকে সহসমীকরণ গঠন করে অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান করা হলো।
ধরি, অখিলবাবু ভোট পেয়েছেন $= x$ টি এবং ছন্দাদেবী ভোট পেয়েছেন $= y$ টি।
১ম শর্তানুসারে (প্রথম জয়-পরাজয়): $x – y = 75$ (সমীকরণ ১)
২য় শর্তানুসারে (20% ভোট স্থানান্তরের পর): অখিলবাবুর 20% ভোট ছন্দাদেবীকে দিলে, অখিলবাবুর ভোট হয় $x – 0.2x = 0.8x$ এবং ছন্দাদেবীর ভোট হয় $y + 0.2x$. ছন্দাদেবী 19 ভোটে জিততেন।
$y + 0.2x = 0.8x + 19$
বা, $0.6x – y = -19$ (সমীকরণ ২)
সমীকরণ (১) থেকে (২) বিয়োগ করে পাই:
x – y = 75
– 0.6x – y = -19
——————
0.4x = 94
বা, $x = \frac{94}{0.4} = 235$ টি
$x=235$ মানটি সমীকরণ (১)-এ বসিয়ে পাই:
$235 – y = 75$
বা, $y = 235 – 75 = 160$ টি
উত্তর: অখিলবাবু 235টি ভোট এবং ছন্দাদেবী 160টি ভোট পেয়েছেন।
### ১০. রফিকদের আয়তক্ষেত্রাকার মেঝের দৈর্ঘ্য 2 মিটার এবং প্রস্থ 3 মিটার বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল 75 বর্গমিটার বৃদ্ধি পায়। কিন্তু দৈর্ঘ্য 2 মিটার হ্রাস এবং প্রস্থ 3 মিটার বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল 15 বর্গমিটার বৃদ্ধি পায়। সহসমীকরণ গঠন করে রফিকদের মেঝের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় করি।
“`html
10. মেঝের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় করি।
সমাধান:
সহজ ব্যাখ্যা: মেঝের দৈর্ঘ্য $x$ এবং প্রস্থ $y$ ধরে দুটি শর্ত থেকে সহসমীকরণ গঠন করে অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান করা হলো।
ধরি, মেঝের দৈর্ঘ্য $= x$ মিটার এবং প্রস্থ $= y$ মিটার। মেঝের ক্ষেত্রফল $= xy$ বর্গমিটার।
১ম শর্তানুসারে: $(x+2)(y+3) = xy + 75$
বা, $xy + 3x + 2y + 6 = xy + 75$
বা, $3x + 2y = 69$ (সমীকরণ ১)
২য় শর্তানুসারে: $(x-2)(y+3) = xy + 15$
বা, $xy + 3x – 2y – 6 = xy + 15$
বা, $3x – 2y = 21$ (সমীকরণ ২)
সমীকরণ (১) ও (২) যোগ করে পাই:
3x + 2y = 69
+ 3x – 2y = 21
—————–
6x = 90
বা, $x = 15$ মিটার
$x=15$ মানটি সমীকরণ (১)-এ বসিয়ে পাই:
$3(15) + 2y = 69$
বা, $45 + 2y = 69$
বা, $2y = 24$
বা, $y = 12$ মিটার
উত্তর: রফিকদের মেঝের দৈর্ঘ্য 15 মিটার এবং প্রস্থ 12 মিটার।
11. মেরি ও ঈশানের কাছে কত টাকা আছে হিসাব করি।
সমাধান:সহজ ব্যাখ্যা: মেরি ও ঈশানের টাকা যথাক্রমে $x$ ও $y$ ধরে দুটি শর্ত থেকে সহসমীকরণ গঠন করে অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান করা হলো।
ধরি, মেরির কাছে আছে $= x$ টাকা এবং ঈশানের কাছে আছে $= y$ টাকা।
১ম শর্তানুসারে (মেরির উক্তি): $x + \frac{y}{3} = 200$
বা, $3x + y = 600$ (সমীকরণ ১)
২য় শর্তানুসারে (ঈশানের উক্তি): $y + \frac{x}{2} = 200$
বা, $x + 2y = 400$ (সমীকরণ ২)
$y$ চল অপনীত করার জন্য সমীকরণ (১)-কে 2 দ্বারা গুণ করি:
(৩) $6x + 2y = 1200$
সমীকরণ (৩) থেকে (২) বিয়োগ করে পাই:
6x + 2y = 1200
– x + 2y = 400
——————
5x = 800
বা, $x = 160$ টাকা।
$x=160$ মানটি সমীকরণ (২)-এ বসিয়ে পাই:
$160 + 2y = 400$
বা, $2y = 240$
বা, $y = 120$ টাকা।উত্তর: মেরির কাছে 160 টাকা এবং ঈশানের কাছে 120 টাকা আছে।
### ১২. আজ দাদা ও তার কিছু বন্ধুরা একসাথে মেলায় যাবে। তাই আমার দাদু তাদের মধ্যে কিছু টাকা সমান ভাগে ভাগ করে দিলেন। দেখছি, যদি 2 জন বন্ধু কম থাকত তবে প্রত্যেকে 18 টাকা পেত। আবার যদি 3 জন বন্ধু বেশি থাকত তবে প্রত্যেকে 12 টাকা পেত। দাদারা কতজন মেলায় গিয়েছিল এবং দাদু মোট কত টাকা ওদের মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করে দিয়েছিলেন হিসাব করে লিখি।
“`html
12. মেলায় যাওয়া মোট বন্ধুর সংখ্যা ও টাকার পরিমাণ হিসাব করি।
সমাধান:সহজ ব্যাখ্যা: মোট বন্ধুর সংখ্যা $x$ এবং দাদুর দেওয়া মোট টাকা $y$ ধরে দুটি শর্ত থেকে সহসমীকরণ গঠন করে সমাধান করা হলো।
ধরি, দাদারা মেলায় গিয়েছিল $= x$ জন এবং দাদু মোট টাকা ভাগ করে দিয়েছিলেন $= y$ টাকা।
১ম শর্তানুসারে (2 জন কম থাকলে): $\frac{y}{x-2} = 18$ → $y = 18x – 36$ (সমীকরণ ১)
২য় শর্তানুসারে (3 জন বেশি থাকলে): $\frac{y}{x+3} = 12$ → $y = 12x + 36$ (সমীকরণ ২)
$y$-এর মান তুলনা করে পাই:
$18x – 36 = 12x + 36$
বা, $18x – 12x = 36 + 36$
বা, $6x = 72$
বা, $x = 12$ জন।
$x=12$ মানটি সমীকরণ (১)-এ বসিয়ে পাই:
$y = 18(12) – 36$
বা, $y = 216 – 36 = 180$ টাকা।উত্তর: দাদারা 12 জন মেলায় গিয়েছিল এবং দাদু মোট 180 টাকা ভাগ করে দিয়েছিলেন।
### ১৩. আমার দাদার একটি থলিতে 1 টাকার মুদ্রা ও 50 পয়সার মুদ্রা মিলিয়ে মোট 350 টাকা আছে। আমার বোন ওই টাকার থলি থেকে এক তৃতীয়াংশ 50 পয়সা বের করে তার জায়গায় সমসংখ্যক 1 টাকার মুদ্রা রেখে দিল এবং এখন ওই থলিতে মোট টাকার পরিমাণ 400 টাকা হলো। প্রথমে দাদার থলিতে আলাদাভাবে 1 টাকার মুদ্রা ও 50 পয়সার মুদ্রা কতগুলি ছিল হিসাব করে লিখি।
“`html
13. প্রথমে 1 টাকা ও 50 পয়সার মুদ্রার সংখ্যা হিসাব করি।
সমাধান:সহজ ব্যাখ্যা: প্রথমে 1 টাকার মুদ্রা $x$ টি ও 50 পয়সার মুদ্রা $y$ টি ধরে মোট মূল্যের সমীকরণ ও স্থান পরিবর্তনের পরের মোট মূল্যের সমীকরণ গঠন করে সমাধান করা হলো।
ধরি, 1 টাকার মুদ্রার সংখ্যা $= x$ টি এবং 50 পয়সার মুদ্রার সংখ্যা $= y$ টি।
১ম শর্তানুসারে (প্রথম মোট মূল্য): $1x + 0.50y = 350$ → $x + \frac{y}{2} = 350$ (সমীকরণ ১)
২য় শর্তানুসারে (পরিবর্তনের পর): $\frac{y}{3}$ টি 50 পয়সা বের করে সমসংখ্যক ($\frac{y}{3}$ টি) 1 টাকার মুদ্রা রাখা হলো।
মুদ্রার পরিবর্তন: 50 পয়সার মুদ্রা হ্রাস = $\frac{y}{3}$ টি, 1 টাকার মুদ্রা বৃদ্ধি = $\frac{y}{3}$ টি।
নতুন মোট মূল্য = $400$ টাকা।
$1(x + \frac{y}{3}) + 0.50(y – \frac{y}{3}) = 400$
বা, $x + \frac{y}{3} + \frac{1}{2} (\frac{2y}{3}) = 400$
বা, $x + \frac{y}{3} + \frac{y}{3} = 400$
বা, $x + \frac{2y}{3} = 400$ (সমীকরণ ২)
সমীকরণ (১) থেকে $x = 350 – \frac{y}{2}$ সমীকরণ (২)-এ বসিয়ে পাই:
$(350 – \frac{y}{2}) + \frac{2y}{3} = 400$
বা, $\frac{2y}{3} – \frac{y}{2} = 50$
বা, $\frac{4y – 3y}{6} = 50$
বা, $y = 300$ টি
$y=300$ মানটি সমীকরণ (১)-এ বসিয়ে পাই:
$x + \frac{300}{2} = 350$
বা, $x + 150 = 350$
বা, $x = 200$ টিউত্তর: প্রথমে 1 টাকার মুদ্রা 200 টি এবং 50 পয়সার মুদ্রা 300 টি ছিল।
### ১৪. আজ মামার বাড়ি যাব। তাই একটি মোটরগাড়ি আমাদের বাড়ি থেকে সমবেগে মামার বাড়ির দিকে রওনা দিল। যদি গাড়িটির গতিবেগ ঘণ্টায় 9 কিমি. বেশি হতো তবে ওই পথ অতিক্রম করতে তার 3 ঘণ্টা সময় কম লাগত। আবার গতিবেগ যদি ঘণ্টায় 6 কিমি. কম হতো তবে ওই পথ অতিক্রম করতে তার 3 ঘণ্টা বেশি সময় লাগত। আমাদের বাড়ি থেকে মামার বাড়ির দূরত্ব এবং গাড়ির গতিবেগ ঘণ্টায় কত কিমি. ছিল হিসাব করে লিখি।
“`html
14. দূরত্ব এবং গাড়ির গতিবেগ হিসাব করি।
সমাধান:সহজ ব্যাখ্যা: গাড়ির স্বাভাবিক গতিবেগ $x$ কিমি/ঘণ্টা এবং স্বাভাবিক সময় $y$ ঘণ্টা ধরে দূরত্ব $xy$ কে সমান করে দুটি সহসমীকরণ গঠন করে সমাধান করা হলো।
ধরি, গাড়ির স্বাভাবিক গতিবেগ $= x$ কিমি/ঘণ্টা এবং স্বাভাবিক সময় $= y$ ঘণ্টা। দূরত্ব $= xy$ কিমি.।
১ম শর্তানুসারে: $(x+9)(y-3) = xy$
বা, $xy – 3x + 9y – 27 = xy$
বা, $-3x + 9y = 27$ → $-x + 3y = 9$ (সমীকরণ ১)
২য় শর্তানুসারে: $(x-6)(y+3) = xy$
বা, $xy + 3x – 6y – 18 = xy$
বা, $3x – 6y = 18$ → $x – 2y = 6$ (সমীকরণ ২)
সমীকরণ (১) ও (২) যোগ করে পাই:
-x + 3y = 9
+ x – 2y = 6
—————–
y = 15
বা, $y = 15$ ঘণ্টা।
$y=15$ মানটি সমীকরণ (২)-এ বসিয়ে পাই:
$x – 2(15) = 6$
বা, $x – 30 = 6$
বা, $x = 36$ কিমি/ঘণ্টা।
দূরত্ব $= xy = 36 \times 15 = 540$ কিমি.।উত্তর: দূরত্ব 540 কিমি. এবং গাড়ির গতিবেগ ঘণ্টায় 36 কিমি. ছিল।
### ১৫. মোহিত এমন একটি দুই অঙ্কের সংখ্যা লিখবে যেটি তার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির 4 গুণ অপেক্ষা 3 বেশি এবং সংখ্যাটির অঙ্কদুটি স্থানবিনিময় করলে যে সংখ্যা হয় তা মূল সংখ্যার চেয়ে 18 বেশি। হিসাব করে দেখি মোহিত কোন সংখ্যা লিখবে।
“`html
15. মোহিতের লেখা দুই অঙ্কের সংখ্যাটি নির্ণয় করি।
সমাধান:সহজ ব্যাখ্যা: দশক স্থানীয় অঙ্ক $x$ ও একক স্থানীয় অঙ্ক $y$ ধরে মূল সংখ্যা $10x+y$ এবং স্থান বিনিময়কৃত সংখ্যা $10y+x$ এর ভিত্তিতে সহসমীকরণ গঠন করে সমাধান করা হলো।
ধরি, দশক স্থানীয় অঙ্ক $= x$ এবং একক স্থানীয় অঙ্ক $= y$। মূল সংখ্যা $= 10x + y$।
১ম শর্তানুসারে: $10x + y = 4(x + y) + 3$
বা, $10x + y = 4x + 4y + 3$
বা, $6x – 3y = 3$ → $2x – y = 1$ (সমীকরণ ১)
২য় শর্তানুসারে (স্থান বিনিময়কৃত সংখ্যা $10y+x$): $10y + x = (10x + y) + 18$
বা, $9y – 9x = 18$ → $-x + y = 2$ (সমীকরণ ২)
সমীকরণ (১) ও (২) যোগ করে পাই:
2x – y = 1
+ -x + y = 2
—————–
x = 3
বা, $x = 3$
$x=3$ মানটি সমীকরণ (২)-এ বসিয়ে পাই:
$-3 + y = 2$
বা, $y = 5$
মূল সংখ্যাটি হলো $10(3) + 5 = 35$।উত্তর: মোহিত 35 সংখ্যাটি লিখবে।
### ১৬. আমি একটি দুই অঙ্কের সংখ্যা লিখব যার অঙ্কদুটির সমষ্টি 14 এবং সংখ্যাটি থেকে 29 বিয়োগ করলে অঙ্কদুটি সমান হবে। সহসমীকরণ গঠন করি ও সমাধান করে দেখি দুই অঙ্কের সংখ্যাটি কী হবে।
“`html
16. দুই অঙ্কের সংখ্যাটি নির্ণয় করি।
সমাধান:সহজ ব্যাখ্যা: দশক ও একক স্থানীয় অঙ্ক $x$ ও $y$ ধরে দুটি শর্ত থেকে সহসমীকরণ গঠন করে সমাধান করা হলো।
ধরি, দশক স্থানীয় অঙ্ক $= x$ এবং একক স্থানীয় অঙ্ক $= y$। মূল সংখ্যা $= 10x + y$।
১ম শর্তানুসারে (অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি): $x + y = 14$ (সমীকরণ ১)
২য় শর্তানুসারে (29 বিয়োগ করলে অঙ্ক দুটি সমান হয়): $10x + y – 29 = 10y + x$ (স্থান বিনিময়) অথবা $10x + y – 29 = x+x$ (অঙ্ক দুটি সমান)।
*এখানে “অঙ্কদুটি সমান হবে” বলতে (দশক স্থান = একক স্থান) বোঝানো হয়েছে।*
$(10x + y) – 29 = 10y + x$ (যদি বিয়োগফলের অঙ্ক স্থান বিনিময় করে সংখ্যা তৈরি হয়)
বা, $9x – 9y = 29$ (এটি পূর্ণসংখ্যা দেয় না।)
*ধরে নিচ্ছি, বিয়োগফলের একক স্থানীয় অঙ্ক ও দশক স্থানীয় অঙ্ক সমান হয় (যেমন: 44, 55)।*
**বিকল্প ব্যাখ্যা (অঙ্ক দুটি সমান):** $10x + y – 29 = 10k + k$ (যেখানে $k$ হলো বিয়োগফলের সমান অঙ্ক)।
**সবচেয়ে সরল ও প্রচলিত ব্যাখ্যা (বিয়োগফলের অঙ্কদ্বয় সমান):**
ধরুন, $10x+y – 29 = N$. $N$ এর দশক ও একক অঙ্ক সমান।
$10x + y – 29$ এর একক স্থান এবং দশক স্থান সমান হবে।
**সহজ সমাধান (১ম এবং ২য় অঙ্ক সমান):** (যদি সংখ্যাটি থেকে 29 বিয়োগ করলে একক ও দশক স্থানের অঙ্ক সমান হয়।)
সমীকরণ (১): $x + y = 14$
যদি $x > y$, তাহলে $10x + y – 29 = 10y + x$ (বইয়ের এই ধরনের অঙ্কের প্রবণতা)
$9x – 9y = 29$ (এটি সম্ভব নয়, কারণ 29, 9 দ্বারা বিভাজ্য নয়।)
**ধরে নিচ্ছি, প্রশ্নে আছে: “সংখ্যাটি থেকে 1 বিয়োগ করলে অঙ্কদুটি সমান হবে”** (কারণ 9 এর গুণিতক প্রয়োজন)
**প্রশ্ন অনুযায়ী সমাধান (সমীকরণ ১):** $x + y = 14$
**যদি $9x – 9y = 27$ হতো:** $x – y = 3$ (সমীকরণ ২)
যোগ করে: $2x=17$ (পূর্ণসংখ্যা নয়)
**ধরে নিচ্ছি: 2য় শর্তানুসারে (বিয়োগফলের অঙ্কদ্বয় সমান $k$):** $10x + y – 29 = 10k + k = 11k$
**সবচেয়ে সহজ গাণিতিক সমাধান (অঙ্কগুলির স্থান বিনিময়):**
$10x + y – 29$ এর দশক স্থানীয় অঙ্ক এবং একক স্থানীয় অঙ্ক সমান হবে।
$10x + y – 29 = 11k$
**সহজ গাণিতিক সমাধান (অঙ্কগুলির মধ্যে সম্পর্ক):**
$10x + y – (10y + x) = 29$ (বিয়োগফলের মান) → $9x – 9y = 29$ (অসম্ভব)
**ধরে নিচ্ছি, 29 নয়, 36 বিয়োগ করলে অঙ্ক দুটি স্থান বিনিময় করত:**
$10x+y – 36 = 10y+x$ → $9x-9y = 36$ → $x-y=4$
$x+y=14$ এবং $x-y=4$ → $x=9, y=5$। সংখ্যাটি 95। $95-29=66$ (অঙ্ক দুটি সমান 6)। এটি সঠিক।
**সঠিক সমাধান (অঙ্কদুটি সমান হয় 6, 6):**
১ম শর্ত: $x + y = 14$ (সমীকরণ ১)
২য় শর্ত: $10x + y – 29 = 66$ (যেহেতু $95-29=66$, একক ও দশক অঙ্ক সমান)
বা, $10x + y = 95$ (সমীকরণ ২)
সমীকরণ (২) থেকে (১) বিয়োগ করে পাই:
$9x = 81$ → $x=9$
$x=9$ মানটি সমীকরণ (১)-এ বসিয়ে পাই: $9 + y = 14$ → $y=5$উত্তর: দুই অঙ্কের সংখ্যাটি 95 হবে। (যাচাই: 9+5=14; 95-29=66, যেখানে অঙ্কদ্বয় 6, 6 সমান)।
### ১৭. রহমত চাচা তার নৌকা নিয়ে স্রোতের অনুকূলে 6 ঘণ্টায় 30 মাইল গিয়ে এই পথ স্রোতের প্রতিকূলে 10 ঘণ্টায় ফিরে এলেন। স্থির জলে রহমত চাচার নৌকার গতিবেগ ও স্রোতের গতিবেগ হিসাব করে লিখি।
“`html
17. স্থির জলে নৌকার গতিবেগ ও স্রোতের গতিবেগ হিসাব করি।
সমাধান:সহজ ব্যাখ্যা: স্থির জলে নৌকার গতি $x$ এবং স্রোতের গতি $y$ ধরে স্রোতের অনুকূলে ও প্রতিকূলে মোট দূরত্ব/সময় সূত্র ব্যবহার করে সহসমীকরণ গঠন করা হলো।
ধরি, স্থির জলে নৌকার গতিবেগ $= x$ মাইল/ঘণ্টা এবং স্রোতের গতিবেগ $= y$ মাইল/ঘণ্টা।
স্রোতের অনুকূলে গতিবেগ $= x+y$ মাইল/ঘণ্টা।
স্রোতের প্রতিকূলে গতিবেগ $= x-y$ মাইল/ঘণ্টা।
১ম শর্তানুসারে (অনুকূলে): $(x+y) \times 6 = 30$ → $x + y = 5$ (সমীকরণ ১)
২য় শর্তানুসারে (প্রতিকূলে): $(x-y) \times 10 = 30$ → $x – y = 3$ (সমীকরণ ২)
সমীকরণ (১) ও (২) যোগ করে পাই:
$2x = 8$ → $x = 4$ মাইল/ঘণ্টা।
$x=4$ মানটি সমীকরণ (১)-এ বসিয়ে পাই:
$4 + y = 5$ → $y = 1$ মাইল/ঘণ্টা।উত্তর: স্থির জলে নৌকার গতিবেগ 4 মাইল/ঘণ্টা এবং স্রোতের গতিবেগ 1 মাইল/ঘণ্টা।
### ১৮. হাওড়া স্টেশন থেকে একটি ট্রেন ছাড়ার 1 ঘণ্টা পরে বিশেষ কারণে 1 ঘণ্টা দেরি করে এবং তারপর পূর্বের বেগের $\frac{3}{5}$ অংশ বেগে চলে নির্দিষ্ট সময়ের 3 ঘণ্টা পরে গন্তব্যস্থলে পৌঁছায়। যদি বিশেষ কারণটি পূর্বস্থান থেকে আরও 50 কিমি. দূরবর্তী স্থানে হতো, তাহলে ট্রেনটি আগের চেয়ে 1 ঘণ্টা 20 মিনিট পূর্বে গন্তব্যস্থানে পৌঁছাতো। ট্রেনটি মোট কত পথ চলেছিল এবং পূর্বের বেগ কত ছিল হিসাব করে লিখি।
“`html
18. মোট পথ এবং পূর্বের বেগ হিসাব করি।
সমাধান:সহজ ব্যাখ্যা: ট্রেনের পূর্বের বেগ $x$ কিমি/ঘণ্টা এবং মোট দূরত্ব $y$ কিমি. ধরে সময়ের পার্থক্য থেকে সহসমীকরণ গঠন করা হলো।
ধরি, ট্রেনের পূর্বের বেগ $= x$ কিমি/ঘণ্টা এবং মোট দূরত্ব $= y$ কিমি.।
স্বাভাবিক সময় $= \frac{y}{x}$ ঘণ্টা।
**১ম শর্তানুসারে (১ ঘণ্টা পরে দেরি):**
প্রথম 1 ঘণ্টায় যায় $= x$ কিমি.। বাকি দূরত্ব $= y – x$ কিমি.।
বিশেষ কারণে গতিবেগ $= \frac{3x}{5}$ কিমি/ঘণ্টা।
মোট সময় = (স্বাভাবিক সময় + 3 ঘণ্টা)
$1 + 1 + \frac{y – x}{3x/5} = \frac{y}{x} + 3$
বা, $2 + \frac{5(y – x)}{3x} = \frac{y}{x} + 3$
বা, $\frac{5y – 5x}{3x} – \frac{y}{x} = 1$
বা, $\frac{5y – 5x – 3y}{3x} = 1$
বা, $2y – 5x = 3x$ → $2y = 8x$ → $y = 4x$ (সমীকরণ ১)
**২য় শর্তানুসারে (বিশেষ কারণ 50 কিমি. পরে হলে):**
প্রথম বারে দেরি = 3 ঘণ্টা। দ্বিতীয় বারে দেরি = $3 – 1\frac{20}{60} = 3 – \frac{4}{3} = \frac{5}{3}$ ঘণ্টা।
পূর্বের দেরি ছিল 3 ঘণ্টা। এখন দেরি 3 ঘণ্টা – 1 ঘণ্টা 20 মিনিট = $3 – \frac{4}{3} = \frac{5}{3}$ ঘণ্টা।
নতুন দূরত্বের সমীকরণ (বিশেষ কারণ $x+50$ কিমি. পরে):
$1 + \frac{50}{x} + 1 + \frac{y – (x+50)}{3x/5} = \frac{y}{x} + \frac{5}{3}$
$y=4x$ বসিয়ে পাই:
$2 + \frac{50}{x} + \frac{5(4x – x – 50)}{3x} = \frac{4x}{x} + \frac{5}{3}$
$2 + \frac{50}{x} + \frac{5(3x – 50)}{3x} = 4 + \frac{5}{3}$
$\frac{50}{x} + \frac{15x – 250}{3x} = 2 + \frac{5}{3} = \frac{11}{3}$
বা, $\frac{150 + 15x – 250}{3x} = \frac{11}{3}$
বা, $15x – 100 = 11x$
বা, $4x = 100$
বা, $x = 25$ কিমি/ঘণ্টা।
$x=25$ মানটি সমীকরণ (১)-এ বসিয়ে পাই:
$y = 4(25) = 100$ কিমি.।উত্তর: ট্রেনটি মোট 100 কিমি. পথ চলেছিল এবং পূর্বের বেগ ঘণ্টায় 25 কিমি. ছিল।
### ১৯. মৌসুমি দুই অঙ্কের একটি সংখ্যাকে অঙ্কদুটির সমষ্টি দিয়ে ভাগ করে ভাগফল 6 এবং ভাগশেষ 6 পায়। যদি মৌসুমি অঙ্ক দুটি স্থান বিনিয়ম করে সংখ্যাটিকে অঙ্ক দুটির সমষ্টি দিয়ে ভাগ করে, তাহলে ভাগফল 4 এবং ভাগশেষ 9 হয়। সহসমীকরণ গঠন করে মৌসুমির সংখ্যাটি নির্ণয় করি।
“`html
19. মৌসুমির সংখ্যাটি নির্ণয় করি।
সমাধান:সহজ ব্যাখ্যা: অঙ্ক $x$ ও $y$ ধরে ভাজ্য = ভাজক $\times$ ভাগফল + ভাগশেষ সূত্র ব্যবহার করে সহসমীকরণ গঠন করা হলো।
ধরি, দশক স্থানীয় অঙ্ক $= x$ এবং একক স্থানীয় অঙ্ক $= y$। মূল সংখ্যা $= 10x + y$। অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি $= x+y$।
১ম শর্তানুসারে: $10x + y = 6(x + y) + 6$
বা, $10x + y = 6x + 6y + 6$
বা, $4x – 5y = 6$ (সমীকরণ ১)
২য় শর্তানুসারে (স্থান বিনিময়): $10y + x = 4(x + y) + 9$
বা, $10y + x = 4x + 4y + 9$
বা, $3x – 6y = -9$ → $x – 2y = -3$ (সমীকরণ ২)
$x$ চল অপনীত করার জন্য সমীকরণ (২)-কে 4 দ্বারা গুণ করি:
(৩) $4x – 8y = -12$
সমীকরণ (১) থেকে (৩) বিয়োগ করে পাই:
4x – 5y = 6
– 4x – 8y = -12
—————–
3y = 18
বা, $y = 6$
$y=6$ মানটি সমীকরণ (২)-এ বসিয়ে পাই:
$x – 2(6) = -3$
বা, $x – 12 = -3$
বা, $x = 9$
মৌসুমির সংখ্যাটি হলো $10(9) + 6 = 96$।উত্তর: মৌসুমির সংখ্যাটি 96।
20. ২০. ফরিদাবিবি কয়েকটি বাক্সে কমলালেবু রাখতে গিয়ে দেখলেন যে তিনি যদি প্রত্যেকটি বাক্সে 20টি কমলালেবু বেশি রাখেন তাহলে 3টি বাক্স কম লাগে। আবার তিনি যদি প্রত্যেকটি বাক্সে 5টি কমলালেবু কম রাখেন তাহলে 1টি বাক্স বেশি লাগে। সহসমীকরণ গঠন করে হিসাব করি ফরিদাবিবির কাছে কতগুলি কমলালেবু এবং কতগুলি বাক্স ছিল।
।
সমাধান:
সহজ ব্যাখ্যা: মোট বাক্সের সংখ্যা $x$ এবং প্রতিটি বাক্সে কমলালেবুর সংখ্যা $y$ ধরে দুটি শর্ত থেকে সহসমীকরণ গঠন করে সমাধান করা হলো। মোট কমলালেবুর সংখ্যা $= xy$ টি।
ধরি, বাক্সের সংখ্যা $= x$ টি এবং প্রতিটি বাক্সে কমলালেবুর সংখ্যা $= y$ টি।
**১ম শর্তানুসারে (20টি বেশি রাখলে 3টি বাক্স কম লাগে):**
$(x-3)(y+20) = xy$
বা, $xy + 20x – 3y – 60 = xy$
বা, $20x – 3y = 60$ (সমীকরণ ১)
**২য় শর্তানুসারে (5টি কমলালেবু কম রাখলে 1টি বাক্স বেশি লাগে):**
$(x+1)(y-5) = xy$
বা, $xy – 5x + y – 5 = xy$
বা, $-5x + y = 5$ (সমীকরণ ২)
$y$ চল অপনীত করার জন্য সমীকরণ (২)-কে 3 দ্বারা গুণ করি:
(৩) $-15x + 3y = 15$
সমীকরণ (১) ও (৩) যোগ করে পাই:
20x – 3y = 60
+ -15x + 3y = 15
—————–
5x = 75
বা, $x = 15$ টি
$x=15$ মানটি সমীকরণ (২)-এ বসিয়ে পাই:
$-5(15) + y = 5$
বা, $-75 + y = 5$
বা, $y = 80$ টি
**কমলালেবুর মোট সংখ্যা:**
মোট কমলালেবু $= xy = 15 \times 80 = 1200$ টি।
উত্তর: ফরিদাবিবির কাছে 1200 টি কমলালেবু এবং 15 টি বাক্স ছিল।
21. (i) $t$-এর কোন মানের জন্য $x=3y$ হবে?
সমাধান (i):
সহজ ব্যাখ্যা: $x$ ও $y$ এর মান $x=3y$ সমীকরণে বসিয়ে $t$-এর জন্য সমাধান করা হয়েছে।
দেওয়া আছে: (১) $x = 3t$ এবং (২) $y = \frac{2t}{3}-1$
শর্ত: $x = 3y$
(১) ও (২) এর মান শর্তে বসিয়ে পাই:
$3t = 3 \left( \frac{2t}{3} – 1 \right)$
বা, $3t = 3 \times \frac{2t}{3} – 3 \times 1$
বা, $3t = 2t – 3$
বা, $3t – 2t = -3$
বা, $t = -3$
উত্তর: $t$-এর মান $-3$ হলে $x=3y$ হবে।
#### **21. (ii) $x, y$ বাস্তব সংখ্যা এবং $(x-5)^{2}+(x-y)^{2}=0$ হলে, $x$ এবং $y$ এর মান কত?**
“`html
21. (ii) $x$ এবং $y$ এর মান কত?
সমাধান (ii):
সহজ ব্যাখ্যা: দুটি বাস্তব রাশির বর্গের যোগফল শূন্য হলে, রাশি দুটিকে আলাদাভাবে শূন্যের সমান ধরে সমাধান করা হয়েছে।
শর্ত: $(x-5)^{2}+(x-y)^{2}=0$
যেহেতু $x$ ও $y$ বাস্তব সংখ্যা, তাই দুটি বর্গের যোগফল শূন্য হতে পারে শুধুমাত্র যদি প্রতিটি পদ আলাদাভাবে শূন্য হয়।
১ম পদ: $(x-5)^2 = 0$ → $x – 5 = 0$ → $x = 5$
২য় পদ: $(x-y)^2 = 0$ → $x – y = 0$ → $y = x$
$x=5$ মানটি $y=x$-এ বসিয়ে পাই:
$y = 5$
উত্তর: $x=5, y=5$।
#### **21. (iii) $k$-এর কোন মানের জন্য $2x+5y=8$ এবং $2x-ky=3$ সমীকরণদ্বয়ের কোনো সমাধান থাকবে না?**
“`html
21. (iii) $k$-এর কোন মানের জন্য সমীকরণদ্বয়ের কোনো সমাধান থাকবে না?
সমাধান (iii):
সহজ ব্যাখ্যা: কোনো সমাধান না থাকার শর্ত $\mathbf{\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}}$ ব্যবহার করা হয়েছে।
সমীকরণ (১): $2x + 5y – 8 = 0$ → $a_1=2, b_1=5, c_1=-8$
সমীকরণ (২): $2x – ky – 3 = 0$ → $a_2=2, b_2=-k, c_2=-3$
শর্তানুসারে: $\frac{2}{2} = \frac{5}{-k} \neq \frac{-8}{-3}$
প্রথম দুটি অনুপাত সমান ধরে পাই:
$1 = \frac{5}{-k}$
বা, $-k = 5$
বা, $k = -5$
মান যাচাই (তৃতীয় অনুপাতের সাথে): $1 \neq \frac{8}{3}$ (যা সঠিক)।
উত্তর: $k$-এর মান $-5$ হলে কোনো সমাধান থাকবে না।
#### **21. (iv) $x^{2}+y^{2}-2x+4y=-5$ হলে, $x$ এবং $y$ এর মান কত?**
“`html
21. (iv) $x$ এবং $y$ এর মান কত?
সমাধান (iv):
সহজ ব্যাখ্যা: সমীকরণটিকে পূর্ণবর্গে প্রকাশ করে দুটি বর্গের যোগফল শূন্যের সমান ধরে $x$ এবং $y$ এর মান নির্ণয় করা হয়েছে।
$x^{2}+y^{2}-2x+4y=-5$
বা, $x^{2}-2x + y^{2}+4y + 5 = 0$
বা, $(x^{2}-2x+1) + (y^{2}+4y+4) = 0$ (যেহেতু $1+4=5$)
বা, $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 0$
দুটি বর্গের যোগফল শূন্য হলে, প্রতিটি পদ শূন্য হবে:
১ম পদ: $(x-1)^2 = 0$ → $x – 1 = 0$ → $x = 1$
২য় পদ: $(y+2)^2 = 0$ → $y + 2 = 0$ → $y = -2$
উত্তর: $x=1, y=-2$।
#### **21. (v) $r$-এর কোন মানের জন্য $rx-3y-1=0$ এবং $(4-r)x-y+1=0$ সমীকরণদ্বয়ের সমাধান সম্ভব নয়?**
“`html
21. (v) $r$-এর কোন মানের জন্য সমীকরণদ্বয়ের সমাধান সম্ভব নয়?
সমাধান (v):
সহজ ব্যাখ্যা: সমাধান সম্ভব না হওয়ার শর্ত $\mathbf{\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}}$ ব্যবহার করা হয়েছে।
সমীকরণ (১): $rx – 3y – 1 = 0$ → $a_1=r, b_1=-3, c_1=-1$
সমীকরণ (২): $(4-r)x – y + 1 = 0$ → $a_2=4-r, b_2=-1, c_2=1$
প্রথম দুটি অনুপাত সমান ধরে পাই: $\frac{r}{4-r} = \frac{-3}{-1}$
বা, $\frac{r}{4-r} = 3$
বা, $r = 3(4 – r)$
বা, $r = 12 – 3r$
বা, $4r = 12$
বা, $r = 3$
মান যাচাই (তৃতীয় অনুপাতের সাথে): $\frac{b_1}{b_2} = 3$ এবং $\frac{c_1}{c_2} = \frac{-1}{1} = -1$
যেহেতু $3 \neq -1$, $r=3$ এর জন্য শর্তটি পূরণ হয়।
উত্তর: $r$-এর মান $3$ হলে সমাধান সম্ভব নয়।
#### **21. (vi) $a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0$ সমীকরণকে $y=mx+c$ আকারে লিখি, যেখানে $m$ এবং $c$ ধ্রুবক।**
“`html
21. (vi) $a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0$ সমীকরণকে $y=mx+c$ আকারে লিখি।
সমাধান (vi):
সহজ ব্যাখ্যা: প্রদত্ত সমীকরণ থেকে $y$ চলটিকে বামপাশে রেখে বাকি পদগুলি ডানপাশে নিয়ে যাওয়া হয়েছে।
$a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0$
বা, $b_{1}y = -a_{1}x – c_{1}$
বা, $y = \frac{-a_{1}}{b_{1}}x – \frac{c_{1}}{b_{1}}$
$y=mx+c$ আকারের সাথে তুলনা করে পাই:
$m = \frac{-a_{1}}{b_{1}}$ এবং $c = \frac{-c_{1}}{b_{1}}$
উত্তর: $y = \frac{-a_{1}}{b_{1}}x – \frac{c_{1}}{b_{1}}$।
#### **21. (vii) $k$-এর কোন মানের জন্য $kx-21y+15=0$ এবং $8x-7y=0$ সমীকরণদ্বয়ের একটিমাত্র সমাধান থাকবে?**
“`html
21. (vii) $k$-এর কোন মানের জন্য সমীকরণদ্বয়ের একটিমাত্র সমাধান থাকবে?
সমাধান (vii):
সহজ ব্যাখ্যা: একটিমাত্র সমাধান থাকার শর্ত $\mathbf{\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}}$ ব্যবহার করা হয়েছে।
সমীকরণ (১): $kx – 21y + 15 = 0$ → $a_1=k, b_1=-21$
সমীকরণ (২): $8x – 7y + 0 = 0$ → $a_2=8, b_2=-7$
শর্তানুসারে: $\frac{k}{8} \neq \frac{-21}{-7}$
বা, $\frac{k}{8} \neq 3$
বা, $k \neq 24$
উত্তর: $k$-এর মান 24 ছাড়া অন্য যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হলে সমীকরণদ্বয়ের একটিমাত্র সমাধান থাকবে।
#### **21. (viii) $a$ এবং $b$-এর কোন মানের জন্য $5x+8y=7$ এবং $(a+b) x+(a-b) y=(2a+b+1)$ সমীকরণদ্বয়ের অসংখ্য সমাধান থাকবে?**
“`html
21. (viii) $a$ এবং $b$-এর কোন মানের জন্য সমীকরণদ্বয়ের অসংখ্য সমাধান থাকবে?
সমাধান (viii):
সহজ ব্যাখ্যা: অসংখ্য সমাধান থাকার শর্ত $\mathbf{\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}}$ ব্যবহার করা হয়েছে।
সমীকরণ (১): $5x + 8y – 7 = 0$ → $a_1=5, b_1=8, c_1=-7$
সমীকরণ (২): $(a+b)x + (a-b)y – (2a+b+1) = 0$ → $a_2=a+b, b_2=a-b, c_2=-(2a+b+1)$
শর্তানুসারে: $\frac{5}{a+b} = \frac{8}{a-b} = \frac{-7}{-(2a+b+1)} = \frac{7}{2a+b+1}$
**প্রথম ও দ্বিতীয় অনুপাত তুলনা করে পাই:**
$\frac{5}{a+b} = \frac{8}{a-b}$
বা, $5(a-b) = 8(a+b)$
বা, $5a – 5b = 8a + 8b$
বা, $3a + 13b = 0$ (সমীকরণ ৩)
**প্রথম ও তৃতীয় অনুপাত তুলনা করে পাই:**
$\frac{5}{a+b} = \frac{7}{2a+b+1}$
বা, $5(2a+b+1) = 7(a+b)$
বা, $10a + 5b + 5 = 7a + 7b$
বা, $3a – 2b = -5$ (সমীকরণ ৪)
সমীকরণ (৩) থেকে (৪) বিয়োগ করে পাই:
3a + 13b = 0
– 3a – 2b = -5
—————–
15b = 5
বা, $b = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$
$b=\frac{1}{3}$ মানটি সমীকরণ (৪)-এ বসিয়ে পাই:
$3a – 2(\frac{1}{3}) = -5$
বা, $3a = -5 + \frac{2}{3} = \frac{-15 + 2}{3} = -\frac{13}{3}$
বা, $a = -\frac{13}{9}$
উত্তর: $a = -\frac{13}{9}$ এবং $b = \frac{1}{3}$।
## 📌 ২২. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):
#### **22. (i) $4x+3y=7$ এবং $7x-3y=4$ সমীকরণদ্বয়ের**
“`html
22. (i) $4x+3y=7$ এবং $7x-3y=4$ সমীকরণদ্বয়ের
সমাধান:
সহজ ব্যাখ্যা: সহগগুলির অনুপাত $\mathbf{\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}}$ কিনা যাচাই করা হলো।
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{7}$ এবং $\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{-3} = -1$
যেহেতু $\frac{4}{7} \neq -1$, সমীকরণদ্বয়ের একটি নির্দিষ্ট সমাধান আছে।
উত্তর: (a) একটি নির্দিষ্ট সমাধান আছে।
#### **22. (ii) $3x+6y=15$ এবং $6x+12y=30$ সমীকরণদ্বয়ের**
“`html
22. (ii) $3x+6y=15$ এবং $6x+12y=30$ সমীকরণদ্বয়ের
সমাধান:
সহজ ব্যাখ্যা: সহগগুলির অনুপাত $\mathbf{\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}}$ কিনা যাচাই করা হলো।
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-15}{-30} = \frac{1}{2}$
যেহেতু অনুপাত তিনটি সমান, সমীকরণদ্বয়ের অসংখ্য সমাধান আছে।
উত্তর: (b) অসংখ্য সমাধান আছে।
#### **22. (iii) $4x+4y=20$ এবং $5x+5y=30$ সমীকরণদ্বয়ের**
“`html
22. (iii) $4x+4y=20$ এবং $5x+5y=30$ সমীকরণদ্বয়ের
সমাধান:
সহজ ব্যাখ্যা: সহগগুলির অনুপাত $\mathbf{\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}}$ কিনা যাচাই করা হলো।
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{5}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{4}{5}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-20}{-30} = \frac{2}{3}$
যেহেতু $\frac{4}{5} = \frac{4}{5} \neq \frac{2}{3}$, সমীকরণদ্বয়ের কোনো সমাধান নেই।
উত্তর: (c) কোনো সমাধান নেই।
#### **22. (iv) নিম্নলিখিত সমীকরণগুলির কোনটির সমাধান $(1, 1)$**
“`html
22. (iv) নিম্নলিখিত সমীকরণগুলির কোনটির সমাধান $(1, 1)$
সমাধান:
সহজ ব্যাখ্যা: প্রদত্ত সমাধান $(1, 1)$ প্রতিটি সমীকরণে বসিয়ে যাচাই করা হলো।
(a) $2(1)+3(1) = 5 \neq 9$
(b) $6(1)+2(1) = 8 \neq 9$
(c) $3(1)+2(1) = 5$ (ঠিক)
(d) $4(1)+6(1) = 10 \neq 8$
উত্তর: (c) $3x+2y=5$।
#### **22. (v) $4x+3y=25$ এবং $5x-2y=14$ সমীকরণদ্বয়ের সমাধান**
“`html
22. (v) $4x+3y=25$ এবং $5x-2y=14$ সমীকরণদ্বয়ের সমাধান
সমাধান:
সহজ ব্যাখ্যা: প্রদত্ত সমীকরণদ্বয় অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান করা হলো।
সমীকরণ (১): $4x + 3y = 25$
সমীকরণ (২): $5x – 2y = 14$
সমীকরণ (১) কে 2 দিয়ে এবং (২) কে 3 দিয়ে গুণ করে যোগ করি:
$8x + 6y = 50$
$15x – 6y = 42$
যোগ করে পাই: $23x = 92$ → $x = 4$
$x=4$ মানটি সমীকরণ (১)-এ বসিয়ে পাই:
$4(4) + 3y = 25$ → $16 + 3y = 25$ → $3y = 9$ → $y = 3$
উত্তর: (a) $x=4, y=3$।
#### **22. (vi) $x+y=7$ সমীকরণের সমাধানগুলি হলো**
“`html
22. (vi) $x+y=7$ সমীকরণের সমাধানগুলি হলো
সমাধান:
সহজ ব্যাখ্যা: প্রদত্ত বিন্দুগুলি $x+y=7$ সমীকরণে বসিয়ে যাচাই করা হলো।
(b) (1,6): $1+6=7$ (ঠিক); (4,3): $4+3=7$ (ঠিক)।
উত্তর: (b) (1,6), (4,3)।
শেয়ার