নবম শ্রেণী গণিত: উৎপাদকে বিশ্লেষণ কষে দেখি 8.3

$t^{9}-512$
$= (t^{3})^3 – 8^3$

$= (t^{3}-8) ((t^{3})^2 + t^{3} \cdot 8 + 8^2)$

$= (t^{3}-2^3) (t^{6} + 8t^{3} + 64)$

$= (t-2) (t^2 + t\cdot 2 + 2^2) (t^{6} + 8t^{3} + 64)$

$= (t-2) (t^2 + 2t + 4) (t^{6} + 8t^{3} + 64)$

$729p^{6}-q^{6}$
$= (27p^{3})^2 – (q^{3})^2$

$= (27p^{3}-q^{3}) (27p^{3}+q^{3})$

$= ((3p)^3 – q^3) ((3p)^3 + q^3)$

$= (3p-q) ((3p)^2 + 3p \cdot q + q^2)\cdot (3p+q)$
$((3p)^2 – 3p \cdot q + q^2)$

$= (3p-q)(9p^2 + 3pq + q^2) (3p+q)(9p^2 – 3pq + q^2)$

$8(p-3)^{3}+343$
$= \{2(p-3)\}^3 + 7^3$

$= \{2(p-3)+7\} \cdot (\{2(p-3)\}^2 – 2(p-3)\cdot 7 + 7^2)$

$= \{2p-6+7\} \cdot (4(p-3)^2 – 14(p-3) + 49)$

$= (2p+1) \cdot (4(p^2-6p+9) – 14p+42 + 49)$

$= (2p+1) \cdot (4p^2-24p+36 – 14p+91)$

$= (2p+1) (4p^2 – 38p + 127)$

$\frac{1}{8a^{3}}+\frac{8}{b^{3}}$
$= \left(\frac{1}{2a}\right)^3 + \left(\frac{2}{b}\right)^3$

$= \left(\frac{1}{2a} + \frac{2}{b}\right) \cdot \left(\left(\frac{1}{2a}\right)^2 – \frac{1}{2a}\cdot \frac{2}{b} + \left(\frac{2}{b}\right)^2\right)$

$= \left(\frac{1}{2a} + \frac{2}{b}\right) \left(\frac{1}{4a^2} – \frac{1}{ab} + \frac{4}{b^2}\right)$

$(2a^{3}-b^{3})^{3}-b^{9}$

$=(2a^{3}-b^{3})^{3} – (b^{3})^3$

$=\{(2a^{3}-b^{3}) – b^{3}\}( (2a^{3}-b^{3})^2+(2a^{3}-b^{3})b^{3}$
$+(b^{3})^2)$

$=(2a^{3}-2b^{3})((4a^{6}-4a^{3}b^{3}+b^{6})+(2a^{3}b^{3}-b^{6})$
$+b^{6})$

$=2(a^{3}-b^{3}) (4a^{6}-2a^{3}b^{3}+b^{6})$

$= 2(a-b)(a^2+ab+b^2) (4a^{6}-2a^{3}b^{3}+b^{6})$

$AR^{3}-Ar^{3}+AR^{2}h-Ar^{2}h$
$= A(R^{3}-r^{3}) + Ah(R^{2}-r^{2})$

$= A(R-r)(R^2+Rr+r^2) + Ah(R-r)(R+r)$

$= A(R-r) \cdot \{ (R^2+Rr+r^2) + h(R+r) \}$

$= A(R-r) (R^2+Rr+r^2 + Rh+rh)$

$a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}-8$
$= (a+b)^3 – 2^3$

$= \{(a+b)-2\} \cdot \{(a+b)^2 + (a+b)\cdot 2 + 2^2\}$

$= (a+b-2) (a^2+2ab+b^2 + 2a+2b + 4)$

$32x^{4}-500x$
$= 4x (8x^{3}-125)$

$= 4x ((2x)^3 – 5^3)$

$= 4x (2x-5) ((2x)^2 + 2x \cdot 5 + 5^2)$

$= 4x (2x-5) (4x^2 + 10x + 25)$

$8a^{3}-b^{3}-4ax+2bx$
$= ((2a)^3 – b^3) – 2x(2a-b)$

$= (2a-b) ((2a)^2 + 2a\cdot b + b^2) – 2x(2a-b)$

$= (2a-b) (4a^2 + 2ab + b^2 – 2x)$

$x^{3}-6x^{2}+12x-35$
$= (x^{3}-6x^{2}+12x-8) – 27$

$= (x-2)^3 – 3^3$

$= \{(x-2)-3\} \cdot \{(x-2)^2 + (x-2)\cdot 3 + 3^2\}$

$= (x-5) (x^2-4x+4 + 3x-6 + 9)$

$= (x-5) (x^2 – x + 7)$